这个空间的几何学就叫做黎曼几何学
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的区别。
欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何是几何学中的三个重要分支，它们分别由欧几里德、罗伯特·罗斯和伯纳德·黎曼提出，并在不同的数学和物理领域中发挥着重要作用。
这三种几何学在概念、方法和应用上有着明显的区别，让我们一起深入了解它们。
一、欧氏几何欧氏几何是以古希腊数学家欧几里德的名字命名的几何学。
它主要研究平面几何和空间几何中的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在欧氏几何中，有五条公理作为基础，这些公理包括点的唯一性、直线的无限延伸性等，构成了欧氏空间的基本性质和特征。
欧氏几何是最为直观和常见的几何学，在我们日常生活和实际工作中有着广泛的应用，比如建筑设计、地理测量等领域。
二、罗氏几何相较于欧氏几何，罗氏几何是一种非欧几何，由19世纪的数学家罗伯特·罗斯提出。
罗氏几何放弃了平行公设并提出了新的平行公设，即通过一点可以作出无数平行线。
这种新的理念打破了欧氏几何中平行线的概念，引入了一种新的、非直观的几何学体系。
罗氏几何虽然在直观上难以理解，但在相对论和曲率空间的研究中有着重要的应用，尤其是在描述引力场和黑洞的时候，罗氏几何的理论和方法显得尤为重要。
三、黎曼几何黎曼几何是由19世纪德国数学家伯纳德·黎曼创立的一种曲面的微分几何学。
相较于欧氏几何和罗氏几何，黎曼几何的研究范围更广，不再局限于平面和直线，而是研究了曲面和多维空间的性质和变换。
黎曼几何的理论为爱因斯坦的广义相对论奠定了基础，也在现代物理学和工程领域有着极其重要的应用。
结语通过对欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的深入了解，我们可以看到这三种几何学在概念、方法和应用上的明显区别。
欧氏几何在平面和直线的理论中有着直观的优势，罗氏几何在非直观的空间和曲率中有着重要的应用，而黎曼几何则进一步拓展了几何学的研究领域，为现代数学和物理学的发展提供了重要的理论基础。
在个人看来，欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何的区别体现了数学的多样性和丰富性，也展示了数学在不同领域中的重要作用。
高考数学应试技巧之黎曼几何
高考数学应试技巧之黎曼几何作为高中数学必修的一部分，几何学在高考数学考试中占有相当的分量。
其中，黎曼几何是不可忽视的一个部分，它对于考生掌握数学基础知识以及解题能力有着重要作用。
在这篇文章中，我们将讨论一些高考数学应试技巧，以帮助考生更好地应对黎曼几何这道难点题目。
一、黎曼几何基础黎曼几何是现代数学中的一部分，它研究的是非欧几何、曲线曲面的性质。
在高考中，黎曼几何主要考察题目有：空间坐标系变化、曲率半径、测地线等。
在应对黎曼几何问题时，首先需要掌握的是三维空间直角坐标系的变换。
空间坐标系的变换可以分为平移变换、旋转变换、伸缩变换、镜面反射变换等，其中平移变换和旋转变换是最常见的。
平移变换的形式为(x,y,z)→(x+a,y+b,z+c)，表示将点(x,y,z)移动到(x+a,y+b,z+c)的位置；旋转变换的形式为(x,y,z)→(x′,y′,z′)，表示将点(x,y,z)绕着某个轴旋转一定角度得到的变换。
此外，还需要掌握曲率半径和测地线的相关知识。
曲率半径表示了空间曲线在某一点处的曲率大小，它的数值越小，则曲线的弯曲程度越大；测地线则是在黎曼几何中的一种特殊的曲线，它在空间中具有“直线”的特性，但与欧式几何中的直线不同，它是沿着曲率最小的方向前进的。
掌握这些基本概念之后，可以更好地解决黎曼几何中的各种问题。
二、解题技巧（一）审题重要，掌握考点针对黎曼几何题目，考生首先需要仔细审题，明确题目中的要求和考点。
例如，一道典型的黎曼几何题目：已知三角形ABC，其中∠B=90°，AC=8，BC=6，点D在边AC上，使得CD=2，BD的垂线交边AC于点E，连BE，求BE 的长度。
这道题涉及了三角形和直角三角形的知识，在解题过程中需要运用到曲线曲面的相关知识点。
通过仔细分析题目中的条件和要求，可以发现它主要考察的是曲率半径的概念和平移旋转变换的知识。
明确了考点之后，就可以更有针对性、更加准确地解答题目。
黎曼几何的基础概念
黎曼几何的基础概念黎曼几何是数学中的一个分支，主要研究曲面或高维空间的性质和度量。
它是现代数学中重要的分支之一，对物理学、工程学等有着广泛的应用。
在黎曼几何中，有一些基础概念是必须要掌握的，接下来我们就来详细了解一下。
I. 曲面和流形曲面是黎曼几何中最基本的概念之一。
形象地说，曲面就是一个二维的物体，如球体、椭球体和双曲面等。
在数学上，曲面是指可以通过参数方程或隐式方程表示的点集合。
曲面是一个很抽象的概念，它的研究需要借助于微积分等数学工具。
流形是一个更为广泛的概念，它是指一个能够用局部的欧几里得空间逼近的几何对象。
流形可以是一般的曲面、高维空间、复流形等等。
因此，流形是一个可以向各个方向扩展的概念。
II. 测地线和曲率测地线是指在曲面上连接两点的最短路径，它在物理学中有着广泛的应用。
在平直的欧几里得空间中，两点之间的最短路径是一条直线。
但是在曲面上，两点之间的最短路径并不是一条直线，而是一条测地线。
测地线是黎曼几何中一个非常重要的概念，它与曲率密切相关。
曲率是一个衡量曲面非欧性的指标。
在欧几里得空间中，所有点的曲率都为零，因为一个欧几里得空间可以认为是没有弯曲的。
而在曲面上，曲率则不为零。
曲率可以通过计算曲面上不同点处的法曲率来得到，它反映了曲面的弯曲程度。
III. 度量和黎曼度量度量是一个衡量空间间距的指标。
在欧几里得空间中，度量就是我们熟悉的距离公式。
在曲面上，度量的概念稍有不同。
通常情况下，度量是通过一个对称正定矩阵来定义的，它可以用于计算曲面上点之间的距离。
黎曼度量是一个更加抽象和重要的概念，它定义了在一个流形上的内积、长度和角度等基本概念。
黎曼度量可以用于描述曲面上的测地线和曲率等重要参数。
综上所述，曲面和流形、测地线和曲率以及度量和黎曼度量是黎曼几何中非常重要的基础概念。
熟练掌握这些概念是需要花费大量精力和时间的，但是对于理解高级领域中的数学理论以及物理学和工程学中的应用都是至关重要的。
