高三模拟考试数学理科试题含答案解析

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四川省绵阳中学2024届高三高考适应性考试(一)数学(理科)试题(含答案与解析)_4574

绵阳中学2024届高三高考适应性考试（一）数学（理科）时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合ππ2π2π,Z 42A k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，ππππ,Z 42B k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A. A B ⊆B. BA ⊆C. A B =D. A B ⋂=∅2. 已知i 为虚数单位，则复数()21i 2i-+的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知命题()11:221x p f x =+-为奇函数；命题:0,,sin tan 2q x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是A. ()p p ∧⌝是真命题B. ()p q ⌝∨是真命题C. p q ∧是假命题D. p q ∨是假命题4. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为（）A.B.C.D.5. 若数列{}n a 的前n 项积217n b n =-，则n a 的最大值与最小值之和为（） A. 13-B.57 C. 2D.736. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.B.C.D.7. 已知函数()()sin 0f x x ωω=>在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度，得到函数()g x 且()g x 满足77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，则正数ϕ的最小值为（） A.π12B.π6 C.π3D.π28. 三棱柱111ABC A B C -，底面边长和侧棱长都相等．1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A.B.12C.D.9. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有（）种． A. 72B. 144C. 384D. 43210. 已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅= ，且2c a c b -+-=r r r r ，则2c a +r r的取值范围是（）A. []1,3B. ⎡⎤⎣⎦C. D. ⎤⎥⎦11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为(参考数据：lg 20.3010=，lg 30.4771=)（） A 4B. 5C. 6D. 712. 已知定义在R 上的函数(),()f x f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，②当0x ≥时，()210f x x +'+>，若不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为（）A 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. (0,)+∞D. 2,(0,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13.若6的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中3x -的系数为__________．14. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的单调性与函数()e xf x =的单调性相同，且满足463a a +=，372a a ⋅=．若[]0,πx ∈，则22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭的概率为__________15.ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()()25sin sin sin sin ,5,cos 31C A B B C A a A -=-==，则ABC 的周长为__________． 16. 已知抛物线()22(0),2,1y px x P =>为抛物线内一点，不经过P 点的直线:2l y x m =+与抛物线相交..于,A B 两点，连接,AP BP 分别交抛物线于,C D 两点，若对任意直线l ，总存在λ，使得,(0,1)AP PC BP PD λλλλ==>≠成立，则该抛物线方程为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且25214a a a =，设关于x 的不等式()222*3x n x nx n n n +-<--∈N 的解集中整数的个数为n c ．（1）求数列{}n a 前n 项和为n S ；（2）若数列满足1122332nn n n S c b c b c b c b c ++++-=，求数列{}n b 的通项公式． 18. 如图（1）在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC CD ===若沿AB 将三角形PAB 折起，使120PAD ∠=︒，构成四棱锥P ABCD -，如图（2）E 和F 分别是棱CD 和PC 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PCD ；（2）求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值．19. 某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．的（1）根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）（2）已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．20. 在直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，AB的最小值为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若与A ，B 不共线的点P 满足()2OP OA OB λλ=+-，求PAB 面积的取值范围．21. 现定义：()()213321f x f x x x --为函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率.已知函数()e axf x =，()22ln g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若存在区间()12,x x ，使得()f x 的值域为()122,2x x ，且函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为大于0，求实数a 的取值范围；（2）若对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标是()0,1，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），0πθ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，1C 与2C 交于A ，B 两点．（1）将曲线2C 极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？（2）过点P 作垂直于1C 的直线l 交2C 于C ，D 两点，求11PA PB PC PD+的值．选修4-5：不等式选讲23 设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合ππ2π2π,Z 42A k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，ππππ,Z 42B k k k αα⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A. A B ⊆ B. BA ⊆C. A B =D. A B ⋂=∅【答案】A 【解析】【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断. 【详解】当2,Z k n n =∈时，ππ2π2π,Z 42B n n k A αα⎧⎫=+≤≤+∈=⎨⎬⎩⎭，的.当21,Z k n n =+∈时，ππ2ππ2ππ,Z 42B n n k αα⎧⎫=++≤≤++∈⎨⎬⎩⎭，所以A B ⊆. 故选：A2. 已知i 为虚数单位，则复数()21i 2i-+的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得2(1i)2i 24i 2i 2i 55--==--++，得到共轭复数为24i 55-+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数()22i 2i (1i)2i 24i 2i 2i 555----===--++，可得共轭复数为24i 55-+，其在复平面内对应点为24,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选：B ．3. 已知命题()11:221x p f x =+-为奇函数；命题:0,,sin tan 2q x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是A. ()p p ∧⌝是真命题B. ()p q ⌝∨是真命题C. p q ∧是假命题D. p q ∨是假命题【答案】B 【解析】【分析】先判断命题,p q 都是真命题，故可得正确选项．【详解】对于p ，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()1112221212--=+=+--xx xf x ，进一步化简得到()()121111212221x x x f x f x -+-=+=--=---，故()f x 为奇函数，故p 为真命题．对于q ，考虑单位圆中的正弦线、正切线和弧长的关系，如图所示，,sin ,DOB x CE x BCx ∠===，tan BD x =，因为OBC OBD OBC S S S ∆∆<<扇形，故1111sin 1tan 222x x x x ⨯⨯<⨯⨯<⨯⨯，即sin tan <<x x x ．故q 真命题，综上，p q ⌝∨为真命题，选B ．【点睛】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．4. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，则双曲线的焦距为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据点()2,1--在抛物线的准线上则可得4p =，进而可得抛物线的焦点坐标，再求出a 的值，由点()2,1--在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b 的值，则可得c 的值，进而可得答案. 【详解】根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--，即点()2,1--在抛物线的准线上，又由抛物线()220y px p =>的准线方程为22px =-=-，则4p =，则抛物线的焦点为()2,0，为则双曲线的左顶点为()2,0，即2a =点()2,1--在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±，由双曲线的性质，可得1b =，则c =，则焦距为2c =，故选：B5. 若数列{}n a 的前n 项积217n b n =-，则n a 的最大值与最小值之和为（） A. 13-B.57 C. 2D.73【答案】C 【解析】【分析】由题可得2129n a n +-=，利用数列的增减性可得最值，即求.【详解】∵数列{}n a 的前n 项积217n b n =-，当1n =时，157a =，当2n ≥时，()12117n b n -=--，()1212727122929117n nn nb n a b n n n ---===+----=， 1n =时也适合上式，∴2129n a n +-=，∴当4n ≤时，数列{}n a 单调递减，且n a 1<，当5n ≥时，数列{}n a 单调递减，且n a 1>，故n a 的最大值为53a =，最小值为41a =-， ∴n a 的最大值与最小值之和为2. 故选：C.6. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =. 故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.7. 已知函数()()sin 0f x x ωω=>在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度，得到函数()g x 且()g x 满足77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，则正数ϕ的最小值为（） A.π12B.π6 C.π3D.π2【答案】C【解析】【分析】由函数的最大值求出ω的表达式，根据图像变换结合对称性求出ϕ的表达式，根据ϕ为正数求出最小值【详解】依题意，()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，11πππsin 2π122663k k ωωω⎛⎫∴=⇒=+⇒=+⎪⎝⎭，1k Z ∈时，把()f x 的图象上所有的点向右平移ϕ个单位长度，得到函数()()sin 2g x x ωϕ=-，又77ππ1212g x g x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得7π12x =是()g x 的一条对称轴， ()2222π7πππ7π2π,Z Z 1222424k k k k ωϕϕω∴⨯-=+∈⇒=--+∈ 即()()1222ππ7,Z 23k k k k ϕ=-+∈，当120k k ==时，正数ϕ取最小值π3故选：C ．8. 三棱柱111ABC A B C -，底面边长和侧棱长都相等．1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A.B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】由题意设1,,,1AB a AC b AA c a b c ======，11,,,60,,a b b c c a AB a c BC a b c ===︒=+=-++，由数量积的运算律、模的运算公式以及向量夹角的余弦的关系即可运算求解.【详解】设1,,,1AB a AC b AA c a b c ======，由题意11,,,60,,a b b c c a AB a c BC a b c ===︒=+=-++，1AB === ，1BC == ，又()()22111111122AB BC a c a b c b a b c c a ⋅=+⋅-++=⋅+⋅+-=++-=，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1cos cos ,AB θ= . 故选：D ．9. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有（）种． A. 72 B. 144 C. 384 D. 432【答案】D 【解析】【分析】根据所取数字之和为10，分3类，再由分类加法计数原理求解即可. 【详解】分3类：①红1蓝1，红4蓝4，排成一排44A 24=； ②红2蓝2，红3蓝3，排成一排44A 24=；③2个1选1张，2个2选1张，2个3选1张，2个4选1张，排成一排1111422224C C C C A 384⋅=，由分类加法计数原理，共2424384432++=种，故选：D ．10. 已知向量是单位向量a ，b ，若0a b ⋅=，且2c a c b -+-=r r r r ，则2c a +r r的取值范围是（）A. []1,3B. ⎡⎤⎣⎦C.D. ⎤⎥⎦【答案】D 【解析】【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及几何意义解答本题．详解】由题设单位向量()()()1,0,0,1,,a b c x y ===，【()()1,2,2c a x y c b x y ∴-=--=-，，+=即(),x y 到()1,0A 和()0,2B ，而AB =故动点(),P x y 表示线段AB 上的动点.又2c a +=，该式表示()2,0-到线段AB 上点的距离，其最小值为点()2,0-到线段:220(01)AB x y x +-=≤≤的距离，而d =，故|2|min c a +==.最大值为()2,0-到()1,0A 的距离是3，所以2c a +r r的取值范围是⎤⎥⎦．故选：D ．【点睛】关键点点睛：根据向量关系可得动点的轨迹，再根据点到直线的距离可得点点距的最小值.2c a +=表示点到线段上的连线的范围，结合其几何关系不难解决问题．11. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为(参考数据：lg 20.3010=，lg 30.4771=)（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C 【解析】【分析】根据规律可总结出第n 次操作去掉区间的长度和为123n n -，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；以此类推，第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，∴进行了第n 次操作后，去掉区间长度和112133122212393313nn n nnS -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+==- ⎪⎝⎭-，由902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21310n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，22331lg101log log 10 5.68210lg 2lg 3lg 3n ∴≥=-=-=-≈-，又n N *∈，n ∴的最小值为6. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.12. 已知定义在R 上的函数(),()f x f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，②当0x ≥时，()210f x x +'+>，若不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为（）A 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 2(,0),3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. (0,)+∞D. 2,(0,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令()2()=++F x f x x x ，由()210f x x +'+>得到其单调性，再由()()2f x f x x =--，得到其奇偶性求解.【详解】解：令()2()=++F x f x x x ，则()()210'=++>'F x f x x ，.所以()F x 在[0,)+∞上递增，因为()()2f x f x x =--，所以()22()()-+--=++f x x x f x x x ，即()()F x F x -=，所以()F x 是偶函数，不等式2(21)33(1)f x x x f x +++>+等价于：()()()()22(21)2121(1)11+++++>+++++f x x x f x x x ，即()()211F x F x +>+，即()()211+>+F x F x ，所以211x x +>+，解得23x <或0x >，故选：D第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13. 若6的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中3x -的系数为__________．【答案】1 【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解.【详解】()()12566166C C 10,16rrrr rr r r T a xr --+⎛==-⋅= ⎝0,6r =时为有理项，06621a a a ∴+=⇒=，由3125366r r x --=-⇒=∴系数：()6666C 11a -=, 故答案为：1.14. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的单调性与函数()e xf x =的单调性相同，且满足463a a +=，372a a ⋅=．若[]0,πx ∈，则22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭的概率为__________【答案】14##0.25 【解析】【分析】由等比数列性质可列关于46,a a 的方程组，结合{}n a 为单增等比数列，即可求得q ，进一步利用三角恒等变换化简表达式22πcos 22cos 2x x q ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭得到πsin 24x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，结合[]0,πx ∈解三角不等式即可得解.【详解】37462a a a a == ，又46463,,a a a a +=∴是方程2320x x -+=的两根，又{}n a 为单增等比数列，2461,22a a q ∴==⇒=又2ππcos 22cos sin2cos212124x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ212sin 244x x ⎛⎫⎛⎫++≥⇒+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， []ππ9πππ3ππ0,π,2,,204444444x x x x ⎡⎤∈∴+∈∴≤+≤⇒≤≤⎢⎥⎣⎦ ， ∴所求概率π014π04P -==-. 故答案为：14．15.ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()()25sin sin sin sin ,5,cos 31C A B B C A a A -=-==，则ABC 的周长为__________．【答案】14 【解析】【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出：2222a b c =+；再结合255,cos 31a A ==和余弦定理得出b c +的值即可求解. 【详解】因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin C A B C A B B C A B C A -=-，即sin sin cos sin cos sin 2sin sin cos C A B B C A B C A +=，.由正弦定理可得：cos cos 2cos ac B ab C bc A +=，由余弦定理可得：22222222222a cb a bc c b a +-+-+=+-，整理得：2222a b c =+.因为255,cos 31a A ==，所以222225025cos 231b c b c a A bc ⎧+=⎪⎨+-==⎪⎩，整理得：2250231b c bc ⎧+=⎨=⎩，则9b c +===，所以14a b c ++=，故答案为：14.16. 已知抛物线()22(0),2,1y px x P =>为抛物线内一点，不经过P 点的直线:2l y x m =+与抛物线相交于,A B 两点，连接,AP BP 分别交抛物线于,C D 两点，若对任意直线l ，总存在λ，使得,(0,1)AP PC BP PD λλλλ==>≠成立，则该抛物线方程为______.【答案】24y x = 【解析】【分析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，根据,AP PC BP PD λλ==推出()()123421y y y y λλ+++=+，结合点在抛物线上可得12y y p +=，34y y p +=，即可求得p ，即得答案.【详解】由题意设()()()()112212334434,,,,(),,,,,()A x y B x y x x C x y D x y x x ≠≠，由AP PC λ=可得：()()11332,12,1x y x y λ--=--，可得：1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得：2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，则：()()()()123412344121x x x x y y y y λλλλ⎧+++=+⎪⎨+++=+⎪⎩（*）将,A B 两点代入抛物线方程得2211222,2y px y px ==，作差可得：()1212122y y y y p x x -+=-，而12122y y x x --=，即12y y p +=，同理可得，34y y p +=，代入（*），可得2p =，此时抛物线方程为24y x =，故答案为：24y x =三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且25214a a a =，设关于x 的不等式()222*3x n x nx n n n +-<--∈N 的解集中整数的个数为n c ．（1）求数列{}n a 的前n 项和为n S ；（2）若数列满足1122332nn n n S c b c b c b c b c ++++-= ，求数列{}n b 的通项公式．【答案】（1）2n S n =（2）112n b n=+ 【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程，求得2d =，得到21n a n =-，结合等差数列的求和公式，求得n S 的值，得到答案；（2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，求得21n x n <<+，得到n c n =，进而得到()212222n b b nb n n +++-= ，当2n ≥时，()21212211n b b n b n -⎡⎤+++-=-⎣⎦ ，两式相减得112n b n=+，进而得到数列{}n b 的通项公式．【小问1详解】由等差数列{}n a 的首项11a =，且25214a a a =，可得()()()2111134a d a d a d ++=+，整理得212a d d =，即22d d =，因为0d >，所以2d =，所以()21N n a n n *=-∈，可得()()2121135212n n n S n n +-=++++-== ．【小问2详解】由不等式2223x n x nx n n +-<--，即22(31)20x n x n n +++-<，解得21n x n <<+，因为()2223Nx n x nx n n n *+-<--∈解集中整数的个数为nc，所以n c n =，又因为2112233122n n n n S c b c b c b c b c n ++++-== 可得()21232232n b b b nb n n ++++-= ，即()21232232n b b b nb n n ++++=+ ，当2n ≥时，()()22121221(1)211n b b n b n n n -⎡⎤+++-=-+-=-⎣⎦ ，两式相减得()2212n nb n n =+≥，则()1122n b n n=+≥，当1n =时，1221b -=，解得132b =，满足上式，所以112n b n =+，所以数列{}n b 的通项公式为112n b n=+． 18. 如图（1）在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC CD ===若沿AB 将三角形PAB 折起，使120PAD ∠=︒，构成四棱锥P ABCD -，如图（2）E 和F 分别是棱CD 和PC 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面PCD；的（2）求平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）先利用几何关系证明和线面垂直的判定定理BA ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面BEF ，最后可得平面BEF ⊥平面PCD ；（2）建系，然后分别求出平面PBC 和平面PAD 的法向量，代入二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】因为2BD PC =，所以90PDC ∠=︒，因为//,AB CD E 为CD 中点，2CD AB =，所以//AB BE 且AB DE =，所以四边形ABED 为平行四边形，所以//,BE AD BE AD =．而,BA PA BA AD ⊥⊥，又PA AD A ⋂=，PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ．因为//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PD ⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥且CD AD ⊥，又因为在平面PCD 中，//EF PD ，于是CD FE ⊥．因为在平面ABCD 中，//BE AD ，于是CD BE ⊥．因为,FE BE E EF =⊂ 平面,BEF BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ，又因为CD ⊂平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD ．【小问2详解】以A 点为原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，面ABD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，由（1）知BA ⊥平面PAD ，所以z 轴位于平面PAD 内，所以30,PAz P ∠︒=到z 轴的距离为(1,0,P ∴-，同时知())()0,0,0,,2,0A BC ，),2,0PB BC ==，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z，所以()()),,000,020,,2,00x y z n PB y n BC y x y z ⎧⋅=⎧⋅=+=⎪⎪∴⇒⎨⎨⋅=+=⎪⋅=⎪⎩⎩，令1y =，则n ⎛= ⎝；又)AB =为平面PAD 的一个法向量，所以cos ,n AB n AB n AB⋅===⋅，又因为平面PBC 与平面PAD 所成的二面角的平面角为锐角，所以平面PBC 与平面PAD19. 某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．（1）根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）（2）已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．【答案】（1）高于（2）分布列见解析，()2541625E X =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出a ，再分别根据频率分布直方图和茎叶图求平均数，比较即可；（2）先利用古典概型的概率公式求出甲答对每道题的概率，再利用二项分布求出X 所有可能取值的概率，得到分布列，根据分布列求数学期望即可. 【小问1详解】根据频率分布直方图各矩形面积和为1得()20.2500.3750.5000.6250.51a ++++⨯=，解得0.125a =，所以全部参赛人员的整体水平为7.07.57.58.08.08.58.59.09.09.59.510.00.50.1250.2500.6250.5000.3750.1258.531222222++++++⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈ ⎪⎝⎭，根据茎叶图可知某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平为7.58.68.79.09.29.68.7676+++++≈，所以某工厂的参赛6名人员的演唱水平高于全部参赛人员的平均水平．【小问2详解】从这6位抽取2位的基本事件总数为26C ，分差大于0.5的基本事件为除数据()8.6,8.7，()()()()()8.6,9.0,9.2,9.6,9.2,9.0,8.7,9.0,9.2,8.7外的9个基本事件，故概率为26993C 155P === 依题意X 的取值为3，4，5，则()333235355125P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()2222333232322344C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()222222443232322165C C 555555625P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以X 的分布列为X 34 5P35125 234625 216625所以()352342162541345125625625625E X =⨯+⨯+⨯=． 20. 在直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C ab a b+=>>的右焦点为()1,0F ，过点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，AB 的最小值为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若与A ，B 不共线的点P 满足()2OP OA OB λλ=+-，求PAB 面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）⎛ ⎝.【解析】【分析】(1)根据通径的性质即可求解；(2)取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则点M 在直线AB 上，且点M 为线段OP 的中点．得PABOAB S S = ，设AB 方程，与椭圆方程联立，表示出OAB S 并求其范围即可.【小问1详解】由右焦点()1,0F 知，1c =，当AB 垂直于x 轴时，AB最小，其最小值为22b a=．又∵222a b c =+，解得a =1b =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．【小问2详解】解法一：取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则点M 在直线AB 上，且点M 为线段OP 的中点． ∴PAB OAB S S = ．当AB 垂直于x 轴时，A ，B的坐标分别为⎛ ⎝，1,⎛ ⎝，OAB S =△；当AB 不垂直于x 轴时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠．则点O 到直线AB的距离d =，联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2222124220k x k x k +-+-=，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+，()2810k ∆=+>，2AB x =-==，∴1122OABS AB d =⋅==△，令212t k =+，则()2112t k t -=>，此时OABS ⎛= ⎝△．综上可得，PAB面积的取值范围为⎛ ⎝．解法二：当AB 垂直于x 轴时，A ，B的坐标分别为⎛ ⎝，1,⎛⎝，由()2OP OA OB λλ=+-，得点P的坐标为(-，则点P 到直线AB 的距离为1，又AB =PAB的面积为112=，当AB 不垂直于x 轴时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，设P ，A ，B 的坐标分别为()00,x y ，()11,x y ，()22,x y ，则()111y k x =-，()221y k x =-，由()2OP OA OB λλ=+-，得()0122x x x λλ=+-，()()()()()0121212212122y y y k x k x k x x λλλλλλ=+-=-+--=+--⎡⎤⎣⎦，即()002y k x =-．故点P 在直线()2y k x =-上，且此直线平行于直线AB．则点P 到直线AB的距离d =，联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2222124220k x k x k +-+-=，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，2AB x =-==，∴1122PABS AB d =⋅==△，令212t k =+，则()2112t k t -=>，此时PABS ⎛= ⎝△．综上可得，PAB面积的取值范围为⎛ ⎝．解法三：取11222OM OP OA OB λλ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，则点M 在直线AB 上，且点M 为线段OP 的中点． ∴PAB OAB S S = ，设直线AB 的方程为1x ty =+，则点O 到直线AB 的距离d =联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()222210t y ty ++-=，则12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，()2810t ∆=+>，2AB y =-==，∴1122OABS AB d =⋅==△，∴OAB S ⎛=⎝△，即PAB面积的取值范围为⎛ ⎝． 21. 现定义：()()213321f x f x x x--为函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率.已知函数()e axf x =，()22ln g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）若存在区间()12,x x ，使得()f x 的值域为()122,2x x ，且函数()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为大于0，求实数a 的取值范围；（2）若对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）[)e,+∞ 【解析】【分析】（1）由题意得到()f x 单调递增，即0a >，故1212e 2,e 2ax axx x ==，分离参数后得到()ln 2x a x=有两不等实根，构造()()ln 2x h x x=，得到其单调性，结合函数图象得到实数a 的取值范围；（2）由题意得到()()()()212133332121f x f xg x g x x xx x-->--，转化为对任意21x x >，有()()()()2211f x g x f x g x ->-，构造()()()22e ln ax r x f x g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导得到()0r x '≥在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，解法一：考虑a<0与0a >两种情况，结合同构思想，得到()ln m x x x =+，求出其单调性，得到e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，变形为2e 0ax x a --≥，构造()2e axl x x a =--，求导后得到其单调性，求出e a ≥；解法二：变形为212e ln axx a a a ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭，构造()()212e ,ln ax m x n x x a a a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，观察得到()m x 与()n x 互为反函数，从而证明出()m x x ≥恒成立即可，构造()2e ax l x x a=--，求导后得到其单调性，求出e a ≥；方法三：对()r x 二次求导，构造()22e 1axx a x a ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求导后分0a >与a<0两种情况，分析出0a >时，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一0x ，使得()00x ϕ=，求出()2e ln 20axr x a x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，转化为只需()00r x '≥即可，利用基本不等式证明出结论，且a<0时，不合题意，得到答案. 【小问1详解】()f x 在区间()12,x x 上的立方变化率为正，可得()f x 单调递增，即0a >.故若存在区间()12,x x ，使得()f x 的值域为()122,2x x ，即存在不同的12,x x ，使得1212e2,e 2ax ax x x ==，故方程e 2ax x =有两不等实根，化简得()ln 2x a x=有两不等实根.即y a =与()()ln 2x h x x=有两个不同的交点. 由()()21ln 2x h x x -'=，可知()h x 在e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增，在e ,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，且当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()0h x →，故要使y a =与()()ln 2x h x x=有两个不同的交点，e 202ea h ⎛⎫<<=⎪⎝⎭, 故实数a 的取值范围是20,e ⎛⎫⎪⎝⎭；【小问2详解】由对任意区间()()12,,x x f x 的立方变化率均大于()g x 的立方变化率，可得()()()()212133332121f x f x g x g x x x x x -->--，由21x x >可得，()()()()2121f x f x g x g x ->-，即对任意21x x >，有()()()()2211f x g x f x g x ->-可得()()()22e ln axr x f x g x x x x a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 即()2ln 20axr x ae x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，解法一：①当0a <时，当x →+∞时，()t x →-∞，显然不成立. ②当0a >时，()()e ln 2ln 20axr x a ax a +'=-+-≥在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即()e ln ln 22axa ax a ax ax ++≥+++在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，令()()ln ,e ln ln 22axm x x x a ax a ax ax =+++≥+++在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即()()e 2ax m a m ax ≥+.显然()m x 在()0,∞+上单调递增，得e 2ax a ax ≥+在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立.即2e 0ax x a --≥恒成立令()()2e ,e 1axax l x x l x a a-='=--，可得()l x 在ln ,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故ln ln 10a a l a a -⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，解得e a ≥ 解法二：①当0a <时，当x →+∞时，()t x →-∞，显然不成立. ②当0a >时，2e ln 20axa x a ⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭可转化为212e ln axx a a a ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭，令()()212e ,ln axm x n x x a a a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，可得()m x 与()n x 互为反函数，故()()m x n x ≥恒成立，只需()m x x ≥恒成立即可，即2e 0axx a--≥恒成立. 令()()2e ,e 1axax l x x l x a a -='=--，可得()l x 在ln ,a a ∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故ln ln 10a a l a a -⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，解得e a ≥. 解法三：令()22e 1axx a x a ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得()()2e 3axx a ax ϕ'=+ ①当0a >时，32a a -<-，此时()x ϕ在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由210a ϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，故在2,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在唯一0x ，使得()00x ϕ=，即0202e 1ax a x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即001e 2ax a a x a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，000221ln ln 2ln e ax x a ax a a ⎛⎫+==-- ⎪⎝⎭，令()()2e ln 2axt x r x a x a ⎛⎫==- ⎝'+-⎪⎭，则()21e 2axt x a x a'=-+，当02,x x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0t x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0t x '>，此时()r x '在02,x a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()2e ln 20axr x a x a ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭'在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，只需()00r x '≥即可. 而()000021e ln 22ln 22ax r x a x ax a a a x a ⎛⎫=-+-=++- ⎪⎛⎫⎝⎭+' ⎪⎝⎭ 00122ln 4242ln 02a x a a a a x a ⎛⎫=+++-≥-+≥ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，解得e a ≥经检验，当e a =时等号成立，故e a ≥②当0a <时，当x →+∞时，()t x →-∞，显然不成立.故e a ≥.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标是()0,1，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），0πθ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，1C 与2C 交于A ，B 两点．（1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它是什么曲线？（2）过点P 作垂直于1C 的直线l 交2C 于C ，D 两点，求11PA PB PC PD +的值．【答案】（1）244x y =+，抛物线；（2）18. 【解析】【分析】（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=，对2C 的极坐标方程进行化简即可求得其直角坐标方程，再根据方程判断曲线类型即可；（2）联立直线l 的参数方程与曲线2C 的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数的几何意义求得1PA PB=，再将θ替换为π2θ+，即可求得1PC PD ，相加即可求得最后结果.。

