实验2 离散时间傅里叶变换
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
DTFT [ x ( n )]
)
1 2
[ X (e
j
) X (e
j
j
n
x (n )e
j n
[
n
x (n )e
j n
] [
*
n
x (n )e
j( )n
]
X (e
*
j
)
满足共轭对称性 共轭反对称函数
x a (t ) X a ( s )
§2.1 三大变换之间的关系
即：
X (z)
ze
sT
X (e
sT
ˆ (s) ) X a
取样信号
ˆ (s) ˆ a (t ) X x a
ˆ (s) X a
ˆ a (t )e x
st
dt
st
x ( n ) x a ( nT )
ˆ (s) 1 X a T
§2.1 三大变换之间的关系
k
X a ( s jk s )
令s=jΩ
ˆ ( j ) X ( e X a
j T
)
1 T
k
X a ( j jk s )
X (e
j
)
1 T
k
X a( j
k 2
d
11
X (e
j
)e
j n
d
非周期离散
12
2
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
实验二用DFT及FFT进行谱分析
实验二用DFT及FFT进行谱分析实验二将使用DFT（离散傅里叶变换）和FFT（快速傅里叶变换）进行谱分析。
在谱分析中，我们将探索如何将时域信号转换为频域信号，并观察信号的频谱特征。
首先，我们需要了解DFT和FFT的基本概念。
DFT是一种将时域信号分解为频域信号的数学方法。
它将一个离散时间序列的N个样本转换为具有N个频率点的频率谱。
DFT在信号处理和谱分析中被广泛应用，但它的计算复杂度为O(N^2)。
为了解决DFT的计算复杂度问题，Cooley和Tukey提出了FFT算法，它是一种使用分治策略的快速计算DFT的方法。
FFT算法的计算复杂度为O(NlogN)，使得谱分析在实际应用中更加可行。
在实验中，我们将使用Python编程语言和NumPy库来实现DFT和FFT，并进行信号的谱分析。
首先，我们需要生成一个具有不同频率成分的合成信号。
我们可以使用NumPy的arange函数生成一组时间点，然后使用sin函数生成不同频率的正弦波信号。
接下来，我们将实现DFT函数。
DFT将时域信号作为输入，并返回频域信号。
DFT的公式可以表示为：X(k) = Σ(x(n) * exp(-i*2πkn/N))其中，X(k)是频域信号的第k个频率点，x(n)是时域信号的第n个样本，N是信号的长度。
我们将使用循环计算DFT，但这种方法的计算复杂度为O(N^2)。
因此，我们将在实验过程中进行一些优化。
接下来，我们将实现FFT函数。
FFT函数将时域信号作为输入，并返回频域信号。
可以使用Cooley-Tukey的分治算法来快速计算FFT。
FFT的基本思想是将一个长度为N的信号分解为两个长度为N/2的子信号，然后逐步地将子信号分解为更小的子信号。
最后，将所有子信号重新组合以得到频域信号。
实验中，我们将使用递归的方式实现FFT算法。
首先，我们将信号分解为两个子信号，然后对每个子信号进行FFT计算。
最后，将两个子信号的FFT结果重新组合以得到频域信号。
离散时间傅里叶变换.