“四维空间”被德国数学家证明真实存在？它到底是什么样子呢？
“四维空间”被德国数学家证明真实存在？它到底是什么样子呢？人类的大脑是世界上最精密的仪器，虽然人类目前已经发展出核科技，但对于大脑的研究还停留在浅显的认知阶段，人们根本不知道大脑是怎么思考的，大脑又是怎么存储记忆的，或许要想弄懂大脑到底是怎么组成的，人类还要走很长的路。
大脑可以带给人想象力，而想象力就能带来创造力，人类的进步也是基于此。
人类靠着丰富的想象力，不断的思考着各种问题，“四维空间”就是其中之一。
大家都知道四维空间的理论是爱因斯坦的相对论作出的，但爱因斯坦相对论的又是因何而来，恐怕就很少有人知道了。
其实，相对论来自于一个德国数学家的猜想，这个德国数学家就是大名鼎鼎的黎曼。
黎曼和四维空间四维空间的提出，是基于人类对世界的探索。
自从人类诞生以来，人类就在不断的寻找世界的真相，世界到底是什么样子的？这个问题一直困扰着人类。
如今，人类站在无数的巨人肩膀上，已经对世界有了一些浅薄的认识，因此各种猜想就不断被科学家提出。
四维空间的猜想也应运而生。
虽然说四维空间属于空间范畴，应该被归类到物理学领域，但是提出四维空间概念并证实这个概念的人确是一个天才数学家，他就是黎曼。
黎曼的名字我想大家并不陌生，困扰着数学界的世界难题——黎曼猜想，就是他提出的。
不过我们今天讨论的却是他对物理学领域的贡献，即证明了四维空间的存在。
黎曼为了证明四维空间，重新定义了一套几何系统，我们称之为黎曼几何。
在我们的世界中，我们常常会用简单的长宽高三个维度去衡量一个几何物品，但黎曼认为，数学不应该局限于三个维度，因为没有人规定世界只有三个维度。
黎曼认为世界不是一个长宽高的世界，而是一个球体，这些在球体当中被我们定义出来的直线，并不是直线，而是围绕着球体的曲线，这条线不是无限长，最多只能和球体的周长一样长。
黎曼提出的思想，其实就是四维空间的思想，但是在当时，黎曼刚提出这个想法的时候，很多人并不认同，直到后来爱因斯坦在黎曼几何的思想影响下，提出了著名的广义相对论。
广义相对论 黎曼几何
广义相对论黎曼几何
广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的描述引力的理论。
这个理论认为，物体之间的引力作用是由于它们所在的四维时空的曲率引起的。
在这种观念下，引力不再是一种神秘的力量，而是物体沿着弯曲时空的自由下落运动。
黎曼几何在这背景下扮演了重要角色。
黎曼几何是一种研究曲率的数学工具，它研究的是弯曲的空间，而不是欧几里得空间（即平面几何和立体几何）。
在广义相对论中，黎曼几何为我们提供了一种描述时空曲率的方法。
通过黎曼几何，我们可以更好地理解爱因斯坦场方程，这是描述引力如何改变时空曲率的方程。
广义相对论的应用不仅仅局限于理论研究，它对我们日常生活也产生了深远影响。
例如，全球定位系统（GPS）就需要考虑广义相对论的效应。
由于引力使时空弯曲，卫星和地球之间的距离在引力场中会发生变化。
这种效应被称为“引力红移”。
如果不考虑这种效应，GPS的定位精度会受到影响。
此外，广义相对论还为其他领域的研究提供了理论基础。
例如，它与量子力学相结合，促使了量子引力理论的发展。
而黑洞研究、宇宙学等领域也离不开广义相对论的指导。
总之，广义相对论是我国科学家在物理学领域的重要贡献。
它不仅改变了我们对引力的认识，还为现代科学的发展奠定了基础。
5. 黎曼几何初步
§5 黎曼几何初步一、 黎曼空间[黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i， x i ＋d x i之间的距离ds 由一个正定二次型d s 2 = g ij ( x )d x i d xj 决定，则称空间R n 为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n 中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2称为V n 的线素.定义曲线弧长的微分为()j i ij x x x g s d d d =而任一曲线x i =x i(t )()a t b ≤≤的弧长为积分()()⎰=baji ij t tx t x t x g s d d d d d因为在坐标变换()x x x i i i ='下，ds 2为一个不变量，所以j ji i ij j i xx x x g g ''∂∂∂∂= 这表明g ij ( x)为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n的度量张量或基本张量.[矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿.设{}a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为g ij a i a j设{}i a 与{}b i 是两个逆变矢量，则其标量积为g ij a i bj 这两矢量夹角的余弦为g a b g a ag b bij i j ij ijij i j设g ij a i=a j , g ij b i=b j则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为g ij a i a j=a j a j, g ij a i b j=a j b j张量j k i T ⋅⋅的伴随张量为j l i lk ijk T g T ⋅⋅=，k i lj jk i l T g T ⋅⋅⋅=式中g lj 满足等式g g il lj i j=δ式中j i δ为克罗内克尔符号.[黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件：(i) 仿射联络是无挠率的，即kji k ij ΓΓ=(ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=l iji jl j il kl kij x g x g x g g 21Γ 如果记k ij lk l ij g ΓΓ=,则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂=l ij i jl jil l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：[]l ij l ij ,,Γ=和{}k ij k ij Γ=它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号.