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。

高考数学(理科)模拟考试卷(附参考答案与解析)

高考数学（理科）模拟考试卷(附参考答案与解析)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若复数z满足iz=4+3i，则复数z在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}和B={(x,y)|y=x}，则A∩B中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 03. 已知向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=1，|b⃗⃗|=√ 3和|a⃗⃗−2b⃗⃗|=3，则a⃗⃗⋅(a⃗⃗+b⃗⃗)=( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如16=3+13.在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是( )A. 15B. 215C. 115D. 255. 的展开式中x3y3的系数为40，则实数a的值为( )A. 4B. 2C. 1D. 126. 设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率为√ 22，P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为2，则a=( )A. 1B. 2C. √ 2D. 47. 在△ABC中cosC=23，AC=4和BC=3则cos A2=( )A. √ 306B. √ 33C. 13D. 568. 如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB//ED和AB=ED=2FB=2，则三棱锥F−ACE 的体积为( )A. 23B. 43C. 2D. √ 39. 在正方体AC1中，点M为平面ABB1A1内的一动点，d1是点M到平面ADD1A1的距离，d2是点M到直线BC的距离，且d1=λd2(λ>0)(λ为常数)，则点M的轨迹不可能是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线10. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称.若f(1)=3，则f(2)+f(3)+⋯+f(50)=( )A. 3B. 2C. 0D. 5011. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，AB=AC=2√ 3和BC=6，则三棱锥D−ABC 体积的最大值为( )A. 3√ 3B. 6√ 3C. 12√ 3D. 18√ 312. 已知a∈R，设函数若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立则a 的取值范围为( )A. [0,e2] B. [0,2] C. [0,1] D. [0,e]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等差数列{a n}前9项的和为27，且a10=8，则a15=______ ．14.15. 在直线l：y=−2上取一点D作抛物线C：x2=4y的切线，切点分别为A，B，直线AB与圆E：x2+ y2−4x−2018=0交于M，N两点，当|MN|最小时，则D的横坐标是______ ．16. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，下述四个结论：①若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②若φ=π4，且f(x)在[0,2π]有且仅有4个零点，则f(x)在[0,2π]有且仅有2个极大值点； ③若φ=π5，且f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，则f(x)在(0,π10)上单调递增； ④若φ=π3，且f(x)在(0,π)有且仅有2个零点和3个极值点，则ω的范围是(136,83)．其中所有正确结论的编号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。

陕西省高三下学期(理科)数学模拟考试卷附带答案解析

陕西省高三下学期(理科)数学模拟考试卷附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部是（） A ．2B ．2iC ．2-D ．2i -2．已知集合{}2A =≤和{}1B x x =<，则A B =（） A ．(]1,4-B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[)1,43．已知i 为虚数单位，()2i 12i z -⋅=- 则复数z =（） A ．3i 5-B ．32i 55+C ．4i 5-D ．43i 554．已知函数1()sin (0)2f x x x ωωω=>在(0,)π上恰有三个零点，则正数ω的取值范围为（）A ．710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1013,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦5．若43x =和823y=，则2x y +的值为（）A ．2B ．1C ．8D ．36．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为37．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =与621S =，则9S =（）． A ．27B ．45C ．18D ．368．数列{an }是递增数列，则{an }的通项公式可以是下面的（） A ．1n a n=-B ．23n a n n =-C ．2nn a -=D ．()nn a n =-9．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是（） A ．6B ．4C ．5D ．110．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10 次着地时经过的路程是（）A ．100＋200(1－2－9) B ．100＋100(1－2－9) C ．200(1－2－9)D ．100(1－2－9)11．点M 、N 是正方体1111ABCD A B C D -的两棱1AA 与11A B 的中点，P 是正方形ABCD 的中心，则MN 与平面1PCB 的位置关系是（） A ．平行B ．相交C ．MN ⊆平面1PCBD ．以上三种情况都有可能12．双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的两个焦点为12,F F ，点)A在双曲线C 上，且满足120AF AF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（）AB C ．2D 13．设函数()f x 的定义域为R ，满足()3(1)f x f x =-，且当(0,1]x ∈时()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有54()25f x ≥-，则m 的最大值是（） A ．125 B ．73C ．94D ．52二、填空题14．已知两个非零向量a ，b 满足2a b a b ==-=，则a 在b 方向上的投影为______． 15．()3231x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为________．16．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是__．17．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线．它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为______．三、解答题18．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足)2222sin sin sin 2a b c a B C A +-=． (1)求角C 的值； (2)若2a =，b=5，且13A A DB =，求CD 的长度． 19．有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展．行动期间，公安交管部门加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯．该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中年龄低于40岁的占60%，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下列联表：(1)完成上面的列联表；(2)通过计算判断是否有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中90ACB ∠=︒，1AC BC ==且12AA =，D ，E 分别是棱1AA ，BC 的中点.(1)证明：//AE 平面1BC D ； (2)求二面角1A BD C --的余弦值.21．已知函数()2e xf x ax x =+-.(1)若0a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若0x ≠时方程()1f x =有3个不同的实数解，求实数a 的取值范围.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为,A B ，上顶点M 与左，右顶点连线,MA MB 的斜率乘积为14-，焦距为(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()0,4D 的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若90EOF ∠=︒，求直线l 的方程. 23．在平面直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l 与曲线C 的极坐标方程分别为cos 2ρθ=，4sin ρθ=点P 的极坐标为π4,4⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求直线1l 以及曲线C 的直角坐标方程；(2)在极坐标系中已知射线2π:02l θαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与1l ，C 的公共点分别为A ，B ，且16OA OB ⋅=+求POB的面积．24．已知函数()f x x =． (1)求不等式()21f x x <-的解集；(2)已知函数()()221g x f x x =+-的最小值为m ，且a 、b 、c 都是正数，2a b c m ++=，证明114a b b c+≥++．参考答案与解析1．C【分析】先求出34i -+的值，然后两边同除12i +，最后用复数的除法运算求解. 【详解】()12i 34i z ⋅+=-+()12i 5z ∴⋅+=，即()()()()512i 512i 512i 12i 12i 12i 5z --====-++- 所以z 的虚部是2-. 故选：C 2．B【分析】先求出集合A 、B ，再结合交集的定义求解即可.【详解】因为{}{}204A x x ==≤≤ {}{}111B x x x x =<=-<<所以[)0,1A B ⋂=．故选：B. 3．D【分析】根据复数的除法运算化简即可求解. 【详解】由()2i 12i z -⋅=-得()()()()12i 2i 12i 43i2i 2i 2i 5z -+--===--+ 故选：D 4．A【分析】由(0,)x π∈，可得(,)333x πππωπω-∈--，结合三角函数的性质可得233πππωπ<-≤，从而得解.【详解】由()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭由(0,)x π∈，可得(,)333x πππωπω-∈--若函数()f x 恰有3个零点，只需要233πππωπ<-≤，得71033ω<≤. 故选：A 5．D【分析】将43x =，823y=转化为对数的形式求出,x y ，然后代入2x y +化简求值即可【详解】因为43x =，所以421log 3log 32x ==；又823y=，所以28log 3y =所以2222188log 3log log 3log 22332x y +++⨯==32228log 3log 8log 233⎛⎫=⨯=== ⎪⎝⎭故选：D. 6．D【详解】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合. 考点：众数、中位数、平均数、方差 7．B故选：B ． 8．A【分析】根据数列通项公式的性质，由数列{an }是递增数列，根据各个函数的单调性，逐个选项进行判断即可.【详解】对于A ，因为1y x=-为单调递增函数，所以，1n a n =-为递增数列，A 正确；对于B ，因为122a a =-=，所以不是递增数列，B 错误对于C ，因为2xy -=为递减函数，所以，2n n a -=为递减数列，C 错误；对于D ，()nn a n =-为摆动数列，D 错误. 故选：A 9．B【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可.【详解】圆的圆心坐标()0,0，到直线34250x y +-=的距离是2555＝所以圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是514-= 故选：B ． 10．A【分析】表示出第10 次着地时经过的路程，利用等比数列的求和公式化简，即得解【详解】由题意，第10 次着地时经过的路程是 91291002(50251002)1002100(222)----+⨯+++⨯=+⨯⨯+++19912(12)100200100200(12)12----⨯-=+⨯=+-- 故选：A 11．A【分析】推导出MN ∥AB 1从而MN 与平面PCB 1的位置关系是平行．【详解】∵点M ，N 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中A 1A ，A 1B 1的中点，∴MN ∥AB 1 ∵P 是正方形ABCD 的中心，延展平面PCB 1即为平面AB 1C 又AB 1 ⊂平面PB 1C ，MN ⊄平面PB 1C 所以MN ∥平面PB 1C ．∴MN 与平面PCB 1的位置关系是平行．故选：A ．【点睛】本题考查线面关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查线面平行的判定定理，是中档题．12．A【分析】设()()12,0,,0Fc cF-，进而根据向量垂直的坐标表示得2c=，再根据点)A在双曲线C上待定系数求解即可.【详解】解：由题，设()()12,0,,0Fc cF-，因为)A所以()()1213,1,AF A cc F=----=-因为12AF AF⋅=所以212310AF AF c=⋅-+=，解得2c=因为22222311a bb a c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得222a b==所以，双曲线C的离心率为cea===故选：A13．A【详解】解：因为()3(1)f x f x=-，所以()()13f x f x+=当(]0,1x∈时2()f x x x=-的最小值为14-；当(]1,0x∈-时(]10,1x+∈2(1)(1)(1)f x x x+=+-+由3()(1)f x f x =+知 1()(1)3f x f x =+所以此时21()[(1)(1)]3f x x x =+-+，其最小值为112-；同理，当(1x ∈，2]时2()3[(1)(1)]f x x x =---，其最小值为34-；当(2x ∈，3]时2()9[(2)(2)]f x x x =---的最小值为94-；作出如简图因为95434254-<-<-要使54()25f x -则有2549[(2)(2)]25x x ----．解得125x或135x 要使对任意(,]x m ∈-∞，都有54()25f x - 则实数m 的取值范围是12,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故选：A ．14．1【分析】把已知式2a b -=平方，转化为数量积的运算，根据数量积定义可得投影．【详解】解：由2a b -=，得2224a a b b -⋅+=又2a b ==，∴44222cos ,4a b +-⨯⨯<>=，即1cos ,2a b <>=∴a 在b 方向上的投影为1cos ,212a ab <>=⨯=．故答案为：1． 15．3-【解析】利用二项展开式通项公式直接求解. 【详解】()()()3332231311x x x x x⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为03121332311363C C x x⋅⋅-⋅⋅⋅=-=-故答案为：3-.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 16．104ω<≤【详解】试题分析：本题已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的单调区间，求参数ω的取值范围，难度中等．由22242k x k ππππωπ-≤+≤+，Z k ∈得32244k x k πππωπ-≤≤+，又函数()f x 在(,)2ππ上单调递增，所以3242{24k k ππωπππωπ-≤≤+，即342{124k k ωω≥-≤+，注意到22T π≥，即02ω<≤，所以取0k =，得104ω<≤．考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．【方法点晴】已知函数()sin()4f x x πω=+为单调递增函数，可得变量x 的取值范围，其必包含区间(,)2ππ，从而可得参数ω的取值范围，本题还需挖掘参数ω的隐含范围，即函数()f x 在(,)2ππ上单调递增，可知T π≥，因此02ω<≤，综合题设所有条件，便可得到参数ω的精确范围．17【分析】先判断接下来扇形的半径，再求其围成圆锥的底面半径和高，最后代入求体积即可.【详解】接下来的一个扇形半径为358R =+=，故围成的圆锥母线长为8l =因为扇形的圆心角为90°，所以其弧长为π84π2L R α==⋅=，也即底面圆周长2π4πC r ==所以底面圆半径为2r =，则圆锥的高为h =所以圆锥的体积为21π3V r h ==空白公式+ 18．(1)π3C =【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理即可得tan C =C 的值；（2）根据向量共线定理可得1233CD CB CA =+，利用向量的模长运算即可得CD 的长度．【详解】（1）解：由正弦定理sin sin a b A B =得：sin sin B b A a =，因为)2222sin sin sin 2a b c a B C A +-=所以)2222sin 2a b c a b C a +-=，即)222sin 2a b c ab C +-=又由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，则)222sin 2a b c C C ab+-==化简得tan C =()0,πC ∈，所以π3C =. （2）解：由13A A D B =可得1233CD CB CA =+ 所以222212142||233999CD CB CA a b CB CA ⎛⎫=+=++⨯⋅ ⎪⎝⎭41002π124225cos 99939=++⨯⨯⨯⨯=∴231||3CD =CD . 19．(1)填表见解析(2)没有【分析】（1）根据题意求出年龄低于40岁的人数，再结合列联表中数据即可完成列联表；（2）求出2K，再对照临界值表，即可得出结论.【详解】（1）年龄低于40岁的有100060%600⨯=人完成的列联表如下：（2）221000(6054060340)1255.6826.63560040088012022K⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯∴没有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关．20．(1)证明见解析(2)设平面1DBC 的法向量为(),,n x y z =，则10,0,n BD n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y z y z -+=⎧⎨-+=⎩取1z =，则()1,2,1n =. 取AB 的中点G ，连接CG .由1AC BC ==得CG AB ⊥.在直三棱柱111ABC A B C 中1AA ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥CG又1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，所以CG ⊥平面11ABB A .所以11,,022CG ⎛⎫= ⎪⎝⎭为平面11ABB A 的一个法向量 ||cos ,|126|||CG n CG n CG n ⋅〈+⨯〉===易得二面角1A BD C --为钝角，故二面角1A BD C --的余弦值为. 21．(1)单调递增区间为(),0∞-，单调递减区间为()0,∞+(2)2e 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系即可求解；（2）求出导函数，讨论单调性，求出极值即可求解.【详解】（1）若0a =，则()e x f x x =-，∴()1e x f x '=-.令0fx ，得0x <；令()0f x '<，得0x >.∴函数()f x 的单调递增区间为(),0∞-，单调递减区间为()0,∞+.（2）当0x ≠时方程()1f x =等价于2e 1x x a x-+= 令()2e 1x x g x x -+=，则()()()32e 1x x g x x-'+=. 当()0g x '>时则0x <或2x >，()g x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增；当()0g x '<，则02x <<，()g x 在()0,2上单调递减.当x →-∞时()0g x →；当0x →时()g x ∞→+；当2x =时()2e 1204g -=>；当x →+∞时()g x ∞→+. 综上，实数a 的取值范围为2e 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 22．(1)2214x y +=(2)4y =+【分析】（1）根据题意列出关于,a b 的方程，求得其值，即得答案.（2）设直线l 方程，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，结合90EOF ∠=︒可得12120x x y y +=，化简求值，求得k 的值，即得答案.【详解】（1）由题意知()0,M b (,0),(,0)A a B a -2c =c 22001004MA MBb b b k k a a a --⋅=⋅=-=-+- ∴2214b a = ∵223a b =+ ∴24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由已知过点()0,4D 满足题意的直线l 的斜率存在，设:4l y kx =+ 联立22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()221432600k x kx +++=()()222322401464240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >. 设()11,E x y ，()22,F x y ，则1223214k x x k +=-+ 1226014x x k =+∵90EOF ∠=︒，∴0OE OF ⋅=，即12120x x y y +=∴()()2121214160k x x k x x ++++=，∴()222215132401414k k k k ⨯+-+=++解得k =2154k >∴直线l 的方程为4y =+.23．(1)2x = 2240x y y +-=【分析】（1）利用极坐标方程和直角坐标方程的转化关系即可；（2）利用极坐标方程的几何意义和三角形的面积公式即可.【详解】（1）因为cos 2ρθ=，所以2x =即直线1l 的直角坐标方程为2x =．由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=代入公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得224x y y += 所以曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=．（2）设点A ，B 的极坐标分别为()1,ρα和()2,ρα 由题意可得12cos ρα=与24sin ρα=．则128tan 16OA OB ρρα⋅===+tan 2α=因为π02α<<，所以sin α=cos α=πππ1sin sin cos cos sin 4442ααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭则24sin ρα=因为点P 的极坐标为π4,4⎛⎫ ⎪⎝⎭故1π4sin 24POB S α⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭△ 24．(1)()1,+∞(2)证明见解析【分析】（1）分0x ≥、0x <两种情况解不等式()21f x x <-，综合可得出原不等式的解集；（2）由绝对值三角不等式可得出1m =，由此可得出()()1a b b c +++=，将代数式11+++a b b c 与()()a b b c +++相乘，展开后利用基本不等式可证得结论成立.【详解】（1）解：由()21f x x <-可得21x x <-当0x ≥时则有21x x <-，解得1x >，此时1x >；当0x <时则有21x x -<-，解得13x >，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()21f x x <-的解集为()1,+∞.（2）解：由绝对值三角不等式可得()()2212211g x x x x x =+-≥--=当且仅当021x ≤≤时即当102x ≤≤时等号成立，故1m = 所以()()21a b b c a b c +++=++=又因为a 、b 、c 均为正数所以，()()11112a b b c a b b c a b b c a b b c b c a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭24≥+= 当且仅当12a b b c +=+=时等号成立，故114a b b c+≥++.。

高三模拟数学试卷理科答案

1. 答案：D解析：根据三角函数的性质，sin(π - α) = sin α，cos(π - α) = -cos α，tan(π - α) = -tan α。

因此，选项D正确。

2. 答案：A解析：函数f(x) = |x - 2|在x = 2处取得最小值0，故A正确。

3. 答案：B解析：根据指数函数的性质，若a > 1，则a^x在x递增；若0 < a < 1，则a^x在x递减。

故B正确。

4. 答案：C解析：根据数列的性质，数列{an}是等差数列，且an > 0。

则an + 1 = an +d > 0，故C正确。

5. 答案：A解析：根据立体几何的性质，若AB垂直于平面PQ，则AB垂直于PQ上的任意一条直线。

故A正确。

二、填空题6. 答案：π/2解析：由题意知，△ABC为直角三角形，∠BAC = π/2，故∠ABC = π/2 -∠ACB = π/2。

7. 答案：-1/2解析：根据等比数列的性质，an = a1 r^(n-1)，则a5 = a1 r^4，a6 = a1 r^5。

由题意知a5/a6 = -1/2，代入an的表达式得r = -1/2。

8. 答案：2解析：由题意知，直线l的方程为2x - 3y + 4 = 0。

设点P的坐标为(x, y)，则P到直线l的距离d = |2x - 3y + 4| / √(2^2 + 3^2) = |2x - 3y + 4| / 5。

由题意知d = 2，代入得|2x - 3y + 4| = 10。

解得x = 3，y = 2。

9. 答案：（1）f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2（2）f'(x) = 6x^2 - 6x（3）当x = 0时，f(x)取得极小值f(0) = 2；当x = 1时，f(x)取得极大值f(1) = 1。