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：图3-1离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
离散时间傅里叶变换
X
(e
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换： X(j)2sinT1
4. x[n][n]
X(ej) 1
Xej xnejn nejn1
n
n
20
三、离散时间傅里叶变换的收敛性
例5.1，5.2是无限长序列
x[n]a|n|,|a|1; 其傅里叶变换存在。 x[n]anu[n]|,a|1
X * ( e j ) X ( e j )即,X * ( e j ) X ( e j )
因此:
X (ej)X (e j) RX ( e ej) RX ( e e j) X (ej) X (e j) Im X (ej) Im X (e j)
❖ 若 x[n] 是实偶信号,则 x[n]x[n],
x% [n]X(ej)
ak2(k02l) kN l
23
如图P263 Fig5.9:下页
X (e j ) 2 a 0 ( 2 l) 2 a 1 (0 2 l)
l
l
.. .2aN1 ((N1)02l) ,02/N l
如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：
X(ej)2k ak(2N k)
调制特性在信息传输中是极其重要的。
一定是以 2 为周期的,因此,频域的冲激应该是周
期性的冲激串:
2（0 2k）
k
对其作反变换有
xn 1 X ej ejnd
2 2
0 ejnd ej0n
2
22
可见, 2（ 02k） F 1 ej0n k
由DFS ,有 ~ xnkNakejk0n,02N
因此,周期信号 ~xn 可表示为DTFT
实验2 离散时间傅里叶变换
电 子 科 技 大 学实 验 报 告学生：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换二、实验目的：熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。
三、实验容：1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换(a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n =2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。
3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。
4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。
5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求：(a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ；(b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论；(c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。
四、实验原理：1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义：2．周期性：()j X e ϖ是周期为2π的函数(2)()()j j X e X e ϖϖπ+= 3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ϖ是共轭对称函数。
*()()Re[()]Re[()]Im[()]Im[()]()()()()j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ-----===-=∠=-∠4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+5．时移[()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---==6．频移00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-=7．反转（翻褶）[()]()j F x n X e ω--=[()]()()(),()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为：五、实验器材（设备、元器件）：PC机、Windows XP、MatLab 7.1六、实验步骤：本实验要求学生运用MATLAB编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB的使用。
离散时间傅里叶变换
离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。
考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。
下图给出了这种类型的⼀个信号。
由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。
随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。
⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。
现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
离散时间序列的傅里叶变换
傅里叶变换： 傅里叶反变换：
F ( j ) f ( t )e jt dt
1 f (t ) 2
F ( j )e jt d
一、离散序列傅里叶变换DTFT公式
F (e j ) F ( z )
T
z e jT
F (e j )
围内。
四、几种特殊的离散时间系统：
低通、高通、带通、带阻
全通系统
最小相位系统 最小相位系统：极零点全部在单位圆内。
全通
1) m=n;
2)
H (e j ) H 0 H ( z) |z 1
全通系统：对任意频率的离散正弦时间信号都有相同的幅
频响应，除了在z=0处的极点外，其余的极点和零点关于单
r (k )
i
k i k h ( i )( 1 ) ( 1 )
i
( 1) k H ( z ) z 1
H(-1)=32/3
