九年级数学学案： 第4课时 黄金分割
北师大版九年级数学上册课件 4.4 第4课时 黄金分割
A
点 E 是 AB 的黄金分割点
E
B
AE（即 BC ）是黄金比
AB
AB
D
F
C
矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线 段，过点 B 作 BD⊥AB，使BD 1 AB ; 连接 AD，在 AD 上截
2
取 DE = DB；在 AB 上截取AC = AE . 点 C 就是线段AB的黄金
分割点. 你能说出其中的道理吗？
D E
A
C
B
令BD = 1 ，则AD = 2
12
1 2
2
=
5 ，AC = AE = 2
5 -1 22
= 5 -1，BC = 1- AC = 1- 5 -1 = 3 - 5 ；
2
2
2
5 -1
3- 5
∵ AC = 2 = 5 -1，BC = 2 = 3 - 5 2
黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄 金分割点. 如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点.
BD AD = 5 1 AB BD 2
AC BC = 5 1 AB AC 2
并且 AD = BC，AC = BD.
A
D
C
B
古希腊时期的巴台农神庙
下图是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中
解这个方程，得
1 x1 2
5
1 x2 2
5 （不合题意，舍去）
所以，黄金比 AC 5 1 0.618
AB 2
A
C
A
比值称为黄金比，近似值为0.618
黄金分割点
AC BC = 5 1 AB AC 2
北师大版九年级上册数学 第4课时 黄金分割第4课时 黄金分割教案1(2)
第4课时 黄金分割●课 题黄金分割●教学目标（一）教学知识点1.知道黄金分割的定义.2.会找一条线段的黄金分割点.3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.（二）能力训练要求通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力.（三）情感与价值观要求理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用.●教学重点了解黄金分割的意义，并能运用.●教学难点找黄金分割点和画黄金矩形.●教学方法讲解法●教具准备投影片一张：（记作§4.4 A ）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，右图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题.Ⅱ.讲授新课［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算AB AC 、ACBC ,它们的值相等吗？［生］相等. ［师］所以ACBC AB AC . 1.黄金分割的定义一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中ABAC ≈0.618.2. 计算黄金比.解：由AC AB =BC AC ，得∴AC 2=AB ·BC. 设AB =1,AC =x ,则BC =1- x.∴x 2=1×（1－x ）∴x 2+ x －1=0 解这个方程，得x 1=-1+√52或x 2=-1-√52（不合题意，舍去）， 所以，黄金比AC AB =√5-12≈0.618。
3.作一条线段的黄金分割点.如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接DA ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.［师］你知道为什么吗？ 若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的两条线段AC 、BC 间须满足AC BC AB AC =.下面请大家进行验证.自己有困难时可以互相交流.为了计算方便，可设AB =1. 证明：∵AB =1,AC =x ,BD =21AB =21 ∴AD =x +21 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得（x +21）2=12+（21）2 ∴x 2+x +41=1+41 ∴x 2=1－x∴x 2=1·（1－x ）∴AC 2=AB ·BC即：ACBC AB AC = 即点C 是线段AB 的一个黄金分割点，在x 2=1－x 中整理，得x 2+x －1=0 ∴x =2512411±-=+±- ∵AC 为线段长，只能取正 ∴AC =215-≈0.618 ∴ABAC ≈0.618 ∴黄金比约为0.618.3.想一想古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，BC AB BE BC =,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？ ［师］请大家互相交流.［生］因为四边形AEFD 是正方形，所以AD =BC =AE ,又因为BC AB BE BC =,所以AE AB BE AE =,即AE BE AB AE =,因此点E 是AB 的黄金分割点，矩形ABCD 宽与长的比是黄金比. ［师］在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形.你学会作了吗？Ⅲ.课时小结本节课学习了：1.黄金分割点的定义及黄金比.2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.Ⅳ.课后作业习题4.8Ⅴ.活动与探究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不行.