不定积分凑微分法教学探析

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基于以上思考，笔者认为在教学上应注意以下几个方面：
一、、在凑微分法的教学中必须事先讲清几个问题
１．必须讲清原函数的概念及微分计算公式。 原函数的概念是不定积分的一个最基本的概念，引入这个概念 并不难，难就难在具体运用上。大家知道：若Ｆ，（了）：，＇（Ｊ），则Ｆ（工）
称为厂（ｘ）的一个原函数。从而由微分计算公式知：ｄＦ（ｘ）：厂（了）出，
【天键１司Ｊ陈云；党建思想；现实再分析 陈云同志作为党和国家第一、二代领导集体的重要成员，曾在 党内担任多年的组织部长和纪委书记，他的党建思想中有许多关于 党及党员先进性的论述，学习并运用这些论述，对于当前我们的党 建工作有着重要的历史启迪作用。 一、“共产党——无产阶级的先锋队；共产党员—— 无产阶级先锋队战士”——不同时代都必须坚持的先进性 质 中国共产党是根据马克思、列宁主义建党原则建立起来的无产 阶级政党，它是中国无产阶级的先锋队。这是它的先进性质所决定 的。就中国共产党而言，其先进性表述有两个层面。一是党的先进 性，从宏观层面来体现，是党的意识形态和基本价值判断的集中表 达，具体讲，包涵党的理论基础、指导思想、基本路线、行动纲领 等等；另一个是党员的先进性，从微观层面来体现，是每个共产党 员在自身的实践行动中体现并践行党的先进性的先锋模范作用，是 党员思想品质、水平能力、模范行为的三者统一，具体讲，党员的 先进行通过每个党员的思想、政治、工作、作风等方面来体现。１９３９ 年陈云在《为什么扣除刘力功的党籍》一文中指出：“共产党之所以 能够成为无产阶级有组织的部队，正是因为它的党员都有着高度的 政治觉悟，对革命有无限的忠诚和责任心，是无产阶级先进分子。” “１人民群众对党的先进性的认同就是根据对党员实际表现的判断， “我们共产党员在政权机关、民众团体中工作着，他们的行为好坏 就立刻影响到人民对共产党员的观感”。共产党员丧失其先进性，就 不配成为无产阶级先锋队的战士。陈云强调：“留在党内的每个党员， 必须是忠实可靠、有能力、有作用的分子，而不是挂名党员。””１这 个论述，不仅对于抗战时期、解放战争时期保持党员的先进性起了 重要作用，而且对于今天的先进性教育活动仍有指导意义。 新时期，党的先进性主要表现在党的纲领路线方针政策上。江 泽民同志在“七一”重要讲话中指出：“看一个政党是否先进，是不
二、运用凑微分法进行解题的方法与步骤
１．凑微分法的适用范围。 由于不定积分这一章的概念少、基础理论少；公式多，计算多； 方法性强，技巧性强。因此，教师在教学中应该向学生讲清凑微分 法的适用范围，尽管各种计算方法有所交叉，但对初学者来说，在
既是一个凑微分过程，实际上又是一个积分过程，因为这一过程并 计算方法的选择上还是有所帮助的。
员的“成分”而采取的“关门主义”政策，陈云指出“党要成为无 产阶级的先锋队，就必须经常有系统地注意调剂自己党员的成分”， ”１“在中国的特殊环境下，不仅可能而且应该吸收中上层社会出身 或其社会地位与中上层有联系的分子入党，只要他们不是投机分子， 而是抛弃原有阶级利益，决心为共产主义而牺牲一切者。”当然不是
ｒ
１
．
∞）ｊ丽万丽产。
ｌ厂【妒（ｘ）］西ｆ＝Ｆ［妒（ｘ）】＋ｃ，从『『目伺：