32 r (k ) ( 1) k 3
k
作业：8.17 (2) , (3);
8.18(1)(5)
解：
F (e )
j
k
R
N
(k )e
j k
e jk
k 0
N 1
1 e 1 e j
j N
N sin j N 1 2 e 2 sin 2
| F (e j ) | e j ( )
|F(e j)| 幅频特性曲线 ()相频特性曲线
位圆镜像对称（即两者相角相等，幅度互为倒数, 或 zi
1 pi*
）
二维离散傅里叶变换及相关性质实验
撰写人姓名： 撰写时间： 审查人姓名：实 验 全 过 程 记 录一、实验目的1、掌握二维傅里叶变换的原理和方法；2、掌握编程实现生成图像频谱图、中心化频谱及相互比较等方法。
二、实验内容：编程实现图像频谱图、中心化频谱，并进行相互比较。
三、实验用仪器设备及材料软件需求：操作系统：Windows Xp 或更新的版本开发工具：MATLAB 7.01、Photoshop CS3硬件需求：Pentium Ⅲ 1G 以上的CPU 处理器、256MB 以上的内存、1.5G 以上自由硬盘空间、CD-ROM 驱动器、打印机、打印纸等。
四、实验步骤： 1、复习二维傅里叶变换的原理和方法；2、启动MATLAB 软件；3、编程实现如下要求：⑴产生右图所示亮块图像()1,f x y （128×128，暗处=0，明处=255），对其进行FFT （快速傅里叶变换）；⑵同屏显示原图1f 和FFT(1f )的频谱图；⑶令()()()21,1,x y f x y f x y +=-，重复以上过程，比较二者频谱的异同，并简述理由； ⑷将()2,f x y 顺时针旋转45得到()3,f x y ，显示FFT(3f )的频谱，并与FFT (2f )的频谱进行比较。
4、撰写实验报告内容⑴简述实验过程；⑵复制实验程序；⑶复制实验结果（如结果数据、生成的图像等）；⑷心得体会。
五、撰写实验报告：%实验一：二维离散傅里叶变换及相关性质实验%构造原始图像f1=zeros(128,128);f1(24:104,48:80)=1;subplot(3,2,1);imshow(f1);xlabel('构造原始图像');%求原始图像的傅里叶频谱J=fft2(f1);F=abs(J);J1=fftshift(F);subplot(3,2,2);imshow(J1,[5 50]);xlabel('原始图像的傅里叶频谱');%构造f2的图像f2=f1;for x=1:128for y=1:128f2(x,y)=(-1)^(x+y)*f1(x,y);endendsubplot(3,2,3);imshow(f2);xlabel('构造f2的图像');%求f2的傅里叶频谱I=fft2(f2);F=abs(I);J2=fftshift(F);subplot(3,2,4);imshow(J2,[5 50]);xlabel('f2的傅里叶频谱');%将f2顺时针旋转得到f3f3=imrotate(f2,-45,'bilinear','crop'); subplot(3,2,5);imshow(f3);xlabel('f2图像顺时针旋转45度');%求f3的傅里叶频谱K=fft2(f3);F=abs(K);J3=fftshift(F);subplot(3,2,6);imshow(J3,[5 50]);xlabel('f3的傅里叶频谱');成绩评定：指导教师：年月日。
实验2离散时间傅里叶变换
电 子 科 技 大 学实 验 报 告学生：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换二、实验目的：熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。
三、实验容：1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换(a) ()(0.5)()n x n u n =(b) (){1,2,3,4,5}x n =2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。
3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。
4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。
5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求：(a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ；(b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论；(c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。
四、实验原理：1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义：2．周期性：()j X e ϖ是周期为2π的函数(2)()()j j X e X e ϖϖπ+=3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ϖ是共轭对称函数。
*()()Re[()]Re[()]Im[()]Im[()]()()()()j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ-----===-=∠=-∠4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+5．时移[()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---==6．频移00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-=7．反转（翻褶）[()]()j F x n X e ω--=五、实验器材（设备、元器件）：PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1六、实验步骤：本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。
信号实验二 离散信号的频谱分析
实验二离散信号的频谱分析一、[实验目的]（1）加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；（2）掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法（3）理解和加深傅里叶变换的概念及其性质。