10. 答案：（1）设圆心为O，则圆O的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。

黑龙江省高三模拟考试数学(理)试卷附答案解析

黑龙江省高三模拟考试数学（理）试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知复数2z ai =-+(,a R i ∈是虚数单位)对应的点在复平面内第二象限，且6z z ⋅=，则=a AB．C ．2D ．2-2．全集[]1,10U =，集合{|(1)(8)0}A x x x =--≤和[]2,10B =，则()UA B =（）A ．()2,8B ．[]2,8C ．[][]1,28,10⋃D ．[)(]1,28,10⋃3．平面直角坐标系中角α的终边经过点()3,4P -，则2cos +π=2α⎛⎫ ⎪⎝⎭（）A ．110B ．15C ．45D ．9104．二项式1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（） A ．4B ．6C ．8D ．105．下列命题正确的个数是（）①)0a b ab +≥>②若0a b >>，0c d << 则ac bd <；③不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >； ④若i a 、i b 和()1,2i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a xb xc ++>解集相同”的充分不必要条件． A ．1B ．2C ．3D ．46．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法错误的是（）A ．2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2021年我国数字出版业营收超过2017年我国数字出版业营收的2倍C ．2021年我国新闻出版业营收超过2017年我国新闻出版业营收的3倍D ．2021年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一7．若函数()23f x x ax a =-++在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =则A ．112n n n S S ++-=B ．2n n a =C ．21n n S =-D ．121n n S -=-9．已知平面l αβ=，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是（） A ．若//m β，则//m l B ．若//m l ，则//m β C ．若m β⊥，则m l ⊥D ．若m l ⊥，则m β⊥10．古希腊阿基米德被称为“数学之神”.在他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰好等于圆柱的高，则球的表面积与圆柱的表面积的比值为（） A ．12B ．23C ．34D ．4511．已知向量,a b 满足1,a a b =⊥，则向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为（） A ．a B ．1 C ．-1 D ．a -12．已知函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根，则实数a 的取值范围为（） A ．(0,1]B ．()[),11,-∞-⋃+∞C ．(,1){1}-∞-D ．(){}1,01-二、填空题13．已知(2,1),(,1)a b λ=-=-，若a 与b 夹角为钝角，则实数λ取值范围是___________.14．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(2,4)内的概率为___________.（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，(22)0.9545P μσξμσ-<<+=） 15．过抛物线2:4C x y =的焦点Fl ，交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 处的两条切线交于点M ，则MF =______．三、双空题16．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深y 与时间x 之间的关系，该函数的表达式为__________________________．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长为_____________小时（保留整数）．四、解答题17．（1）已知数列{}n a 的前n 项和Sn =n 2+n ，求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的首项为a 1=1，递推公式为an=1+11n a - (2)n ≥，写出这个数列的前5项 18．如图，已知四棱锥V ABCD -的底面是矩形，VD ⊥平面,222,,,ABCD AB AD VD E F G ===分别是棱,,AB VC CD 的中点．(1)求证：EF ∥平面VAD ；(2)求平面AVE 与平面VEG 夹角的大小．19．甲乙丙三人进行竞技类比赛，每局比赛三人同时参加，有且只有一个人获胜，约定有人胜两局（不必连胜）则比赛结束，此人直接赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为14，丙获胜的概率为14，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）． 20．点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. （1）求点P 的轨迹方程；（2）记点P 的轨迹为C ，过F 的直线l 与曲线C 交于点,M N ，与抛物线24y x =交于点,A B ，设(1,0)D -，记DMN 与DAB 面积分别是12,S S ，求21S S 的取值范围. 21．已知函数()2e ex xf x =和()221g x x x =-++. (1)求函数()f x 的单调区间和最值；(2)求证：当1x <时()()f x g x <；当1x >时()()f x g x >； (3)若存在12x x <，使得()()12f x f x =，证明122x x +>.22．已知双曲线C 的中心在原点，(1,0)D. (1)求双曲线C 的方程；(2)若过点(3,0)-任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 都不同于点D ），求证:DA DB ⋅为定值. 23．已知函数()2f x x =-.（1）解不等式()()242f x f x -+<；（2）若()()2133f x f x m m -++≥+对所有的x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案与解析1．A【详解】试题分析：2(2)(2)46z z ai ai a ⋅=-+--=+= 和 22a = ，z 对应点在第二象限，则0a >，所以a =A ．考点：复数的运算． 2．D【分析】解不等式确定集合A ，然后由集合的运算法则计算．【详解】{|(1)(8)0}A x x x =--≤[1,8]=，[]2,10B = ∴[]2,8A B ⋂=. ∵[]1,10U =，∴()[)(]1,28,10UA B ⋂=⋃.故选：D ． 3．B【分析】首先根据三角函数定义得到3cos 5α=-，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可.【详解】角α的终边经过点()3,4P -，5r == 所以3cos 5α=-.()2311+cos +2π1+cos 15cos +π====22225-ααα⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 4．C【分析】根据给定条件求出幂指数n 的值，再求出二项展开式的通项，利用给定关系式即可计算得解. 【详解】因为1()(0,0)nax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共有11项，即10n =于是得101ax bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为1010102110101C ()()C r r r rr r r r a T ax x bx b ---+==⋅依题意得10210323101023C 3C a a b b--⋅=⋅⋅，化简得8ab =所以ab 的值为8. 故选：C 5．B【分析】利用基本不等式判断①，利用不等式的性质判断②，根据充分条件、必要条件的定义判断③④；【详解】解：对于①，当0a >，0b >时a b +≥当且仅当a b =时取等号，若1a =-、1b 满足0ab >，显然a b +<对于②，若0a b >>，0c d <<则0c d ->->，故ac bd ->-，故ac bd <，故②正确；对于③，使不等式110x +>，整理得10x x +>，故0x >或1x <-，所以不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x >，故③正确；对于④，不等式210x x ++>与220x x ++>的解集都为R ，但是1112≠ 若111111==---，则不等式210x x ++>与210x x --->的解集不相同故若i a 、i b 和(1,2)i c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是 “不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．故选：B ． 6．C【分析】根据统计图逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，由统计图可知2017年至2021年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加，所以A 正确；对于B ，由统计图可得2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，2017年我国数字出版业营收为1935.5亿元，5720.921935.5>⨯ 所以B 正确；对于C ，由统计图可得2021年我国新闻出版业营收为23595.8亿元，2017年我国新闻出版业营收为16635.3亿元，因为23595.8316635.3<⨯，所以C 错误；对于D ，由统计图可得，2021年我国数字出版业营收为5720.9亿元，新闻出版业营收23595.8亿元，而123595.87865.35720.93⨯≈>，所以D 正确故选：C 7．D【分析】结合二次函数的性质求解函数()f x 的单减区间为3[,)2a +∞，即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，列出不等关系求解即可.【详解】由题意，函数()f x 是开口向下的二次函数，对称轴为32ax = 故函数()f x 的单减区间为3[,)2a+∞ 即[]31,2,2a ∞⎡⎫⊆+⎪⎢⎣⎭，故312a ≤解得：23a ≤则a 的取值范围是2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D 8．C【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯= ()1122112n n n S ⨯-==--.故选C.【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .9．D【分析】A 选项.由线面平行的性质可判断；B 选项.由线面平行的判定可判断；C 选项.由线面垂直的性质可判断D 选项.由线面垂直的判定定理可判断. 【详解】A 选项：//m β,由l αβ=，又m α⊂，则由线面平行的性质可得//m l ，故A 正确．B 选项：//m l ，由l αβ=，m β⊄，l β⊂由线面平行的判定可得//m β，故B 正确． C 选项：由l αβ=，则l β⊂，又m β⊥所以m l ⊥，故C 正确．D 选项：因为一条直线垂直于平面内的一条直线不能推出直线垂直于平面，故D 错误．故选：D 10．B【分析】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R ，根据球和圆柱的表面积公式，即可求出比值.【详解】设球半径为R ，则圆柱底面半径为R ，圆柱的高为2R 则24S R π=球2222226S S S R R R R πππ=+=⋅+⨯=圆柱侧底所以23S S =球圆柱故选：B. 11．A【分析】根据给定条件，求出(2)a b a -⋅，再借助投影向量的意义计算作答.【详解】因1,a a b =⊥，则2(2)21a b a a b a -⋅=-⋅=，令向量2a b -与向量a 的夹角为θ 于是得(2)|2|cos ||||||a ab a a a b a a a a θ-⋅-⋅=⋅= 所以向量2a b -在向量a 方向上的投影向量为a . 故选：A 12．A【分析】画出函数()f x 的图象，使用换元法，令()t f x =，并构造函数()22=-+-g t t at a a ，通过t 的范围，可得结果.【详解】当0x ≥时()1xf x xe -=，则()()'11-=-x f x x e令()'0f x >，则01x ≤<令()'0f x <，则1x >所以函数()f x 在[)0,1递增，在()1,+∞递减则()()min 11==f x f ，且当0x ≥时()0f x > 函数()()()()1ln ,0,0x x x f x xe x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩图象如图关于x 的方程22()()0f x af x a a -+-=有四个不等实根令()t f x = ()22=-+-g t t at a a则①0=t ，t=1所以()()22001110g a a a g a a a ⎧=-=⎪⇒=⎨=-+-=⎪⎩②()0,1t ∈ ()(),01,∈-∞⋃+∞t 由()()2110=-≥g a则函数()g t 一个根在()0,1，另外一个根在(),0∞-中所以()20001=-<⇒<<g a a a综上所述：(0,1]a ∈ 故选：A【点睛】本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题. 13．1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据a 与b 夹角为钝角可得(2,1)(,1)0a b λ⋅=-⋅-<，求得λ的范围，再去掉向量反向时的值即可得解.【详解】根据题意可得：(2,1)(,1)210a b λλ⋅=-⋅-=--< 可得12λ>-当2λ=，a b =-时，a 与b 方向相反夹角为180，不符题意所以12λ>-且2λ≠故答案为1,2(2,)2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.14．0.1359【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.【详解】因长度误差ξ（单位：毫米）服从正态分布(0,4)N ，则0,2μσ== 于是得(22)0.6827P ξ-<<= (44)0.9545P ξ-<<= 所以1(24)(0.95450.6827)0.13592P ξ<<=-=.故答案为：0.1359 15．4【分析】先求出直线l ，设1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再利用导数的几何意求出切线的斜率，从而可求出在A ，B 处的切线方程，再求出点M 的坐标，进而可求出MF【详解】抛物线2:4C x y =的焦点为(0,1)F ，则直线l 为1y =+，设1122(,),(,)A x y B x y由214y x y⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得240x --=则12124x x x x +==- 由214y x =，得12y x '=，则过点11(,)A x y 的切线的斜率为112x所以过点11(,)A x y 的切线方程为21111()42x y x x x -=-，即211124x y x x =-同理可得过22(,)B x y 的切线方程222124x y x x =-两切线方程联立，得221212112424x x x x x x -=-，得121()2x x x =+= 所以2111212111()12244x y x x x x x =⋅+-==-所以点M 的坐标为)1-所以4MF =故答案为：416． () 2.5sin()5372f x x π=+ 4【分析】第一空根据表中数据的周期性规律判断为正弦型函数，先由周期计算出ω，再由最值计算出A 和b ，最后由最大值处的数据计算出ϕ，即可得到函数的表达式；第二空先判断出水深的最小值，再由前面求得的函数列不等式，求出解集的宽度即为安全停留时长.【详解】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.设该函数表达式为()sin()f x A x b ωϕ=++由表中数据可知，一个周期为12小时24分，即744分钟所以2372T ππω== max min ()()7.5 2.5 2.522f x f x A --=== max ()7.5 2.55b f x A =-=-= (186) 2.5sin()57.52f πϕ=++= 0ϕ∴= 则该函数的表达式为：() 2.5sin()5372f x x π=+.由题可知，水深为4 2.25 6.25+=米以上时安全令() 6.25f x ≥解得62310x ≤≤即安全时间为31062248-=分钟，约4小时. 故答案为：() 2.5sin()5372f x x π=+；4.17．（1）=2n a n ；（2）1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 【分析】（1）Sn =n 2+n ，21(2)n S n n n -=-≥ 两式相减即得解；（2）利用递推公式直接求解.【详解】解：（1）由题得Sn =n 2+n 221(1)1(2)n S n n n n n -=-+-=-≥所以两式相减得=2n a n ，又11=2a S =所以=2n a n 适合1n =.所以数列{}n a 的通项公式为=2n a n .（2）由题得1=1a ，2a =1+11=2a 3451325381,1,1223355a a a =+==+==+=. 所以数列的前5项为1=1a ，2a =2 345358,,235a a a ===. 18．(1)证明见详解； (2)π3【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面VAD 的法向量，然后EF 与法向量垂直可证；（2）分别求出两个平面的法向量再根据平面AVE 与平面VEG 夹角公式可求得.【详解】（1）如图建系()()()()()()1000,100,0,0,1110,020,010,012D A V E C G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，， ()()100,001DA DV ∴==，，，，，设平面VAD 的法向量为()=,,,n a b c所以0,0DA n a DV n c ⎧⋅==⎪∴⎨⋅==⎪⎩不妨取()=0,1,0,n 又111,0,,100100,22EF EF n ⎛⎫=-∴⋅=-⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又EF ⊄平面VAD ，EF ∴∥平面VAD ；（2）由（1）知：()()()()0,1,0,1,0,1,1,0,0,0,1,1AE AV GE GV ==-==-设平面AVE 的法向量为()1=,,n x y z ，平面VEG 的法向量()2=,,n p q r所以110,0AE n y AV n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩不妨取()1=1,0,1;n同理220,0GE n p GV n q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取()2=0,1,1;n 设平面AVE 与平面VEG 夹角为π,0,2θθ≤≤所以121πcos cos ,,.23n n θθ===∴= 19．(1)12(2)分布列见解析，()4516E X =【分析】（1）根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.（2）依题意X 的可能取值为2、3、4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.（1）解：用A 表示“甲在3局以内（含3局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， k C 表示“第k 局丙获胜” 则()()()()12123213P A P A A P A A A P A A A =++11111111111222222222⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）解：依题意X 的可能取值为2、3、4所以()()()()121212111111322244448P X P A A P B B P C C ==++=⨯+⨯+⨯= ()()()()()()()1231231231231231234P X P A B C P AC B P B A C P BC A P C A B P C B A ==+++++1113624416=⨯⨯⨯= ()()()7312416P X P X P X ==-=-== 所以X 的分布列为所以()373452348161616E X =⨯+⨯+⨯=20．（1）22143x y +=（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】（112=，化简即可求出；（2）当直线l 的斜率存在时将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于k 的关系式，求最值求值域即可，之后将直线l 的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.【详解】（112= 化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=. （2）依题意21AB S S MN= ①当l 不垂直于x 轴时设l 的方程是()()10y k x k =-≠联立()21 4y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222240k x k x k -++= 设()11,A x y ， ()22,B x y 则212224k x x k ++= ()2122412k AB x x k +=++=；联立()221 34120y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得：()22223484120k x k x k +-+-= 设()33,M x y ，()44,N x y 则2342834k x x k +=+ 234241234k x x k -=+()2212134k MN k +==+ 则2221234414,333AB S k S MN k k +⎛⎫===+∈+∞ ⎪⎝⎭②当l 垂直于x 轴时易知AB 4= 223b MN a== 此时1243AB S S MN ==综上，21S S 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.21．(1)单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，最大值为2，无最小值(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得答案；（2）设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+--，求导，根据导数的正负，判断()h x 的单调性，结合()10h =，即可证明结论；（3）作出函数()2e e x x f x =，()221g x x x =-++的大致图象，数形结合，利用函数的图象，根据函数值判断根的情况，从而证明结论.(1)∵()()()()()22e e 2e e 2e 1e e x x x x x x x f x ''--'== ∴当1x <时0f x ，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞；当1x >时()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞.∴函数()f x 的最大值为()12f =，无最小值.(2)证明：设()()()22e 21ex x h x f x g x x x =-=+-- 则()()()()21e e 2e 122e e x x xx x h x x ---'=+-= ∴()0h x '≥，当且仅当1x =时等号成立∴函数()h x 单调递增，又()10h =∴当1x <时()0h x <，即()()f x g x <当1x >时()0h x >，即()()f x g x >.(3)证明：结合（1）（2）作出函数()2e e xx f x =，()221g x x x =-++的大致图象：当x →-∞时()f x →-∞；当x →+∞时()0f x →令()()12f x f x m ==，则()012m f <<=.又∵二次函数()g x 的图象开口向下，最大值为()12g =∴存在34x x <，使得()()()()3412g x g x f x f x ===.结合（2）的结论以及图象知3142x x x x <<<∵函数()g x 的图象关于直线1x =对称∴342x x +=∴12342x x x x +>+=【点睛】本题综合考查了导数的应用，考查导数与函数的单调性以及最值得关系，以及利用导数证明相关不等式问题，解答时要注意构造函数，从而利用导数判断新函数的性质，进而证明不等式.22．(1)2212y x -= (2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的性质及其点到直线的距离公式即可求解.（2）根据已知条件设出直线AB 方程及A ，B 的坐标，将直线与双曲线方程联立，得出关于y 的一元二次方程，根据韦达定理得出12,y y 的关系，再根据向量的数量积的坐标运算即可求解.（1）因双曲线C 的中心在原点，一个顶点是(1,0)D ，则设双曲线C 的方程为：2221(0)y x b b -=>，则c()双曲线C 的渐近线为y bx ±=焦点()到渐近线y bx ±=的距离为d =b =所以双曲线C 的方程为2212y x -=. （2）显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 方程：3x ty =-由22322x ty x y =-⎧⎨-=⎩消去x 得：22(21)12160t y ty --+= 当2210t -≠时222(12)64(21)16(4)0t t t ∆=--=+>恒成立设1122(,),(,)A x y B x y ，则所以1212221216,2121t y y y y t t +==-- 1122(1,),(1,)DA x y DB x y =-=-因此，12121212(1)(1)(4)(4)DA DB x x y y ty ty y y ⋅=--+=--+21212(1)4()16t y y t y y =+-++222216(1)481602121t t t t +=-+=-- 所以DA DB ⋅为定值0.23．（1）()2,2,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭；（2）[]4,1-. 【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式()()242f x f x -+<的解集；（2）由绝对值不等式的意义求出()()13f x f x -++的最小值，得出关于m 的不等式，求解即可．【详解】解：（1）由题知不等式()(24)2f x f x -+< 即2222x x --+<等价于12222x x x <-⎧⎨-+++<⎩或122222x x x -≤≤⎧⎨-+--<⎩ 或22222x x x >⎧⎨---<⎩；解得<2x -或223x -<≤或2x >，即<2x -或23x >-（2）由题知(1)(3)31(3)(1)4f x f x x x x x -++=-+--+≥+= (1)(3)f x f x ∴-++的最小值为4234m m ∴+≤解得41m -≤≤∴实数m 的取值范围为[4-，1]．。

2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

高三理科数学模拟试卷答案

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上单调递增，则f(x)的值域为（）A. [-1, 5]B. [2, 7]C. [5, 9]D. [1, 7]答案：D解析：由于f(x) = 2x - 3是一次函数，其斜率为正，因此在整个定义域上单调递增。

在区间[1, 4]上，f(1) = -1，f(4) = 5，所以值域为[1, 5]。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，公差d = 2，则S10为（）A. 110B. 120C. 130D. 140答案：B解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (2a1 + (n - 1)d)。

代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得S10 = 10/2 (23 + (10 - 1)2) = 120。

3. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 双曲线的一支答案：A解析：|z - 1| = |z + 1|表示复数z到点(1, 0)和点(-1, 0)的距离相等，因此z在复平面上位于这两点连线的垂直平分线上，即直线x = 0。

4. 若函数f(x) = x^3 - 3x在区间[0, 2]上单调递减，则f(x)的极值点为（）A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. 无极值点答案：B解析：f'(x) = 3x^2 - 3。

令f'(x) = 0，得x = 1。

由于f''(x) = 6x，f''(1) = 6 > 0，所以x = 1是f(x)的极小值点。

5. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1/4C. 1/3D. 3/4答案：A解析：向量a与向量b的夹角余弦值为cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)。

甘肃省高三模拟考试(理科)数学试卷(附答案解析)