Ｉ厂【伊（ｘ）］妒’（工）（扛＝Ｆ【妒（ｘ）】＋ｃ ３．必须讲清导数与不定积分的互逆关系。 根据不定积分的定义，若Ｆ，（ｘ）：，’“），则有
．１厂（ｘ）出＝Ｆ（ｘ）＋ｆ，由此可见导数与不定积分是互逆关系。只有
解（１）分析：从被积函数可以看出，该函数是一个幂函数，而
熟练掌握上述式子，是学好凑微分法最为关键的一步。
２．必须讲清积分基本公式及其变式。
对于积分基本公式，许多学生虽然能够理解和熟记，但往往不
会灵活运用。究其原因，在于不会灵活变通，尤其对于公式的变形，
更是一窍不通。因此，教师在教学中应该注意有目的地引导学生，
使他们能弄清其中奥妙。
数求导法；同样地，在不定积分的计算中，如果被积函数是复合函 数，我们可以先考虑采用凑微分法，这样可以把新旧知识紧密地联 系起来，有助于学生弄清凑微分法的实质。
大门敞开，谁都可以进，而是有严格条件的，“党不仅要考察他们是 否已经具备入党的政治条件，同时必须估计到他们入党之后是否更 利于革命活动。州”这个论述，对于抗战时期党扩大阶级基础，大量 吸收先进分子入党提供了依据。
（２）分析：从破积函数口Ｊ以看出，该幽数是一个稻毅幽数，故
可以靠上积分基本公式ｐ。出＝８。＋ｃ。由于被积函数是复合函
∥一冉冉＝一嘲垆ｅ：∥
（３）分析：从被积函数可以看出，该函数是一个幂函数，故可
以靠上从式￡出乩…桫由于被积函数是复厶函数’其复
合部分是妒（Ｊ）＝１＋３ｌｎ工。因为：
ｍ，“一１』．１１ｎ ｖ’
由＝三ｆ志（埘 ｄ妒（ｘ）：ｄ（１＋３ｌｎｘ）：（１＋３ｌｎｘ），出：三出，所以：
本方法；形成正确的关系和观念表征，学习问题解决的策略、方法、 技能和技巧，提高识别模式和组织信息的能力，从而使数学能力得 到提高和发展。
二、“吸收其他社会阶层先进分子入党”——不同时 代都必须坚持的吸收新党员的标准
党员队伍的最基本的组成部分和骨干力量来自工人、农民、知 识分子、军人、干部，但不应反对吸收其他阶级出身的人入党。马 克思恩格斯主要强调的是要求这些人“要无条件地掌握无产阶级世 界观”。针对两次“左”倾机会主义占主导地位时期党内片面强调党
例如：在公式ｌＰ。出＝Ｐ。十ｃ中，令ｘ＝力，则有 凑成却（Ｊ）；
Ｊ
（３）最后用积分基本公式计算出结果。
曼：√ｊ丙，则有ｋ历ｄ√丙：Ｐ历＋ｃ等等。 ｌＰ２’ｄ（２ｆ）＝ｅ２‘＋ｃ；令工：ｆ２，则有ｋ，出２：Ｐ，２＋ｃ；令
例：计算下列不定积分：（１）Ｊ石ｉ三矛出； （２）Ｊ方∥出；
一般地，若ｆ，’（ｘ）出：Ｆ（ｘ）＋ｃ，则有： Ｊ。
这个式子从正向看是一个微分公式，但从逆向看：，’（工）出：ｄＦ仅）
』赤出＝嚆＝ｆ筹昔２厢＂傅渺限 教师要及时解剖其解题过程。事实上（先对内层积分）
积分）。 从这个例子可以看出，对于复合函数求导，必须求导二次，即
先对外层求导后再对内层求导；由于导数与不定积分是互逆关系， 故对于复合函数的积分计算，也必须积分二次，积分次序是先对内 层积分后再对外层积分。
设中国特色社会主义而奋斗；二是要坚持勤奋学习，扎扎实实地提 高实践“三个代表”重要思想的本领；三是要坚持党的根本宗旨，
