必修5 第一章 解三角形教案建议

必修5 第一章 解三角形
——高考一题通对教案的建议
高考一题通是以“一题通”的方式对高中数学做更高层次的抽象概括，让学生进一步去
感悟自己对数学知识的积累程度、理解程度、应用程度等方面的能力是否有所提高，所以，
高考一题通更加注重平时的每一章节知识的教学效果，即没有较好的点滴积累过程，就不会
有较好的一题通的教学效果和教学作用，
高考一题通是通过对一道题的“变式探究”、“解法探究”以及推广问题的探究和通性通
法的应用，来揭示或反映历届高考试题以及今后试题中所要或必须涉及到的试题题型以及解
题方法和数学思想方法的应用程度，从而，达到提高学生分析问题的能力和解决问题的能力，
让学生真正认知在数学中“合情推理，演绎推理”的思维方式是数学发展史中必需的思维方
式，也是解答高考试题的核心思维方式，同时认知通性通法是解答高考试题的的通用方法，
以及进一步让学生认识到掌握数学概念的重要性。

下面就解三角形的常规教案（后附）提出几点探讨性建议，仅供参考。

（一）课标要求方面
在原有的基础上应增加一条：“在两个学习目标下让学生适当练习和强化特殊到一般的相
关思维问题”如，教案中提到的下列问题：就是较好的教学方法。

[探索研究]
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，
角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a
A c =，sin b
B c =，又sin 1c
C c ==, 则sin sin sin a b c
c A B C ===
从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c
A B C == （由学生讨论、分析）
（二）教学重点和难点方面
常规教案为下列8个教案的重点和难点：
1. 课题: §1．1．1正弦定理
●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

2. 课题: §1.1.2余弦定理
●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

3.课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

4.课题: §2.2解三角形应用举例
●教学重点
实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●教学难点
根据题意建立数学模型，画出示意图
5.课题: §2.2解三角形应用举例
●教学重点
结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题
●教学难点
能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
6.课题: §2.2解三角形应用举例
●教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
●教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
7.课题: §2.2解三角形应用举例
●教学重点
推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
●教学难点
利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
第8课时(复习课)
.一．教学重点
1.理解正弦定理及余弦定理的推导证明过程，能够熟练运用正、余弦定理
解三角形。

2.根据实际情况设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、
余弦定理解决实际问题
3.灵活运用正、余弦定理进行边角转化求角度、判断三角形形状等有关三
角形的问题。

二．教学难点：①正、余弦定理的推导证明，应用定理解三角形。

②设计测量距离、高度、角度等的测量方案，并能利用正、余弦定理解决实际问题，③在现实
生活中灵活运用正、余弦定理解决问题。

进行边角转化
为了能实现高考一题通的最佳教学效果，综合以上教学难重点，应对以下几个方面的
问题作为难重点的补充设计：
1.正余弦定理的多种证法作为合理的难重点，进行补充设计，如教案第一课时中提到下
列证法，就是较好的证法。

其它类似证法不少如何处理？
（证法二）：过点A 作j AC ⊥，由向量的加法可得 AB AC CB =+
则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+
∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅
()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C
∴sin sin =c A a C ，即
sin sin =a c A C 同理，过点C 作⊥j BC ，可得
sin sin =b c B C 从而 sin sin a
b
A B =sin c
C =
类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

（由学生课后自
己推导）
将此类似法设置进教案中怎样设置？此类似法又有多少？其它证法怎样证，
等问题都应让学生要有初步了解，
②如何用正弦定理证明余弦定理
同理可证
2.怎样体现正余弦之间的内在关系？
为何有下列三角恒等式，它与正余弦定理有何关系？用正余弦定理如何证明？用已学
三角公式如何证明？
三角恒等式：在ABC ∆中，CcisA B C B A sin sin 2sin sin sin 2
22⋅-+=
3.图形语言、符号语言、文字语言之间的关系如何体现
教科书中的例2如下：
例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到
01，边长精确到1cm ）。

解：根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20
==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B
⑴ 当064≈B 时，
00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，
sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ⑵ 当0116≈B 时，
00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，
sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

其几何求作图如下：
在三角形ABC ∆中，已知c AB =，a BC =及其A ∠，求作ABC ∆有
以下几种情形：
设h 为AC 边上的高
（Ⅰ）若A ∠是锐角
①当h a c >>时，可作如图所示的 ABC ∆或C AB '∆两个三角形， 即有AC 的长为b 或b '
②当h a =或c a > ABC ∆一个三角形，即b 均唯一
③当h a <时，无法求作ABC ∆ 即
（Ⅱ）若A ∠是钝角
①当c a >时，可求作如图所示的一个ABC ∆
②当c a ≤时，无法求作ABC ∆ 即b 不存在，
量化为：教案第三课时中的下列情形
1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，
如果a ≥b ，那么只有一解；
如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若sin a b A >，则有两解；
（2）若sin a b A =
，则只有一解；
（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A
为锐角且
sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

这样既体现了数学语言的表达形式，又重视了数学思想方法的应用程度。

把它们作为
教学的难重点，并在教学过程中有所体现，会产生意想不到的教学效果，
（三）教学过程方面
1.
2.如何教学
①在老师的引导下，将十几种正余弦定理的证明教给学生，为此，每一课时中
占用5分钟进行，同时每次作业可布置完成一种证明法。