甘肃省高三模拟考试(理科)数学试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z 满足()123z i i -=-，则复数z 的虚部为（）A ．i -B ．iC ．1-D ．12．已知集合{}{02},Z 0A xx B x x =<≤=∈≥∣∣ ，则A B ⋂子集的个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．83．已知点1F 、2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 左支上一点，若直线1PF 的斜率为2，且12PF F △为直角三角形，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 BC D 4．一次投篮练习后体育老师统计了第一小组10个同学的命中次数作为样本，计算出他们的平均命中次数为6，方差为3，后来这个小组又增加了一个同学，投篮命中次数为6，那么这个小组11个同学投篮命中次数组成的新样本的方差是（）A ．3B ．3011C ．2011D ．11105．在等比数列{}n a 中623a =，公比q =10a =（）A ．6B ．C ．12D ．6．,,,,A B C DE 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边，（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A ．120种B ．90种C ．60种D ．24种7．已知命题p ：周期函数都有最小正周期；命题q ：若lg lg 0x y +=，则222x y +≥，则下列为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝8．下图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，则在图中圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为A ．3﹕2,1﹕1B ．2﹕3,1﹕1C ．3﹕2,3﹕2D ．2﹕3,3﹕29．当点P 在圆221x y +=上变动时，则它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A ．()2234x y ++=B ．()2231x y -+=C ．()222341x y -+=D ．()222341x y ++= 10．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（）A ．()()0.30.4310.40.3log 4f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B ．()()0.40.331log 0.30.44f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ C ．()()0.30.431log 0.40.34f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D ．()()0.40.3310.30.4log 4f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 11．已知0.330.22a =，0.220.33b =与0.33log 0.22c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b <的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =A B C D二、填空题13．已知10m xdx =⎰，向量a →，b →的夹角为120°，且||4a m →=和||1b →=，若(3)()a b a b λ→→→→+⊥+，则λ=______.14．已知函数()24log 1,1()4,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若(1)f =a ，则()f a =______． 15．在数列{}n a 中114a =- ，且111n n a a -=- (1)n >，则2017a 的值是________. 16．已知球O 是正四面体SABC 的外接球，E 为线段BC 的中点，过点E 的平面α与球O 形成的截面面积的最小值为6π，则正四面体SABC 的体积为___________.三、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知()()sin sin a B C b c B +=+，D 为边BC 的中点．(1)证明：2A B =(2)若π3A =且AD =ABC 的周长l ．18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？ (注：1221··,?·n i ii n i i x y n x y b a y b x xn x ∧∧==-==--∑∑) 19．如下图，在三棱锥A BCD -中,O E 分别是,BD BC 的中点，2CA CB CD BD ====且AB AD ==(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；(3)求点E 到平面ACD 的距离.20．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，且经过点()2,0-.（1）求椭圆的方程；（2）直线10x my --=交椭圆于不同的两点A ，B ，是否存在一定点(),0T t 满足AT BT ⋅为定值？若存在，求出定点T ；若不存在，请说明理由.21．已知函数()ln e 2f x x x =-+．(1)求()f x 的最大值；(2)若12a ≥-，证明：e 1ln 20x x x ax --+≥ 22．在直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为22cos (sin 2x y ααα⎧=⎨=⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)已知射线1π3θ=和2π6θ=分别与C 交于点,A B （异于点O ），C 与极轴交于点M （异于点O ），求四边形OABM 的面积．23．求证：（1（2）)223a b ab a b ++≥+．参考答案与解析1．D【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部.【详解】因为()123z i i -=- ()()()()312335*********i i i i z i i i i -+-++∴====+--+ 因此，复数z 的虚部为1.故选：D2．C【分析】根据集合的交集运算求得A B ⋂，求出其子集，即可求得答案【详解】由集合{}{02},Z 0A xx B x x =<≤=∈≥∣∣ 则{1,2}A B =，故A B ⋂的子集为,{1,},{2,}{1,2}∅，共4个故选：C3．B 【分析】根据双曲线的定义和勾股定理利用2221212PF PF F F +=即可得离心率.【详解】∵直线1PF 的斜率为2，12PF F △为直角三角形 ∴212PF PF =，又212PF PF a -= ∴24PF a = 12PF a =. ∵2221212PF PF F F +=，即225a c =∴e =故选：B.4．B【分析】根据样本的数字特征分别求出原样本和新样本的平均数，再利用原样本方差计算新样本方差即可求解.【详解】解：由题意得：设10个同学的命中次数分别为12910,,,,x x x x . 则有12910610x x x x ++++= 得1291060x x x x ++++= 于是新样本的平均数1239106611x x x x x x ++++++== 新样本的方差为2222212101[()()()(66)]11S x x x x x x =-+-++-+- 2221210101[(6)(6)(6)]1110x x x =⨯-+-++- 103031111⨯= 故选：B5．A【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】41062963a a q ==⨯=. 故选：A ．6．C【分析】全排列求解出五人排成一排的所有排法，根据,A B 定序，利用缩倍法求出结果.【详解】所有人排成一排共有：55120A =种排法 B 站在A 右边与A 站在B 右边的情况一样多∴所求排法共有：120602=种排法本题正确选项：C【点睛】本题考查排列组合中的定序问题，定序问题通常采用缩倍法来进行求解.7．B【分析】判断出,p q 的真假性，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.故选：B8．C【解析】根据已知条件确定球的半径、圆柱底面半径和圆柱的高；根据柱体、球的体积和表面积公式，分别求解出体积和表面积后求得比值.【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R2322V R R R ππ∴=⋅=柱圆 343V R =π球 3323423V R V R ππ∴==柱球圆 222226S R R R R πππ=⋅+=柱圆 24S R π=球 226342S R S R ππ∴==柱球圆本题正确选项：C【点睛】本题考查柱体、球的表面积和体积公式的应用，属于基础题.9．D【分析】设PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，利用P 在已知的圆上可得PQ 的中点的轨迹方程.【详解】设PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +因为点P 在圆221x y +=上，故()()222321x y ++=，整理得到()222341x y ++=.故选：D.【点睛】求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.10．D【分析】利用指数函数、对数函数以及幂函数的单调性结合中间值法比较0.40.3、0.30.4与3log 4的大小，再利用函数()f x 的奇偶性及其在()0,∞+的单调性可得出合适的选项. 【详解】因为3331log log 4log 314=>= 0.40.40.3000.30.40.40.41<<<<= 所以 0.30.43log 40.40.30>>>因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+上单调递增所以，()()()0.40.3333110.30.4log log log 444f f f f f ⎛⎫⎛⎫<<== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.11．B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，以及函数()ln x f x x=的单调性，即可比较大小. 【详解】0.33log y x =是()0,+∞上的单调减函数，故0.330.33log 0.22log 0.331>=(01)x y a a =<<是R 上的单调减函数，故0.3300.220.221<=，0.2200.330.331<=故,c a c b >>；令()()ln ,0,1x f x x x =∈，则()f x '21ln 0x x -=>在()0,1恒成立，故()f x 在()0,1单调递增；则ln 0.22ln 0.330.220.33<，即0.33ln0.220.22ln0.33<，故0.330.220.220.33<，即a b <；综上所述 a b c <<.故选：B.12．C【详解】试题分析:设抛物线的焦点与双曲线的右焦点及点的坐标分别为,故由题设可得在切点处的斜率为,则,即,故,依据共线可得,所以,故应选C ．考点：抛物线及双曲线的几何性质等知识的综合运用．【易错点晴】本题是一道考查双曲线与抛物线的位置关系的综合问题．解答本题时,直接依据题设条件运用双曲线和抛物线的几何性质,求得抛物线与双曲线的焦点坐标分别为的,进而借助1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线建立方程求得,从而确定;再依据三点共线,求出,使得问题获解．13．12-##0.5- 【分析】先通过定积分的运算求出m ，进而通过平面向量数量积的运算求得答案.【详解】由题意，1210011 |22m x dx x ===⎰，所以||2a →=，于是()22(3)()33a b a b a b a b λλλ→→→→→→→→+⋅+=+++⋅()143321cos1202102λλλλ=+++⨯⨯⨯︒=+=⇒=-. 故答案为12-. 14．72【分析】通过()1f a =求出a ，代入解析式求得结果.【详解】因为()411log 22a f ===所以()1174222f a f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭本题正确结果：72 【点睛】本题考查利用分段函数解析式求解函数值的问题，属于基础题.15．14-并且3T =,那么201736721114a a a ⨯+===-.16．【分析】设1O 为底面正三角形ABC 的中心，连接1,,,SO OB OE SE ，则由题设条件可得226R OE -=，从而可求边长，故可求体积. 【详解】设1O 为底面正三角形ABC 的中心，连接1,,,SO OB OE SE ，则1SO ⊥平面ABC 且正四面体SABC 的外接球的球心O 在线段1SO 上，设正四面体的棱长为a 当过E 的平面与直线OE 垂直时，则该平面与球的截面的面积最小此时面积为()22R OE π⋅-因为过点E 的平面α与球O 形成的截面面积的最小值为6π，故()226R OE ππ⋅-=所以226R OE -=.因为E 为BC 的中点，故1O E BC ⊥，SE BC ⊥而1O ESE E =故BC ⊥平面1SO E ，而OE ⊂平面1SO E ，故BC OE ⊥故BE ==所以BC =113O E ==SE ==故14SO =，所以体积为14243⨯=故答案为17．(1)证明见解析；(2)6.【分析】（1）利用正余弦定理求出sin sin 2sin cos B C B A =-，再利用三角函数证明出2A B =；（2）利用勾股定理求出2b =，再利用三角函数求出,a c ，进而求出周长.【详解】（1）对于()()sin sin a B C b c B +=+因为πA B C ++=，所以πA B C +=-，所以()()sin sin πsin A B C C +=-=,即()sin sin a A b c B =+.利用正弦定理,得()2a b c b =+.利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-所以()222cos b c b b c bc A +=+-，即22cos bc c bc A =-.因为0c ≠，所以2cos b c b A =-利用正弦定理，得sin sin 2sin cos B C B A =-.因为()sin sin A B C +=，所以()()sin 2si c si s n sin n o A B A B B B A =-=+-. 因为()πB A B +-≠，所以B A B =-，所以2A B =.（2）在ABC 中2A B =，π3A = 所以π6B = π2C =.所以2,sin tan b b AB b BC B B====.因为D 为边BC 的中点，所以12DC BC ==.在直角三角形ACD 中利用勾股定理222AD CD CA =+22b ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得2b =.所以24,c b a ====所以ABC 的周长246l a b c =++=+=.18．（1）见解析（2）0.7 1.05y x ∧=+（3）预测加工10个零件需要8.05小时【分析】（1）根据(),x y 画散点图；（2）根据题中的公式分别求ˆb 和ˆa ，（3）根据（2）的结果，求当10x =时，则ˆy的值. 【详解】散点图（2）2345 3.54x +++== 2.534 4.5 3.54y +++== 412 2.533445 4.552.5i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑42149162554i i x ==+++=∑∴252.54 3.5 3.50.7544 3.5b ∧-⨯⨯==-⨯ 3.50.7 3.5 1.05a ∧=-⨯=∴回归直线方程：0.7 1.05y x ∧=+(3)当100.710 1.058.05x y ==⨯+=时，∴预测加工10个零件需要8.05小时19．(1)证明见解析；.【分析】（1）先证明出AO BD ⊥，AO OC ⊥ 利用线面垂直的判定定理直接证明；（2）取AC 的中点M ，连接OM ME OE 、、.判断出直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成角，利用余弦定理即可求解；（3）利用等体积法求解.【详解】（1）连接OC .∵AB AD ==O 是BD 的中点∴AO BD ⊥，且1AO =.又2CA CB CD BD ====，O 是BD 的中点∴CO BD ⊥，且CO 在AOC 中222AO CO AC +=，所以=90AOC ∠︒，即AO OC ⊥.又OC BD O =，OC ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴AO ⊥平面BCD .（2）取AC 的中点M ，连接OM ME OE 、、.由E 是BC 的中点，知,ME AB OE DC ////，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成角.在OME 中 12EM AB ==112OE DC ==. ∵OM 是直角三角形AOC 斜边上的中线，∴112OM AC ==. 在OME 中由余弦定理可得：222111cos 2OE EM OM OEM OE EM +-+-∠===⋅所以异面直线AB 与CD （3）设点E 到平面ACD 的距离为h .11,.33E ACD A CDE ACD CDEV V h S AO S --=∴⋅=⋅.在△ACD 中 2,CA CD AD ===∴12ACD S ==. 211,22CDEAO S =∴== ∴1ACD ACD AO S h S ⋅===即点E 到平面ACD . 20．（1）22143x y +=；（2）存在，定点11,08T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据题意即可写出2a =和1c =，再利用222b a c =-求出b 的值，即可写出答案.（2）假设存在，设()11,A x y 和()22,B x y ，联立直线与椭圆消x ，即可利用m 表示出12y y +、12y y 的值，再利用()11,A x y ，()22,B x y 和(),0T t 表示出AT BT ⋅，化简AT BT ⋅为定值根据系数成比例即可计算出对应的t 值.【详解】（1）由题意知2a =12c a = ∴1c = 222413b a c =-=-= ∴椭圆方程为22143x y += （2）存在定点(),0T t 满足AT BT ⋅为定值，设()11,A x y 与()22,B x y由2210143x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-= ()214410m ∆=+> 122634m y y m +=-+ 122934y y m =-+ ∵()11,AT t x y =-- ()22,BT t x y =--∴()2121212AT BT t t x x x x y y ⋅=-+++()()()21212121111t t my my my my y y =-+++++++()()()2212121121m y y m t y y t t =++-++-+()()22229611213434m m m t t t m m =-+--+-+++ ()()22223448534t m t t m -+--=+ 假设AT BT ⋅为定值，则2248544t t t ---= 118t = ∴存在定点11,08T ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足AT BT ⋅为定值. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系.运算量较大，属于难题.熟练掌握椭圆的性质与扎实的运算是解本题的基础.21．(1)0(2)证明见解析【分析】（1）对()ln e 2f x x x =-+求导，根据导函数的正负得()f x 的单调性继而得解；（2）根据0x >与12a ≥-，得2ax x ≥-，所以e 2ln 1e ln 1x x x ax x x x x +--≥---，只需证明e ln 10x x x x ---≥，结合（1）的结论证明.【详解】（1）定义域为()0+∞，，因为()ln e 2f x x x =-+，所以()11e e x x xf x -=-='．当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，则0f x ，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，则()0f x '< 则()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．故()max 111ln e 20e e e f x f ⎛⎫==-⋅+= ⎪⎝⎭．（2）证明：因为0x >和12a ≥-，所以2ax x ≥- 所以e 2ln 1e ln 1x x x ax x x x x +--≥---．由（1）可知ln e 20x x -+≤，即()1n e e 0l x x -+≤当且仅当1e x =时，则等号成立．则()1n e e 0l x x -+≤，即()ln e e 10x x x x -+≤化简得e ln 10x x x x ---≥当且仅当1x xe =时，则等号成立．故e 2ln 1e ln 10x x x ax x x x x +--≥---≥．【点睛】关键点点睛：（2）的证明中先根据0x >和12a ≥-，得2ax x ≥- 继而将原式放缩可得e 2ln 1e ln 1x x x ax x x x x +--≥---，所以只需证明e ln 10x x x x ---≥，结合（1）的结论证明.22．(1)2cos ρθ=【分析】（1）利用余弦的倍角公式和基本关系式，消去参数得到2220x y x +-=，再由极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得C 的极坐标方程；（2）由1A OA ρ==和B OB ρ=AOB S 和MOB S ，结合OABM AOB BOM S S S =+，即可求解.【详解】（1）解：因为22cos (sin 2x y ααα⎧=⎨=⎩为参数)，所以cos 21sin 2x y αα=+⎧⎨=⎩，即1cos 2sin 2x y αα-=⎧⎨=⎩ 平方相加，可得()2211x y -+=，即2220x y x +-=又由cos x ρθ=，sin y ρθ= 可得22cos 0ρρθ-=所以C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（2）解：因为π2cos13A OA ρ=== π2cos 6B OB ρ===又因为πππ366AOB ∠=-=所以111sin 1222AOB S OA OB AOB =⨯⨯⨯∠=⨯=△因为OM 是圆C 的直径，所以π2OBM ∠=又因为21sin 212BM OM θ=⨯=⨯=，所以11122MOB S OB MB =⨯⨯==△所以4OABM AOB BOM S S S =+== 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）采用分析法即得；（2）根据基本不等式的性质22222,3,3a b ab a b +≥+≥+≥，进而即得.【详解】（1）要证原不等式成立只需证(22>需证1313++即证上式显然成立∴原不等式成立；（2）∵222a b ab +≥,23a +≥和23b +≥∴2()2232a b ab ++≥++，当且仅当a b ==即)223a b ab a b ++≥+.。

理科数学高三模拟试题答案解析

理科数学（一）答案解析1. 答案D 解析：{2,1,0,1,2}U =--，{0,1}U B =ð，故(){0,1,2}U A B = ð．2. 答案 B 解析:sin sin sin sin 2a b b A B ABa=⇒==，又000180B B A <<>且,0060120B ∴=或3．A.【解析】)6si n(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数s i n (2)6y x π=+；再将图象向右平移3π个单位，得函数s i n [2()]s i n (2)362y x x πππ=-+=-，2π-=x 是其图象的一条对称轴方程. 4.【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i ii i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-5．D.【解析】若,αβ相交，则,a b 可能相交，也可能异面，故D 为假命题.6.【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种7. D 【解析】由()(),,0FB AB c b a b ⋅=⋅-=，得20ac b -+=，所以220ac c a -+-=，即210e e -+-=，解得2e =或2e =（舍去）.8. C 【解析】对应的可行域如图.当直线3z x y =-过点()0,4A 时，z 有最小值-4；由图可知z 没有最大值.9. B 【解析】作出满足题意的区域如下图，则由几何概型得，所求概π112=-.10. C 【解析】因为0a b >>，所以0a b ->.所以4=，当且仅当224a a=且b a b =-，即2a b ==时等号同时成立.故代数式)(12b a b a -+的最小值为4.11.C 【解析】e 2xy '=+，00|e 23x k y ='==+=，则切线方程为13y x -=，即31y x =+.12. D 【解析】3311()log (1)0log (1)33x xf x x x ⎛⎫⎛⎫=--=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在同一坐标系中作出函数3l o g (1)y x =-与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，不妨设12x x <，则由函数对称性可知3132l o g (1)l o g (1)0x x -+-<，得31212log [()1]0x x x x -++<，即1212()11x x x x -++<.所以1212x x x x <+.第Ⅱ卷13. -3或2【解析】由两直线平行的充要条件得()1320a a +-⨯=，解得3a =-或2a =.14. 2-【解析】显然公比1≠q ，设首项为1a ，则由0323=+S S ，得qq a qq a --⨯-=--1)1(31)1(2131，即4323=-+q q ，即0)1(4)1(4422223=-+-=-+-q q q q q q ，即0)44)(1(2=++-q q q ，所以0)2(4422=+=++q q q ，解得2-=q .理得cos C = 2222a b cab+-，故2cos cos 42S ab C ab C ==.又由正弦定理得1sin 2S ab C =，所以1cos sin 22ab C ab C =，所以tan C =又()0,πC ∈，所以3C π=.16. －4【解析】由x 2＝2y 可知y ＝12x 2，这时y ′＝x ，由P ，Q 的横坐标为4，－2，这时P (4,8)，Q (－2,2), 以点P 为切点的切线方程PA 为y －8＝4(x －4)，即4x －y －8＝0①；以点Q 为切点的切线方程QA 为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0②；由①②联立得A 点坐标为(1，－4)，这时纵坐标为－4. 三．解答题17. 解：（1）条件可化为：)cos cos cB bC -= ．根据正弦定理有sin )cos sin cos A C BB C -=．cos sin()A B C B =+，由基本不等式可知2262(2a c ac ac =+-≥-=-．……6分即3(2ac ≤+，故△ABC 的面积1sin 242S ac B ==≤．即当a =c=236+时，△ABC 的面积的最大值为2)12(3+． ……12分∴.241222131312a a a a OF S V V EBC EBC F EFC B =⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--………12分 18.【答案】19.20（1）椭圆方程E 为：1121622=+yx（3分）（2）（法一）1AF 方程为：0643=+-y x ，2AF 方程为：2=x 设角分线上任意一点为()y x P ,，则25643-=+-x y x 。

高三数学模拟理科答案

数学（理）答案1.解析因为A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，又M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }， ∴M ＝{5，6，7，8}，即M 中有4个元素.答案 B2.解析依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.3.解析 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3. 答案 B4.解析求函数S ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，2－x ，x ≤1的函数值，S ＝4时，x ＝－2或16.故选D.5.D.6.C7.解析因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得 |a |12＋（－2）2＝1，所以a ＝±5. 答案 B 8.答案 C9.(1＋ax )3＋(1－x )5的展开式中x 3的系数为C 33a 3＋C 35(－1)3＝a 3－10＝－2，则a 3＝8，解得a ＝ 2.答案 B10.解析根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C 16＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C 15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有C 24C 22A 22×A 22＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案.11.解：不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3. 答案 C12.解析因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，即|m ＋1|≤|x －2|在x ∈[－1，0]恒成立，所以|m ＋1|≤|x －2|min ，所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1. 答案 A13.解析 ∵α∈(0，π)，且cos α＝－513，∴sin α＝1213，因此sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·tan α＝cos α·sin αcos α＝sin α＝1213. 14.解析画出可行域如图阴影部分所示.由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处时取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1. 答案－115.解析 ∵0<a 0，解得0<x <e ，故t 的最大值是e.答案 e 16. 解：因为是正三棱锥，而正三棱锥的对棱互相垂直，所以．又因为M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，所以，而，因此．又因为，平面SAC ，所以平面SAC ．又因为SA 、平面SAC ，所以，．又因为，，且都在平面SBC 上，所以平面SBC ，而平面SBC ，因此，即SA 、SB 、SC 两两互相垂直．又因为正三棱锥的侧棱长相等，所以以S 为正方体的一个顶点，可将三棱锥补成一个正方体，且正方体的棱长为侧棱长．设正三棱锥的外接球半径为R ，则．又因为，所以，因此正三棱锥外接球的表面积为．故答案为．17.解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12. (2)f (C )＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝334，∴ab ＝3.又(a ＋b )2－2ab cos π3＝7＋2ab ，∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7，故△ABC 的周长为4＋7.18.解：证明：连接CE ，是边长为2的正三角形，且E 是AB 中点，又是边长为2的菱形，，是正三角形，，又，，即，又，，平面ABCD ．解：由可得：以E 为原点，分别以，，为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，，．设点M 坐标为y ，，由，得y ，，，，，，，设平面CEM 的法向量为y ，，则，取，解得0，．平面ABCD ，平面ABCD 的法向量0，，，二面角的大小为．19.解 (1)设{a n }的公差为d .由a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列，可得(a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 4＋1)，又a 1＝2， ∴(3＋d )2＝3(3＋3d )，解得d ＝3(d ＝0舍去)，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1（3n －1）（3n ＋2）＝13⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2，S n ＝13⎝⎛⎭⎫12－15＋15－18＋…＋13n －1－13n ＋2＝13⎝⎛⎭⎫12－13n ＋2＝n 2（3n ＋2），则S n <319，即n 2（3n ＋2）<319，解得n <12，则所求最大的正整数n 为11.20.解 (1)设椭圆P 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝23，e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴c ＝2，a ＝4，∴椭圆P 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在满足题意的直线l ，易知当直线l 的斜率不存在时，OR →·OT →<0，不满足题意.故可设直线l 的方程为y ＝kx －4，R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2).∵OR →·OT →＝167，∴x 1x 2＋y 1y 2＝167.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1得(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0，由Δ>0得(－32k )2－64(3＋4k 2)>0，解得k 2>14.①∴x 1＋x 2＝32k 3＋4k 2，x 1x 2＝163＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16，故x 1x 2＋y 1y 2＝163＋4k 2＋16k 23＋4k 2－128k 23＋4k 2＋16＝167，解得k 2＝1.② 由①②解得k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±x －4. 故存在直线l ：x ＋y ＋4＝0或x －y －4＝0满足题意. 21.(1)证明当a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )≥0.(2)解 f ′(x )＝e x －1－2ax ，令h (x )＝e x －1－2ax ，则h ′(x )＝e x －2a . ①当2a ≤1，即a ≤12时，在[0，＋∞)上，h ′(x )≥0，h (x )单调递增，h (x )≥h (0)，即f ′(x )≥f ′(0)＝0，∴f (x )在[0，＋∞) 上为增函数，∴f (x )≥f (0)＝0， ∴当a ≤12时满足条件.②当2a >1，即a >12时，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln (2a )，在[0，ln (2a ))上，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴当x ∈(0，ln (2a ))时，有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<f ′(0)＝0， ∴f (x )在区间(0，ln (2a ))上为减函数，∴f (x )<f (0)＝0，不合题意. 综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12. (3)证明由(2)得，当a ＝12，x >0时，e x >1＋x ＋x 22，即e x－1>x ＋x 22，欲证不等式(e x －1)ln(x ＋1)>x 2，只需证ln(x ＋1)>2xx ＋2.设F (x )＝ln(x ＋1)－2x x ＋2，则F ′(x )＝1x ＋1－4（x ＋2）2＝x 2（x ＋1）（x ＋2）2.∵当x >0时，F ′(x )>0恒成立，且F (0)＝0，∴F (x )>0恒成立.∴原不等式得证. 22.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，即ρ2＝2ρcos θ，得x 2＋y 2＝2x ，即曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)，可得其普通方程为x －3y －m ＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)代入圆(x －1)2＋y 2＝1，可得t 2＋3(m －1)t ＋m 2－2m ＝0，由Δ＝3(m －1)2－4(m 2－2m )>0，可得－1<m <3，由m 为非负数，可得0≤m <3.设t 1，t 2是方程的两根，则t 1t 2＝m 2－2m ，由|P A |·|PB |＝1，可得|m 2－2m |＝1，解得m ＝1或1±2，因为0≤m ＜3，所以m ＝1或1＋ 2. .。

北京市高三下学期高考模拟理科数学试题(解析版)