（4）离散时间傅里叶变换(DTFT)的计算和基本性质。
（5）离散傅里叶变换(DFT)的计算和基本性质。
二、[实验内容]1.实验原理验证（一）．采样定理及采样后信号的频谱对Sa(t)的采样后信号的频谱（二）．信号重建对cos(t)的采样与重建信号cos(t) cos(t)重建信号与原信号的比较及误差（三）．离散时间信号的傅立叶变换及频谱分析（1））离散时间傅里叶变换的概念及其性质。
有限长序列x(n)={1,2,3,4,5}（2）离散傅里叶变换的概念及其性质x(n)=sin(n*pi/8)+sin(n*pi/4)，N=16的序列傅里叶变换。
2. 选取信号f(t)= cos(t)作为被采样信号（最高频率为f=8Hz），取理想低通的截止频率wc=1/2*ws。
实现对信号f(t)= cos(t)的采样及由该采样信号的恢复重建，按要求完成以下内容:(1) 分别令采样角频率ws=1.5*wm 及ws=3*wm，给出在欠采样及过采样条件下冲激取样后信号的频谱，从而观察频谱的混叠现象。
答：实验程序如下clc,cleardt=0.01;t=0:dt:1;cos(t)的3倍采样信号频谱ωF (j w )f=8; %信号频率wm=2*pi*f; %信号角频率 ft=cos(wm*t); %时域信号%bs=1.5; %采样角频率，欠采样 bs=3; %采样角频率，大于两倍采样ws=bs*wm;Ts=2*pi/ws; %采样时间间隔 wc=1/2*ws; %理想低通截止频率nTs=0:Ts:1;Tf=0.01;nTf=-10:Tf:10; f_nTs=cos(wm*nTs); %时域采样信号Fs=funexer4_1(f_nTs,nTs,Ts,nTf); figure(1); plot(nTf,Fs);title('cos(t)的3倍采样信号频谱'); xlabel('ω'); ylabel('F(jw)'); grid on%//////////////////1.5倍采样 figure(2)bs=1.5; %采样角频率，大于两倍采样ws=bs*wm;Ts=2*pi/ws; %采样时间间隔wc=1/2*ws; %理想低通截止频率nTs=0:Ts:1; Tf=0.01; nTf=-10:Tf:10;Fs=funexer4_1(f_nTs,nTs,Ts,nTf); plot(nTf,Fs); title('cos(t)的1.5倍采样信号频谱');xlabel('ω');ylabel('F(jw)'); grid on(2) 若采样角频率取为ws=3*wm ，欲使输出信号与输入信号一致为cos(t)，试根据采样信号恢复信号的误差，确定理想低通滤波器H ( jw)的截止角频率Wc 的取值范围应为多大？cos(t)的1.5倍采样信号频谱ωF (j w )Sa(t)采样后的奈奎斯特采样频谱图(4倍）ωF (j ω)答：截止频率wc 应满足： wm<wc ≤ws/2。
数字信号处理——第2章 离散时间傅里叶变换与Z变换
• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即： 不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面
）
常见典型序列z变换
序列 Z变换 收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。 其它序列见P54： 表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换
Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n
x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法： 留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂 级数 说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级 数。 若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂 级数； 若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正 幂级数； 中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az
第三章.离散时间信号的傅里叶变换
4、时域卷积定理
∞
) = x ( 0 ) + 2∑ x ( n ) cos (ω n )
n =1
y (n) = x ( n) * h ( n)
Y ( e jω ) = X ( e jω ) H ( e jω )
X I ( e jω ) = 0 x ( n) =
π∫
1
π
0
X R ( e jω ) cos (ω n ) d ω
jω jω 2 2 ⎤ X ( e jω ) = ⎡ ⎣ X R ( e ) + X I ( e )⎦
12
如果 x ( n ) 是实信号，根据DTFT的正、反变换的定义，有 如下性质： ① X ( e jω ) 的实部 X R ( e jω ) 是 ω 的偶函数，即 ② X (e
jω
= X ( e − jω )
x (t ) =
k =−∞
X ( k Ω0 ) =
1 T /2 x ( t ) e − jk Ω0t dt T ∫−T / 2
X ( k Ω 0 )代表了x ( t ) 中第k次谐波的幅度，并且它是离散的。
∑ X ( kΩ ) e
0
∞
jk Ω0 t
并非所有周期信号都可展开成傅里叶级数。一个周期信号 能展开成傅里叶级数，除满足前面指出的平方可积条件 外，还需要满足如下的Dirichlet条件： ① 在任一周期内若存在间断点，则间断点的数目应是有限 的。 ② 在任一周期内的极大值和极小值的数目应是有限的。 ③ 在一个周期内应是绝对可积的，即
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
第三章 离散时间信号的 傅里叶变换
内容概要
1、连续时间信号的傅氏变换 2、离散时间信号的傅氏变换（DTFT） 3、连续时间信号的抽样 4、离散时间周期信号的傅氏级数 5、离散傅氏变换（DFT） 6、利用DFT计算线性卷积 7、希尔伯特变换
武汉工程大学matlab实验二离散时间信号的分析实验【范本模板】
武汉工程大学数字信号处理实验报告二专业班级：14级通信03班学生姓名：秦重双学号：1404201114实验时间：2017年5月3日实验地点：4B315指导老师: 杨述斌实验一离散时间信号的分析实验一、实验目的①认识常用的各种信号,理解其数学表达式和波形表示。
