高等数学第八章练习题及答案

《高等数学(下册)》第八章练习题

一、填空题

1.________________ )sin(==dz xy z 则，

设 2.设),cos(2y x z =，则

=∂∂)2

,1(π

x

z

3.函数22)(6y x y x z ---=的极值点为

4.设xy e z =，则=dz

5.设

y z

ln z x =，则

=∂zx

z 二、选择题

)

2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+=

2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x

''、存在是),(y x f 在该点连续的( ).

(a)充分条件， (b)必要条件， (c)充要条件， (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x

y x y x f +

=，则＝（）)1,1(-'

x f . （A ），31 （B ），31- （C ），65 （D ）.65-

三、计算题

方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1(

2 13

2

⎩⎨⎧==x z x y 2、设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求

.,y

z x z ∂∂∂∂ 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,2

22

z y x

e u ++=而y x z sin 2=,求

x

u ∂∂. 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线和法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。

7、设2cos 2=z (y x 2

1-

),求

x z

∂∂和y z ∂∂. 8、y

f x f e y x f xy ∂∂∂∂=

) ,( 3

，，求设 9、的极大值或极小值求函数 3) ,( 22x y xy x y x f ++-=

10、dz y x z xy v y x u v u x f z 的全微分对求复合函数设, ,,2),,,(=+== 11、y

z x z xy x y z ∂∂∂∂=

和求设 ),cos( 12、处的切平面和法线方程上点求曲面)1,2,1(823222--=+z xz y yz x

y

z f y z xy f y xz y x z z ∂∂++==求

有连续的一阶偏导，所确定，其中由方程函数、 ),(sin ),( 13四、综合应用题

1.在平面xoy 上求一点），（y x M ，使它到三条直线，，00==y x 01=++y x 的距离平方和为最小，并求其最小值。

2.在曲面2242y x z ++=上求一点，使它到平面132=+-z y x 的距离最近。 五、证明题

a y

z

c x z b

y x f z cz ay bz ax v u =∂∂+∂∂==--满足：，所确定的函数，证明由方程具有连续偏导，，设) (0) ( ) (.1φφ2.证明曲面)0(>=++a a z y x 上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距之和为常数。

《高等数学(下册)》第八章练习题答案

一、填空题

1.________________ )sin( ==dz xy z 则，

设 2. )cos()

2

1(2

ππ

-=∂∂=，则

，设x

z y x z

3. 3) 3( )(622----=，的极值点为函数y x y x z

4. )( xdy ydx e dz e z xy xy +==则，设

5. ln z

x z

x z y z z x +=∂∂=则，设

二、选择题

)

2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) A ( 33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+=

. )( )( )( )( )

() () ( ) () () ( 2000000条件既非充分条件又非必要充要条件，必要条件，充分条件，在该点连续的，是存在，、，处偏导数，在点，、d c b a d y x f y x f y x f y x y x f y x ''

.

6

5)( 65 )( 31)( 31 )( )

B ()1 1( )2ln() ( 3--=-'+

=D C B A f x

y

x y x f x ，，，，则，，设、

三、计算题

方程处的切线方程与法平面，，在点

求曲线、)1 2 1( 2 132

⎩⎨⎧==x z x y {}

1234 0)1(3)2(41 3

1

4211

3 4 1 3 4 2=-++=-+-+--=

-=-⇒=∴='='z y x z y x z y x x z x y 即法平面方程为切线方程为，，切向量，解：Θ . 0 0) () (2y

z

x z z y v z x u F F F z y z x F y x z z v u ∂∂∂∂-=-=≠'+'=--=，求

，，其中，且具有一阶连续偏导数，确定的隐函数，，是由方程，、设 ))(cos(xdy ydx xy +