北京师范大学历年概率论考研试卷

一．有10个相同的罐子，其中有3个罐子中各装有1个黑球和1个红球，有6个罐子各装有2个黑球和2个红球，有1个罐子各装有1个黑球和9个红球。任取出一个罐子，再从该罐子中任意取出一球，结果发现取出的是红球，试问：

a ） 此球是从装有10各球的罐子中取出的概率是多少？

b ） 此球最有可能是从装有几个球的罐子中取出？ 二．考虑函数

110()3

x e

x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩

a ） 试证明()F x 为分布函数；

b ） 试问()F x 是否可以表示为连续型分布函数和离散型分布函数的线性组合？说明理

由。

三．某工厂生产的一批产品共有N 件，其中有M 件次品。从这批产品中任意不放回抽取n 件产品，用ξ表示抽出残品中的次品件数，试求ξ的数学期望和方差。

四．设12,,,n ξξξ 为来自两点分布总体ξ的简单样本，而ξ的密度矩阵为0

11p

p ⎛⎫

⎪-⎝⎭

，其中01p <<。

1） 参数p 的矩估计量是否为无偏估计量，为什么？

2） 试由似然函数导出p 的极大似然估计量，该估计量是否为无偏估计量？

五．设12,,,n x x x 是来自2(,)N a σ的简单样本，12,,,m y y y 为来自于2

(,4)N a σ的简单样本，其样本均值分别记为x 和y 。

1）常数c 和d 应该满足什么条件才能使得 a

cx d y =+为参数a 的无偏估计？ 2）试确定常数c 和d ，使得估计量 a

的方差达到最小。 3） 试推导出检验01:0:0H a H a =↔≠的显著水平α的拒绝域。

一、设ξ，η为相互独立随机变量，ξ服从1

2

p =

的贝努里分布，η服从标准正态分布，试求：1）ξ＋η，2）ξη的分布函数。如果得到的分布函数是连续型的，求其密度函数；如果得到的分布不是连续型的，讨论它是否可以写成一个连续型的分布函数与一个离散型分布函数的线性组合。

二、从装有红、白、黑求各一的带子中任意有放回的取球，直至三种颜色的球都取出过为止，用ξ表示停止时取球的次数，设k 问任意正整数，试求：

1）()P k ξ>； 2）()P k ξ=； 3）ξ的数学期望。

三、设随机变量ξ有密度函数，2

(),0x

P x xe

x λξλ-=>，而η服从（0，ξ）上的均匀分布。

1）求（ξ，η）的联合密度函数； 2）讨论ξ，η是否相互独立。

四、设{}n ξ为同分布随机变量列，1ξ有有限方差，并且当||3k l ->时k ξ与l ξ互不相关，试证明对{}n ξ大数定律成立。

五、设1221,,,n ξξξ+ 为来自于正态总体(,1)N a 的简单样本。 1）试写出样本均值ξ于样本中位数()

m ξ

，它们等于a 的概率是什么？

2）试由似然方函数导出参数a 的极大似然估计量 ML

a 计算公式； 3）参数a 的矩估计量是否为无偏估计量，为什么？

4）计算 2

()ML

E a a -，它的概率意义是什么？ 5）212

21

2()n k

k nS ξ

ξ+==-∑服从什么分布，为什么？

一、抛硬币n 次，第一次抛出正面的概率为c ，此后每次抛出与前一次结果相同的概率为p 。求第n 次抛出正面的概率，并讨论当n →∞时的极限。 二、设12,,,n ξξξ 为来自于总体ξ的简单样本。

1）试写出μ和2

σ的矩法估计量；

2）若2

(,)N ξμσ ，试证明μ和2

σ的矩法估计量相互独立。

三、设12,,,n ξξξ 为相互独立的随机变量，它们有共同的分布密度函数()p x 。用

11min k k n

ηξ≤≤=和21max k k n

ηξ≤≤=分别表示这n 个随机变量的最小值和最大值。

1）求12(,)ηη的联合分布函数； 2）求12(,)ηη的密度函数； 4） 求1η和2η的边际密度函数。

四、参加集会的n 个人将它们的帽子混放在一起，会后每人任取一顶帽子戴上，以ξ表示他们中戴对自己帽子的人的人数。

1）求ξ的数学期望； 2）求ξ的方差；

3）对于任意的实数0ε>，试证明lim 1)|}0

n P ξε→∞

->=。 五、设12,,,n ξξξ 为相互独立的随机变量列，都服从正态分布2

(0,)N σ，定义

22212n ξξξξ=+++ 。

求ξ的特征函数。

一、某单位(2)N N ≥人向灾区捐款，已知有(1)n n N ≤<人每人捐100元，另N n -人每人捐10元（捐款装入各自统一信封，封面写有款额），安排投入两只相同的募捐箱，并将两箱直接送往灾区，让第一位灾民任取一箱，且在其中任取一信封。 （1）试求：第一位灾民所取信封装有100元的概率。

（2）要使第一位灾民所取100元的可能性最大，问如何安排捐款顺序？ 二、设121,,,,n n U U U U + 独立同分布服从（0，1）上的均匀分布。 （1）证明：2

1

2ln[

](2)n

i

i X U n χ

==-∏ 。

（2）利用121,,,,n n U U U U + 产生一个服从(2)t n 的样本，说明拟这样产生的理由，并用C 或Fortran 语言写出计算程序。

三、设12,,,n X X X 是来自于具有密度函数{}01

(,)x f x I θθθ

≤≤=总体中的样本，其中0

θ>为未知参数。

（1）求θ的极大似然估计 n θ

，并证明 ()p

n n θθ−−→→∞。 （2）求常数序列{}n a ，使得 ()n n a θ

θ-依分布收敛，同时给出极限分布。 四、随机向量(0,)n n X N I ，,a b 为n

R 中的单位向量。

（1）写出(',')a X b X 的联合分布（“'”代表向量的转置）。并证明：','a X b X 独立

'0a b ⇔=。

（2）计算4

('')E a X b X ∙＝？

五、10位评委对某歌星的演唱打出如下分数：

9.55，9.60，9.65，9.60，9.55，8.50，9.60，9.65，9.70，9.65。

（1）计算其样本平均值，样本方差，样本中位数，经验分布函数，画出直方图。 （2）去掉一个最低分和一个最高分后，在完成1中的各项。

（3）设评委打分服从2

(,0.1)N μ，试在原样本下，对歌星的水平9.60μ=作出检验（取置信水平0.05α=）。评述拟所得的检验结果和“去掉一个最低分和一个最高分后再取平均”这种评分制的统计原理（本题计算结果保留小数点后两位）。