最新第8讲 盈亏问题(五年级教师版)

第8讲盈亏问题
盈亏问题又叫盈不足问题，是指把固定数量的物品平均分给固定的对象，因为两种不同的分配标准，导致两种不同的分配结果：一种标准分配后有剩余（盈）；另一种标准分配后不够分（亏或不足）。

此类问题，要求通过两种分配结果的比较，求出物品总数量和固定对象的个数。

标准的盈亏问题就是两次分配的结果一盈一亏，所以就叫盈亏问题。

基本的数量关系是：（盈+亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

广义的盈亏问题一般还包括以下四种情况：
一、两次分配都有余（两盈）；
二、两次分配都不够分（两亏）；
三、一次有余，一次刚好够分（盈适足）；
四、一次分配不够分，一次刚好够分（亏适足）。

解决盈亏问题常用比较的解题策略：
通过两次分配盈亏总额与分配数量的比较，先求出固定对象的个数，再求出分配物品的总数量。

此类问题基本数量关系有：
①盈适足问题：
盈余部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

②亏适足问题：
亏欠部分÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

③两盈问题：
（盈多－盈少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

④两亏问题：
（亏多－亏少）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

⑤盈亏问题：
（盈+亏）÷两种分配标准的数量之差＝固定对象数量。

比较常规的盈亏问题，一般可以直接套用上面的数量关系，解决问题。

较复杂的盈亏问题，一般需要先对题中的条件进行适当的转化，将相关问题先转化成典型的盈亏问题，再求解。

【例1】“雏鹰小队”的同学们参加植树活动，如果每人栽5棵树，还剩12棵树；如果每人栽7棵，就缺4棵。

问这个小队有多少人？一共要栽多少棵树？
【解析】：可以画出线段图帮助理解题意，如下图：
观察上图，比较每人栽7棵与每人栽5棵的两种情况，雏鹰小队总人数是不变的。

雏鹰小队栽树总棵数多出：12＋4=16（棵）；
而每个人多栽：7－5=2（棵）；
所以小队人数为：（12＋4）÷（7－5）=8（人）。

由小队人数和任意一种栽法，可以求出栽树总棵数：
5×8＋12=52（棵）或7×8－4=52（棵）。

【例2】学生春游，租了几条船让学生们划，每条船坐3人，则空2人的位置；如果每条船坐5人，则空出16人的位置，问有学生多少人？共租了多少条船？
【解析】：这是两亏问题，每条船坐3人，空2个位置即少2人，每条船坐5人空16个位置少16人，每条船坐5人比每条船坐3人多空出了14个位置，即每条船坐5人比每条船做3人，可以多坐14人。

比较两种坐船方案，租船总条数是不变的。

可乘坐总人数相差：16－2=14（人）；
每条船乘坐人数相差：5－3=2（人）；
所以共租船：14÷2=7（条）。

根据船的条数和任意一种租船方案，可以求出学生人数，如：7×3－2=19（人）。

注：如果解题时，该题需要把题中的一种分配方案进行转化才能化为盈亏问题求解，通常在求题中的第二个未知数时，按另一种分配方案求解比较方便。

【例3】：解放军某部调动一批战士分乘一批车辆赶往汛地抗洪。

原计划每辆汽车乘32人，则多出5人，他们被安排乘坐在其中的某辆车上，行进中由于紧急任务调走一辆车，这时只好重新安排每辆车乘35人，这样多出7人，他们被安排在其中的某辆车上，问原来共有多少辆车？共派出多少名战士？
【解析】：在重新安排时，每辆车35人，少了一辆车，多出7人。

如果补上这辆车，可以坐上这7个人，还可以再坐：35－7=28（人）。

所以这个条件可以转化为：仍然是
原来的车辆数，每辆车35人，少了28人。

转化条件后，比较两种安排乘坐情况，车辆数是不变的。

乘坐总人数相差：5＋28=33（人）；
每辆车乘坐人数相差：35－32=3（人）；
所以原来车辆数为：33÷3=11（辆）。

再根据原计划乘坐情况，可以求出战士人数为：11×32＋5=357（人）。

【例4】：少先队员栽植一批树苗，如果每个队员栽6棵，还剩12棵；如果其中9个小队员每人栽4棵，而其余队员栽8棵，结果缺2棵。

问这批树苗有多少棵？参加植树的少先队员有多少人？
【解析】：第二种方案中有9个小队员每人栽4棵树苗，假定这9个小队员每人也栽8棵，则需要再添树苗：9×（8－4）=36（棵）。

因此题中条件“如果其中9个小队员每人栽4棵，而其余队员栽8棵，结果缺2棵。

”可以转化为：如果所有队员每人栽8棵，就缺少树苗：36＋2=38（棵）。

从而把原题转化为盈亏问题求解：
少先队员人数为：（38＋12）÷（8－6）=25（人）；
这批树苗总棵树为：25×6＋12=162（棵）。

【例5】：猴子分桃子，如果有2只猴子各分5个，其余的各分3个，则还剩余9个桃子。

如果4只猴子各分3个，其余的各分6个，则剩余10个桃子。

问猴子有多少只？桃子有多少个？
【解析】：第一种分配方案中，有2只猴子各分5个，假定这2只猴子和其余猴子一样也是分3个，在剩余的桃子就多出：2×（5－3）=4（个）。