什么比例最合适，要通过试验来确定.如果知道稀释的倍数在1000和2000之间，那么，可以把1000和2000看作线段的两个端点，选择AB 的黄金分割点C 作为第一个试验点，C 点的数值可以算是1000+（2000－1000）×0.618=1618.试验的结果，如果按1618倍，水兑得过多，稀释效果不理想，可以进行第二次试验.这次的试验点应该选AC 的黄金分割点D ，D 的位置是1000+（1618－1000）×0.618，约等于1382，如果D 点还不理想，可以按黄金分割的方法继续试验下去.如果太浓，可以选DC 之间的黄金分割点；如果太稀，可以选AD 之间的黄金分割点，用这样的方法，可以较快地找到合适的浓度数据.这种方法叫做“黄金分割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最佳的数据，既节省了时间，也节约了原材料.●板书设计§4.4探索三角形相似的条件——黄金分割一、1.黄金分割的定义.2.作一条线段的黄金分割点及黄金矩形.3.想一想二、课时小节三、课后作业。
九年级数学上册《黄金分割》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解黄金分割的定义，掌握黄金分割点的概念，能够运用黄金分割的概念解决实际问题。
2.学会运用黄金分割比计算线段、图形的黄金分割点，并能运用黄金分割的性质分析解决实际问题。
3.掌握黄金分割与相似三角形、三角形面积的关系，能够运用相关知识解决综合问题。
3.教学方法：小组合作法、讨论法。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计具有针对性的练习题，检验学生对黄金分割知识的掌握程度。
2.教学过程：首先，设计一些基础题，让学生巩固黄金分割点的计算方法。然后，设计一些综合题，让学生运用黄金分割知识解决实际问题。
3.教学方法：练习法、指导法。
（五）总结归纳
1.教学内容：总结本节课的学习内容，强调黄金分割的重要性，激发学生对数学美的追求。
学生在这个阶段，正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对新鲜事物充满兴趣，但同时也可能在学习过程中遇到一些困难和挑战。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动他们的积极性，引导他们通过观察、思考、实践等途径，逐步理解并掌握黄金分割的知识。
此外，学生在小组合作学习中，需要提高沟通与协作能力。教师应关注学生在合作过程中的表现，适时给予指导和鼓励，帮助他们建立自信，培养团队精神。在此基础上，教师还应关注学生的情感态度，激发他们对数学美的追求，使他们在学习过程中体验到数学的魅力和价值。
4.通过课堂练习、课后作业、阶段测试等形式，巩固学生对黄金分割的理解和应用，提高学生的解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生对数学美的感知和欣赏能力。
2.培养学生的创新意识，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的应用意识。
人教版九年级数学教案-第课时黄金分割
第4課時 黃金分割學習目標：1、認識線段的黃金分割，理解黃金分割的概念.2、會運用黃金分割進行相關計算和證明.學習重點：比例性質的應用和黃金分割的概念.學習難點：運用黃金分割解決實際問題.【預習案】一、鏈接請寫出比例的基本性質.二、導讀閱讀課本P95-96，回答下列問題：（1） 叫做黃金分割．（2）黃金分割點是如何確定的？一條線段有幾個黃金分割點？叫做線段的黃金分割點， 叫做黃金比.【探究案】㈠、黃金分割的定義：1、動手操作，然後算一算，完成下麵的填空：度量線段AC 、BC 的長度，線段AC= ，BC= ， 計算AB AC = 、AC BC = , AB AC 與ACBC 的值 A B C相等嗎？※線上段AB 上，點C 把線段AB 分成兩條線段 和 ，如果 = ，那麼稱線段AB 被點C ，點C 叫做線段AB 的 ，AC 與AB 的比叫做 。
其中ABAC = ≈ ※⑴、黃金分割是一種分割線段的方法，一條線段的黃金分割點有 個。
⑵、黃金比是兩條線段的比，沒有單位，它的比值為 ，精確到0.001為 。
2、想一想：點C 是線段AB 的黃金分割點，則AB AC = 。
㈡、確定黃金分割點：如圖，已知線段AB ，按照如下方法作圖：（1）經過點B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB.（2）連接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.點C 就是線段AB 的黃金分割點。
㈢、黃金矩形：寬與長的比是：的矩形叫做黃金矩形。
【訓練案】1、若點C 是線段AB 的黃金分割點，且AC ＞CB ，則AB ：AC= ；BC ：AB= .2、若在四邊形ABCD 和四邊形A 1B 1C 1D 1中，=11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四邊形A 1B 1C 1D 1的周長為80cm ，求四邊形ABCD 的周長.A B 5−13、已知，如圖在 △ABC 中DB AD =求證：(1)EC AC DB AB =; (2)EC AE AB AD =4、設點C 是長度為2cm 的線段AB 的黃金分割點，則AC 的長為 .。
九年级数学上册《黄金分割》优秀教学案例
3.要求学生在课后进行自我反思，总结学习黄金分割的收获和不足，为下一步学习打下基础。
4.教师对作业进行及时批改和反馈，了解学生的学习情况，调整教学策略。
五、案例亮点
1.生活化的情境导入：本案例从学生熟悉的生活实例出发，如自然景观、艺术作品等，以多媒体手段呈现黄金分割的美，激发学生的好奇心和学习兴趣。这种导入方式使学生能够迅速进入学习状态，感受到数学与现实生活的紧密联系。