此外，还有等式0=--∂∂lkj il l ki jl kij g g xg ΓΓ或i kj j ki kij xg ,,ΓΓ+=∂∂还要指出，§4中关于协变微分法的一切结果，对黎曼联络k ij Γ都成立.二、 勒维－奇维塔的平行性仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络ijk Γ决定的.在具有度量张量g ij 的黎曼空间Vn中，利用黎曼联络ijk Γ来定义相应的平行移动称为V n的勒维－奇维塔平行移动.设沿V n 中某一曲线 x i =x i (t )()a t b ≤≤ 给定了矢量场a i =a i(t )，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量a i(t )按规律0d d d d d =+=tx a t a t Da ji k ij k k Γ 变化，则称矢量a i(t )沿曲线作勒维－奇维塔平行移动.勒维－奇维塔平行移动具有性质：1度量张量g ij 的协变导数等于零，即0=--∂∂=∇lkj il l ki jl kij ij k g g x g g ΓΓ还有 ∇=k j i δ0, ∇=k ij g 02若两族矢量a i (t )和b i(t )都沿曲线平行移动，则()0d d=j i ij b a g t所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.3 黎曼空间V n中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样，都由微分方程0d d d d d d 22=+s x s x sx kj i jk i Γ 所确定.不过这里的k ij Γ是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量sx id d 互相平行.三、 黎曼空间中的曲率[曲率张量与李奇公式] 张量的协变导数与普通导数的明显区别是：求高阶导数时，张量导数的结果一般与求导的次序有关.例如，运算∇∇-∇∇k j j k 作用于矢量{}a i 时，则有l r kl i jr r jl i kr j i kl k i jl i k j i j k a x x a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∂∂-∂∂=∇∇-∇∇ΓΓΓΓΓΓ (1) 记rkli jr r jl i kr ji klkijlikjl x x R ΓΓΓΓΓΓ-+∂∂-∂∂=它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量，称为空间V n的曲率张量或黎曼－克里斯托弗尔张量.由(1)式得∇∇-∇∇=k j i j k i kjl il a a R a左边称为逆变矢量{}a i 的交错二阶协变导数；对协变矢量{}ib 的交错二阶协变导数是r rjki i j k i k j b R b b -=∇∇-∇∇张量的交错二阶协变导数是∇∇-∇∇=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-+-+∑∑j k s s s r r r k j s s s r r r jkir s s s r r r ir r jkq i s s s is s r r r q mp lTTR TR T ml m l p m p p l q q m l12121231212121112111211这称为李奇公式.[黎曼符号·李奇张量·曲率标量·爱因斯坦空间] 曲率张量的协变分量R g R jklr ri jkl i=称为第一类黎曼符号，而R jkl i 称为第二类黎曼符号. 曲率张量缩并得R R g R kl jkl jrj jklr ==称为李奇张量.李奇张量再缩并得R = g klR kl称为曲率标量.若李奇张量满足R nRg ij ij =1则称此空间为爱因斯坦空间. [曲率张量的性质]1曲率张量前两个指标j 和k 是反对称的，即i jkl i kjl R R -=特别R jjl i=02曲率张量对三个协变指标作循环置换后相加，使得R R R jkl i klj i ljk i++=0这称为李奇恒等式.3第一类黎曼符号R kjlr 可按下式计算：()q jl p kr q jr p kl pq l j kr r j kl r k jl l k jr jklrg x x g x x g x x g x x g R ,,,,222221ΓΓΓΓ-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂= 因此R kjlr 关于指标j , k 与 l , r 是反对称的；关于前一对指标与后一对指标是对称的；对前面三个指标作循环置换后相加等于零，即R j klr =－R kjlr R j klr =－R jkrlR j klr = R lrjkR jklr ＋R kljr ＋R ljkr = 0４李奇张量是对称的，即R kl = R lk . 5 空间V n 中任一点下式成立：∇+∇+∇=i jkl r j kil r k ijl rR R R 0这称为皮安奇恒等式.它表明，按协变导数的指标(i )及曲率张量前两个指标(j , k )作循环置换所得到的和等于零.[黎曼曲率(截面曲率)与常曲率空间] 对黎曼空间V n内一点M 的两个线性无关矢量{}p i 和{}q i 作()K R p q p q gg g g p q p qrijk r i j krkij rj ik r i j k=-这称为p i，q i所确定的平面的黎曼曲率，又称为截面曲率.如果对空间V n(n > 2)中所有点都有R rijk =K (g rk g ij －g rj g ik )则黎曼曲率K 为常数，这就是舒尔(Schur)定理.黎曼曲率为常数的空间Ｖn称为常曲率空间，这种空间的线素可化为形式()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=221221241d d d n n x x K x x s 这称为黎曼形式的常曲率空间的度量.常曲率空间是爱因斯坦空间.。