②掌握在计算机中生成及绘制数值信号波形的方法。
③掌握序列的简单运算及计算机实现与作用。
④理解离散时间傅里叶变换、Z变换及它们的性质和信号的频域特性。
二、实验设备计算机,MATLAB语言环境。
三、实验基础理论1、序列的相关概念离散时间信号用一个称为样本的数字序列来表示。
一般用｛x［n］｝表示，其中自变量n的取值范围是﹣∞到﹢∞之间的整数。
为了表示方便，序列通常直接用x[n]表示。
离散时间信号可以是一个有限长序列，也可以是一个无限长序列。
有限长（也称为有限时宽)序列仅定义在有限的时间间隔中：﹣∞≤N1 ≤N2 ≤+∝。
有限长序列的长度或时宽为N=N1 -N2+1。
满足x[n+kN］=x[n]（对于所有n）的序列称为周期为N的周期序列,其中N取任意正整数；k取任意整数；2、常见序列常见序列有单位取样值信号、单位阶跃序列、矩形序列、斜变序列、单边指数序列、正弦序列、复指数序列等。
3、序列的基本运算序列的基本运算有加法、乘法、倒置（反转）、移位、尺度变换、卷积等。
4、离散傅里叶变换的相关概念5、Z变换的相关概念四．实验内容与步骤1、知识准备认真复习以上基础理论,理解本实验所用到的实验原理。
2、离散时间信号（序列）的产生利用MATLAB语言编程和绘制单位样值信号、单位阶跃序列、指数序列、正弦序列及随机离散信号的波形，以加深对离散信号时域表示的理解。
①单位取样值信号Matlab程序x=0;y=1;stem(x，y）；title（'单位样值’）；axis([—2,2，0,1]）；②单位阶跃序列Matlab程序n0=0;n1=—5;n2=5；n=[n1:n2］;x=［（n—n0）>=0];stem(n，x）；xlabel（'n'）；ylabel（’x(n)’）；title(’单位阶跃序列’）;③指数序列、正弦序列Matlab程序n=［0：10］;x=(1/3)。
实验2 离散傅里叶变换(DFT)1
实验2 离散傅里叶变换(DFT)一、实验目的(1)加深对离散傅里叶变换(DFT)基本概念的理解。
(2)了解有限长序列傅里叶变换(DFT)与周期序列傅里叶级数(DFS)、离散时间傅里叶变换(DTFT)的联系。
(3)掌握用MA TLAB 语言进行离散傅里叶变换和逆变换的方法。
二、实验内容1.有限长序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT)2.有限长序列DFT 与周期序列DFS 的联系3.有限长序列DFT 与离散时间傅里叶变换DTFT 的联系三、实验环境MA TLAB7.0四、实验原理1.有限长序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT)在实际中常常使用有限长序列。
如果有限长序列信号为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为1N ,0,1,k ,W x (n)DFT[x (n)]X(k)1N 0n nkN -===∑-= (2-1)1N ,0,1,n ,W X(k)N 1IDFT[X(k)]x (n)1N 0k nk N -===∑-=- (2-2)从离散傅里叶变换定义式可以看出，有限长序列在时域上是离散的，在频域上也是离散的。
式中，Nπ2j N e W -=即仅在单位圆上N 个等间距的点上取值，这为使用计算机进行处理带来了方便。
由有限长序列的傅里叶变换和逆变换定义可知，DFT 和DFS 的公式非常相似，因此在程序编写上也基本一致。
例2-1 已知x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)的DFT 和IDFT 。
要求： (1)画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg ［X(k)］图形。
(2)画出原信号与傅里叶逆变换IDFT ［X(k)］图形进行比较。
解 MA TLAB 程序如下：>> title('|X(k)|');运行结果如图2-1所示。
0246802468x(n)024682468IDFT|X (k)|102030|X (k)|-4-224arg|X (k)|图2-1 例2-1有限长序列的傅里叶变换和逆变换结果从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N 点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。
数字信号实验二离散时间傅里叶变换
一、实验项目名称离散时间傅里叶变数二、实验目的理解数值计算在离散时间傅里叶变换（DTFT)中的作用.没下载券联系企鹅2417677728给你传原文件三、实验内容与步骤1、脉冲信号的DTFT设矩形脉冲r[n]由下式定义r[n]=1 , 00 ,n L≤<⎧⎨⎩其它a.证明r[n]的DTFT可由下面的数学表示式得出R(e jω)=1sin()21sin()2Lωω·e-jω(L-1)/2该变换的第一项时常具有与DTFT相关的特殊形式，称为混叠sinc函数：a s i n c(ω,L)=1sin()21 sin()2Lωωb. 使用dtft函数计算12点脉冲信号的DTFT。
绘出在区间-π≤ω<π上对ω的DTFT。
把实部和虚部分开绘出，但是注意这些图不是很有用。
另绘出DTFT的幅度（参见M A TLAB 中的abs函数）。
选择频率样本的数量是脉冲长度的5到10倍，以使绘出的图看上去平滑。
用不同数量的频率样本做试验。
绘图时，注意要正确地标注频率坐标轴的变量ω。
c. 注意asinc函数零点的位置是规则分布的。
对奇数长脉冲，比如L=15的脉冲重复进行DTFT计算并绘出幅度；同样再次检验零点位置，注意峰值高度。
d. 对asinc函数零点的间距与asinc函数的直流值，确定出通用规则。
2、验证频移特性x(n)=cos(n*π/2),y(n)=exp(j*n*π/4)*x(n) 0≤n≤10绘出x(n)和y(n)的幅频和相频特性并比较3、系统分析一个LTI系统的差分方程为：y(n)=0.8y(n-1)+x(n)a、求H(e jω)b、求出并画出输入信号为x(n)=cos(0.5πn)u(n)的响应y(n)4、指数信号对于信号x[n] = (0.9)nu[n]，使用freqz函数计算其DTFT X(e jω)。
a. 对ω在区间-π≤ω<π上绘出幅度与相位特性。
这需要从freqz返回的[X, W]向量的移位。
离散时间信号的傅里叶变换