（二）过程与方法
1.通过观察和分析自然、艺术及建筑等领域的实例，引导学生发现黄金分割的普遍性和美观性，培养学生从生活中发现数学现象的习惯。
2.采用小组合作、讨论交流等形式，让学生在互动中探索黄金分割的性质和应用，提高学生的合作意识和解决问题的能力。
3.设计丰富的实践活动，如制作黄金分割比例的模型、绘制黄金分割图案等，让学生在实践中掌握黄金分割的方法，培养学生的动手操作能力和创新精神。
（二）问题导向
1.提出富有启发性的问题，如“为什么黄金分割被认为是最美、最和谐的比例？”“黄金分割在生活中的应用有哪些？”等，引导学生进行深入思考。
2.设计不同难度层次的问题，让学生在解决问题的过程中，逐步掌握黄金分割的知识点。
3.鼓励学生提出自己的疑问，引导学生通过查阅资料、讨论交流等方式，寻求解决问题的方法。
4.利用现代教育技术手段，如多媒体、网络等资源，拓展学生的知识视野，提高他们对黄金分割在科学、艺术等领域应用的了解。
（三）情感态度与价பைடு நூலகம்观
1.培养学生对数学美的感知和欣赏能力，激发他们对数学学科的兴趣和热爱。
2.通过探索黄金分割在各个领域的应用，让学生认识到数学知识在实际生活中的价值，增强他们的学习动力。
九年级数学上册《黄金分割数》教案、教学设计
3.黄金分割的应用：讲解黄金分割在自然界、艺术、建筑等领域的应用，使学生感受数学与生活的紧密联系。
4.黄金分割的几何作图：教师示范如何利用尺规作图法找到线段的黄金分割点，并引导学生动手实践。
（三）学生小组讨论，500字
4.了解黄金分割在自然界、艺术、建筑等领域中的应用，培养学生对数学美的感知能力。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师应注重引导学生通过以下方法掌握知识：
1.采用启发式教学法，激发学生的好奇心，引导学生自主探究黄金分割的性质和应用。
2.通过合作学习，培养学生团队协作、交流表达的能力，提高学生的综合素质。
3.运用多媒体教学手段，结合实际案例，使学生在直观感知中理解黄金分割的美学价值。
4.设计丰富的课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学美的感知，激发学生学习数学的兴趣和热情。
2.培养学生勇于探索、积极思考的良好学习习惯，提高学生的自主学习能力。
c.结合多媒体教学手段，丰富教学形式，提高学生的学习兴趣。
d.创设轻松愉快的学习氛围，关注学生的情感态度，提高学生的学习积极性。
e.定期进行教学反思，根据学生的学习情况调整教学策略，提高教学质量。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，教师首先通过多媒体展示一系列美丽的自然景观、世界著名建筑和艺术作品，如希腊神庙、埃及金字塔、达芬奇的《蒙娜丽莎》等。同时，引导学生观察这些图片中的共同特点，让他们猜测这些图片背后的数学原理。
三、教学重难点和教学设想
黄金分割 (教案)数学九年级上册同步备课(北师大版)
北师版九年级上册数学4.4.4 黄金分割教学设计自然界中美丽的蝴蝶、一片树叶，生活中的蒙娜丽莎像、埃菲尔铁塔、埃及的金字塔等都给人以最优美、最令人赏心悦目的视觉，为什么它们能令人有同学们，你们想知道什么原因吗？讲授新课 观察下图中的五角星，思考下面几个问题。
(1)从图中找出相等的角、相等的线段. (2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形. (3)用刻度尺分别度量线段AC ，BC 的长度，计算AC BC =.AB AC通过计算，你发现了什么？ 黄金分割的定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(如图)，如果AC BC=.AB AC那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.BC A一条线段有几个黄金分割点？ 2个例1：计算黄金比. 解：由AC BC=.AB AC得AC 2=AB ·BC. 设AB=1，AC=x ，则BC=1-x. ∴x 2=1× (1-x). 即x 2+x-1=0. 解这个方程，得 x 1=-1+5,2 x 2= -1-5,2(不合题意，舍去). 所以，黄金比AC 5-1=≈0.618.AB 2学生通过观察、思考、交流,教师引导、回答问题。
学生在教师的引导下理解黄金分割的定义。
学生利用所学知识计算黄金比。
利用五角星,创设一个有利于学生探究和综合运用线段比的情境。
引入黄金分割的概念、黄金比约为0.618.培养学生建立数学模型的能力,让学生亲自计算,发现生活中的黄金分割,感受数学与生活的密切联系。
深挖概念,把握规律。
帮助学生更深刻的理解黄金分割的定义。
拓展提高自然界中的黄金分割在日常生活中，黄金分割处处可见。
如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉很好。
有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比接近黄金比。
普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618.想一想如图是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，BE BC=. BC AB思考：点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？∵四边形AEFD是正方形，∴AD=BC=AE 教师介绍黄金矩形将黄金分割的意义一维图形扩展到二维图形,同时通过巴台农神庙展示黄金分割的历史文化价值。
北师版数学九年级上册第4课时 黄金分割教案与反思牛老师
第4课时黄金分割投我以桃，报之以李。