2023年高三数学考试题（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号规范填涂在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 若为虚数单位，则复数的虚部为（） i 2i1i z +=+A. B. C.D.12-1i 2-1i 212【答案】A 【解析】【分析】先利用复数除法求出的代数形式，进而可得虚部. z 【详解】， ()()()()2i 1i 2i 3i 31i 1i 1i 1i 222z +-+-====-++-其虚部为. 12-故选：A.2. 已知全集，集合，，则{}1,2,3,4,5U =2{|320}M x x x =-+=2{Z |650}N x x x =∈-+<（）()U M N ⋃=ðA. {1} B. {5}C. {1，2，3，4}D.∅【答案】B 【解析】【分析】解方程和不等式，得到，求出并集和补集. ,M N 【详解】解可得，故，2650x x -+<15x <<{}2,3,4N =的解为或2，故，则．2320x x -+=1x ={}1,2M ={}()5U M N ⋃=ð故选：B3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题，松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于该思想的一个程序框图，若输入的，分别为8，3，则输出的的a b n 值是（）A. 3．B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】按流程图顺序运算可得结果. 【详解】 a =8，b =3，n =1n =2 n =3 n =4a =8+4=12 a =12+6=18 a =18+9=27 27812722a =+=b =2×3=6 b =2×6=12 b =2×12=24 b =2×24=4812≤6？否18≤12？否27≤24？否？是 81482≤所以输出n 为4. 故选：B.4. 已知数列1，3，……，则7是这个数列的（） A. 第21项 B. 第23项C. 第25项D. 第27项【答案】C 【解析】【分析】根据题设给定的数列通项公式即可判断7的位置.【详解】因为数列的第，n 7==所以7是题中数列的第25项．故选：C5. 作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题．为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录，作出频率分布直方图如下：已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6000元以上的报销所花费费用的80%．则下列说法中，正确的是（） A.0.0018a =B. 若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元C. 根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为 320D. 这100份花费费用的中位数是4205元【答案】C 【解析】【分析】根据直方图的面积等于1求出a ，再根据给定的条件逐项分析. 【详解】直方图的面积等于1，所以，(0.000050.000100.000120.000250.000150.000100.00005)10001a +++++++⨯=，A 错误；0.00018a =根据报销的规则，花费了4300元，报销的费用为，实际花费()430040065%2535-⨯=，B 错误；430025351765-=根据报销的规则，当花费在6000以上时报销80%，所以概率()30.00010.0000510000.1520=+⨯== ， C 正确；设中位数为，其面积为，4000x +12()10.000050.00010.000120.0001810000.000252x ∴+++⨯+=，，200x =即中位数为4200，D 错误；故选：C.6. 在正项等比数列中，公比为，且，，14成等差数列，则（）{}n a q 6-2q 34212log a a a a +=+A. 2 B.C. 4D.2-4-【答案】A 【解析】【分析】根据等差中项求出，再由等比数列通项公式化简即可得解. q 【详解】，，14成等差数列，6- 2q ，解得或（舍去）， 22614q ∴=-+2q =2q =-，22341222221212()log log log 2log 22a a a a q q a a a a ++⋅∴====++故选：A7. 若非负数x ，y 满足，则事件“”发生的概率为（）13x y x y ⎧-≤⎨+≤⎩24x y +≥A.B.C.D.21525【答案】A 【解析】【分析】先画出可行域，再根据几何概型的概率公式可求.【详解】由题意，知x ，y 满足约束条件作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所0,01,13x y x y x y x y ≥≥⎧⎪-≤⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩示（五边形OEBCD （包含边界）），作出直线，易得，，，，，连接DE ， 24x y +=52,33A ⎛⎫⎪⎝⎭()2,1B ()1,2C ()0,1D ()1,0E 则非负数x ，y 对应的可行域的面积为，151122ODE BCDE S S +=⨯⨯+=△正方形事件“”对应的可行域的面积为， 24x y +≥111223ABC S AB BC =⋅==△所以所求概率为.1235152P ==故选：A.8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于A ，B 两点，若，则24y x =F (2,0)||AF +||10BF =（）||||AF BF ⋅=A. 12 B. 13C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，易知不成立，故直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为，将其与抛物线方程联立，根据抛物线的定义以及韦达定理，可求出，即可求出(2)(0)y k x k =-≠2k 结果.【详解】抛物线的焦点为，设，.24y x =()1,0F ()11,A x y ()22,B x y 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，AB AB 2x =24y x =28y=y =±，，，，与矛盾.(2,A (2,B -3AF BF ===6AF BF +=10AF BF +=当直线的斜率存在时，设直线的方程为，AB AB ()2y k x =-代入，得，则，， 24y x =()22224440k x k x k -++=12244x x k +=+124x x ⋅=由抛物线的定义知，，， 11AF x =+21BF x =+于是， 1224114210AF BF x x k+=+++=++=所以，21k =. ()()1212122411144113AF BF x x x x x x k ⋅=++=+++=+++=故选:.B 9. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A.B.C.D. 552【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体，将几何体放入长方体中，进而得出该几何体的外接球与长方体的外接球相同，再利用长方体的体对角线等于外接球的直径即可求解.【详解】根据三视图知，该几何体是四棱锥，放入长、宽、高分别为4长方体中，如图P ABCD -432、、所示,所以该几何体的外接球与长方体的外接球相同，即长方体的体对角线等于外接球的直径，设该几何体的外接球半径为，则R，解得. ()22222432R =++R =. 故选：A.10. 在中，有，则的最大值是（）ABC ()()2AC AB BC CB CA AB ⋅-=⋅-tan C A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出a b c cos C 的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可求C tan C cos C sin C 出的最大值．tan C 【详解】因为，()()2AC AB BC CB CA AB ⋅-=⋅-所以，22AC AB AC BC CB CA CB AB ⋅-⋅=⋅-⋅ 又，， AC BC CA CB ⋅=⋅ CB AB BC BA ⋅=⋅所以23AC AB BC BA CB CA ⋅+⋅=⋅又，，，222cos 2b c a AB AC bc A +-⋅== 222cos 2a c b BA BC ab B +-⋅== 222cos 2a b c CA CB ab C +-⋅== 所以， 2222222223()()22b c aa b c a c b +-+-++-=即，22223a b c += 22222221(2)3cos 2236a ba b a b c a b C ab ab b a +-++-∴===+≥=当且仅当即时取等号，36a b b a=b =显然为锐角，要使取最大值，则，此时，C tan C cosCsin C ==所以，即． sin tan cos C C C ===tan C故选：D ．11. 已知F 1，F 2分别是双曲线C ：的左、右焦点，点P 在双曲线上，22221(00)y x a b a b-=>>，，圆O ：，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于12PF PF ⊥22229()4x y a b +=+M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为，则C 的离心率为（） 29b A.B.C.D.5485【答案】D 【解析】【分析】设，，有，，，由弦长公式可得1PF n =2PF m =2n m a -=2224n m c +=22mn b =，，四边形AMBN的面积为，解得MN=AB =12AB MN ⋅，可求双曲线的离心率.2283c b =【详解】根据对称性不妨设点P 在第一象限，如图所示，圆O ：，圆心为，半径为，22229()4x y a b +=+()0,0O 32c 设，，点P 在双曲线上，，则有，，可得1PF n =2PFm =12PF PF ⊥2n m a -=2224n m c +=，22mn b =过O 作MN 的垂线，垂足为D ，O 为的中点，则， 12F F 11=22n OD PF =MN =同理，，AB =AB MN ⊥四边形AMBN 的面积为， 211229AB MN b ⋅=⨯=，化简得，则有422222444481981944811644161644c m n c m n c c b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=-+=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦2283c b =，则C 的离心率 222253a c b b =-=c e a ===故选：D12. 已知，，，其中为自然对数的底数，则，，0.03e 1a =-ln1.03b =tan 0.03c =e 2.71828= a b c 的大小关系是（） A. B. c a b >>a c b >>C. D.b c a >>a b c >>【答案】B 【解析】【分析】构造的结构特征，构造，，求导后得到其单调性，得到,a c ()e 1tan xf x x =--π04x <<，再构造，和，，求导得到其单调性，a c >()()ln 1h x x x =+-π02x <<()tan m x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到，即，从而得到. ln1.030.03tan 0.03<>【详解】，0.03e 1tan 0.03a c --=-令，，()e cos cos sin e 1tan cos x xx x xf x x x--=--=π04x <<令，则，()e cos cos sin xg x x x x =--()()()e 1cos sin xg x x x '=--当时，，所以在上单调递增， π04x <<()0g x '>()g x π0,4⎛⎫⎪⎝⎭又，所以， ()00e cos 0cos 0sin 0110g =--=-=()0g x >又，所以在上恒成立， cos 0x >()0f x >π0,4⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，即，()0.03e1tan 0.0300.03f -=->0.03e 1tan 0.03->a c >令，， ()()ln 1h x x x =+-π02x <<所以， ()1111x h x x x-'=-=++因为，所以，所以在上单调递减， π02x <<()01x h x x -'=<+()h x π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，即在恒成立，()()00h x h <=()ln 1x x +<π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以， ()ln 10.03ln1.030.03+=<令，， ()tan m x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，()211cos m x x=-'因为，所以， π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2110cos m x x'=-<故在上单调递减， ()tan m x x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，即在恒成立， ()()00m x m <=tan x x <π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当时，， 0.03x =0.03tan 0.03<故，即， ln1.030.03tan 0.03<>故选：B【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 展开式中的常数项为______．62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】160 【解析】【分析】由题意利用二项式定理可得解.【详解】二项式的展开式的通项公式， 62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6662162C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令，可得，620r -=3r =所以展开式中的常数项为. 336C 2160⨯=故答案为：160.14. 已知向量，，与共线，则___________.(1,)a x =- (,3)b x =- a b + a b -||a = 【答案】2 【解析】【分析】由向量共线的坐标表示可得答案.【详解】由，，得，， ()1,a x =- (),3b x =- ()1,3a b x x +=+-- ()1,3a b x x -=--+因为与共线，所以.a b + a b - ()()()()213313x x x x x +-+=---⇒=则.2a === 故答案为：215. 已知数列的前n 项和，设为数列的前n 项和，若对任意的{}n a 23122n S n n =-11,nn n n b T a a +={}n b ，不等式恒成立，则实数的取值范围为________．N n *∈93n T n λ<+λ【答案】 (),48-∞【解析】【分析】利用的关系求出数列的通项公式，再用裂项相消法求得，再根据不等式的恒成立,n n a S {}n a n T 问题以及函数的单调性与最值，求实数的取值范围. λ【详解】当时，， 2n ≥()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦当时，满足上式，1n =111a S ==所以.32,N n a n n *=-∈所以， 111111((32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+所以， 1111111111(1)(((1343473323133131n T n n n n n =-+-++-=-=-+++ 由，可得，即， 93n T n λ<+9331n n n λ<++23(31)13(96)n n n nλ+<=++因为函数在单调递增， 19y x x =+1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭所以当时，有最小值为10， 1n =19n n+所以，所以， 13(96)48n n++≥48λ<所以实数的取值范围为. λ(),48∞-故答案为：.(),48-∞16. 已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R (220)f x + (221)f x +10x -≤<．若有5个零点，则实数的取值范围为________.()f x =()(6)(0)y f x a x a =-+>a【答案】【解析】【分析】由为奇函数可得的图像关于点对称，由为偶函数可得的(220)f x +()f x (20,0)(221)f x +()f x 图像关于直线对称，从而可得4为的周期.再结合图象即可求解. 21x =()f x 【详解】由为奇函数，得， (220)f x +(220)(220)f x f x -+=-+则，所以的图像关于点对称， (202)(202)0f x f x -++=()f x (20,0)则.(40)()f x f x -=-由为偶函数，得， (221)f x +(221)(221)f x f x -+=+则的图像关于直线对称，则.()f x 21x =(42)f x -=()f x 因为，所以， ()(40)(42(2))(2)f x f x f x f x -=-=-+=+(2)()f x f x +=-所以，则4为的周期.(4)(2)()f x f x f x +=-+=()f x 由函数的周期性可知，的图像关于点对称，关于直线对称. ()f x (0,0)1x =因为当时，，所以当时，10x -≤<()f x =01x <≤()f x =对两边平方，整理可得，故该函数的图象为圆心，半径为1y =()2211,0x y y -+=≥()1,0的圆，若有5个零点，只需曲线与直线有5个交点， ()(6)(0)y f x a x a =-+>()y f x =(6)(0)y a x a =+>在同一坐标系中作出函数的图像与直线，如图. ()y f x =(6)y a x =+当直线与圆，解得 (6)y a x =+22(3)1(0)x y y ++=≥1=a =当直线与圆，解得.(6)y a x =+22(1)1(0)x y y -+=≥1=a =. a <<故答案为：【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围; （2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：第17至21题，每小题12分，共60分.17. 在△ABC 中，D 是边BC 上的点，，，AD 平分∠BAC ，△ABD 的面积是120BAC ∠= 1AD =△ACD 的面积的两倍．（1）求△ACD 的面积；（2）求△ABC 的边BC 上的中线AE 的长．【答案】（1（2 【解析】【分析】（1）运用正弦定理的面积公式及面积关系计算即可；（2）运用向量的数量积与模长关系计算即可．【小问1详解】由已知及正弦定理可得：， ΔΔ11sin 6022sin 6022ABD ACD S AD AB S AD AC =⋅⋅︒==⨯⋅⋅︒化简得：． 2AB AC =又因为：，所以2ΔΔ1133sin 60sin120||22ABC ACD S S AD AC AB AC AC ==⋅⋅⋅︒=⋅⋅︒=，所以， 32AC =Δ13sin 6022ACD S AC AD =⋅⋅︒==所以△ACD 【小问2详解】由（1）可知，因为AE 是△ABC 的边BC 上的中线，23AB AC ==所以， ()12AE AB AC =+所以， AE ====所以△ABC 的边BC 上的中线AE 18. 在直角梯形中，，，，直角梯形绕直11AA B B 11∥A B AB 1AA AB ⊥11126AB AA A B ===11AA B B 角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段上，二面角的1AA 1A A ,P Q 1,CC BC 111B AA C --大小为．θ（1）若，，，证明：平面；120θ=123CP CC =⊥AQ AB PQ ∥11AA B B （2）若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切90θ= P 1CC Q BC PQ 11AAC C值，并求此时二面角的余弦值． Q AP C --【答案】（1）证明见详解（2【解析】【分析】（1）构造面面平行来推线面平行，作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE 即证面PEQ ∥面AB 1即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出与平面所成最大角时的P 点位置，求PQ 11AAC C 其正切，再求二面角即可. 【小问1详解】如图所示，过Q 作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE ，过C 1作C 1F ∥A 1A ，交AC 于F ， ∵，结合圆台的特征知， 120θ= 30BAC ∠= 又∵，解三角形得，⊥AQ AB 12AQ QC BQ ====故，即， 12CQ CE BQ AE ==2CE =∵，由题意易知四边形为直角梯形，123CP CC =11AC CA ∴，，故， 113AF AC FC ===123EC PC FC CC ==11PE C F A A ∥∥ ∵面，面，∴QE ∥面， QE ⊄11A B BA AB ⊂11A B BA 11A B BA 同理PE ∥面，11A B BA又面PQE ，∴面∥面，QE PE E QE PE =⊂ ，、PEQ 11A B BA 面，∴平面，得证；PQ ⊂PEQ PQ ∥11AA B B 【小问2详解】如图，结合圆台的特征，当时，此时两两垂直，90θ= 1A A AB AC 、、故以A 为中心，以AB 、AC 、AA 1所在的直线分别为轴、轴、轴， x y z 则，()()()()16,0,0,0,6,0,0,3,6,3,3,0B C C Q 设，则，[]1,0,1CP CC λλ=∈ ()()00,36,600,3,6CP λλλ=---=-，()()()3,3,00,3,63,33,6PQ CQ CP λλλλ=-=---=--易知轴⊥面，不妨取作为面的一个法向量，x 11A ACC ()1,0,0m =11A ACC 设与平面所成角为，PQ 11AAC C π,0,2αα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，sin cos ,PQ α=≤即当时，取得最大值，此时为最大角，15λ=sin ααtan α==设此时面APQ 的一个法向量为，(),,n x y z =易得，则， ()2763,3,0,0,,55AQ AP ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 330276055n AP x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，则，即，9z =2,2y x =-=()2,2,9n =-由图可知该二面角的平面角为锐角，设其为，故，φcos cos ,m φ= 故与平面，此时二面角PQ 11AAC C Q AP C --19. 甲､乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7，乙赢机器人的概率为0.6.求：（1）在一轮比赛中，甲的得分ξ的分布列；（2）在两轮比赛中，甲的得分的期望和方差. η【答案】（1）分布列见解析（2），. ()0.2E η=()0.9D η=【解析】【分析】（1）根据已知条件可得的可能取值为，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概ξ1,0,1-率，即可求得分布列.（2）根据已知条件可得的可能取值为，利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概η2,1,0,1,2--率，即可求得分布列及数学期望和方差. 【小问1详解】由题意可知，的可能取值为，ξ1,0,1-，()10.30.60.18P ξ=-=⨯=， ()00.70.60.30.40.54P ξ==⨯+⨯=，()10.70.40.28P ξ==⨯=所以分的分布列为：ξξ-1 0 1P 0.18 0.54 0.28【小问2详解】由题意可知，的可能取值为，η2,1,0,1,2--， ()20.180.180.0324P η=-=⨯=，()120.180.540.1944P η=-=⨯⨯=， ()020.180.280.540.540.3924P η==⨯⨯+⨯=， ()120.540.280.3024P η==⨯⨯=，()20.280.280.0784P η==⨯=所以的分布列为ηη-2 -1 0 1 2P 0.03240.19440.39240.30240.0784所以，()()()20.032410.194410.302420.07840.2E η=-⨯+-⨯+⨯+⨯=222()(20.2)0.0324(10.2)0.1944(00.2)0.3924D η=--⨯+--⨯+-⨯.22(10.2)0.3024(20.2)0.07840.9+-⨯+-⨯=20. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外xOy P ()22149:14C x y ++=()2221:14C x y -+=切，记动圆圆心的轨迹为曲线. P C （1）求曲线的方程；C （2）设曲线的左、右两个顶点分别为、，为直线上的动点，且不在轴上，直线C 1A 2A T :4l x =T x 与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为曲线的左焦点，求证：1TA C M 2TA C N F C FMN的周长为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设动圆的半径为，分析可得，利用椭圆的定义可求得轨P R 121242PC PC C C +=>=迹的方程；E（2）设点，设，，写出直线、的方程，将这两条直线分别()()4,0T t t ≠()11,M x y ()22,N x y 1TA 2TA 与曲线的方程联立，求出点、的坐标，可得出直线的方程，化简直线的方程，可知直E M N MN MN 线过椭圆的右焦点，再利用椭圆的定义可证得结论成立. MN E 【小问1详解】解：设动圆的半径为，P R 由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 1C ()11,0C -722C ()21,0C 12因为，则，所以，圆内含于圆， 122C C =127122C C <-2C 1C 因为动圆与圆内切，且与圆外切，P 1C 2C 则， 112122724212PC R PC PC C C PC R⎧=-⎪⎪⇒+=>=⎨⎪=+⎪⎩所以，动圆的圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆，P E 1C 2C 设其方程为，其中，，()222210x y a b a b +=>>24a =22c =所以，，，从而轨迹的方程为.2a =2223b a c =-=E 22143x y +=【小问2详解】证明：由题意可知、、， ()12,0A -()22,0A ()()4,0T t t≠设，，如下图所示：()11,M x y ()22,N x y直线的方程为，直线的方程为， 1AT ()26t y x =+2A T ()22ty x =-联立方程可得 ()2226143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去得， ()2226143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y ()222227441080t x t x t +++-=由韦达定理可得，即， 2124108227t x t--⋅=+21254227t x t -=+则，故点， ()211225421822662727t t t ty x t t ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭22254218,2727t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭联立方程可得， ()222143t y x t x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()2222344120t x t x t +-+-=由韦达定理可得，即， 22214322t x t -=+222623t x t -=+则，故点， ()22222266222233tt t t y x t t ⎛⎫--=-=-= ⎪++⎝⎭222266,33t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭所以，，22222221866273542269273MNt t t t t k t t t t t +++==-----++所以，直线的方程为， MN 22226626393t t t y x t t t ⎛⎫-+=-- ⎪+-+⎝⎭即，且， ()2226661999t t ty x x t t t =-+=-----3t ≠±故直线过定点，所以的周长为定值，MN ()1,0FMN 8当时，、或、，3t =±31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，过椭圆的焦点，此时的周长为定值， MN E ()1,0FMN 48a =综上所述，的周长为定值.FMN 8【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 已知函数，.()sin f x x ax =-()e cos 2x g x x π=+（1）若，恒成立，求实数a 的取值范围；[)0,x ∈+∞()0f x ≤（2）判断方程在上实根个数，并说明理由.()12e sin x g x x π-=+()0,x ∈+∞【答案】（1）．[1,)+∞（2）1.【解析】【分析】（1）求出导函数，分类讨论说明的正负，得的单调性，确定题设不等式是否恒()f x '()f x '()f x 成立，得参数范围；（2）在时，由（1）得，利用导数证明，然后求得导函数，由不等式0x >sin x x <e e (0)xx x ≥>()g x '性质得时，，得单调递增，方程变形为，0x >()0g x '>()g x ()(12)g x g x =-然后由的范围分类讨论可得．,12x x -【小问1详解】，()cos f x x a '=-时，，在上递减，恒成立；1a ≥()0f x '≤()f x [0,)+∞()(0)0f x f £=时，恒成立，在上递增，不合题意；1a ≤-()0f x '≥()f x [0,)+∞()(0)0f x f ≥=时，存在使得，时，，在上递增，11a -<<1(0,)2x π∈1cos x a =1(0,)x x ∈()0f x '>()f x 1(0,)x 不合题意，()(0)0f x f >=综上，的取值范围是．a [1,)+∞【小问2详解】由（1）得时，，0x >sin x x <设（），则， ()e e x h x x =-0x >()e e xh x '=-时，单调递减，时，，单调递增，01x <<()0h x '<()h x 1x >()0h x '>()h x ，所以，()(1)0h x h ≥=e e x x ≥， ()2e sin e e 022224x g x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=->-⋅=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'所以在上是增函数，()g x (0,)+∞方程， ()12e sin xg x x π-=+1212e cos()e cos[(12)]22x x x x πππ--=+-=+-(12)g x =-由得，此时，因此是方程在上的一12x x =-13x =()(12)g x g x =-13()(12)g x g x =-()0,x ∈+∞根，时，，，方程在上无解， 103x <<11213x <-<(12)()g x g x ->()(12)g x g x =-1(0,)3时，，，方程在上无解， 1132x <<10123x <-<(12)()g x g x -<()(12)g x g x =-11(,)32时，，，方程12x ≥120x -≤121()(2e sin (12)2x g x g x g x π-≥=>≥+=-在上也无解， ()(12)g x g x =-1[,)2+∞综上，方程在上只有一个解，根的个数为1.()12e sin x g x x π-=+()0,x ∈+∞【点睛】关键点点睛：本题考查由导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，研究方程根的个数问题，解题关键是方程进行同构变形为，因此我们只要确定的单调性，然后分数讨论()(12)g x g x =-()g x 得出结论．（二）选做题：请考生在22，23题中任选一题作答，如果多答，则按所答的第一题计分．22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半xOy l 4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t O x 轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． C 22312sinρθ=+（1）求的直角坐标方程；C （2）若点的极坐标为，是上的动点，为线段的中点，求点到直线的距离M 3π4⎛⎫ ⎪⎝⎭N C P MN P l 的最大值．【答案】（1） 2213x y +=（2【解析】【分析】（1）由极坐标与直角坐标互化原则可直接化简整理得到直角坐标方程；（2）将点极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程；利用相关点法可求得点轨迹方程，则可M l P 设，利用点到直线距离公式，结合三角恒等变换知识可得到sin 22P θ⎫+⎪⎪⎭. d 【小问1详解】由得：，，即， 22312sin ρθ=+2222sin 3ρρθ+=2233x y ∴+=2213x y +=的直角坐标方程为：. C ∴2213x y +=【小问2详解】由可得点的直角坐标为即； 3π4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭M 3π3π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,2-由消去参数可得直线的普通方程为：；:4x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩t l 40x y --=设，，()00,N x y (),P x y 为中点，，则，， P MN 002222x x y y -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩002222x x y y =+⎧⎨=-⎩()()22222213x y +∴+-=即点轨迹为，则可设； P ()()22222213x y ++-=sin 22P θ⎫+⎪⎪⎭点到直线的距离∴Pl d则当时，. πsin 13θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭max d ==23. 已知函数．()f x x a x b x c =-+-+-（1）若，且，求m 的值； a b c ==(){}{}66x f x x m x <=<<（2）若，，证明：．12b a b -≤≤+32d c d -≤≤+()522f x x d x b ≤+-+-【答案】（1）2m =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意直接法解不等式，与已知解集相等，可求m 的值；2x a -<（2）已知可得，，利用绝对值三角不等式证明结论.2a b -≤3c d -≤【小问1详解】因为，所以，由，得，则，解得a b c ==()3f x x a =-()6f x <2x a -<22x a -<-<，因为，所以，即，故．22a x a -<<+(){}{}66x f x x m x <=<<26a +=4a =22m a =-=【小问2详解】证明：由，，得，，则，12b a b -≤≤+32d c d -≤≤+12a b -≤-≤32c d -≤-≤2a b -≤，3c d -≤所以()2f x x d x b x a x b x c x d ----=---+---≤，()()235x a x b x c x d a b c d ---+---=-+-≤+=故．()522f x x d x b ≤+-+-。

理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷(全国通用)(解析版)