这个空间的几何学就叫做黎曼几何学共36页
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
这个空语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
数学的微分几何与黎曼几何
数学的微分几何与黎曼几何微分几何和黎曼几何是数学中的两个重要分支，它们在研究空间的性质和结构时发挥着重要的作用。
微分几何是关于切空间和切量的研究，而黎曼几何则是基于黎曼度量的空间的几何学。
本文将详细介绍微分几何和黎曼几何的基本概念和应用。
一、微分几何微分几何是研究曲线、曲面和高维空间的几何性质的一门学科。
它主要利用微积分和线性代数的工具来描述和分析空间中的曲线和曲面的切向量、法向量、曲率等几何性质。
微分几何有着广泛的应用领域，比如在物理学中用于描述空间的弯曲性，而在计算机图形学中用于生成曲线和曲面的模型。
微分几何最重要的概念之一是切向量。
切向量是与曲线、曲面上某一点的切线方向相一致的向量。
通过研究切向量，我们可以得到曲线、曲面的切线、切平面等几何性质。
此外，微分几何还研究了曲线和曲面的曲率，曲率的计算可以帮助我们确定曲线、曲面的形状。
二、黎曼几何黎曼几何是研究黎曼度量空间的几何学。
黎曼度量是在任意切空间上定义的正定对称双线性型，它用于度量空间内的向量之间的夹角和长度。
在黎曼几何中，我们研究的是具有黎曼度量的空间的性质和结构。
黎曼几何中最重要的概念之一是黎曼曲率。
黎曼曲率是指黎曼度量空间上的曲率，并刻画了空间的弯曲程度。
黎曼度量和黎曼曲率的研究对于理解物理学中的引力场和广义相对论有重要的意义。
三、微分几何与黎曼几何的关系微分几何和黎曼几何在很多方面是相互关联的。
微分几何中的很多概念和方法都可以用于处理黎曼几何中的问题。
比如，微分几何中的切向量和曲率可以通过引入黎曼度量来推广到黎曼几何中。
而黎曼几何中的黎曼曲率可以通过微分几何中的微分形式理论来定义和计算。
此外，微分几何和黎曼几何也相互影响和促进了各自的发展。
微分几何的方法和思想对黎曼几何的研究提供了有力的工具，而黎曼几何的发展也为微分几何开辟了新的研究方向。
总结：微分几何和黎曼几何是数学中的两个重要分支，它们在几何学和物理学中具有广泛的应用。
微分几何主要研究空间中曲线和曲面的几何性质，而黎曼几何则基于黎曼度量来研究空间的特性。
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述黎曼几何是一门研究曲面和高维流形的几何学分支，它是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，并被广泛应用于数学、物理学和工程学等领域。
黎曼几何的研究对象是具有度量的空间，它将几何中的度量概念引入了数学的领域，使得我们能够通过度量来描述空间的性质和变化。
黎曼几何的主要研究内容包括曲率、联络和度量等方面。
曲率是黎曼几何的核心概念之一，它描述了空间的弯曲性质。
在黎曼几何中，我们可以用曲率张量来度量空间的曲率，从而获得空间的几何信息。
联络则用来描述空间中点之间的连接方式，它在黎曼几何中起着举足轻重的作用。
而度量是黎曼几何中的基本概念，它定义了空间中点之间的距离和角度，使得我们能够进行几何量的计算和推导。
黎曼几何的空间模型是对空间的一种抽象和描述，它通过数学符号和公式来表示空间的性质和结构。
黎曼几何的空间模型包括欧氏空间、球面空间和超几何空间等。
欧氏空间是我们熟知的平面和三维空间，它的度量方式是直角坐标系。
球面空间则是由一个以一点为中心的球面构成，它的度量方式是球面坐标系。
超几何空间则是一类具有非欧几何性质的空间，它的度量方式是广义的。
黎曼几何空间模型不仅在纯数学领域有着重要的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等应用领域发挥着重要作用。
例如，在相对论理论中，黎曼几何被用来描述时空的弯曲性质。
在计算机图形学中，黎曼几何的概念被应用于曲面建模和形状分析等方面。
因此，深入理解和研究黎曼几何空间模型对于提高我们对空间性质的认识和应用具有重要意义。
本文将介绍黎曼几何的基本概念和空间模型，并对其在数学、物理学和工程学等领域的应用进行讨论。
通过对黎曼几何空间模型的探索和研究，我们能够更好地理解空间的本质和性质，为我们的学科研究和实际应用提供更多的工具和方法。
文章结构部分的内容可以是对整篇文章的章节和内容安排进行介绍和总结，以便读者能够更好地理解文章的组织和主要内容。
以下是文章1.2文章结构部分的一个可能的内容段落：文章结构本文将按照以下结构进行讨论黎曼几何空间模型的基本概念和应用。
黎曼几何简介
黎曼几何黎曼几何（Riemannian Geometry）是数学中的一个分支，它研究的是曲线和曲面上的几何性质，尤其是在多维空间中的曲线和曲面上的几何。
以下是对黎曼几何的详细介绍：1. 发展历史：黎曼几何得名于19世纪德国数学家伯纳德·黎曼（Bernhard Riemann）。
他的研究为非欧几何学和曲线的几何性质奠定了基础，这些研究后来成为黎曼几何的核心内容。
2. 黎曼度量：黎曼几何的一个核心概念是黎曼度量（Riemannian Metric），它是一个定义在流形（Manifold）上的正定对称双线性形式，用于度量流形上的切向量的长度和角度。
黎曼度量允许我们在非欧几何空间中定义距离、角度和曲线的弧长等几何性质。
3. 流形：黎曼几何主要研究的对象是流形，它是一个具有拓扑性质的空间，每一点都有一个切空间，切空间上定义了一个黎曼度量，使得切向量的长度和角度有了明确的定义。
流形可以是平直的（如欧几里得空间）或弯曲的（如球面或其他非欧几何空间）。
4. 平直和曲率：黎曼几何研究的一个重要问题是对流形的曲率进行描述。
在欧几里得空间中，曲率为零，也就是说，直线是最短路径。
而在非欧几何空间中，曲率可以是正的或负的，这意味着直线可能不是最短路径，而是一条弯曲的路径。
5. 应用领域：黎曼几何广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
