反函数的基本知识点

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反函数的基本知识点

一．定义：设式子)(x f y =

表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子)(x f y =中解出x ，

得到式子)(y x ϕ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子)(y x ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子)(y x ϕ=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做)(x f y =的反函数 ，记作)(1y f

x -=，即()y f y x 1)(-==ϕ，一般习惯上对调()y f x 1-=中的字母y x ,，把它改写成)(1x f y -=。

（1）．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；

（2）．原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域，

()图象在点图象上）在（点几何语言：

)(),(,)()(11x f y a b P x f y b a P a b f

b a f --='⇔==⇔=

（3）．()y f x =与1()y f x -=的图象关于y x =对称．

二．求反函数的一般步骤

（1） 确定原函数的值域，也就是反函数的定义域

（2） 由)(x f y =的解析式求出)(y x ϕ=

（3） 将y x ,对换，得反函数的一般表达式)(1x f y -=，标上反函数的

定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）

分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。

三．掌握下列一些结论

2 （1） 单调函数⇒一一对应⇔有反函数

（2） 周期函数不存在反函数

（3） 若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数

（4） 证明)(x f y =

的图象关于直线x y =对称，只需证)(x f y =的反函数和)(x f y =相同。