《诗经·大雅·抑》翰辰学校李道友组长【知识与技能】1.理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点.2.会判断一点是否是线段的黄金分割点.【过程与方法】通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解能力和动手能力.【情感态度】理解黄金分割点的现实意义，动手制作相关图形，感受黄金分割的美，体会教学的应用价值.【教学重点】找一条线段的黄金分割点.【教学难点】黄金分割比的应用.一、情境导入，初步认识现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、古希腊巴台农神庙，这些建筑的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？【教学说明】利用来源于生活中的美丽图象或建筑吸引学生的注意力，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，唤醒学生对美的感受.二、思考探究，获取新知动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，然后计算ACAB与BCAC,它们的值相等吗？【教学说明】学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解. 【归纳结论】在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC AB =BCAC,那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.三、运用新知，深化理解1.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（D）2.把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为 0.764 米.3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为512-.4.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.68米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则102168xx++=0.618，解得：x≈4.8cm.故答案为：4.8cm.5.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.解：作法如下：（1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于线段AB 的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD＝12AB；（2）连接AD，在AD上截取DE＝DB；（3）在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点.【教学说明】通过例分析使学生进一步理解定理的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.6.在矩形ABCD中，AB>BC，如图.若BC∶AB=512-∶1，那么这个矩形成为黄金矩形.在黄金矩形ABCD内作正方形EBCF，则矩形AEFD是黄金矩形吗？试说明理由.解：矩形AEFD是黄金矩形.理由如下：设AB=1，由BC∶AB=512-∶1可知BC=512-，所以BE=错误!未找到引用源。
九年级数学下册《黄金分割》教案、教学设计
（三）学生小组讨论
在学生掌握黄金分割的基本概念和性质后，我会组织学生进行小组讨论。将学生分成若干小组，每组挑选一个生活中的黄金分割实例进行分析，讨论以下问题：
1.实例中黄金分割的具体应用和作用是什么？
2.黄金分割是如何在这个实例中体现美感的？
3.你们还能想到其他黄金分割的应用实例吗？
（四）课堂练习
为了巩固所学知识，我会设计以下几道课堂练习题：
1.充分调动学生的已有知识经验，引导他们通过观察、思考、实践，逐步发现黄金分割的规律和性质。
2.注重培养学生的空间想象能力，通过实际操作和实例分析，帮助学生形象地理解黄金分割的概念。
3.针对学生在认知上的差异，采取分层教学，关注每一个学生的学习需求，让每一个学生都能在课堂上获得成功的体验。
4.激发学生的好奇心和探究欲，创设有趣的教学情境，引导学生主动参与课堂讨论，提高学生的学习兴趣。
2.黄金分割在生活中的应用实例。
3.黄金分割的美学价值。
五、作业布置
为了巩固学生对黄金分割知识点的掌握，提高学生的应用能力和创新意识，我设计了以下几项作业：
1.基础作业：
-请同学们完成教材中的练习题，巩固黄金分割的定义、性质和计算方法。
-结合实际生活中的实例，举例说明黄金分割的应用，并简要分析其美感来源。
3.作业设计：
-设计富有挑战性的课后作业，让学生运用黄金分割知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
-布置开放性作业，鼓励学生发现生活中的黄金分割现象，培养学生的观察力和创新意识。
4.教学评价：
-采用形成性评价，关注学生在课堂上的表现，及时给予反馈，指导学生改进学习方法。
初三数学九年级上册：4.4 第4课时 黄金分割教学设计 教案
第4课时黄金分割学习目标：1、认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念.2、会运用黄金分割进行相关计算和证明.学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念.学习难点：运用黄金分割解决实际问题.【预习案】一、链接请写出比例的基本性质.二、导读阅读课本P95-96，回答下列问题：（1） 叫做黄金分割．（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？ 叫做线段的黄金分割点， 叫做黄金比.【探究案】㈠、黄金分割的定义：1、动手操作，然后算一算，完成下面的填空：度量线段AC 、BC 的长度，线段AC= ，BC= ， 计算AB AC = 、AC BC = ,AB AC 与AC BC 的值A B C相等吗？ ※在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 和 ，如果 = ， 那么称线段AB 被点C ，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 。