在物理学中，广义相对论中描述引力的数学形式就是基于黎曼几何的。
在计算机科学中，机器学习算法中的降维和数据聚类方法也使用了黎曼度量和黎曼几何的概念。
6. 黎曼度量流形：黎曼度量流形是一个流形，每一点都有一个定义良好的黎曼度量，因此可以在其上定义距离和度量几何性质。
这种流形的例子包括欧几里得空间、球面、超球面和许多其他曲面。
7. 研究难点：黎曼几何中一些问题的解决依然是数学领域的难题，如黎曼猜想和黎曼–默塞尔公式。
这些问题涉及到黎曼ζ函数的零点和复杂性质。
总的来说，黎曼几何是几何学中的一个重要分支，它的研究对象是曲线和曲面上的几何性质，可以应用于各种科学领域，包括物理学、工程学和计算机科学，对于理解空间和度量性质具有深远的影响。
黎曼几何公式
黎曼几何公式黎曼几何公式是黎曼几何中最重要的公式之一。
黎曼几何是一种非欧几何，它与欧几何有很大的不同。
欧几何是一种平面几何，它研究的是平面上的图形和空间中的图形。
而黎曼几何则是一种曲面几何，它研究的是曲面上的图形和空间中的图形。
在黎曼几何中，我们需要考虑曲率这个概念，而黎曼几何公式就是描述了曲率与拓扑之间的关系。
黎曼几何公式的全称是黎曼-罗氏公式（Riemann-Roch Formula），它是由黎曼和罗氏在19世纪中期分别独立提出的。
黎曼几何公式的形式非常复杂，但是它可以简化为下面这个形式：$$%chi(X)=%frac{1}{2}%int_X K dA+%sum_{i=1}^n (1-g_i)$$其中，$%chi(X)$表示紧黎曼曲面$X$的欧拉示性数，$K$表示$X$的高斯曲率，$dA$表示面积元素，$g_i$表示$X$的亏格，$n$表示$X$上的奇点数。
黎曼几何公式的意义非常深刻。
它告诉我们，对于一个紧黎曼曲面$X$，它的欧拉示性数$%chi(X)$与其高斯曲率$K$、亏格$g_i$之间存在着一种深刻的联系。
这个联系不仅仅是数学上的，而且还有着物理上的意义。
例如，在弦论中，黎曼几何公式被广泛地应用于描述弦论中的紧致化过程。
黎曼几何公式的证明非常复杂，需要运用到许多高深的数学知识。
但是，我们可以通过一个简单的例子来直观地理解黎曼几何公式的意义。
考虑一个球面$S^2$，它有一个亏格为0，高斯曲率为1。
那么根据黎曼几何公式，我们有：$$%chi(S^2)=%frac{1}{2}%int_{S^2} K dA+(1-0)=2$$这个结果非常有趣。
它告诉我们，在球面上任意取两个点，我们可以通过一个简单的路径将它们连起来。
这个路径将球面分成了两个部分，每个部分都是一个圆盘。
因此，球面上存在着两个圆盘。
这个结论非常直观，但是它却是由黎曼几何公式推导出来的。
总之，黎曼几何公式是黎曼几何中最重要的公式之一。
黎曼几何与广义相对论
黎曼几何与广义相对论是两个重要的数学和物理学理论，它们的发展和应用对于现代科学的进步起到了举足轻重的作用。
黎曼几何是德国数学家黎曼于19世纪中叶提出的一种几何学理论，它是欧几里德几何的推广和拓展。
黎曼几何研究的对象是曲线和曲面，它不再局限于平面几何的直线和圆的性质，而是考虑了曲线和曲面的曲率、曲线和曲面间的关系等更加一般的性质。
黎曼几何的核心思想是将几何关系的描述从欧几里德空间扩展到了一般的曲面或更高维的空间，在其中可以定义曲线和曲面的几何性质。
广义相对论是由爱因斯坦于20世纪初提出的一种物理学理论，它是描述引力的一般相对论的扩展。
广义相对论假设空间是弯曲的，物质通过塑造空间的方式来影响其他物质的运动，同时运动的物体也会塑造空间的几何性质。
广义相对论的核心公式是爱因斯坦场方程，它描述了物质和能量如何以及为何塑造了引力场。
广义相对论具有良好的预言能力，已经被广泛应用于行星运动、黑洞物理、宇宙演化等领域的研究。
黎曼几何与广义相对论之间有着密切的联系。
黎曼几何为广义相对论提供了理论基础和工具，广义相对论的场方程正是基于黎曼几何的概念和方法发展起来的。
黎曼几何研究了曲面的性质，而广义相对论则将曲面的性质推广到了更一般的情况，研究了四维时空的曲率和引力场的性质。
黎曼几何的概念如测地线和度量张量等都在广义相对论中得到了应用。
研究黎曼几何和广义相对论需要具备一定的数学和物理知识。
对于黎曼几何的学习，需要掌握向量分析、微分几何等数学方法；而对于广义相对论的学习，除了数学方法之外还需要理解牛顿力学和电磁学等基本物理学理论。
随着科学技术的进步，利用计算机进行数值模拟和精确计算已经成为黎曼几何和广义相对论研究中的重要手段。
总之，黎曼几何与广义相对论是数学和物理学中重要的理论，它们的研究和应用对于我们理解自然界的基本结构和运动规律有着重要的意义。
掌握黎曼几何和广义相对论的基础知识可以帮助我们更好地理解现代科学的发展，以及人类对于宇宙的探索。
黎曼几何公式
黎曼几何公式黎曼几何是非欧几何的分支，不同于欧几里得几何，黎曼几何允许曲线的存在，对平面的平行性质进行了重新定义。
它是由德国数学家伯纳德·黎曼于19世纪中叶提出的，对物理学和数学领域产生了深远的影响。
黎曼几何的核心在于它提供了一种用曲率度量空间的方式，这就是闻名于世的黎曼几何公式。
黎曼几何公式是黎曼曲面上的一个重要公式，它是黎曼几何理论的基础之一，描述了曲面的几何性质。
该公式可以用于计算曲面上的曲率和度量，是研究曲面的形状、变形和空间关系的重要工具。
黎曼几何公式可以表述为：对于任意一条闭合曲线C，通过计算该曲线围成的区域A的面积和曲线长度之间的关系，得到如下公式：∮Cκ ds = 2πχ(A)其中，∮C表示对曲线C的积分，κ表示曲线C的曲率，ds表示曲线上的无穷小线元素，χ(A)表示区域A的欧拉特征数。
该公式描述了曲线曲率与曲线围成的区域的几何性质之间的关系。
该公式的含义是，对于一个曲线C来说，它围成的区域的欧拉特征数与曲线上的曲率之间存在着一种对应关系。
欧拉特征数是一个拓扑不变量，它描述了一个空间的拓扑结构，可以用于区分不同的拓扑空间。
因此，黎曼几何公式实际上是将曲线的几何性质与空间的拓扑性质联系起来，从而揭示了几何和拓扑之间的深刻关系。
另一个重要的黎曼几何公式是黎曼曲面上的高斯-波内定理。
该定理描述了曲面上曲率、曲面积分和曲面围成的区域之间的关系，可以表述为：∬S K dA + ∮C k_g ds = 2πχ(S)其中，∬S表示对曲面S的面积分，K表示曲面上的高斯曲率，k_g表示曲线C的曲率，dA表示曲面上的无穷小面元素，χ(S)表示曲面S的欧拉特征数。