2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（）A ．()U AB ðB ．()U B AðC ．A BD ．A B【答案】A【解析】由题设{4,6}U B =ð,故(){4,6}U B A =I ð,(){1,4,5,6}U B A =U ð,{1,2,3,4,5,6}A B = ,{1,5}A B = ,所以5∉()U A B ð,故选A.2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-,因为复数z 对应点在虚轴上,所以202a -=,解得2a =.故选B.3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元【答案】D【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为43910.765778÷≈,工资性收入占农村居民人均可支配收入的2543577844%÷≈,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为10.440.320.213%---≈,故A 错、B 错；经营净收入与转移净收入差为()57780.320.21636⨯-≈元,故C 错误；财产净收入为57780.03173⨯≈元,故D 正确.故选D.4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】若a b ∥,则存在唯一的实数0μ≠,使得a b μ= ,故a b b b b λμλμλ+ =+=+,而()||||||||a b b b b λμλλμ++ ==+,存在λ使得λμλμ+=+成立,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的充分条件,若0λ≠且||||||a b a b λλ+=+ ,则a 与b λ 方向相同,故此时a b ∥,所以“a b ∥ ”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+ ”的必要条件,故“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的充要条件,故选C.5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．3【答案】B【解析】因为3sin 375︒≈,所以4cos375︒=≈,sin 82︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选B.6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1x y x =+C ．22(e e )1x x y x -+=+D ．32sin 1x xy x -+=+【答案】B【解析】4个选项中的函数定义域均为R,设该函数为()f x ,对于A,()()()()2211cos cos 44,,11x x x xf x f x f x f x x x -=-==--++,故21cos 41x x y x =+为奇函数,且()40f >,对于B,()()()222sin 2sin ,,11x x f x f x f x x x -=-==-++故()f x 为奇函数,()2sin 44017f =<,对于C,()()()()222(e e )2(e e ),,11x x x x f x f x f x f x x x --++=-==-++,故()f x 为偶函数,对于D,()()()3322sin sin ,11x x x x f x f x f x x x -+-=-==-++，故()f x 为奇函数,()64sin44117f -+=<-,由图知函数为奇函数,故排除C ；由()40f <,排除A,由()41f >-,排除D,故选B ．7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（）A ．54B．54-C．108-D．81-【答案】C【解析】如图,转动了45︒后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角三角形,设直角边x ,,则有23x =,得到32x =-,由几何关系得：阴影部分的面积为21127(324S ==所以增加的面积为1271616(1084S S ===-故选C.8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎝⎦【答案】B【解析】设()00,P x y ,()0,M b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PMx y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0b y b -≤≤,由题意知当0y b=-时,2PM 取得最大值,所以32b b c -≤-,可得222a c ≥,即212e <,则0e <≤．故选B ．9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．6【答案】A【解析】点D 为BC 中点,在ABC 中,4AB AC ==,所以BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则ABC 的“欧拉线”为AD ,因为点()1,3B -,点()4,2C -,所以31,22D ⎛⎫⎪⎝⎭,因为直线BC 的斜率为32114+=---,所以AD 斜率为1,方程为1322y x -=-,即10x y --=,因为“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切所以圆心(,3)a a -到“欧拉线”,r r ==圆心(,3)a a -到直线30x y -+=的距离为=所以圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为=故选A.10.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（）A B C ．2πD ．2【答案】D【解析】由题意知直四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的半径122R ==如图,取1DD 的中点E ,连接,,AE PE BP ,易知四边形ABPE 为矩形,且平面α即为平面ABPE ,分别取11,AA BB 的中点,M N ,连接,,MN NP ME ,则易得四边形MNPE 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心O 即为正方形MNPE 的中心,取ME 的中点1O ,连接1O O ,则11//,O O EP O O ⊄平面ABPE ,EP ⊂平面ABPE ,所以1//O O 平面ABPE ,故球心O 到平面APE 的距离与1O 到平面APE 的距离相等,过点1O 作1O H AE ⊥,垂足为H ,易知AB ⊥面11AA D D ,1O H ⊂面11AA D D ,故1AB O H ⊥,又AB ⋂,,AE A AB AE =⊂平面ABPE ,所以1O H ⊥平面ABPE ,又1O H =1sin 454O E ︒=,所以球心O 到平面APE 的距离为4,由球的性质知,截面圆的半径r =4==,所以截面圆的周长为2ππ2r =.故选D.11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．e D ．2e 【答案】B【解析】设直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ,则11e x k =,且111e 11x k x +=+,所以11e 1xx =,221k x =,且222ln 11x k x +=+,所以22ln 1x x =,令()ln f x x x =,()1ln f x x '=+,当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0f x '<,()f x 单调递减,当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,且()10f =,()0,0x f x →→,所以当()0,1x ∈时,()0f x <,因为()222ln 1f x x x ==,()111e e 1x xf x ==,即()()12e 10x f x f ==>,所以()()121,,e 1,x x ∞∞∈+∈+,所以12=e x x ,故11221e 1xk k x =⋅=,故选B.12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是()A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑【答案】C【解析】因为()1f x +为偶函数,所以()()11f x f x +=-+①,所以()f x 的图象关于直线1x =轴对称,因为()()11f x g x --=等价于()()11f x g x --=②,又()()31f x g x -+=③,②+③得()()132f x f x -+-=④,即()()132f x f x +++=,即()()22f x f x +=-,所以()()()422f x f x f x +=-+=,故()f x 的周期为4,又()()13g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故选项B 正确,①代入④得()()132f x f x ++-=,故()f x 的图象关于点()2,1中心对称,且()21f =,故选项A 正确,由()()22f x f x +=-,()21f =可得()()01,41f f ==,且()()132f f +=,故()()()()12344f f f f +++=,故20221()5054(1)(2)2021(1)i f i f f f ==⨯++=+∑,因为()1f 与()3f 值不确定,故选项C 错误,因为()()31f x g x -+=,所以()()()()()()10,30,013,211g g g f g f ===-=-,所以()()()()022130g g f f ⎡⎤+=-+=⎣⎦,故()()()()01230g g g g +++=,故20230()50600i g i ==⨯=∑,所以选项D 正确,故选C .二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.【答案】-15【解析】5555213C (3)C rr rr r rr T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令523-=r 得1r =,所以3x 的系数为511(3)C 15-=-.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈）【答案】164【解析】因为浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,所以浏览量X （万次）的均值 1.5μ=,方差20.09σ=,0.3σ=,故()(1.2 1.8)0.6827P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,(22)(0.9 2.1)0.9545P X P X μσμσ-<≤+=<≤≈,故[]1(0.9 1.8)(1.2 1.8)(0.9 2.1)(1.2 1.8)0.81862P X P X P X P X <≤=<≤+<≤-<≤≈.故浏览量在(]0.9,1.8万次的作品个数约为2000.8186164⨯≈.15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.【答案】14【解析】在ABC 中,π,3,13ABC AB BC ∠===,由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯2213123172=+-⨯⨯⨯=,所以AC .由正弦定理得sin sin BC ACBAC ABC=∠∠,sinsin14BC ABCBACAC∠∠⋅==.即cos BAC∠=.又因为AC平分DAB∠,所以sin2sin cos14DAB BAC BAC∠∠∠==.16．已知抛物线24y x=的焦点为F,点,P Q在抛物线上,且满足π3PFQ∠=,设弦PQ的中点M到y轴的距离为d,则1PQd+的最小值为__________．【答案】1【解析】由抛物线24y x=可得准线方程为=1x-,设|||,0,,|(0)PF a QF b a b==>>,由余弦定理可得22222||||||2||||cosPQ PF QF PF QF PFQ a b ab=+-⋅∠=+-,由抛物线定义可得P到准线的距离等于PF,Q到准线的距离等于||QF,M为PQ的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线=1x-的距离为11(||||)()22PF QF a b+=+,则弦PQ的中点M到y轴的距离1()12d a b=+-,故2222222||()344(1)()()PQ a b ab a b abd a b a b+-+-=⨯=⨯+++,又2()0,20,4,a b a ba b ab++>>≤∴≤,则222223()()||441(1)()a ba bPQd a b++-≥⨯=++,当且仅当a b=时,等号成立,所以1PQd+的最小值为1.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB CD∥,12AD DC AB==,且平面PAD⊥平面ABCD,PD AD⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30 ,求二面角--A PB C 的正弦值.【解析】（1）证明：取AB 的中点E ,连接CE ,则由题意知BCE 为正三角形,所以60ABC ∠= ,由等腰梯形知120BCD ∠= ,设2AD CD BC ===,则4AB =,23BD =,故222AD BD AB +=,即得90ADB ∠=o ,所以AD BD ⊥,因为平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥平面ABCD ,又BD ⊂平面ABCD ,所以PD BD ⊥,因为AD PD D =I ,AD ,PD ⊂平面PAD ,所以BD ⊥平面PAD ,因为PA ⊂平面PAD ,所以BD PA ⊥.（2）由（1）得DA ,DB ,DP 两两垂直,以D 为坐标原点,DA ,DB ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,因为PD ⊥平面ABCD ,所以PB 平面ABCD 所成的角为30PBD ∠= ,设2AD CD BC ===,则23DB =2PD =,则()2,0,0A ,()002P ,,,()0,23,0B ,()3,0C -,则()2,0,2PA =-,()0,23,2PB =- ,()3,2PC =--,设平面PAB 的法向量为(),,m x y z=,则00PA m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即220320x z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取3z =,则3,1,3m = ,设平面PBC 的法向量为(),,n a b c = ,则00PC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020a c c ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,取c =则(n =,所以1cos ,7m n m n m n ⋅==,所以二面角A PB C --7=.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k = .若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.【解析】（1）1n a +2428n n n S a a =+-当1n =时,211114284S a a a =+-=,即()21112800a a a --=>,得14a =或12a =-（舍去）.由2428n n n S a a =+-,……①得()21114282n n n S a a n ---=+-≥,……②-①②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-,化简得()()1120n n n n a a a a ----+=.因为0n a >,所以120n n a a ---=,()122n n a a n -=+≥,即数列{}n a 是以4为首项,2为公差的等差数列,所以()22n a n n *=+∈N .（2）存在.当114k a a ==,238k a a ==时,会得到数列{}n a 中原次序的一列等比数列()121,,,,,1m k k k a a a k = ,此时的公比2q =,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列{}n a 中；下面证明此时的公比最小：114k a a ==,假若2k a 取26a =,公比为6342=,则323492k a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭为奇数,不可能在数列{}n a 中.所以11422m m m k a -+=⋅=.又1222m m k m a k +=+=,所以21mm k =-,即{}n k 的通项公式为()12n n k n -=∈*N ,故()1212122121 (212212)n nn n T n n +-=-+-++-=-=---.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果；方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.()20P K x ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.828【解析】（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,且()2 3.8410.05P K ≥=,所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii ）由（i ）得1221,32P P ==,故方案二在一次测试中通过的概率为2222122122222222221211214C 1C C C 1C C 332322329P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()222212212221122212222122C 1C C C 1C C P P P P P P P P P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,所以当1249PP =时,P 取到到最大值1627,又1243P P +=,此时1223P P ==,因为每次测试都是独立事件,故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ,期望值()16E X nP ==,因为1627p ≤,所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次,此时1223P P ==.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅ 为定值；(3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由．【解析】（1）由题可得1,2c a a ==,故可得2c =,则222413b c a =-=-=,故C 的标准方程为2213y x -=.（2）由（1）中所求可得点A ,2F 的坐标分别为()()1,0,2,0-,又双曲线渐近线为y =,显然直线PQ 的斜率不为零,故设其方程为2x my =+,m ⎛≠ ⎝⎭,联立双曲线方程2213y x -=可得：()22311290m y my -++=,设点,P Q 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则121222129,3131m y y y y m m +=-=--,()121224431x x m y y m +=++=--,()221212122342431m x x m y y m y y m --=+++=-；又直线AP 方程为：()1111y y x x =++,令12x =,则11321y y x =⋅+,故点M 的坐标为1113,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；直线AQ 方程为：()2211y y x x =++,令12x =,则22321y y x =⋅+,故点N 的坐标为2213,221y x ⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭；则22MF NF ⋅ 12123333,,221221y y x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212212122299999313444414413131y y m m x x x x m m -=+⋅=+⋅--+++-+--9990449=+⋅=-故22MF NF ⋅ 为定值0.（3）当直线PQ 斜率不存在时,对曲线22:13y C x -=,令2x =,解得3y =±,故点P 的坐标为()2,3,此时290PF A ∠=︒,在三角形2PF A 中,223,3AF PF ==,故可得245PAF ∠=︒,则存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；当直线PQ 斜率存在时,不妨设点P 的坐标为(),x y ,2x ≠,直线2PF 的倾斜角为α,直线PA 的倾斜角为β,则2PF A πα∠=-,2PAF β∠=,假设存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立,即2παβ-=,则一定有()22tan tan tan tan 21tan βπααββ-=-==-,也即2221PA PF PA k k k -=-；又22PF y k x -=--；()()()22222221211111PA PA yy x k x y k x y x ++==-+--+；又点P 的坐标满足2213y x -=,则2233y x =-,故()()()()222222*********PA PA y x y x k k x y x x ++==-+-+-+()()()()221212242212y x y x yx x x x x ++===--++--+-2PF k =-；故假设成立,存在实数常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠成立；综上所述,存在常数2λ=,使得222PF A PAF ∠=∠恒成立.21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）.（i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()()()310,,x x a f x x ∞--+='-.①若1a >时,01x <<11x a <<a x a >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值②若1a =时,()0f x '≤恒成立,()f x 单调递减,③若01a <<时0x a<<a 1<<a x 11x >()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ④若0a ≤时,()0,1x ∈时,()()0,f x f x '<单调递减；()1,x ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增.综上所述,当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减；当1a =时,()()0,,x f x ∞∈+单调递减；当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,(),1x a ∈,()f x 单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减；当0a ≤时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x f x ∞∈+单调递增.（2）（i ）由（1）知当1a >时,()()0,1,x f x ∈单调递减,()()1,,x a f x ∈单调递增,()(),,x a f x ∞∈+单调递减.所以()f x 存在三个零点,只需()0f a >和()10f <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭,整理得()1ln 2b a g a a >+=且12b a <.此时,()11111ln ln 22222b g a a a a a a a a a a --+<--+-=--,令()1ln 2h a a a =--,易知()h a 在()1,+∞上单调递减有()()1102h a h <=-<,所以()102b g a a a <-<-.（ii ）由（1）知,当01a <<时,()()0,,x a f x ∈单调递减,()(),1,x a f x ∈单调递增,()()1,,x f x ∞∈+单调递减所以12301x a x x <<<<<.若()f x 存在三个零点,只需()10f >和()0f a <即可,所以()2111ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()1111ln10122a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭,整理得11ln 22a b a a<<+,因为()2111ln 22a a f x x b x x x +=-+--+,设1t x =,则方程2111ln 022x a x b x x x +-+--+=,即为()2111ln 022a a t t x t b -+++-+=记123123111,,t t t x x x ===,则123,,t t t 为方程()2111ln 022a a t t t t b -+++-+=三个不同的根,设313111x t k t x a==>>.要证：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,即证：()()21313221138112381a a t t t t a a a a ++⎛⎫++--< ⎪++⎝⎭,即证：()()21321321138112381a a t t a a a a t t +++--<+++,而()21111111ln 022a a t t t t b -+++-+=且()23333111ln 022a a t t t t b -+++-+=,所以()()()22131313ln ln 102a t t t t a t t -+--+-=,所以131313ln ln 222t t t t a a t t -+--=-⨯-,即证：()()21321313ln ln 2113811381t t a a a t t a a a t t -++-⨯<-+++,即证：()()11323213ln1138110681t t t t a a t t a a ++++>-++,即证：()()221ln 11381101681k ka a k a a ++++>-++,记()()1ln ,11k k k k k ψ+=>-,则()2112ln 0(1)k k k k k ψ'⎛⎫=--> ⎪-⎝⎭,所以()k ψ在()1,+∞为增函数,所以()()k a ψψ>所以()()()()22221ln 1ln 113811113811011681681k ka aa a a a k a a a a a +++++++>+>--++++,设()()()()()221113811ln ,016181a a a a a a a a a ω-++=+<<+++,则()()6543222301412561413010(1)81a a a a a a a a a a a ω'++++++=>+++,所以()a ω在()0,1上是增函数,所以()()10a ωω<=所以()()()()221113811ln 06181a a a a a a a -+++<+++,即()()221ln 1138111681a aa a a a a ++++>-++所以若12301,a x x x <<<<,则()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；(2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入2240x y x +-=,得曲线1C 的极坐标方程为24cos ρρθ=,即4cos ρθ=．将cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩中的参数消去,得曲线2C 的普通方程为2220x y y +-=,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入,得曲线2C 的极坐标方程为22sin ρρθ=,即2sin ρθ=．（2）由题得4cos OP α=,3π4cos 4sin 2OM αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,π2sin 2cos 2ON αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,4sin 2cos NM OM ON αα=+=+,因为OP MN ⊥,所以()()2114sin 2cos 4cos 24sin cos 2cos 22MPN S MN OP αααααα=⨯=+⋅=+△()()22sin 2cos 21222αααϕ=++=++≤,其中1tan 2ϕ=,π02ϕ<<,当π22αϕ+=,即π42ϕα=-时,MPN △的面积取得最大值2．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,a b ¹,0c >．(1)求m 和n ；(2)证明：a b +<【解析】（1）函数()1g x x =-的最小值为0m =,此时1x =,当1x >时,()121f x x x x =-+=-,当01x ≤≤时,()11f x x x =-+=,当0x <时,()121f x x x x =--=-+,函数()21,111,0112,0x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-<⎩,函数在(,0]-∞上单调递减,在[1,)+∞上单调递增,当01x ≤≤时,()1f x =,所以函数()f x 的最小值为1n =,故0,1m n ==.（2）由（1）知0a b c ++=,1abc =,因为0a b c +=-<,10ab c=>,所以a<0,0b <,0a ->,0b ->,1()()a b c ab-+-==,又因为2()()()2a b ab a b a b --⎛⎫=--<≠ ⎪⎝⎭,所以212ab a b ⎛⎫> ⎪--⎝⎭,又1()()a b ab -+-=,所以3[()()]4a b -+->,所以()()a b -+->a b +<。