第二讲 第二部分 离散时间信号的傅里叶变换2.1 连续周期信号的傅里叶级数设()x t 是复周期信号，且是周期的，周期为T ，则()x t 能展开为傅里叶级数：00()()jk t k x t X k e ∞Ω=-∞=Ω∑02/T πΩ=傅里叶系数为：0/20/21()()T jk t T X k x t e dt T-Ω-Ω=⎰。
注意：傅里叶级数反映傅里叶的基本思想与观点：即任意函数可由正弦函数合成，例如看到矩形函数想到的是一系列正弦函数。
2.2 连续非周期信号的傅里叶变换设()x t 是连续时间信号，且2|()|x t dt ∞-∞<∞⎰傅里叶变换定义为： -j t -X(j )=x(t)e dt ∞Ω∞Ω⎰傅里叶反变换为：1()()2j t x t X j e d π∞Ω-∞=ΩΩ⎰ 注意：典型的重要函数sin(2)()t x t tππ= 一个周期矩形信号的傅里叶变换为sin(/2)()/2X j A τττΩΩ=Ω 另外，傅里叶变换是频谱密度的概念。
周期信号的功率为：20|()|x P X k ∞-∞=Ω∑ 周期信号的能量：21|()|2x E X j d π∞-∞=ΩΩ⎰结论：时域连续的周期信号的傅里叶变换在频域是离散的、非周期的。
注意：频谱密度的概念。
2.3 离散时间信号的傅里叶变换DTFTDTFT 定义为：0()()j j n n H e h n e ϖω∞-==∑ DTFT 的重要性质：（1） 时域卷积定理：()()(),()()()j j j y n x n h n Y e X e H e ωωω=*=（2） 频域卷积定理：(()()(),1()()()()()2j j j j j y n x n h n Y e X e H e X e H e d πωωωθωθπθπ--==*=⎰（3） 时域相关定理：()()(),()()()j j j y n x n h n m Y e X e H e ωωω∞-∞*=+=∑（4） Parseval 定理：22221|||||()||()|2j x x n X e d πωπωπ∞--∞==∑⎰2.4 典型信号的DTFT（1）令()(),||1,n x n a u n a =<求()j X e ϖ 1()1j j X e ae ϖϖ-=- （2）设0()j n x n e ϖ=0()2(2),j k X e k k Z ϖπδϖϖπ∞=-∞=-+∈∑2.5 四种形式的傅里叶变换2.6 信号截断信号截断是实际数字信号处理中必须面对的问题。
数字信号处理实验实验二离散时间傅里叶变换.wps
实验二 离散时间傅里叶变换一、实验原理经由正、逆离散时间傅里叶变换表达的傅里叶表示式是信号分析的一个关键部分，下面是分析方程与综合方程。
∑∞-∞=-=n n j j e n x e X ωω][)( ωπππωωd e e X n X n j j ⎰-=)(21][由以上公式知，离散时间傅里叶变换是w 的周期复值函数，周期是π2， 并且周期常选为[-π, π].对离散时间傅里叶变换有两个问题：（1） DTFT 的定义对无限长信号是有效的。
（2） DTFT 是连续变量的ω函数。
第二个问题是频率抽样问题。
Matlab 擅长在有线网格点上计算DTFT 。
通常选择足够多的频率以使绘出的图平滑，逼近真实的DTFT 。
对计算有利的最好选择是在（-π，π）区间上一组均匀的隔开的频率，或者共轭对称变换选择【0，π】，采用上述抽样方法，DTFT 式变为1,...,1,0,][)()(10/2(/2-===∑-=-N k en x e X e X L n N k j N k j j n k ）ππω在对DTFT 进行抽样时，并不要求N=L ，尽管通常由DFT 进行计算时，如果N=L 计算很方便。
1. 实验内容（1） asic 的m 文件编写一个matlab 文件如asic （w ，L ），之间从式中计算在频格上的asinc （w ，L ），该函数有两个输入：L 和W ，函数必须检查被0除的情形。
直接计算混叠sinc 函数得到脉冲信号DTFT 绘出幅度，保存该图以便与dtft 得到的结果比较。
程序：函数文件是function a=asinc(w,L)if (w==0)a=L;else a=sin(1/2*w*L)/sin(1/2*w);end当输入asinc(0,2)ans =2混叠程序function a=L(m);w=-pi:pi/50:pi;b=sin(1/2*w*m)./sin(1/2*w);c=exp(-j*w*(m-1)/2);R=b.*c;plot(w,abs(R))Grid当输入L（8）有而dtft程序是function[H,W]=dtft(h,N)%DTFT calculate DTFT at N equally spaced frequencies %Usage%[H,W]=dtft(h,N)%h:finite-length input vector,whose length is L%N:nambei of frequencies for evaluation over [-pi,pi) %==>constraint:n>=L%H:DTFT values(complex)%W:(2nd output)vector of freqs where DTFT is computed %N=fix(N);L=length(h);h=h(:);if(N<L)error('DTFT:#data samples cannot exceed #freq samples')endW=(2*pi/N)*[0:(N-1)]';mid=ceil(N/2)+1;W(mid:N)=W(mid:N)-2*pi;W=fftshift(W);H=fftshift(fft(h,N));当输入n=0:7;r=ones(8,1);r(1)=1[X,W]=dtft(r,128);plot(W,abs(X))grid有结果分析：两种方法得到的图形基本一致，证明了公式的真确性。
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电 子 科 技 大 学实 验 报 告学生姓名：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换二、实验目的：熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。
三、实验内容：1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换(a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n =2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。