该公式描述了曲面上的几何性质与曲面围成的区域的拓扑性质之间的联系。
这两个公式是黎曼几何领域中的核心公式，它们不仅是研究曲面形状和拓扑性质的重要工具，也在物理学中发挥了重要作用。
比如，黎曼几何公式在爱因斯坦的广义相对论中被广泛应用，描述了时空的弯曲和引力场的性质。
数学中的拓扑学和黎曼几何
数学中的拓扑学和黎曼几何拓扑学和黎曼几何是数学中的两个重要分支。
它们都有着深厚的理论基础和广泛的应用领域。
本文将着重介绍这两个分支的基本概念和发展历程，以及它们的应用和研究方向。
一、拓扑学的基本概念和发展历程拓扑学是研究空间形状和变形的数学分支。
它的基本概念是拓扑空间和连续映射。
拓扑空间是一个集合加上一些限制条件，使它能够描述空间的某些性质。
连续映射是指将一个拓扑空间映射到另一个拓扑空间，保持空间之间的连续性。
拓扑学的主要研究对象是拓扑空间之间的同态和同构关系，它们刻画了空间之间的等价关系。
拓扑学的历史可以追溯到18世纪末和19世纪初，当时欧拉开始研究欧几里德空间和流形的性质。
20世纪初，庞加莱提出了拓扑学中的三角剖分猜想，开创了拓扑学的发展之路。
20世纪中叶，俄国数学家亚历山大·格罗滕迪克提出了拓扑学中的同伦理论，它是描述拓扑空间中曲线的一种数学工具。
同伦理论在研究空间的连通性、秩序和变形等方面发挥了重要作用。
二、黎曼几何的基本概念和发展历程黎曼几何是一种研究多维空间的几何学。
它的基本概念是黎曼度量和曲率。
黎曼度量是一种度量方式，它可以用来测量空间内两点之间的距离和方向。
曲率则是描述空间内弯曲程度的数值。
如何计算一个空间的曲率是黎曼几何的核心问题之一。
实际上，曲率是描述空间形状的关键特征之一，它与拓扑学密切相关。
黎曼几何的起源可以追溯到19世纪初，当时黎曼提出了定义曲率的方法，并在此基础上建立了一种新的几何学。
黎曼几何在20世纪初得到了迅猛的发展，广泛应用于物理学、天文学、计算机科学等领域。
20世纪中叶，法国数学家雅克·瓦维尔提出了黎曼流形的概念，它是一种多维空间和黎曼度量的结合体，是现代几何学的基石之一。
瓦维尔还在黎曼流形的基础上提出了另一种曲率量，称为黎曼曲率张量，它在研究空间的物理特性和变形中有着重要的应用。
三、拓扑学和黎曼几何的应用和研究方向拓扑学和黎曼几何在现代科学和工程技术中有着广泛的应用。
三种几何差异
黎曼几何
黎曼流形上的几何学。德国数学家黎曼19世 纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根
大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的
就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在 这篇演说中黎曼将曲面本身看成一个独立的几何 实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一 个几何实体。
黎曼几何的规定：
欧式几何的五条公理：
1、任意两个点点可以通过一条直线连接。 2、任意线线段能无限延长成一条直线。 3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心， 该线段作为半径作一个圆。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同 一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直 线在这一边必定相交。
罗氏几何
罗氏几何即双曲几何，也称罗巴切夫斯基
几何，波利亚-罗巴切夫斯基几何，是一种独 立于欧几里得几何的一种几何公理系统。
罗氏几何的公理：
1、同一直线的垂线和斜线不一定相交。 2、垂直于同一直线的两条直线，当两端延长 的时候，离散到无穷。不存在相似而不全等的
多边形。
3、过不在同一直线上的三点，不一定能做一 个圆。
过直线外一点，无法作一条直线与原直线不相交。
而物理界中，据黎曼几何，光线按曲线运动；而欧 氏几何中，光线按直线运动。
1、基本规定：在同一平面内任何两条直线都 有公共点(交点)。
2、直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
3、黎曼几何的模型是一个经过适当“改进” 的球面。
在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。
欧式、罗氏、黎曼几何的区别
三种几何的区别，主要体现在如何对待
“殴几里得第五公设”。即
过直线外一点，只可以作一条直线
数学中的微分几何与黎曼几何
数学中的微分几何与黎曼几何数学是一门极其深奥而又广泛的学科，包含了许多不同的分支和领域。
微分几何和黎曼几何是数学中两个重要的分支，它们研究的是空间和曲线的性质，对于探究物理现象、理论物理和计算机图形学等领域都具有重要的应用。
本文将对微分几何和黎曼几何进行介绍和比较。
1. 微分几何微分几何是研究曲线、曲面及其多维推广的数学分支。
它的核心思想是通过引入微积分的方法来研究几何对象的性质。
微分几何的主要对象包括切空间、曲率和度量等。
切空间描述了曲线或曲面上每一点的切向量的集合，它可以用来研究曲线的弯曲程度和曲面的形状。
曲率是描述曲线或曲面曲率大小和变化的一个参数，它可以用来刻画曲线或曲面的弯曲性质。
度量是用来衡量曲线或曲面上点之间的距离和角度的工具，它可以用来研究曲线或曲面的几何性质。
2. 黎曼几何黎曼几何是微分几何的一个重要分支，它是以黎曼度量为基础，研究具有更一般性质的空间和曲线。
黎曼度量是定义在流形上的一种正定对称双线性型，它用来衡量流形上切向量的长度和夹角。
黎曼几何的重要概念包括测地线和曲率张量。
测地线是指在流形上的一条曲线，它具有沿着它自身行进时的最短路径性质。
曲率张量是一个描述流形曲率分布的重要工具，它可以用来刻画流形的弯曲性质。
3. 微分几何与黎曼几何的关系微分几何和黎曼几何有着密切的联系和相互作用。
微分几何是黎曼几何的一种特殊情况，它研究的是黎曼度量为常值的空间和曲线。
而黎曼几何则是微分几何的推广，它研究的是黎曼度量不一定为常值的情况。
微分几何通过引入微分形式和流形等概念，为黎曼几何提供了丰富的数学工具和方法。
黎曼几何则丰富了微分几何的理论和方法，使之能够更加广泛地应用于不同的领域。