2023-2024学年四川省成都市高三适应性考试(理科)数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高三适应性考试（理科）数学模拟试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【正确答案】A【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.若集合{}2560A x x x =--≤，{}7B x x =>，则()R A B ⋂=ð（）A.(]1,7- B.(]1,6- C.()7,+∞ D.()6,+∞【正确答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2560x x --≤，即()()610x x -+≤，解得16x -≤≤，所以{}{}256016A x x x x x =--≤=-≤≤，()()R ,16,A ∴=-∞-+∞ ð，又{}7B x x =>，()()R 7,A B +∞∴= ð．故选：C ．3.构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A.高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B.除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C.高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D.各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大【正确答案】C【分析】利用极差的概念，平均数的概念以及根据统计图表的相关知识判断选项即可.【详解】对于A，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.58.51-=，A错误；对于B，两班的德育分相等，B错误；对于C，高三（1）班的平均数为9.59.259.599.59.355++++=，（2）班的平均数为9.58.599.599.15++++=，故C正确；对于D，两班的体育分相差9.590.5-=，而两班的劳育得分相差9.258.50.75-=，D错误，故选：C．4.某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为（）A.B. C.5 D.4【正确答案】A【分析】根据三视图还原四面体，该四面体的四个面都是直角三角形，确定最长的棱，利用勾股定理可以计算其长度.【详解】：四面体如图所示，其中SB ⊥平面ABC ，且ABC 中，90ACB ∠=︒.由SB ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC 得到SB AB ⊥，同理SB BC ⊥，所以棱长最大为SA ，则SA ===故选：A5.设π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）A.-2B.2C.-4D.4【正确答案】C【分析】先用两角差的正切公式可求出tan α的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以5tan 3α=，故πtan 1tan 441tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故选：C ．6.函数22sin 3()cos x xf x x x+=+在[,]-ππ的图像大致为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，可排除A ，再求出()f π判断正负，可排除BD.【详解】()()()()()222sin 32sin 3()cos cos x x x xf x f x x xx x -+-+-==-=-+-+- ，()f x \是奇函数，故A 错误；222sin 33()0cos 1f πππππππ+==>+- ，故BD 错误.故选：C.思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7.从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ，则向量(,)m a b = 与向量(2,1)n =-垂直的概率为（）A.19B.29C.13D.23【正确答案】B【分析】求出组成向量(,)m a b = 的个数和与向量(2,1)n =-垂直的向量个数，计算所求的概率值．【详解】解：从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a ，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b ，可以组成向量(,)m a b =的个数是339⨯=（个)；其中与向量(2,1)n =- 垂直的向量是(1,2)m = 和(2,4)m = ，共2个；故所求的概率为29P =．故选：B ．8.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为31.2mg /cm ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg 20.3≈，lg 30.477)≈（）A.8B.9C.10D.11【正确答案】A【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为 1.2(10.2)n y =-，在根据题意列出不等式解出即可．【详解】过滤第一次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-；过滤第两次污染物的含量减少20%，则为21.2(10.2)-；过滤第三次污染物的含量减少20%，则为31.2(10.2)-；过滤第n 次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-n ；要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，则1.2(10.2)0.2-≤n ，即5(64≥n，两边取以10为底的对数可得5lg(lg 64≥n，即52lg()lg 2lg 38⨯≥+n ，所以lg 2lg 313lg 2n +≥-，因为lg 20.3,lg 30.477≈≈，所以lg 2lg30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯，所以7.77n ≥，又*n ∈N ，所以min 8n =，故排放前需要过滤的次数至少为8次．故选：A ．9.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为（）A.y 2＝9xB.y 2＝6xC.y 2＝3x D.y 2【正确答案】C【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解．【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由抛物线定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3，所以p ＝|FG |＝12|FC |＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x ，故选：C.10.已知5log 2a =，0.7log 0.1b =，0.40.7c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b<<【正确答案】A【分析】由55log 1log 2log <<，0.70.7log 0.1log 0.71>=，10.400.70.70.7<<即可判断出大小．【详解】55log 1log 2log <<，即102a <<，0.70.7log 0.1log 0.7>，即1b >，10.400.70.70.7<<，即0.71c <<，所以a c b <<，故选：A ．11.当π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()πcos 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是31,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是（）A.π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.2π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】解法一：画出函数的图象，由x 的范围求出π33x +的范围，根据()f x 的值域可得答案；解法二：由x 的范围求出π33x +的范围，根据cos y x =的图象性质和()f x 的值域可得答案．【详解】解法一：由题意，画出函数的图象，由π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知5πππ33633x m ≤+≤+，因为π5πcos 662f ⎛⎫==-⎪⎝⎭且2π19f cos π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，要使()f x 的值域是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，只要2π5π918m ≤≤，即2π5π,918m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；解法二：由题π,6x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可知5πππ33633x m ≤+≤+，由cos y x =的图象性质知，要使()f x 的值域是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则π7ππ336m ≤+≤，解之得2π5π,918m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：D .12.如图，圆台12O O 的上、下底面圆半径分别为1、2，高12O O =S 、A 分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（）A.该圆台的体积为1423B.直线SA 与直线12O O 所成角最大值为π3C.该圆台有内切球，且半径为D.直线1AO 与平面12SO O 所成角正切值的最大值为2【正确答案】B【分析】对于A ，根据圆台的体积公式，可得答案；对于B ，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；对于C ，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案；对于D ，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案.【详解】对于A 选项，()π124π33V =++⋅=，则A 选项正确．对于B 选项，如图（1），过S 作SD 垂直于下底面于点D ，则12//O O SD ，所以直线SA 与直线12O O 所成角即为直线SA 与直线SD 所成角，即ASD ∠为所求，而tanAD ASD SD ∠==，由圆的性质得，13AD ≤≤，所以232tan ,44AD ASD SD ∠==⎣⎦，因为πtan 43<=，则B 选项错误．对于C 选，设上底面半径为1R ，下底面半径为2R ，若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为22221(22)3+=，假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为123R R +=，所以圆台存在内切球，2，则C选项正确；对于D 选项，如图（3），平面12SO O 即平面12SO O C ，过点A 做AH BC ⊥交BC 于点H ，因为SD 垂直于下底面，而AH 含于下底面，所以SD AH ⊥，又SD BC D = ，且,BC SD ⊂平面12SO O C ，所以AH ⊥平面12SO O C ，所以直线1AO 与平面12SO O C 所成角即为1AO H ∠，且11tan AH AO H O H∠=．设AH x =，则222224O H R AH x =-=-，所以222211228412O H O O O H x x =+=+-=-，其中[]0,2AH x =∈，所以121tan 12AH xAO H O H x∠==-当0x =时，1tan 0AO H ∠=，当(]0,2x ∈时，21221tan 12121x AO H x x ∠==--可知函数y =(]0,2上单调递增，所以当2x =时，1tan AO H ∠有最大值，最大值为2，所以D选项正确．故选：B .本题考查立体几何的内切球问题，线面角的最值求解，异面直线所成角的求解，圆台的体积的求解.对于D 选项这样的动点问题求最值，如果不能从图形中找到最值对应的点的位置，那么可以通过求函数最值的方法求解.第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某高中在校学生有2000人．为了响应“光体育运动”号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步a b c 登山xyz其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________．【正确答案】36人【详解】根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×3235＋＋＝36.14.二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的系数为______．【正确答案】7【分析】利用二项式定理直接求解.【详解】因为4(1)x -的二项展开式的通项公式为()14C rr r T x +=-，所以二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的项为()()424224441C C 7x x x x ⨯-+⨯-=，故二项式24(1)(1)x x +-展开式中4x 的系数为7.故7.15.已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且3b =，2a c -=，23A π=.则ABC 的面积为______.【正确答案】4【分析】由余弦定理结合已知条件可求出5c =，即可由面积公式求出面积.【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 3b =，2a c -=，23A π=，()222123232c c c ⎛⎫∴+=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得5c =，则ABC 的面积为11sin 352224S bc A ==⨯⨯⨯=.故答案为.153416.已知点()4,0F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若2AF FB =，则双曲线C 的方程为______．【正确答案】221124x y -=【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令点A 在直线0bx ay -=上，2216a b +=，如图，因为AF OA ⊥，则4||4bAF b ===，而2AF FB =，即有||2||2,||3FB AF b AB b ===，||OA a ===，sin 4bAOF ∠=，由2AF FB =知，点,A B 在y 轴同侧，于是π2(0,2AOB AOF ∠=∠∈，22cos 12sin 108b AOB AOF ∠=-∠=->，28b <，在Rt AOB △中，||OB ===由cos OA OB AOB =∠得：2(18ba =-，整理得：22228(16)(2)(8)b b b -=+-，化简得4214400b b -+=，解得24b =或210b =（舍去），所以24b =，212a =，所以双曲线方程为221124x y -=．故答案为.221124x y -=三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等差数列{}n a 的公差为正数，且11a =，若26114,2,a a a a -分别是等比数列{}n b 的前三项．（1）分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列11{}n n a a +的前n 项之和n S ．【正确答案】（1）21,3nn n a n b =-=（2）21n n S n =+【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，然后由已知可得()()()2111513d a a d a d -=++，解方程组可求出d 的值，从而可求得数列{}n a 的通项公式，进而根据题意可求出{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得11111()22121n n a a n n +=--+，再利用裂项相消法求出n S .【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，因为2a ，612a a -，14a 是等比数列{}n b 的前三项，所以()2612142a a a a -=，即()()()2111513d a a d a d -=++，化简得12d a =，又11a =，所以2d =．得()12121n a n n =+-=-．由（1），可得数列{}n b 的前三项分别为13b =，29b =，327b =，显然该等比数列{}n b 的公比为3，首项为3．所以3nn b =．综上，两数列的通项公式分别为21,3nn n a n b =-=．【小问2详解】111111((21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+．则11111111(1...)(1)2335212122121n n S n n n n =-+-++-=-=-+++18.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷．现从使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图，如图所示．（1）试估计使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．【正确答案】（1）40（分钟）（2）①可以认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%；②选B 款订餐软件，理由见解析【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算即可求得平均数；（2）①计算出使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分的频率，比较即可得解；②计算出使用B 款订餐软件商家的“平均送达时间”的平均数，与使用A 款订餐软件商家的“平均送达时间”的平均数进行比较即可得解.【小问1详解】依题意可得：使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为：15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40（分钟）．【小问2详解】①使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%＞75%．故可以认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%．②使用B 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35＜40．所以选B 款订餐软件．19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的菱形，120ABC ∠=︒，1PB =，PB AB ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．【正确答案】（1）证明见解析（2）60︒【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证AC PB ⊥，再根据题意，结合面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）根据题意可建立以点B 为原点，以直线BA BP BE 、、为x y z 、、轴的空间直角坐标系，再利用空间向量法，即可求出二面角的大小．【小问1详解】证明：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，且PB AB ⊥，PB ⊂面PAB ，∴PB ⊥平面ABCD ，∵AC ⊂面ABCD ，∴AC PB ⊥，由菱形性质知AC BD ⊥，∵PB BD B ⋂=，∴AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PBD ⊥平面PAC ．【小问2详解】解：如图，设CD 的中点为E ，∵112CE CD ==，60BCE ∠=︒，2BC =，BE CE ∴⊥∴BE AB ⊥，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，且BE AB ⊥，BE ⊂平面ABCD ∴BE ⊥面PAB ，又PB AB ⊥，所以,,BE PB AB 两两互相垂直，所以以点B 为原点，以直线BA BP BE 、、为x y z 、、轴，如图所示建立空间直角坐标系，可得()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,1,0P，(C -，(D ，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z =，而(AD =- ，()2,1,0AP =-，由00m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020x x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取x =得)=m ，设平面PBC 的一个法向量为(),,n a b c = ，且()0,1,0BP =，(BC =- ，由0n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00b a =⎧⎪⎨-=⎪⎩，取a =)n = ，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，则1cos cos ,2m n m n m nθ⋅===⋅，所以60θ=︒，故平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为60︒．20.如图．已知圆22:(2)81M x y -+=，圆22:(2)1N x y ++=．动圆S 与这两个圆均内切．（1）求圆心S 的轨迹C 的方程；（2）若()2,3P 、()2,3Q -是曲线C 上的两点，A B 、是曲线C 上位于直线PQ 两侧的动点．若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值．【正确答案】（1）2211612x y +=（2）123【分析】（1）设动圆S 与两个已知圆的切点分别为12,T T ，根据椭圆的定义可得点S 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，求出,a b 可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为12yx t =+，代入椭圆方程，由0∆>得t 的范围，利用韦达定理得四边形APBQ 的面积()2121234S x x x x =+-【小问1详解】如图，设动圆S 与两个已知圆的切点分别为12,T T ，由12ST ST =，91,8224SM SN SM SN ∴-=+∴+=>+=，所以点S 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，所以22228,4,24,2,16412a a c c b a c =====-=-=，所以点S 的轨迹方程为：2211612x y +=；【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为12y x t =+，代入2211612x y+=中，整理得22120x tx t ++-=，()224120t t ∆=-->，解得44t -<<，12x x t +=-，21212x x t =-，四边形APBQ 的面积121632S x x =⨯⨯-==当0=t 时，max S =APBQ面积的最大值为关键点点睛：第二问关键点是利用韦达定理表示四边形APBQ 的面积再求最值，能较好的考查学生思维能力、分析问题及解决问题的能力.21.若函数()()211ln 022f x a x x a x =-++>有两个零点12,x x ，且12x x <.（1）求a 的取值范围；（2）若()f x 在()1,0x 和()2,0x 处的切线交于点()33,x y ，求证.()312221x x x a <+<+【正确答案】（1）()0,∞+（2）证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数单调性，根据单调性及函数图象的变化趋势结合零点个数求解；（2）构造函数()()ln 1g x x x =--，利用单调性证明ln 1≤-x x 证明右边，再利用导数求切线方程得出()22121212ln ln x x a x x -=-，左边可转化为()11ln 12t t t t ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，利用导数证明即可.【小问1详解】()2a x af x x x x-+'=-=当0a ≤，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减，不可能两个零点；当0a >时，令()0f x '=得x =(0,x ∈，()0f x ¢>，()fx 单调递增，)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，∵0x →，()f x →-∞；()10f f a ≥=>；x →+∞，()f x →-∞∴(x ∈有唯一零点且)x ∈+∞有唯一零点，满足题意，综上：()0,a ∈+∞；【小问2详解】先证右边：令()()ln 1g x x x =--则()1xg x x-'=，∴()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()g x 的最大值为()10f =，∴()0g x ≤，即ln 1≤-x x ，∴()()()()22111121ln 212122102222f a a a a a a a a a a +=+-+++≤⋅-+++=-<且21a +>∴221x a <+，又∵()10f >，∴11<x ，∴()1221121x x a a +<++=+；再证左边：曲线()y f x =在()1,0x 和()2,0x 处的切线分别是()1111:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2222:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭联立两条切线得123121x x x ax x +=+，∴123121x x ax x x +=+，由题意得()222111221222111ln 022211ln ln ln 022a x x a x x a x x a x x a ⎧-++=-⎪⎪⇒=⎨-⎪-++=⎪⎩，要证3122x x x <+，即证1232x x x +>，即证121a x x >，即证122112121ln x x x x xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭>，令121x t x =<，即证()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭，令()11ln 2h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()22102t h t t -'=-<，∴()h t 在()0,1单调递减，∴()()10h t h >=，∴()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭得证.综上.()312221x x x a <+<+关键点点睛：导数题目中的证明题，主要观察所证不等式，直接构造函数，或者将不等式转化变形后，利用导数判断函数的单调性及最值，利用函数的单调性或有界性求证，对观察、运算能力要求较高，属于难题.（二）选考题[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知直线l的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），曲线C 是以点(0,2)C 为圆心，且过坐标原点的圆．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若M ，直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求||||||||MB MA MA MB +的值．【正确答案】（1）:4sin C ρθ=，()π:R 3l θρ=∈（2）3312-【分析】（1）根据直角坐标方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==即可化成极坐标方程，由参数方程消参即可得普通方程，再由普通方程化为极坐标.（2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理，结合直线的参数方程中参数的几何意义即可求解，或者由两点坐标公式求解.【小问1详解】由曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=，由cos ,sin x y ρθρθ==得其极坐标方程为4sin ρθ=．又由直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得直线y =，所以直线l 的极坐标方程为()πR 3θρ=∈．【小问2详解】解法一：将直线l的参数方程代入曲线可得，22133140222t t ⎫⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭，整理可得，()2440t +--=．设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,t t 是方程的两个根．由韦达定理可得，121244t t t t ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩．所以，1221||||||||t t MB MA MA MB t t +=+()22212121212122t t t t t t t t t t +-+==242412----=解法二：联立直线l 与曲线C 的方程2240y x y y⎧=⎪⎨+-=⎪⎩可得，20x -=，解得10x =，2x =．代入y =可得，10y =，23y =．不妨设()0,0A ，)B，则2MA ==，)21MB ==．所以，)21||||331||||22MB MA MA MB -+==．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()12f x x x a =--+.（1）当12a =时，求不等式()0f x 的解集；（2）当1a - 时，若函数()12g x xb =+的图象恒在()f x 图象的上方，证明.232b a ->【正确答案】（1）{2xx -∣ 或0}x（2）证明见解析【分析】（1）分类讨论x 的范围得到()f x 的解析式，然后列不等式求解即可；（2）根据()f x 的单调性得到max ()1f x a =+，然后根据函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方得到()112g a a b a -=-+>+，即可证明232b a ->.【小问1详解】当12a =时，()12,211123,1222,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，所以当12x <-时，20x +≤，解得2x ≤-；当112x -≤≤时，30x -≤，解得01x ≤≤；当1x >时，20x --≤，解得1x >.综上，不等式()0f x ≤的解集为{2xx ≤-∣或0}x ≥.【小问2详解】证明：当1a ≥-时，()21,12321,121,1x a x a f x x x a x a a x x a x ++<-⎧⎪=--+=--+-≤≤⎨⎪--->⎩，所以当x a =-时，()f x 取得最大值，且max ()1f x a =+.要使函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，由数形结合可知，必须满足()112g a a b a -=-+>+，即232b a ->，原不等式得证.。

江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析

江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}22,0,1,2,3A x x x B =-≥=，则()RBA =（）A ．{0}B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设复数z 的共轭复数为z ，若()()1i i z z -=∈C ，则z 对应的点位于复平面内的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC ∆中点N 满足2AN NC =，记BN a =，NC b =那么BA =（） A ．2a b -B ．2a b +C ．a b -D ．a b +4．将正弦曲线向右平移π4个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到下列哪个函数的图象（） A ．π2sin()4x + B ．π2sin()4y x =- C ．1πsin()24y x =+D ．1πsin()24y x =-5．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（）A ．3B ．14C ．28D ．426．如图，一个底面半径为2a 的圆锥，其内部有一个底面半径为a 的内接圆柱，3a ，则该圆锥的体积为（）.A 3a B 3a C ．3a D ．3a7．已知函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，则f (16)＝（） A ．﹣1 B ．1C ．2D ．48．记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（） A ．1B ．2C ．5D ．8二、多选题9．已知正四棱锥的侧面积为）A B ．侧棱与底面所成的角为60︒ C ．棱锥的每一个侧面都是等边三角形D ．棱锥的内切球的表面积为(8π- 10．已知,,0x y x y ∈<<R 且，则（） A ．sin sin x y >的离心率为12，左，右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（）A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为C ．12PF F △D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=12．以下命题正确的是（）A ．设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若()()()()1212f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数B ．若对任意1x ，2x ∈R 都有()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上单调递增，则()()f xg x +在R 上也单调递增C ．已知0a >，1a ≠函数(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、填空题13．若(6x 的展开式中4x 的系数为30，则=a ______.14．点P 为抛物线y 2＝x 上的动点，过点P 作圆M ：(x －3) 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A ，则PA ·PM 的最小值为________．15．若直线y x m =+与曲线2y ax =和ln y x =均相切，则=a __________.16．设点O 是面积为4的ABC 内部一点，且有340OA OB OC ++=，则BOC 的面积为__________.四、解答题17．在凸四边形ABCD 中(1)若=45ABC ∠︒，求CD ；(2)若BCD ∠的角平分线交对角线BD 于点E ，求BC CE CD ++的最大值． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中(1)求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ； (2)若AC 与平面1A BC 所成的角为π6，点E 为线段1A C 的中点，求平面AEB 与平面CEB 夹角的大小． 19．古人云:“腹有诗书气自华.”现在校园读书活动热潮正在兴起，某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取200名学生，获得了他们一周课外读书时间（单位:h ）的数据如表所示:(1)求,a b 的值;如果按读书时间0,6],6,12],1(((2,18]分组，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取20人，再从这20人中随机选取3人，求恰有2人一周课外读书时间在(12,18]内的概率.(2)若将样本频率视为概率，从该校学生中随机选取3人，记X 为一周课外读书时间在(12,18]内的人数，求X 的分布列和数学期望，并估计该校一周人均课外读书的时间. 20．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中*N n ∈.(1)若12a =和2nn b =.①求证：{}n a 为等比数列； ②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 21．已知点A 是抛物线x 2＝2py （p ＞0）上的动点，过点M （－1，2）的直线AM 与抛物线交于另一点B ． (1)当A 的坐标为（－2，1）时，求点B 的坐标；(2)已知点P （0，2），若M 为线段AB 的中点，求PAB 面积的最大值．22．记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足()()00f x g x =，且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．已知()ln f x x ax =+和()2g x bx =．(1)若1b =，()f x 和()g x 存在“S 点”，求a 的值；(2)对任意0a >，是否存在实数0b >，使得()ln f x x ax =+，()2g x bx =存在“S 点”？请说明理由．参考答案与解析1．B【分析】求出A 及其补集，通过交集运算求得结果.【详解】集合{}{221A x x x x x =-≥=≤-或2}x ≥R {|12}A x x ∴=-<<又{}0,1,2,3B = 所以()RBA ={}0,1故选：B ． 2．C【分析】利用复数除法运算求得z ，从而求得z ，进而确定正确答案. 【详解】依题意()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+ 所以11i 22z =--，对应点为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限.故选：C 3．A【分析】根据向量的线性运算将BA 分解为BA BN NA =+，再转化为a ，b 表示即可. 【详解】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-. 故选：A. 4．B【解析】左右平移变换是横坐标x 改变，原则简记为 “左加右减”；伸缩变换是相应变量乘以对应倍数即可.【详解】sin y x =向右平移π4个单位长度得sin(4)πy x =-，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得π2sin()4y x =-. 故选：B.【点睛】本题考查图象的平移和伸缩变化，要牢记每一种变换对解析式系数的影响，方可解决此类题. 5．D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D. 6．B【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积. 【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB 为圆锥的高设内接圆柱的高为h ，而2,BC a BD r a ===3a ，即23πa h a =则h =由于AB ED ∥,故CAB CED △∽△，则h DCAB BC=即22a aa-=，故AB =所以圆锥体积为231π(2)3V a a =⨯⨯=故选：B 7．C【分析】根据16＝24，代入求解即可．【详解】∵函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，且f (16)＝f (24) ∴f (16)＝f (24)＝log 24＝2 故选：C ． 8．D【分析】分类讨论，当平面α与平面234A A A 平行时，分析可得2个，当平面α经过234A A A △的中位线时分析可得6个，从而得解．【详解】到点23,A A 和4A 的距离相等的平面α有两种类型，与平面234A A A 平行或者经过234A A A △的某一条中位线．当平面α与平面234A A A 平行时，如下图1设121314,,A A A A A A 的三等分点分别为234,B B B ,（靠近1A ）对于平面234B B B ，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，平面234B B B 符合题意．在线段1i A A 的延长线上取i C 使得()12,3,4i i i A A AC i == 对于平面234C C C ，利用三角形相似可知1212222A A d AC d A C ==，平面234C C C 符合题意即平面α与平面234A A A 平行时，满足条件的平面有2个；设232434,,A A A A A A 的中点分别为,,E F G 当平面α经过234A A A △的中位线EF 时如下图2：对于平面2B EF ，2B 在线段12A A 上且12222A B A B =利用三角形相似可知1212222AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面2B EF，34A A⊄平面2B EF，可得34A A//平面2B EF且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面2B EF的距离相等因此平面2B EF符合题意．如下图3：对于平面34B B FE，3B在线段13A A上，4B在线段41A A上且131433442A B A BA B A B==，利用三角形相似可知1313332AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面34B B FE，34A A⊄平面34B B FE，可得34A A∥平面34B B FE且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面34B B FE的距离相等因此平面34B B FE符合题意．对于中位线EG GF、，也有类似结论,即平面α经过234A A A△的某条中位线时，满足条件的平面有6个综上所述，符合题意的平面共有8个．故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题. 9．ACD【分析】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当1a =，及2b =时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.【详解】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，则14242a S =⨯⨯=侧面即=而21(2)3V a =⨯=故243a V ==设26()3(0f a a a a =-<<，则()()()542666161(1)()'1a a a a a f a a a a =-=-=++-易知函数()f a 在()0,1单调递增，在单调递减∴当1a =时，()f a 取得最大值，此时棱锥的体积最大，且2b = ∴底面边长为2，侧棱长为A 正确；侧棱与底面所成的角为PBO ∠，而sin OP PBO PB ∠=45PBO ∠=︒，选项B 错误；由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C 正确；设内切球的半径为r ，由于P ABCD V -=1442242S ⎛=+⨯⨯⨯=+ ⎝⎭表∴3V r S ===表∴4(8S ππ==-内，选项D 正确.故选：ACD .10．BCD【分析】取特殊值可说明A 错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C 的对错；利用作差法可判断D 的对错.【详解】对于A ，取2,33x y ππ==满足,,0x y x y ∈<<R 且，但sin sin x y =，故A 错；对于B ，12y x =是定义域上的增函数，故,,0x y x y ∈<<R 且B 正确；对于C, 0x y -<,故0221x y -<=，故C 正确；对于D ，011(1)(1)x y x y x y x y --=<++++故11x y x y <++，故D 正确故选：BCD. 11．BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=解得2,1a c == 2223b a c =-= 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误；对于B ，椭圆C 的短轴长为2b =B 正确；对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y 当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时0==y b 12PF F △C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n == 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==和6mn =所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC. 12．ABD【分析】A 选项，利用赋值法及()f x 的奇偶性推导出()g x 的奇偶性；B 选项，利用定义法和()f x 在R 上单调递增证明出结论；C 选项，对a 分类讨论，由单调性求出最值，列出方程，求出a 的值；D 选项，由函数的对称性求解.【详解】令21x x =-，则()()()()1111f x f x g x g x +-≥+-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()1111f x f x g x g x -≥+-恒成立，即()()110g x g x ≥+-，所以()()110g x g x +-=，即()()11g x g x -=-，所以则()g x 也是奇函数，A 正确；设12x x <，因为()f x 在R 上单调递增，所以()()12f x f x <，因为()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，所以()()()()()()121221f x f x g x g x f x f x -<-<-，从而()()()()11220f x g x f x g x +-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 令()()()h x f x g x =+，则()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x -=+--<，所以()()12h x h x <，故()()()h x f x g x =+在R 上也单调递增，B 正确；当1a >时，(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩在[]0,2上的最大值为()1f a =，最小值为()01f =或()22f a =-，当512a -=时，解得：72a =此时()3212f =>，满足题意；当()522a a --=时，522=无解，舍去；当01a <<时，在[]0,1x ∈上，()xf x a =是减函数，(]1,2x ∈上，()f x x a =-+是减函数，因为()011f a =>-+，所以函数最大值为()01f =，而()()2211f a a f =-+<-+=，所以函数的最小值为()22f a =-+，因此()5122a --+=，解得：()10,12a =∈符合题意；综上：实数a 的取值集合为1,272⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C 错误；由()()2f x f x -+=可得：()f x 关于()0,1中心对称，()1x g x x+=也关于()0,1中心对称，从而()f x 与()g x 的图象的交点关于()0,1中心对称，从而1280x x x ++⋅⋅+=⋅与128248y y y ++⋅⋅⋅+=⨯=，D 正确. 故选：ABD【点睛】抽象函数的对称性有以下结论：若()()f a x f b x c -++=，则()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；若()()f a x f b x -=+，则()f x 关于2a bx +=对称.13．2【分析】利用二项展开式的通项公式，列式求a .【详解】二项展开式的通项公式616rr rr T C x-+=⋅⋅当2r =时，4x 的系数是2630C a ⋅=解得：2a = 故答案为：214．74【分析】求出22||||1PA PM PA PM ⋅==-，设点2(,)P y y ，化简表达式，利用二次函数的性质，求解最小值即可．【详解】解：由已知易得22||||1PA PM PA PM ⋅==-设点2(,)P y y ，则()22224222577||13158()244PM y y y y y -=-+-=-+=-+当252y =时，2||1PA PM PM ⋅=-取得最小值74．故答案为：7415．14##0.25【分析】先根据直线和ln y x =相切求出m ，再利用直线和2y ax =相切求出a . 【详解】设直线y x m =+与ln y x =相切于点()00,ln x x 1y x'= 因为直线y x m =+与ln y x =相切，所以011x =，且00ln x x m =+；解得01,1x m ==-；因为直线1y x =-与曲线2y ax =相切联立得210ax x -+=，0a ≠且140a ∆=-=，即14a =. 故答案为：1416．12##0.5【分析】根据340OA OB OC ++=确定点O 的位置，然后将面积比转化为边长比即可.【详解】340OA OB OC ++= 371747OA OB OC ∴=-+；设17OA OD -=；则：3477OD OB OC =+,即B,C,D 三点共线；所以||18||BOC ABCS OD AD S==； 11482BOCS∴=⨯=；故答案为：12 17．；．【分析】（1）运用差角公式求得sin DBC ∠，再运用正弦定理求得CD 即可.（2）运用余弦定理及基本不等式求得BC CD +的范围，由等面积法求得CE ，将问题转化为求关于BC CD +的二次型函数在区间上的最值. 【详解】（1）连接BD ，如图所以35,sin5BD ABD=∠=4cos5ABD∠=所以43sin sin(45)()55DBC ABD∠=︒-∠-BCD△中sin sinCD BDDBC DCB=∠∠；∴sinsinBDCD DBCDCB=⋅∠==∠（2）BCD△中2222cos120BD BC CD BC CD=+-⋅⋅︒∴2222()325()()()44BC CDBC CD BC CD BC CD BC CD+=+-⋅≥+-=+，当且仅当BC CD=时取等号∴2100()3BC CD+≤，即：0BC CD<+∵BCD BCE CDES S S=+△△△∴111sin120sin60sin60222BC CD BC CE CD CE⋅⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒∴BC CD BC CE CD CE⋅=⋅+⋅∴2()25BC CD BC CDCEBC CD BC CD⋅+-==++∴2()25BC CDCE CD BC BC CDBC CD+-++=+++令t BC CD=+∴225252tCE CD BC t tt t-++=+=-0t<∵252y tt=-在（上单调递增∴当t y取得最大值为2.∴BC CE CD++.18．(1)证明见解析；(2)π3.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面11ABB A ，再由面面垂直的判定定理得证；（2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角. 【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中1A A BC ⊥ 又AB BC ⊥，1A AAB A =和1,A A AB ⊂平面11ABB A所以BC ⊥平面11ABB A ，又BC ⊂平面1A BC 所以平面1A BC ⊥平面11ABB A . （2）设11A BAB M =，连接CM ，如图则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥∵平面1A BC ⊥平面11ABB A 且交线为1A B ，AM ⊂平面11ABB A ∴AM ⊥平面1A BC所以直线AC 与平面1A BC 所成的角为π6ACM ∠=又12AA AB ==，则2AM AC BC = 以B 为原点，1,,BA BC BB 分别为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系则(2,0,0),(0,2,0),(1,1,1)A C E 设平面AEB 的法向量为(,,)n x y z =20n BA x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =，则0,1x z ==-，故(0,1,1)n =- 设平面CEB 的法向量为()111,,m x y z =111120m BC y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11x =，则10y =，11z =-故(1,0,1)m =- 设平面AEB 与平面CEB 的夹角为θ ∴1cos 2||||n m n m θ⋅==⋅，又π02θ<≤ π3θ∴=.19．(1)1224，a b ==；读书时间在(12,18]内的概率为91190； (2)分布列见解析，()E X =3920；该校一周人均课外读书的时间为12.32h.【分析】（1）由频数÷总数=频率可得,a b 的值；由分层抽样可知20人中在]((0,6],6,12中的有7人，在(12,18]中的有13人，据此可得答案；（2）由题可得X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此可得分布列及期望；结合表格数据可估计该校一周人均课外读书的时间.【详解】（1）由频数÷总数=频率可得2000.0612,2000.1224a b =⨯==⨯=. 由题意知，从样本中抽取20人，抽取比例为110，所以从(](](]0,6,6,12,12,18三组中抽取的人数分别为2，5，13，从这20人中随机抽取3人，恰有2人一周课外读书时间在(]12,18内的概率12713320C C 91C 190P ==.（2）由题意得，总人数为200，一周课外读书时间在(]12,18内的人数为130，因此从该校任取1人，一周课外读书时间落在区间(]12,18内的概率是1320. X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以33137()C (0,1,2,3)2020kkk P X k k -⎛⎫⎛⋅⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为数学期望1339()32020E X =⨯=. 该校一周人均课外读书时间的估计值为10.0230.0350.0570.0690.07110.1213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.25150.23170.1712.32(h)+⨯+⨯=.20．(1)①证明见解析；②1(1)22+=-⋅+n n S n(2)20241849=T【分析】（1）①，利用累加法求解n a 即可；②由①得2n n a =,令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S ,利用错位相减法求解数列的和即可；（2）推出数列{}n a 是一个周期为6的周期数列,然后求解数列{}n a 的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出12,a a ，则得到答案.【详解】（1）①证明：12nn n a a +-=，当2n ≥时累加得()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1212222n n --=++++()12122212n n --=+=-11222n n n n a a ++∴== ()2n ≥ 又211212,2,4,2a a b a a ===∴=所以{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列.②由①得2n n a =，令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S则2311231122232(1)22n nn n n S c c c c c n n --=+++⋯++=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，A23412122232(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，BA B -得23122222n n n S n +-=+++⋯+-⋅()211121222(1)2212n n n n n -++-=+-⋅=-⋅--1(1)22n n S n +∴=-⋅+（2）若21n n n n b a a a ++==-，则32163n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=-⇒=-= 所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，设1a m = 2a t =1234560a a a a a a ∴+++++=设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则60n T =. 所以629110486332221926963T T T a a ⨯+====⇒= 7712655377T T T a ⨯+====，所以123886a a a =-=所以2024337622128869631849T T T a a ⨯+===+=+=. 21．(1)()6,9 (2)2【分析】（1）将A 的坐标代入抛物线方程可得抛物线的方程为：24x y = 再根据直线AM 的方程，联立抛物线方程可得B 的坐标；（2）设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 联立抛物线的方程，结合韦达定理与M 为线段AB 的中点可得1pk =-再代入PAB 的面积可得S =进而根据二次函数的最值求解即可 (1)当A 的坐标为()2,1-时，则2221p =⋅，所以24p = 所以抛物线的方程为：24x y = 由题意可得直线AM 的方程为：()211212y x --=+-+，即3y x代入抛物线的方程可得24120x x --=解得2x =-（舍）或6 所以，B 的坐标为()6,9 (2)法一：设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 即2y kx k =++设直线AB 与y 轴的交点为Q ，()11,A x y 和()22,B x y由222y kx k x py=++⎧⎨=⎩ 可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=和1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 令0x =，2y k =+即()0,2Q k +，所以PQ k = 则PAB 的面积12111222S PQ x x k k =⋅-=⋅=⋅12k =⋅把1pk =-代入上式，S当2k =时，则max 2S =，所以PAB 的面积的最大值为2．（2）法二：222y kx k x py =++⎧⎨=⎩可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=，1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 设点P 到直线AB 的距离为d，则d =AB ==1122S AB d k =⋅=⋅把1pk =-代入上式 S所以，当2k =时，ABC 的面积的最大值为2 22．(1)1(2)存在，理由见解析【分析】（1）设“S 点”为0x ，然后可得200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，然后解出即可；（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”，设为1x ，然后可得2111ln x ax bx +=，1112a bx x +=，消去b 得1112ln 0x ax -=>，然后可得10x <消去a 得1211ln x b x -=，然后证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解即可. 【详解】所以200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去a 得200ln 1x x +=记()2ln h x x x =+，显然()h x 在()0,+∞上是增函数，而()11h =因此200ln 1x x +=只有一个解01x =，所以211a =-=．（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点” 设为1x ()2g x bx '= 所以2111ln x ax bx +=①，1112a bx x +=②，由②得21112ax bx +=③ ①③消去b 得1112ln 0x ax -=>，11ln 2x <和10x < ①③消去a 得1211ln x b x -=，在10x <<1211ln 0x b x -=> 下面证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解设()(0l 1n 2x H x ax x =--<<，函数()H x在定义域(上是减函数0x →时 ()H x →+∞0H=-<，图像连续不断，所以存在10x <使得()10H x =．综上，任意0a >，存在实数1211ln 0x b x -=>，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”。