始终不渝地做到立党为公，执政为民；四是要坚持勤奋工作，兢兢 业业地创造一流的工作业绩：五是要坚持党的纪律，身体力行地维 护党的团结统一；六是要坚持“两个务必”，永葆共产党人的政治本 色。¨“这六个方面的要求，是新时期对党员的新要求，同时也是蕴 涵着对党的历史经验的继承和发展。如果不坚持党及党员的先进性 质，党就不能成为无产阶级的政党，党员也就不是无产阶级先锋队 战士。
所以根据导数与不定积分的互逆关系有
卜产：兰一出：、万而＋。，这个结果使许多学生感到很突然，这时，
四是在探索隐蔽模式显现化过程中缺乏必要的心理素质和技能；五 是教学理念与方法的引导问题。如何在教学中改进教学理念与方法， 有效地组织教学内容，正确引导学生学习和掌握不定积分知识，帮 助学生消除和克服那些影响学习的不利因素，创设有效的学习情境 使学生尽快适应凑微分法的多样性、有效性和被选择方法的隐蔽性， 以实现教学的目标。
数，其复合部分是妒（ｘ）：三。因为复合部分是伊（ｘ）：！，而
＝二３ｌＪ—ｆｌ—＋３—ｌｎ二Ｊ）—一、 ｄ（１＋３ｌｎＪ）＝３二ｌｎ｝１＋３ｌｎｘＩ＋ｃ。
不定积分凑微分法的教学，的确具有一定难度和挑战性，只要 精心组织和设计教学，正确引导学生学习，教会学生思考问题的基
ｄ妒ｃｘ，＝ｄ（妻］＝（三）出＝一专出’所以：
由积分基本公式ｋａ次：上ｘａ＋Ｉ＋ｃ得仁≥出：一三＋ｃ。
ｏ
口＋ｌ
ｏ ｘ‘
ｘ
先靠上公式ｆ与出：一土＋ｃ，由于被积函数是复合函数，其复合
ｊ ｘ２
ｘ
部分是舻（工）：２工一３。因为复合部分是妒（工）：２Ｊ一３，而
讲清两者之间的关系，才能把握住不定积分的实质。
因为（１ｎｘ），：三，所以仁出：ｌｎＩｘＩ＋ｃ
Ｘ
。Ｘ
没有出现积分号，因此会使许多学生感到很困惑，应用起来感到很
大家知道，在导数计算中，对于复合函数求导，我们有复合函
不习惯。例如：２础＝出２、３工２出＝出３、土出：ｄｌｎｘ、
Ｘ
一÷１ 级＝ｄ二、１ ｛出：， ｄ√；、ｅ。出＝沈。、２出＝ｄ（２Ｊ＋１）、
ｘ‘
ｘ ２√ｘ
ｃｏｓｘ（＆＝ｄｓｉｎｘ、一ｓｉｎ）ｆ（抚＝ｄｃｏｓｘ等等。
２．运用凑微分法进行解题的步骤。 以上我们虽然把凑微分法的准备知识都讲清了，但学生在进行 解题时，有时还是不知如何下手。为此，有必要把运用凑微分法进 行解题的步骤向学生交代一下，使他们在进行解题时，思路更加清 晰，懂得如何下手。 运用凑微分法进行解题的步骤： （１）先靠上某一个积分基本公式；
（２）再找出被积函数（复合函数）中的复合部分妒（ｘ），并把出
是工人阶级先锋队，主要应看它的理论和纲领是不是马克思主义的， 是不是代表社会发展的正确方向，是不是代表最广大人民群众的根 本利益。”。１而十六大报告正式提出：“通过锲而不舍的努力，保证 我们党始终是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人民和中华民族 的先锋队，始终是中国有特色社会主义事业的领导核心，始终代表 中国先进生产力的发展要求，代表中国先进文化的前进方向，代表 中国最广大人民群众的根本利益。川４１这个论断，既是对中国共产党 的历史经验的深刻总结，又是对中国共产党先进性在新时代的高度 概括，它完全符合马克思主义的建党学说。如何保持共产党员的先 进性，胡锦涛总书记提出：“一是要坚持理想信念，坚定不移地为建
２００６年
《和田师范专科学校学报》（汉文综合版）
Ｊｕｌ．２００６第２６卷第三期
不定积分凑微分法教学探析
总第４ｌ期
林瑾瑜
（广东省揭阳市广播电视大学广东揭阳５２２０００）