4. 应用领域微分几何和黎曼几何在物理学、理论物理学和计算机图形学等领域都有重要的应用。
在物理学中，微分几何和黎曼几何被用来研究时空结构和引力场等重要问题。
相对论就是建立在黎曼几何的基础上，通过对时空的几何性质进行描述和研究。
高等数学中的黎曼几何与爱因斯坦场方程
黎曼几何与爱因斯坦场方程是数学与物理学中颇具影响力的重要理论。
黎曼几何是从数学角度研究空间的结构与性质，而爱因斯坦场方程则是描述了引力与时空的关系。
这两个理论相互交叉，相互促进，为我们更好地理解自然界提供了重要的工具和方法。
黎曼几何是由德国数学家黎曼于19世纪提出的，它研究的是非欧几何，即不满足欧几里得公理的几何学体系。
在欧几里得几何中，我们熟悉的空间是平直的，但在现实世界中，空间往往具有弯曲的特性。
黎曼几何的出现为我们研究弯曲空间提供了重要的数学工具。
黎曼几何主要通过引入度量张量和曲率张量来描述空间的几何性质。
度量张量是一个二阶张量，它用于测量空间中的长度、面积和角度等属性。
而曲率张量则用于描述空间内曲线的弯曲程度和曲率的变化情况。
这些概念和方法在黎曼几何中有着广泛的应用，从微分几何到广义相对论都离不开这些数学理论。
黎曼几何的重要性在于它为我们提供了研究曲面、流形等复杂空间的工具和方法。
在物理学中，黎曼几何的应用也非常广泛，例如在相对论中描述物质的运动、引力的作用等方面，都离不开这些数学的支持。
这就引出了黎曼几何与爱因斯坦场方程的关系。
爱因斯坦场方程是由爱因斯坦在1915年提出的，它描述了引力与时空的关系。
根据爱因斯坦的理论，引力不是一个力，而是由物质和能量引起的时空的弯曲。
爱因斯坦场方程就是描述了引力场的弯曲如何与物质和能量的分布相关联。
爱因斯坦场方程可以用曲率张量和能动张量来表示，它的形式非常复杂，但它揭示了时空几何结构如何与物质和能量的分布相互作用。
这个理论的重要性在于它解决了经典物理学中的一些困难，例如解释水星近日点进动现象等。
它还为黑洞、宇宙学等领域的研究提供了理论基础。
黎曼几何和爱因斯坦场方程的交叉研究使得我们对时空有了更深刻的认识。
它们揭示了物质和能量如何塑造时空的结构，进而影响物质的运动和相互作用。
这些理论的研究不仅对于物理学家来说非常重要，对于数学家来说也具有深远的影响。
总之，黎曼几何与爱因斯坦场方程是数学与物理学中的重要理论。
广义相对论 黎曼几何
广义相对论黎曼几何
（最新版）
目录
1.广义相对论的概述
2.黎曼几何与广义相对论的关系
3.黎曼几何在广义相对论中的应用
4.结论
正文
广义相对论是爱因斯坦在 20 世纪初提出的一种描述引力的理论，它将引力视为时空的弯曲。
在这个理论中，黎曼几何发挥了至关重要的作用。
黎曼几何是一种非欧几里得几何，它的特点是在曲率非零的空间中进行计算。
与欧几里得几何不同，黎曼几何中的直线并非直线，而是测地线。
在广义相对论中，宇宙中的时空被描述为具有特定曲率和度量结构的黎曼几何。
黎曼几何在广义相对论中的应用主要体现在以下几个方面：
首先，黎曼几何提供了描述时空弯曲的数学工具。
在广义相对论中，物体沿着弯曲的时空路径运动，而这种弯曲的时空可以通过黎曼几何来描述。
其次，黎曼几何为引力场方程的建立提供了基础。
爱因斯坦的引力场方程描述了物体在弯曲时空中的运动规律，其中的度量结构就源于黎曼几何。
最后，黎曼几何在黑洞和宇宙学中的应用也是广义相对论的重要研究领域。
黑洞的奇点解和宇宙大爆炸的奇点解都涉及到黎曼几何的复杂数学结构。
总的来说，黎曼几何在广义相对论中的地位举足轻重。
黎曼几何长度
黎曼几何长度（原创版）目录1.黎曼几何简介2.黎曼几何中的长度概念3.黎曼几何长度的计算方法4.黎曼几何长度的应用5.总结正文1.黎曼几何简介黎曼几何是一种非欧几里得几何，它的创立者是德国数学家伯恩哈德·黎曼。
黎曼几何在数学领域具有重要的地位，特别是在微分几何、拓扑学以及相对论等方面有着广泛的应用。
与欧几里得几何不同，黎曼几何中的长度、角度和体积等概念是基于度量（metric）的，而度量可以看作是定义在空间上的一个二元函数。
2.黎曼几何中的长度概念在黎曼几何中，长度是指一个曲线在空间中所占据的“大小”。
对于一条曲线，我们可以通过计算其上的点在空间中的度量值来求得曲线的长度。
具体而言，设曲线 C 上的参数方程为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，t 在 [a, b] 上变化，则曲线 C 的长度 L 可以表示为：L = ∫[a, b]√((dx/dt)+(dy/dt)+(dz/dt)) dt3.黎曼几何长度的计算方法黎曼几何长度的计算方法依赖于度量的选择。
对于不同的度量，长度的计算公式可能会有所不同。
然而，在很多情况下，我们可以通过引入一个特定的度量——黎曼度量，来简化计算过程。
黎曼度量是基于曲线的切矢量场（tangent vector field）和测地线（geodesic）的概念来定义的。
具体而言，设曲面上某点的切矢量为 V，在该点附近任意一点 P 的切矢量为 V"，则两点间的黎曼长度可以表示为：L = ∫[P, Q] √(g(V, V")) dμ其中，g 是度量，dμ是弧长元素。
4.黎曼几何长度的应用黎曼几何长度在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
例如，在相对论中，黎曼几何长度用于描述物体在弯曲时空中的运动轨迹。
此外，在计算机图形学中，黎曼几何长度也被用于计算曲线的“质量”或“丰满度”，从而提高图形的视觉效果。
5.总结黎曼几何中的长度概念和计算方法与欧几里得几何有很大的不同。
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欧氏五条基本公理：
过两点可连一直线 直线可无限延长 以一点为中心，任意长为半径可做一个圆 所有直角都相等 过直线外一点，有只有一直线与已知直线 平行
从这五条公理出发，可演绎出欧氏几何系 统，其中第五条就是著名的第五公设。第五条 是不是前四条的推论，这是著名的第五公设问 题。长达二千多年的时间里，这个问题折磨了 一代又一代数学家，直到18世纪中期才被德国 数学家Gauss、匈牙利数学家Bolyai、俄罗斯数
s a
yt
dt
在欧氏平面上，两点之间最短的曲线即测地线，是直
线段。在这里，连接两点最短的曲线是中心在 X 轴上圆弧。半圆弧是最短的曲线，它与欧氏平面中
