二次根式常见中考题型

二次根式常见中考题型

二次根式是代数式中的重要部分，是历年各省市中考的必考内容。但是，有些同学对其中考题不熟悉，往往望而生畏。本文将结合往年各省市中考题归纳其有关题型，希望能对同学们备考有所帮助。

考点1——考查二次根式的有关定义

（1）最简二次根式：

满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：

①被开方数的因数是整数，因式是整式；

②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。

（2）同类二次根式：

含有相同最简二次根式的一类二次根式。

例3（2006年广安市中考题）：如果最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式，则=a _____

解： 最简二次根式83-a 与a 217-是同类二次根式

a a 21783-=-∴解得5=a

小结：把一个二次根式化为最简（同类）二次根式的一般步骤：

①把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，绝对值小于1的小数化为真分数；

②被开方数是多项式的进行因式分解；

③使被开方数不含分母；

④将被开方数中开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面； ⑤化去分母中的根号（即分母有理化）

考点2——考查二次根式有意义的非负性质 二次根式a 的双重非负性质：

①被开方数a 是非负数，即0≥a ②二次根式a 是非负数，即0≥a

例６（2007年长沙市中考题）：已知y x ,是实数，且2

)1(-+y x 与42+-y x 互为

相反数，求实数x y 的负倒数。

解：2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数

042)1(2=+-+-+∴y x y x

又0)1(2≥-+y x ，042≥+-y x

01=-+∴y x ①，042=+-y x ②，解①②得：2,1=-=y x

则2

121==-x y ，故x y 的负倒数为2- 小结：考查二次根式双重非负性质的应用是历年中考命题的热点内容，我们应该引起高度重视。像例4、例5和例6通过利用二次根式的双重非负性质把抽象问题具体化，把陌生问题熟悉化。

考点3——考查二次根式的运算 常考公式：⑴)0,(≥⋅=⋅b a b a b a

⑵)0,0(>≥=b a b

a b a

)0(≥a a

⑶a a =2

=

)0(<-a a

⑷)0()(2≥=a a a 例（2007年武汉市中考题）：若1≤a ，则3

)1(a -化简后为（ ）

1)1(--a a A a a B --1)1( a a C --1)1( 1)1(--a a D 方法一：1≤a ，则01≥-a a a a a a a a --=-⨯-=-⨯-=-∴1)1(111)1)1(23（

故正确选项为B

方法二（特值检验法）：依1≤a ，不妨令0=a ，此时1)1(--a a 和1)1(--a a 无意义，从而排除 A 、D ；当0=a 时，1)1(3=-a ，11)1(=--a a ，

11)1(-=--a a ，故选B

例10（2006年绍阳市中考题）：下列各数与7最接近的是（ ）

A 5.2

B 6.2

C 7.2

D 8.2 解：7)7(2= ，25.65.22=，76.66.22=，29.77.22=，84.78.22=

26.2∴与2)7(最接近，则6.2与7最接近 故正确选项为B

小结：二次根式的运算问题是历年二次根式中考题的重要部分。我们在求解此类问题时，除了要熟练应用以上这些运算公式外，还要注意应用这些公式的前提条件以及所求得二次根式必须是最简二次根式，这是许多同学容易做错的地方。

考点４——考查二次根式值的大小比较

常用法则：⑴0>-n m →n m >；n m >→0>-n m

⑵0<-n m →n m <；n m <→0<-n m

⑶)0,(≥>

n m n m →n m > ⑷)0,(≥

⑸22))((n m n m n m -=-+

例（2007年杭州市中考题）：设23-=

a ，32-=

b ，25-=

c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）

A c b a >>

B b c a >>

C a b c >>

D a c b >> 解：2312

3)

23)(23(23+=++-=-=a 3213

2)

32)(32(32+=++-=-=b 25125)

25)(25(25+=++-=-=c

22< ，则32+＜32+

231

231

+>+∴即b a >又 ，则 ＜

即

故，即选A

小结：作差比较法和分母有理化方法是比较两个二次根式值大小最有效的方法。像例11利用作差比较法，通过判断所得的差式的正负号，从而快速判断原来两个二次根式值的大小；而例12则利用平方差公式对分母作有理化处理，化成同分子异分母分式，然后把原问题转化为同分子异分母分式值的大小比较问题，从而化难为易。

考点5——考查二次根式值的估算值

例（2007年安徽省中考题）：的整数部分是______

解：

即

故的整数部分是2

例14（2007年沈阳市中考题）：估算的值（）

A5和6之间B6和7之间C7和8之间D8和9之间

解：，

正确选项为C

小结：估算二次根式值的方法是利用与原二次根式最接近的整数算术平方根进行计算。像例13中的在和之间，例14中的在和之间，这些二次根式的算术平方根刚好是整数，从而使得问题轻松获解。

综上可见，二次根式的中考题型是多种多样的。但是，只要我们实二次根式的基础知识，掌握其基本性质及运算公式，选择合理的解题方法，则其中考题型迎刃而解。