体现数学思想方法的教
学。

②已知两边和其中一边的对角解三角形时，将其由两解，一解，无解的情形要
数学语言化，即用文字语言、符号语言、图形语言表达。

体现数学语言化的教学。

③对知识的理解和应用
（ⅰ）一题多解与变式练习
这样的练习可体现知识间的联系，又可体现通性通法的解题作用，…，如教案中第七
课时提到如下的变式练习：
变式练习1：已知在∆ABC 中，∠B=30︒,b=6,c=63,求a 及∆ABC 的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。

答案：a=6,S=93;a=12,S=183
变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
（1） acosA = bcosB
（2） sinC =B
A B A cos cos sin sin ++ 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
（1） 师：大家尝试分别用两个定理进行证明。

生1：（余弦定理）得
a ⨯bc a c
b 2222-+=b ⨯ca
b a
c 22
22-+ ∴c 44222)(b a b a -=-=))((2222b a b a -+
∴22222b a c b a +==或
∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B,
∴2A=2B,
∴A=B
∴根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请
大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。

第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有
可能推出2A 与2B 两个角互补，即2A+2B=180︒，A+B=90︒
一题通认为很好，数量上应适当多一些，特别是一题多解方面，就更好了。

（ⅱ）解三角形的应用举例，参考教案中，建议以一题通的方式集中教学
（四）教学目标方面，参考教案中
附：常规教案：
数学5 第一章解三角形
章节总体设计
（一）课标要求
本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色
1．数学思想方法的重要性
数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系
加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”这样，
从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。

比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。

在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”
3．重视加强意识和数学实践能力
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。

学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。

针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。

（三）教学内容及课时安排建议
1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）
1.2应用举例（约4课时）
1.3实习作业（约1课时）
（四）评价建议
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。

在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。

如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。

在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。

对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。

2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过
程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。

教师要注意对于
学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错
误，解决测量中出现的一些问题。

第 1 课时
课题
●教学目标
知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及
其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其
对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，
并进行定理基本应用的实践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、
向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

思考：∠C 的大小与它的对边AB
的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，
角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐
角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又s i n 1c C c
==, A
则sin sin sin a b c c A B C
===从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C ==
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角
三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B
=，
sin sin A B sin C 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A 作j AC ⊥，由向量的加法可得 AB AC CB =+
则 ()j AB j AC CB ⋅=⋅+∴j AB j AC j CB ⋅=⋅+⋅
()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C
∴sin sin =c A a C ，即
sin sin =a c A C 同理，过点C 作⊥j BC ，可得
=b c 从而 sin sin a
b
=sin c
=
类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a b A B =sin c C
= [理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；
（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B
=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sin sin a A B b
=。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]
例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，
0180()=-+C A B
000180(32.081.8)=-+
066.2=； 根据正弦定理，
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，
sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到
01，边长精确到1cm ）。

解：根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20
==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B
⑴ 当064≈B 时，
00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，
sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ⑵ 当0116≈B 时，
00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，
sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

Ⅲ.课堂练习
第4页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c
（答案：1：2：3）
Ⅳ.课时小结（由学生归纳总结）
（1）定理的表示形式：sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c k k A B C
++=>++； 或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >
（2）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

Ⅴ.课后作业
第10页[习题1.1]A 组第1（1）、2（1）题。

教后记：
第2课时
课题:
●教学目标
知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点
余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
●教学难点
勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

●教学过程
Ⅰ.课题导入
如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b 和∠C
，求边 Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则
()()222 2 2c c c a b a b
a a
b b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ 从而 2222cos
c a b ab C =+-同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与
它们的夹角的余弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
c b A B
C b
2222cos c a b ab C =+-
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]
例1．在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A
⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B
=222+-⋅cos 045
=2121)+-
=8
∴=b
求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A
解法二：∵sin 0sin sin45,=a
A B b
2.4 1.4
3.8,+=
21.8 3.6,⨯=
∴a ＜c ，即00＜A ＜090,
∴060.=A
评述：解法二应注意确定A 的取值范围。

例2．在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形
（见课本第7页例4，可由学生通过阅读进行理解）
解：由余弦定理的推论得： cos 2222+-=b c a A bc
22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯ 0.5543,≈
05620'≈A ； cos 2222+-=c a b B ca
222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯ 0.8398,≈
03253'≈B ；
0000180()180(56203253)
''=-+≈-+C A B Ⅲ.课堂练习
第8页练习第1（1）、2（1）题。

[补充练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）
Ⅳ.课时小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

Ⅴ.课后作业
①课后阅读：课本第8页[探究与发现]
②课时作业：第11页[习题1.1]A 组第3（1），4（1）题。

教后记：
第3课时
课题: §1．1
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =
可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A
=
1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，
如果a ≥b ，那么只有一解；
如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若sin a b A >，则有两解；
（2）若sin a b A =，则只有一解；
（3）若sin a b A <，则无解。

（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且
sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1] （1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在∆ABC 中，若1a =，12
c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。

（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。