直线段地位一样。
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可验证这里的几何模型满足罗氏的五个假设
过两点存在一条“直线” “直线”无限延长 （测地）圆存在 所有直角相等 过一点至少有两“直线”于已知“直线”平行
学家Lobachevsky彻底解决，即第五假设是独 立存在的。
把第五条改为过直线外一点至少有两条直线 与已知直线平行导出非欧氏几何，即罗氏几何， 非欧氏几何直到意大利数学家Beltrami建立了 模型之后才被人们所接受。
二、罗氏几何
罗氏几何满足如下公理
过两点可连一直线 直线可无限延长 以一点为中心任意长为半径可做一个圆 所有直角相等 过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行
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Y B
A
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X
10Leabharlann YX2019/12/23
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三、球几何
继 Gauss 和 Lobachevsky 之后，Riemann 也研究了几何的基础问题。1854年在 Götingen 大学，Riemann 做了“关于作为几 何学基础的假设”的学术报告，提出了一种更 为广泛的几何理论的初始概念，给出了另一种 简单的非欧氏几何，即椭圆几何学。
在 R3 中取单位球面
S 2 1 x, y, zZR3 | x2 y 2 z 2 1
A
B
Y
X
在球面上连接两点 A与 B的曲线中，最短的是过
两点的（大圆中短的一段)劣弧,大圆地位与直 线在平面中的地线一样，是测地线。 满足如下假设 过两点至少可连一“直线”（有问题） “直线”可无限延长 （测地）圆存在（有问题） 直角相等 过“直线”外一点没有“直线”与之平行
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把球面上对径点粘起来，不改变原来曲线的长 度，这个新的几何模型，就是 Riemann 的一 个非欧氏几何,椭圆几何。
球面几何上一些基本结论
球面上三点 A, B, C ，任何两点不是对径点，
连接三点的三条劣弧围成图形称为球面三角形。
定理1 三角形 ABC 三角之和为
ABC S
Poincaré上半平面模型： 取上半平面
R2 x, y R 2 | y 0
按如下的方式
ds 2 dx 2 dy 2 y2
求曲线长度。
若 rt xt, yt, t a,b 是 R2 中曲线，长度
为
b xt 2 yt 2
题目：从欧氏几何谈起
Thus Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true.
Bertrand Russell (quoted by Chern)
其中 S 是三角形的面积。
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定理2 （正弦定理）三角形三个角 A, B,C 与 对应三边 a,b, c 关系为
shA shB shC
定理3 （余弦定sh理a ）s三hb角形sh三c 个角 A, B,C 与对 应三边 a,b, c 关系为
cha chbchc shbshcchA chb chachc shashcchB chc chbcha shbshachC
其中 S 是三角形的面积。
B
c a
A b
C
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定理2 （正弦定理）三角形三个角 A, B,C 与对应三边 a,b, c 关系为
sin A sin B sin C sin a sin b sin c
定理3 （余弦定理）三角形三个角 A, B,C 与 对应三边 a,b, c 关系为
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具有内蕴几何的任何光滑曲面，是二维的黎
曼几何。实际上光滑曲面在其每一点附近与切 平面相差很少，所以在微小的区域里，它的几 何与平面欧氏差异很小，可以用平面线近似代 替曲面线。
黎曼几何被Einstein用于相对论之后，受 到了数学家们的广泛重视，黎曼几何在上世纪 初期得到了迅速的发展。Hilbert、Cartan、 Hopf、Chern以及Weil等人对几何学的发展都做 出了贡献。从那时起，微分几何学在数学发展 上起到了核心的推动作用。有一个事实能说明 这一点，Wolf奖项从1978开始颁奖到1990有24 位数学家有10位，因他们在几何学中的突出贡 献而获奖。
一、欧氏几何
公元前300年，Euclid总结前人的成果基础上， 写出了巨著《几何原本》（《Elements》,对人 类的发展产生了巨大的影响。美国《时代周刊》 主编在一本书中，列出对人类发展最有影响的一 百位人物中，Euclid 排在二十二位。欧氏的公理 化方法对科学产生了重大影响，一直为后来科学 巨匠们所推崇。比如牛顿在写巨著《数学原理》 时，就遵循欧氏的思想和方法。
cosa cosbcosc sin bsin c cos A cosc cosbcosa sin bsin a cosC cosb cosa cosc sin asin c cosB
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对于罗氏几何也有类似的结论
定理1 三角形 ABC 三角之和为
ABC S
四、Riemann 几何
Riemann 在他的报告中，提出了一般的几 何学，欧氏几何、罗氏几何、椭圆几何，都是 它的特例。这个一般几何学的思想是：在空间 中，给出决定任何已知点到任何与之无限接近 的点之间的距离法则，这个法则叫做度量。在 无限小的范围内欧氏几何关系在其中成立，但 并非精确成立。只是区域越小，精确度越大， 当空间的距离变大时，就不能按欧氏方法度量 距离，这个空间就叫做黎曼空间，这个空间的 几何学就叫做黎曼几何学。因此，无限小范围 之内，黎曼几何与欧氏几何几乎是一样的。