其中ABAC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有 个。
⑵、黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为 ，精确到0.001为 。
2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点，则AB AC = 。
㈡、确定黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB.（2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.（3）在AB 上截取AC=AE.点C 就是线段AB 的黄金分割点。
㈢、黄金矩形：宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形。
【训练案】1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则AB ：AC= ；BC ：AB= .2、若在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，=11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四边形A 1B 1C 1D 1的周长为80cm ，求四边形ABCD 的周长.3、已知，如图在△ABC 中ECAE DB AD = 求证：(1)EC AC DB AB =;(2)EC AE AB AD = 4、设点C 是长度为2cm 的线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为 . A B。
九年级数学上册(BS)-备课导学案-4.4 第4课时 黄金分割1
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第4课时黄金分割
学习目标：
1、认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念.
2、会运用黄金分割进行相关计算和证明.
学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念.
学习难点：运用黄金分割解决实际问题.
☆预习导航☆
一、链接
请写出比例的基本性质.
二、导读
阅读课本P95-96，回答下列问题：
（1）叫做黄金分割．
（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？
叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比.
☆合作探究☆
1、如图，已知线段AB的长度为1，点P是AB上的一点，且使AP2=AB·BP，求线段AP的长和AP：AB的值
.
2、如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上的一点，且使AP2=AB·BP，求线段AP的长和AP：AB的值
.
☆归纳反思☆
本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？
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优秀领先 飞翔梦想
☆ 达标检测 ☆
1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则AB ：AC= ；BC ：AB= .
2、若在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，
=11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==5
8且四边形A 1B 1C 1D 1的周长为80cm ，求四边形ABCD 的周长.
3、已知，如图在 △ABC 中 EC
AE DB AD = 求证：(1)EC AC DB AB =; (2)EC AE AB AD =
4、设点C 是长度为2cm 的线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为 .
E
D A
C B。
九年级数学上册(北师大版)配套教学教案：4.4 第4课时 黄金分割
全新修订版教学设计（教案）九年级数学上册老师的必备资料家长的帮教助手学生的课堂再现北师大版第4课时 黄金分割1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比；2.能对黄金分割进行简单运用.（重点、难点）一、情景导入生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗？比如，下图是一个五角星图案，如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ，使得画出的图形匀称美观呢？二、合作探究探究点一：黄金分割的有关概念已知M 是线段AB 的黄金分割点，MA 是被分线段AB 中较长的线段，且MA ＝5－1，求原线段AB 的长.解析：由于M 是黄金分割点，根据黄金比＝较长线段原线段＝5－12，可求出原线段长. 