天津市高三模拟考试(理科)数学试卷-带答案解析

天津市高三模拟考试（理科）数学试卷-带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．集合{}24A x x => 和 {}51B x x =-<<，则()R A B ⋂=（）A ．{}52x x -<<-B ．{}22x x -<<C ．{}21x x -<<D ．{}21x x -≤<2．若21:|34|2,:02p x q x x -<<--，则p ⌝是q ⌝的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()2114cos 22x x x xf x ---+=+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[]80,130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，树木的底部周长小于100cm 的棵数是（）A ．18B ．24C ．36D ．485．当曲线y 240kx y k -++=有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是（） A ．3(,0)4-B ．35,4[)12-C ．3[1,)4--D ．3(,]4-∞-6．设,,1,1x y R a b ∈>>，若3x y a b == 2a b +=，则11x y+的最大值为（）A ．4B ．3C ．2D ．17．已知双曲线22:1124x y C -= ，点F 是C 的右焦点，若点P 为C 左支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则||d PF +的最小值为（）A ．2+B ．C ．8D ．108．将函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象若()g x 在5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减则ω的最大值为（） A ．14B ．34C ．12D ．19．已知函数222,0()ln ,0x kx k x f x x x ⎧++⎪=⎨>⎪⎩ 若关于x 的不等式()f x k 的解集为[,][,]m n a b ⋃ 且n a <127232mn ab k +-< 则实数k 的取值范围为（）A ．54,167⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,87⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．15,88⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题10．已知i 为虚数单位则复数2021i =_______.11．若2nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为256 则展开式中常数项是__________． 12．已知2x > 则42x x +-的最小值是______．13．圆柱的体积为34π 若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上则该球的体积为____________.三、双空题14．某志愿者召开春季运动会为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍欲从4名男志愿者 3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是___________；若用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数则()E X =___________.15．已知平面四边形ABCD AC BD ⊥ 3AB = 2AD = 712DC AB =则BAD ∠=______；动点E F 分别在线段DC CB 上且DE DC λ= CF CB λ= 则AE AF ⋅的取值范围为____.四、解答题16．记ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c 已知点D 为AB 的中点点E 满足2AE EC = 且()()cos cos cos πsin a A a B C A C +-=-．(1)求A ；(2)若BC =DE =求ABC 的面积． 17．如图,正三棱柱111ABC A B C 中,E 是AC 中点．(1)求证:1AB 平面1BEC ;(2)若2AB =,1AA ,求点A 到平面1BEC 的距离;(3)当1A A AB 为何值时,二面角1E BC C --18．已知坐标平面内三点()()()2,4,2,0,1,1A B C ---. (1)求直线AB 的斜率和倾斜角；(2)若,,,A B C D 可以构成平行四边形且点D 在第一象限求点D 的坐标； 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 公差0d > 且231424,10a a a a =+=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()*12111N n nT n S S S =++⋯+∈ 求n T ． 20．已知函数()2e xf x x =．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)证明：当0x >时 ()3e 2e xf x ≥-．参考答案与解析1．D【分析】解出集合A 利用补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】24x > 则2x >或<2x - 则{2A xx =<-∣或2}x > R{22}A x x =-≤≤∣{51}B x x =-<<∣ 则()R {21}A B xx ⋂=-≤<∣ 故选：D. 2．B【分析】首先解不等式得到p ⌝：2x ≥或23x ≤q ⌝：2x ≥或1x ≤- 再根据包含关系即可得到答案. 【详解】|34|2x -< 得2342x -<-< 即223x << 即p ⌝：2x ≥或23x ≤.由2102x x <--得220x x --< 即12x -<< q ⌝：2x ≥或1x ≤-.因为{|2x x ≥或1}x ≤-{|2x x ≥或2}3x ≤所以p ⌝是q ⌝的必要不充分条件．故选：B 3．C【分析】由已知可得 ()04f = 可得出A 、B 项错误；根据()π0f > 可得出D 项错误. 【详解】由已知可得 ()f x 定义域为R 且()21104cos0442210f --+==+= 所以A 、B 项错误；又()()()()2211114cos 4cos 2222x x x x x x x xf x f x -------+-+-===++ 所以()f x 为偶函数. 又()22π1π1π1π1π4cos ππ4π02222f ------+-==>++ 所以D 项错误 C 项正确.故选：C. 4．B【分析】根据频率直方图中小矩形的面积代表这一组的频率进行求解即可. 【详解】由频率直方图可知：树木的底部周长小于100cm 的棵数为：(0.0150.025)106024+⨯⨯=故选：B 5．C【分析】作曲线y =24y kx k =++的图象计算出直线24y kx k =++与曲线y =时对应的实数k 的值数形结合可得结果.【详解】对方程y =224y x =- 即()2204y x y +=≥所以曲线y 224x y +=的上半圆对直线方程变形得()24y k x =++ 该直线过定点()2,4P - 且斜率为k 如下图所示：当直线24y kx k =++与半圆y 2= 解得34k =-当直线24y kx k =++过点()2,0A 时 440k += 解得1k =-.由图形可知当曲线y 24y kx k =++有两个相异的交点时 31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.故选：C 6．C【分析】先解出,x y 再根据对数性质化简最后根据基本不等式求最值. 【详解】3log 3,log 3x y a b a b x y ==∴==333log l 1og log ()1a b ab x y∴+=+=29a b ab +=≤（当且仅当2a b =时取等号）因此3log 1192y x +≤=即11x y+的最大值为2 故选：C【点睛】本题考查指数式与对数式转换、对数运算性质、基本不等式求最值考查综合分析求解能力属中档题. 7．A【分析】设双曲线左焦点为(40)F '-，,求出其到渐近线的距离利用双曲线定义将||d PF +转化为2||a PE F P ++' 利用当,,P F E '三点共线时 2F a PE P ++'取得最小值即可求得答案.【详解】由双曲线22:1124x y C -=,可得2a b == (40)F ，设双曲线左焦点为(40)F '-，不妨设一条渐近线为:b l y x x a =-= 即0x = 作PE l ⊥ 垂足为E 即||PE d = 作F H l '⊥,垂足为H 则||2F H '==因为点P 为C 左支上的动点所以2PF PF a '-= 可得2PF a PF '=+ 故2|2|d FP PE a PF a PE F P '+=++=++'由图可知当,,P F E '三点共线时即E 和H 点重合时 2||a PE F P ++'取得最小值最小值为2||2F H '⨯=即||d PF +的最小值为2 故选：A ． 8．B【分析】求得()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 由5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得4444x πωπππωωπ<-+<+ 结合函数()g x 的单调性可得出关于ω的不等式由此可得出ω的最大值.【详解】将()f x 的图象向右平移4π个单位长度后得到()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象. 因为5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以4444x πωπππωωπ<-+<+ 因为()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减所以4πωππ+≤ 304ω<≤ 所以ω的最大值为34.故选：B. 9．A【分析】易知0k > 由表达式画出函数图像再分类讨论y k =与函数图像的位置关系结合不等关系即可求解【详解】易知当0k > 0x 时 22227()224k f x x kx k x k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭()f x 的图象如图所示.当直线y k =在图中1l 的位置时 22724k k k << 得1427k <<,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根即2220x kx k k ++-=的两根故22mn k k =-；而1ab =则2211327212122232mn ab k k k k k k +-=-+-=-+<即2644850k k -+< 解得1588k << 所以1427k <<；当直线y k =在图中2l 的位置时 22k k 且0k > 得102k <；此时0n = 则112712232mn ab k k +-=-< 得51162k <≤.所以 k 的取值范围是54,167⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系数形结合思想分类讨论思想属于中档题 10．i ．【解析】直接利用虚数单位i 的运算性质得答案. 【详解】20214505()i i i i ==；故答案为：i ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算考查了虚数单位i 的性质是基础题． 11．28【分析】根据二项式展开式的系数和公式可得n 的值然后再利用展开式通项公式求得常数项.【详解】解：因为2nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为256 所以2256n= 故8n = 即该二项式为882223x x x -⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎝设其展开式的通项为1k T + 则1k T +=()()()2216282338811kk k kkk k k C xx C x----⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当216203k k --=时即6k = 此时该项为()668128C ⨯-=故答案为：28. 12．6【分析】根据给定条件利用均值不等式计算作答.【详解】2x >则44(2)22622x x x x +=+-+≥=-- 当且仅当422x x =-- 即4x =时取“=” 所以42x x +-的最小值是6. 故答案为：6 13．43π 【分析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高由勾股定理求出球的半径根据球的体积公式可得结果.【详解】设圆柱的高为h圆柱体积为34π 234h ππ∴⨯⨯=⎝⎭1h = 设球半径为R 则()22221R =+244R = 可得1R =∴球的体积为34433R ππ= 故答案为43π.【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质以及柱体与球体的体积公式意在考查综合运用所学知识解答问题的能力考查了空间想象能力属于中档题. 14．217 97##219 【分析】由条件概率公式计算在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率由古典概型概率公式计算事件0,1,2,3X =的概率再由期望公式公式得结论．【详解】由题意三人全是男志愿者即事件X 0= 34374(0)35C P X C === 21433718(1)35C C P X C ===()12433712235C C P X C === 33371(3)35C P X C ===181219()1233535357E X =⨯+⨯+⨯= 再记全是男志愿者为事件A 至少有一名男志愿者为事件B 4()(0)35P A P X ===34()1(3)35P B P X =-== 4()235(|)34()1735P AB P A B P B ===．故答案为：217；97． 15．2π3##120︒ 819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据向量基本定理和向量垂直的数量积为0计算得到1cos 2BAD ∠=- 求出2π3BAD ∠= 建立直角坐标系写出点的坐标表达出向量,AE AF 的坐标从而求出向量数量积的关系式求出取值范围. 【详解】712AC AD DC AD AB =+=+BD AD AB =- 所以()22757121212AC BD AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭57554cos 9cos 0121242AB AD BAD BAD =-⋅⋅∠-⨯=--∠= 解得：1cos 2BAD ∠=-因为()0,πBAD ∠∈ 所以2π3BAD ∠=以A 作坐标原点 AB 所在直线为x 轴垂直AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系则()()(30,0,3,0,,4A B DC ⎛- ⎝因为DE DC λ= CF CB λ= 01λ≤≤ 所以设((),,E m F n t由()71,0,04m λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：714m λ=-39,,44nt λ⎛⎛-= ⎝⎝解得：93,44n t λ=+= 所以)279363639144416164AE AF λλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭、26318116264λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当12λ=时 26318116264AE AF λ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值最小值为8164 当0λ=或1时取得最大值最大值为94所以AE AF ⋅的取值范围是819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：2π3 819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．(1)2π3A =；【分析】（1）由三角形内角性质及正弦定理边角关系可得sin A A = 进而求角的大小；（2）在△ABC 、△ADE 中应用余弦定理可得2219b c bc ++=、32b c =求出b 、c 再由三角形面积公式求面积.（1）由πA B C ++=得：()()cos cos cos sin a B C a B C A C -++-=- 即2sin sin cos sin a B C A C =-由正弦定理得sin sin sin cos sin A B C B A C =在△ABC 中sin 0B > sin 0C > 故sin A A = 则tan A =因为()0,πA ∈ 所以2π3A =．（2）在△ABC 中由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得2219b c bc ++=在△ADE 中由余弦定理得2247943b c bc ++= 所以()22224794319b c bc b c bc ++=++ 化简得225224810b bc c --= 即()()2326270b c b c -+= 所以32b c = 代入2219b c bc ++=得：3b = 2c =则△ABC 的面积12πsin 3sin 23ABC S bc A ===． 17．(1)证明见解析(3)1【分析】(1) 连接1CB 交1BC 于点F ,连接EF ,根据中位线即可证明1EF AB ∥,再利用线面平行判定定理即可证明;(2)根据正三棱柱的几何特征,求出各个长度及1,BEC ABE S S ,再用等体积法即可求得;(3)建立合适空间直角坐标系,设出1,AB A A 长度,找到平面1EBC 及平面1BC C 的法向量,建立等式,求出1,AB A A 长度之间的关系即可证明.【详解】（1）证明:连接1CB 交1BC 于点F ,连接EF 如图所示:因为三棱柱111ABC A B C所以四边形11BB C C 为平行四边形所以F 为1CB 中点因为E 是AC 中点所以1EF AB ∥因为EF ⊂平面1BEC ,1AB ⊄平面1BEC所以1AB 平面1BEC ;（2）由题知,因为正三棱柱111ABC A B C所以1CC ⊥平面ABC且ABC 为正三角形因为2AB =,1AA所以BE =1EC 1BC 所以1BEC △为直角三角形11322BEC S =112ABE S =⨯△ 记点A 到平面1BEC 的距离为h则有11A BEC C ABE V V --= 即111133BEC ABE S h S CC ⨯⨯=⨯⨯即131323h ⨯⨯=解得h =故A 到平面1BEC （3）由题,取11A C 中点为H ,可知1EH CC ∥所以EH ⊥平面ABC因为ABC 为正三角形,E 是AC 中点所以BE AC ⊥故以E 为原点,EC 方向为x 轴,EH 方向为y 轴,EB 方向为z 轴建立如图所示空间直角坐标系不妨记1AB a,A A b所以1300000000222a a a E ,,,B ,,,,b,,,,C C 1133,,0,0,,0,,0222,a a ab EB b BC CC记平面1EBC 的法向量为()111,,x n y z =则有100n BC n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111020a x by z ⎧+=⎪⎪=取12x b ,可得()2,,0b a n =-;记平面1BC C 的法向量为()222,,m x y z =则有1100n CC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222002by a x by z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2x =可得()3,0,1m =;因为二面角1E BC C --所以cos ,m nm n m n ⋅===解得: a b = 即当11A AAB =时,二面角1E BC C --18．(1)斜率为1 倾斜角为π4；(2)()3,5；【分析】（1）根据直线的斜率公式可求得AB 的斜率进而求得倾斜角；（2）根据平行四边形对边平行可得对边斜率相等设(),D x y ,由斜率公式列出方程组即可求得答案. 【详解】（1）由题意可知直线AB 的斜率为4122-=--直线倾斜角范围为[0,π) 所以直线AB 的倾斜角为π4；（2）如图当点D 在第一象限时 ,CD AB BD AC k k k k ==设(),D x y 则11114212y x y x -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪--+⎩ 解得35x y =⎧⎨=⎩故点D 的坐标为()3,5；19．(1)2n a n =(2)1n nT n =+【分析】（1）利用等差数列下标和性质得2310a a += 联立解得234,6a a == 求出d 值写出通项即可；（2）利用等差数列前n 和公式求得(22)(1)2n n n S n n +==+ 则1111n S n n =-+ 最后利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）等差数列{}n a 公差0d > 23142324,10a a a a a a =+=+=．解得234,6a a == 或236,4a a == 但此时20d =-<故2d = ()()224222n a a n d n n ∴=+-=+-=（2）12422a a d =-=-= 则(22)(1)2n n n S n n +==+ 1111(1)1n S n n n n ∴==-++ 1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20．(1)3e 2e 0x y --=；(2)证明见解析.【分析】（1）先求出切线的斜率再求出切点即得解；（2）令()()3e 2e x F x f x =-+ 利用导数求出函数的最小值即得证.【详解】（1）解：由题得()22e e x x f x x x '=+ 所以()13e f '=又()1f =e 所以切线方程为()e 3e 1y x -=- 即3e 2e 0x y --=.（2）证明：令()()23e 2e e 3e 2e x x x F x f x x =-+=-+()()()()222e e 3e e 23e 31x x x x x F x x x x x x x '=+-=+-=+-当()0,1x ∈时 ()0F x '< 当()1,x ∈+∞时 ()0F x '>．所以()F x 在()0,1上单调递减在()1,+∞上单调递增．所以当0x >时 ()min ()10F x F == 0x ∴>时 ()0F x ≥故当0x >时 ()3e 2e x f x ≥-.。

高三模拟试卷理科数学答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数$f(x) = \sqrt{1-x^2}$的定义域为$\{x | -1 \leq x \leq 1\}$，则函数的值域为（）A. $[0,1]$B. $[0,+\infty)$C. $[-1,1]$D. $[-1,+\infty)$答案：B解析：由函数的定义域可知，$x^2 \leq 1$，即$-1 \leq x \leq 1$，则$1-x^2 \geq 0$，所以函数的值域为$[0,+\infty)$。

2. 若$a, b$是方程$x^2 - (a+b)x + ab = 0$的两根，则$a^2 + b^2$的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B解析：由韦达定理可知，$a+b=a+b$，$ab=ab$，则$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a+b)^2 - 2ab = 4ab$，所以$a^2 + b^2 = 4$。

3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 3n^2 - n$，则第10项$a_{10}$的值为（）A. 28B. 29C. 30D. 31答案：C解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，代入$S_n = 3n^2 - n$得$3n^2 - n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，解得$a_1 + a_n = 6n - 1$。

又因为$a_{10} = a_1 + 9d$，其中$d$为公差，由等差数列的性质得$a_{10} = a_1 + 9d = 6 \times 10 - 1 = 59$，所以$a_{10} = 30$。

4. 若复数$z = a + bi$（$a, b$为实数）满足$|z-1| = |z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹方程为（）A. $x^2 + y^2 = 2$B. $x^2 + y^2 = 1$C. $x^2 - y^2 =2$ D. $x^2 - y^2 = 1$答案：D解析：由复数的模长公式$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，代入$|z-1| = |z+1|$得$\sqrt{(a-1)^2 + b^2} = \sqrt{(a+1)^2 + b^2}$，化简得$a^2 - 2a + 1 + b^2 = a^2 + 2a + 1 + b^2$，解得$a = 0$。