3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。
4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。
5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求：(a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ；(b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论；(c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。
四、实验原理：1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义：2．周期性：()j X e ϖ是周期为2π的函数(2)()()j j X e X e ϖϖπ+=3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ϖ是共轭对称函数。
*()()Re[()]Re[()]Im[()]Im[()]()()()()j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ-----===-=∠=-∠4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+5．时移[()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---==6．频移00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-=7．反转（翻褶）[()]()j F x n X e ω--=五、实验器材（设备、元器件）：PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1六、实验步骤：本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学内容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。
[()]()()(),()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为：七、实验源代码：1．（a）w = [0:1:500]*pi/500;x = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501));magx = abs(x);angx = angle(x);realx = real(x);imagx = imag(x);subplot(2,2,1);plot(w/pi,magx);gridxlabel('frequency in pi units');title('Magnitude Part');ylabel('Magnitude') subplot(2,2,3);plot(w/pi,angx);gridxlabel('frequency in pi units');title('Angle Part');ylabel('Radians')subplot(2,2,2);plot(w/pi,realx);gridxlabel('frequency in pi units');title('Real Part');ylabel('Real')subplot(2,2,4);plot(w/pi,imagx);gridxlabel('frequency in pi units');title('Imaginary Part');ylabel('Imaginary')1.（b）n = -1:3;x = 1:5;k = 0:500;w = (pi/500)*k;X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k);magX = abs(X);angX = angle(X);realX = real(X);imagX = imag(X);subplot(2,2,1);plot(k/500,magX);gridxlabel('frequency in pi units');title('magnitude Part')subplot(2,2,3);plot(k/500,angX);gridxlabel('frequency in pi units');title('Angle Part')subplot(2,2,2);plot(k/500,realX);gridxlabel('frequency in pi units');title('Real Part')subplot(2,2,4);plot(k/500,imagX);gridxlabel('frequency in pi units');title('Imaginary Part')2．n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n;k = -200:200;w = (pi/100)*k;X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);magX = abs(X);angX = angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);gridxlabel('frequency in units of pi');ylabel('|x|')title('Magnitude Part')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);gridxlabel('frequency in units of pi');ylabel('radians/pi') title('Angle Part')3．subplot(1,1,1)n = -5:5; x = (-0.9).^n;k = -200:200;w = (pi/100)*k;X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);magX = abs(X);angX = angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);gridaxis([-2,2,0,15])xlabel('frequency in units of pi');ylabel('|x|')title('Magnitude Part')subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);gridaxis([-2,2,-1,1])xlabel('frequency in units of pi');ylabel('radians/pi') title('Angle Part')4．