解：因为M 是线段AB 的黄金分割点，且MA >MB ，所以MA AB ＝5－12， 所以AB ＝25－1·MA ＝25－1×（5－1）＝2. 方法总结：把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度.已知线段AB ＝6，点C 为线段AB 的黄金分割点，求下列各式的值：（1）AC －BC ；（2）AC ·BC .解析：黄金分割点是线段上一个点，这个点把线段分成一长一短两部分，由题意可知较长的线段是原线段的5－12，并且在一条线段上有两个黄金分割点. 解：若AC ＞BC ，如图，则AC ＝5－12AB ＝5－12×6＝35－3，所以BC ＝AB －AC ＝6－（35－3）＝9－3 5.（1）AC －BC ＝35－3－（9－35）＝35－3－9＋35＝65－12；（2）AC ·BC ＝（35－3）×（9－35）＝275－45－27＋95＝365－72.。
北师大版九年级上册数学教案：4.4三角形相似的判定及黄金分割
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的几何直观和逻辑推理能力，使其能够运用三角形相似判定定理分析并解决实际问题，提高解决问题的策略选择和运用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-三角形相似判定：重点讲解AAA、AA和SAS判定定理，使学生掌握三角形相似的判定条件，并能准确运用这些定理解决具体问题。
-黄金分割概念及性质：强调黄金分割比例的定义，及其在几何图形和实际生活中的应用，让学生理解黄金分割的重要性。
-实际问题解决：通过典型例题，让学生学会将实际问题抽象为三角形相似问题，运用所学知识进行解决。
2.培养学生的数感和符号意识，使其掌握黄金分割的概念和性质，并能运用数学符号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ行表达和计算，从而增强数学语言的表达能力。
3.培养学生的空间观念和审美观念，通过探索黄金分割在生活中的应用，使学生认识到数学与实际生活的紧密联系，提高对几何美的感知和鉴赏能力。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和交流，让学生在探究相似三角形和黄金分割的过程中，学会倾听、表达、协作，培养良好的沟通能力。
此外，我还注意到在黄金分割部分的教学中，学生们对其概念和性质的理解相对较好，但在实际应用中计算黄金分割比例时，仍有一些学生感到困惑。针对这一情况，我将在下一节课中增加一些计算练习，让学生多动手操作，提高他们解决实际问题的能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形相似在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
4.4第4课时黄金分割-2024-2025学年九年级上册数学(北师大版)
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析帕台农神庙的立面比例，展示黄金分割在实际中的应用，以及它如何帮助我们理解古典建筑的美学。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了黄金分割的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们也加深了对黄金分割的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中发现和创造美。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
然而，我也发现，在课堂实践活动中，部分学生对于将黄金分割应用于实际问题仍存在一定困难。这可能是因为他们对黄金分割的理解还不够深入，或者是我引导的方式不够恰当。因此，我考虑在接下来的课程中，增加一些更具挑战性的实践活动，让学生在解决实际问题的过程中，进一步巩固和运用所学知识。
此外，小组讨论环节让我看到了学生们活跃的思维和良好的团队协作能力。他们在讨论中提出了许多有趣的观点，也碰撞出了不少火花。但在这一过程中，我也注意到有些学生较为内向，参与度不高。为了提高这部分学生的积极性，我打算在以后的课堂中，更加关注他们的需求，鼓励他们大胆表达自己的想法。
五、教学反思
在上完这节课之后，我有一些深刻的体会和思考。首先，我发现同学们对黄金分割的概念和比例非常感兴趣，他们在课堂上积极参与，提出很多有见地的问题。这让我意识到，将数学与生活实际相结合，能够有效激发学生的学习兴趣。
4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割(教案)2023-2024学年北师大版数学九年级上册
一、教学内容
本节课选自北师大版数学九年级上册第4章“相似三角形”中的4.4节“探索三角形相似的条件”，第4课时“黄金分割”。教学内容主要包括：1.黄金分割的定义及性质；2.黄金分割在生活中的应用；3.利用黄金分割解决实际问题。通过对黄金分割的学习，使学生掌握相似三角形在实际生活中的应用，培养他们的观察能力、动手能力和解决实际问题的能力。以下是具体的教学内容：
1.黄金分割的定义：介绍黄金分割的概念，即一条线段被分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
2.黄金分割的性质：引导学生发现并证明黄金分割的性质，如：黄金分割点将线段分为两部分，这两部分的长度比是（1+√5）/2。
3.黄金分割的应用：通过实例介绍黄金分割在建筑、艺术、生物等领域中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系。
4.实践活动：设计一些实践活动，如测量物体长度、制作黄金分割图形等，让学生在实际操作中体会黄金分割的美学价值。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几个方面：
1.培养学生的几何直观和空间观念，通过对黄金分割的学习，使他们在观察、操作和思考过程中形成对几何图形的直观认识，提高空间想象能力。
2.培养学生的逻辑推理和数学论证能力，通过探索黄金分割的性质，让学生学会运用逻辑思维和数学方法进行推理和证明。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调黄金分割的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如黄金分割比例的推导，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与黄金分割相关的实际问题。
【北师版九年级数学上册教案】4.4第4课时黄金分割
4.4 研究三角形相似的条件第 4 课时黄金切割教课目标【知识与能力】1.知道黄金切割的定义.2.会找一条线段的黄金切割点.3.会判断某一点能否为一条线段的黄金切割点.【过程与方法】经过找一条线段的黄金切割点，培育学生的理解与着手能力.【感情态度价值观】理解黄金切割的意义，并能着手找到和制作黄金切割点和图形，让学生认识数学与人类生活的亲近联系对人类历史发展的作用.教课重难点【教课要点】认识黄金切割的意义，并能运用.【教课难点】找黄金切割点和画黄金矩形.课前准备课件 .教课过程Ⅰ .创建问题情境，引入新课［师］生活中我们见到过许好多多的图形，形态万千，雅观大方.那么这些美丽的图形你能画出来吗？比方，右图是一个五角星图案，如何找点 C 把 AB 分成两段AC 和 BC，使得画出的图形均匀雅观呢？本节课就研究这个问题.Ⅱ .解说新课［师］在五角星图案中，大家用刻度尺分别胸襟线段AC、BC 的长度，而后计算AC、ABBC,它们的值相等吗？AC［生］相等 .［师］所以ACBC . ABAC1.黄金切割的定义一般地， 点 C 把线段 AB 分成两条线段AC 和 BC ，假如ACBC,那么称线段 AB 被点ABACC 黄金切割（ golden section ） ,点 C 叫作线段 AB 的黄金切割点， AC 与 AB 的比叫作黄金比 .此中AC≈0.618.AB2. 计算黄金比 .AC BC2解：由 AB =AC ，得∴ AC =AB · BC. 设 AB=1,AC=x,则 BC =1- x.∴ x 2=1×（ 1－ x ）∴ x 2+ x － 1=0 解这个方程，得x 1=- 1+√5 -1- √5或 x 2= （不合题意，舍去） ，22 AC √5-1所以，黄金比=≈ 0.618。
3.作一条线段的黄金切割点 .如图，已知线段 AB ，依据以下方法作图：（ 1）经过点 B 作 BD ⊥ AB ，使 BD = 1AB.2（ 2）连接 DA ，在 DA 上截取 DE=DB.（ 3）在 AB 上截取 AC=AE. 则点 C 为线段 AB 的黄金切割点 .［师］你知道为何吗？若点 C 为线段 AB 的黄金 切割点， 则点 C 分线段 AB 所成的两条线段AC 、BC 间须满足AC BC.下边请大家进行考据.自己有困难时可以相互交流 .为了计算方便，可设 AB =1.ABAC证明：∵ AB=1,AC=x,BD = 1 AB=12 2∴ AD=x+ 12在 Rt △ABD 中，由勾股定理，得（ x+ 1） 2=12+（ 1）22 2∴ x 2+x+ 1 =1+ 144∴ x 2=1－ x∴ x 2=1·（ 1－ x ）∴ AC 2 =AB · BC即：AC BCAB AC即点 C 是线段 AB 的一个黄金切割点，在 x 2=1－ x 中整理，得 x 2+x － 1=0∴ x=11 41 522∵ AC 为线段长，只好取正 ∴ AC=5 1≈ 0.6182∴AC≈ 0.618AB∴黄金比约为 0.618. 3.想想古希腊期间的巴台农神庙 （Parthenom Temple ）.把它的正面放在一个矩形 ABCD 中，以矩 形 ABCD 的宽 AD 为边在其内部作正方形 AEFD ，那么我们可以惊诧地发现，BC AB BE ,BC点 E 是 AB 的黄金切割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？［师］请大家相互 交流 .［生］由于四边形 AEFD 是正方形，所以 AD=BC=AE,又由于BCAB ,所以 AE AB ,BE BCBE AE即 AEBE,所以点 E 是 AB 的黄金切割点，矩形 ABCD 宽与长的比是黄金比 .ABAE［师］在上边这 个矩形中，宽与长的比是黄金比，这个矩形叫作黄金矩形.你学会作了吗？Ⅲ .课时小结本节课学习了： 1.黄金切割点的定义及黄金比.2.如何找一条线段的黄金切割点，以及会画黄金矩形 .3.能依据定义判断某一点能否为一条线段的黄金切割点 .Ⅳ .课后作业习题 4.8Ⅴ .活动与研究要配制一种新农药，需要兑水稀释，兑多少才好呢？太浓太稀都不可以.什么比率最适合，要经过试验来确立 .假如知道稀释的倍数在1000 和 2000之间，那么，可以把 1000 和 2000看作线段的两个端点，选择AB 的黄金切割点 C 作为第一个试验点， C 点的数值可以算是1000+（ 2000－ 1000）× 0.618= 1618.试验的结果，假如按1618 倍，水兑得过多，稀释成效不理想，可以进行第二次试验 .此次的试验点应入选 AC 的黄金切割点D，D 的地址是 1000+（1618 － 1000）× 0.618，约等于1382，假如 D 点还不理想，可以按黄金切割的方法连续试验下去 .假如太浓，可以选DC 之间的黄金切割点；假如太稀，可以选AD 之间的黄金切割点，用这样的方法，可以较快地找到适合的浓度数据.这类方法叫作“黄金切割法”.用这样的方法进行科学试验，可以用最少的试验次数找到最正确的数据，既节约了时间，也节约了原资料.●板书设计定义：一般地，点C把线段 AB分成两条线段AC黄AC BC和BC，假如＝，那么称线段 AB被点AB AC金C黄金切割分黄金切割点：一条线段有两个黄金切割点割5－ 1黄金比：较长线段：原线段＝： 12。