（1）x1 = rand(1,11);x2 = rand(1,11);n = 0:10;alpha = 2; beta = 3;k = 0:500;w = (pi/500)*k;X1 = x1 * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);X2 = x2 * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);x = alpha*x1 + beta*x2;X = x * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);X_check = alpha*X1 + beta*X2;error = max(abs(X - X_check))4.（2）x = rand(1,11);n = 0:10;k = 0:500;w = (pi/500)*k;X = x * (exp(-j*pi/500)).^(n'*k);y = x; m = n+2;Y = y * (exp(-j*pi/500)).^(m'*k);Y_check = (exp(-j*2).^w).*X;error = max(abs(Y - Y_check))4.（3）n = 0:100; x = cos(pi*n/2);k = -100:100;w = (pi/100)*k;X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);y = exp(j*pi*n/4).*x;Y = y * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);subplot(1,1,1)subplot(2,2,1);plot(w/pi,abs(X));grid;axis([-1,1,0,60]) xlabel('frequency in units of pi');ylabel('|X|')title('Magnitude of X')subplot(2,2,2);plot(w/pi,angle(X)/pi);grid;axis([-1,1,-1,1]) xlabel('frequency in units of pi');ylabel('randiands/pi') title('Angle of X')subplot(2,2,3);plot(w/pi,abs(Y));grid;axis([-1,1,0,60]) xlabel('frequency in units of pi');ylabel('|Y|')title('Magnitude of Y')subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(Y)/pi);grid;axis([-1,1,-1,1]) xlabel('frequency in units of pi');ylabel('randiands/pi')title('Angle of Y')4.（4）n = -5:10; x = rand(1,length(n));k = -100:100;w = (pi/100)*k;X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n'*k);y = fliplr(x);m = -fliplr(n);Y = y* (exp(-j*pi/100)).^(m'*k);Y_check = fliplr(X);error = max(abs(Y - Y_check))5.（a）Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005;xa = exp(-1000*abs(t)); Wmax = 2*pi*2000;K =500; k = 0:1:K;W = k*Wmax/K; Xa = xa * exp(-j*t'*W)*Dt;Xa = real(Xa);W = [-fliplr(W),W(2:501)];Xa = [fliplr(Xa),Xa(2:501)];subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel('t in msec');ylabel('xa(t)')title('Analog Signakl')subplot(2,1,2);plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);xlabel('Frequency in KHz');ylabel('Xa(jW)'*1000)title('Continuous-tine Fouroer Transform')5.（b）（c）Dt = 0.00005; t = -0.005:Dt:0.005;xa = exp(-1000*abs(t)); Ts = 0.0002;n = -25:1:25;x = exp(-1000*abs(n*Ts));K =500; k = 0:1:K;w = pi*k/K;X = x * exp(-j*n'*w);X = real(X);w = [-fliplr(w),w(2:K+1)];X = [fliplr(X),X(2:K+1)];subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel('t in msec');ylabel('x1(n)')title('Discrete Signal');hold onstem(n*Ts*1000,x);gtext('Ts=0.2 msec');hold offsubplot(2,1,2);plot(w/pi,X);xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X1(w)')title('Discrete-time Fourier Transform')八、实验数据及结果分析：2.1.a2.22.42.5bc九、实验结论：离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete-time Fourier Transform）是傅里叶变换的一种。