数学北师大版九年级上册《黄金分割》.4黄金分割教案2
学科：数学 年级：九 课型：新授课 编写人： 李丹 审稿人：崔明玉【课 题】 4.4黄金分割【教学目标】1.理解黄金分割的概念,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点。
2.会找一条线段的黄金分割点。
2.会用线段的黄金分割解决一些实际问题。
【重点、难点】引入语：同学们，现实生活中处处存在美，而这些美并不是杂乱无章的，它们都蕴含着深刻的科学道理，今天，就让我们走进美的源头------黄金分割，以数学的角度来感受生活中的美。
首先我们先了解一下学习目标。
今天的课将从七个环节来学习，发现美-探索美-创造美-应用美-感悟美-收获美-延伸美过渡语：看来大家都有一双审美的眼睛，为什么这些图形看起来更美呢，他们有什么特点吗？带着这些问题，我们进入探索美。
重点：黄金分割的概念,能作出一条线段的黄金分割点。
难点：用黄金分割来解决实际问题。
【发现美 】展示课件，欣赏图片.同一建筑物两种设计方法，哪一种更具有美感？芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？脸型相同，五官基本相同的三张脸，哪个更美？【探索美】量一量，算一算在图中，分别量出线段 AC 、BC 、AB 的长度.与相等吗(精确到0. 1cm)？黄金分割的概念：A BC1.黄金分割：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段______和_______ ， 如果___________________,那么称__________ 被____________黄金分割（golden section ） 巧记比例关系：2.黄金分割点：__________叫做线段AB 的黄金分割点。
3.黄金比： _______与________ 或________ 与 _________的比叫做黄金比.概念强调：1.比例式的变形。
2.一条线段有两个黄金分割点。
4.求黄金比设AB=1，AC=x ，则BC= ___________ ，因为 ，所以可列方程__________________________ ， 整理得： 解方程得x= 黄金比值：618.021-5≈5.判断一点是黄金分割点的方法：（1）如果ACBC AB AC =，那么点C 是线段AB 的黄金分割点。
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天才是百分之一的天分,再加上百分之
九十九的努力
第4课时黄金分割
学习目标：
1、认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念.
2、会运用黄金分割进行相关计算和证明.
学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念.
学习难点：运用黄金分割解决实际问题.
【预习案】
一、链接
请写出比例的基本性质.
二、导读
阅读课本P95-96，回答下列问题：
（1）叫做黄金分割．（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？
叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比.
【探究案】
㈠、黄金分割的定义：
1、动手操作，然后算一算，完成下面的填空：
度量线段AC 、BC 的长度，线段AC= ，BC= ， 计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与AC
BC 的值 A B C
相等吗？ ※在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 和 ，如果 = ， 那么称线段AB 被点C ，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 。
其中AB AC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有 个。
⑵、黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为 ，精确到0.001为 。
2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点，则AB
AC = 。
㈡、确定黄金分割点：
如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=
21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB.
（3）在AB 上截取AC=AE.点C 就是线段AB 的黄金分割点。
㈢、黄金矩形：
宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形。
【训练案】
1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则AB ：AC= ；BC ：AB= .
2、若在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，
=11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四边形A 1B 1C 1D 1的周长为80cm ，求四边形ABCD 的周长.
3、已知，如图在 △ABC 中 EC AE DB AD = E D A
A B 5−12
求证：(1)EC AC DB AB =; (2)EC
AE AB AD =
4、设点C 是长度为2cm 的线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为 .。