因此题中条件“如果有2只猴子各分5个，其余的各分3个，则还剩余9个桃子。

”可以转化为：每只小猴分3个，则剩余：9＋4=13（个）。

第二种分配方案中，有4只猴子各分3个，假定这4只猴子和其余猴子一样也是分6个，则需要再分掉：4×（6－3）=12（个）。

因此题中条件“如果4只猴子各分3个，其余的各分6个，则剩余10个桃子。

”可以转化为：每只小猴分6个，则缺少：12－10=2（个）。

从而把原题转化为盈亏问题求解：
共有猴子：（13＋2）÷（6－3）=5（个）；
共有桃子：2×5＋（5－2）×3＋9=28（个）。

【例6】：陈老师给小朋友分红花和黄花，黄花的朵数是红花的一半。

黄花每人分3朵，则多4朵；红花每人分7朵，则少5朵。

问有多少个小朋友？共有多少朵花？
【解析】：因为黄花的朵数是红花的一半，即红花的朵数是黄花的2倍。

因此题中条件“黄花每人分3朵，则多4朵；”可以转化为：红花每人分6朵，则多8朵。

把题目转化成盈亏问题求解：
小朋友的个数为：（8＋5）÷（7－6）=13（个）；
共有红花：13×7－5=86（朵）；
共有花：86＋86÷2=129（朵）。

习题8
1.小朋友分苹果，每人分18个，还多出2个；每人分20个，就有一位小朋友没分到苹果，问共有多少个小朋友？共有多少个苹果？
2.全班同学分组劳动，每组8人。

劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为12人，这样减少了2组，问参加劳动的学生有多少人？
3.在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。

如果其中2人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，正好擦完。

求擦玻璃的人数和玻璃的块数。

4.有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时还剩2个梨，如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，那么梨有多少个？
5.学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？
6.用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深.
习题8解答
1.小朋友分苹果，每人分18个，还多出2个；每人分20个，就有一位小朋友没分到苹果，问共有多少个小朋友？共有多少个苹果？
【解析】：转化题中条件“每人分20只，就有一位小朋友没分到苹果”，即每人分20个苹果，就少20个苹果。

可以画出与上题相似的线段图帮助理解题意，比较每人分20个苹果和每人分18个苹果两种情况，小朋友总人数是不变的。

分掉的苹果总数相差：2＋20=22（个）；
每人多分：20－18=2（个）；
所以共有小朋友：22÷2=11（个）。

由小朋友总人数和任意一种分法，可以求出苹果总数，如：（11—1）×20=200（个）。

2.全班同学分组劳动，每组8人。

劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为
12人，这样减少了2组，问参加劳动的学生有多少人？
【解析】：转化题中条件“每组12人，少2组”，即按原定组数分组，每组12人，少了24人。

转化条件后，比较第二次编组与第一次编组情况，编的组数没变。

总人数增加：12×2=24（人）；
每组人数增加：12－8=4（人）；
原定组数为：24÷4=6（人）。

再根据第一次分组情况，可以求出学生人数为：8×6=48（人）。

3.在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。

如果其中2人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，正好擦完。

求擦玻璃的人数和玻璃的块数。

【解析】：第一种方案中，有2人擦4块玻璃，假定这两人也擦5块，就可以多擦：2×（5－4）=2（块）。

因此题中条件“如果其中2人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；”可以转化为：如果每人擦5块，则余：22－2=20（块）。

从而把原题转化为盈余问题求解：
擦玻璃人数为：20÷（7－5）=10（人）；
玻璃的块数为：10×7=70（块）。

4.有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时还剩2个梨，如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，那么梨有多少个？
【解析】：第二分配方案中，半个苹果配2个梨就相当于1个苹果配4个梨，还剩下半个苹果，还需要添2个梨正好配完。

因此题中条件“如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，”可以转化为：如果按1 个苹果配4个梨，就缺2个梨。

从而把原题转化为盈亏问题求解：
共有苹果：（2＋2）÷（4－3）=4（个）；
共有梨：4×3＋2=14（个）。

5.学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？
【解析】：因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下15×2=30（副），因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）.
6.用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深.
【解析】：井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.
绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米），或者（22-4）×3=18×3=54（米）.
开心的笑是（眉开眼笑）
有意味的笑是（冷笑、皮笑肉不笑）
天真的笑是（憨笑、嬉笑）
兴奋的笑是（捧腹大笑、仰天长笑）
无表情的笑是（微笑、傻笑）
讨好别人的笑是（媚笑)
挖苦别人的笑是（嘲笑）
讥讽别人的笑是（讥笑）
带笑的成语：
冁然而笑倚门卖笑打情卖笑抚掌大笑付之一笑付诸一笑
轰堂大笑哄堂大笑烘堂大笑回眸一笑见笑大方开眉笑眼
眉飞眼笑眉花眼笑眉欢眼笑眉开眼笑眉语目笑拈花微笑
拈花一笑捧腹大笑一笑置之破愁为笑破涕成笑破涕为笑
破颜微笑千金一笑遣愁索笑强颜欢笑鹊笑鸠舞
似笑非笑谈笑风生谈笑封侯谈笑有鸿莞尔而笑谈笑自若啼笑皆非
投壶电笑嬉笑怒骂
先笑后号嘻皮笑脸嘻笑怒骂嬉皮笑脸笑逐颜开追欢卖笑喜眉笑眼
喜笑颜开先号后笑
言笑自若掩口而笑笑傲风月笑比河清相视而笑哑然失笑嫣然一笑
笑里藏刀笑面夜叉
笑容可掬语笑喧哗语笑喧阗胁肩谄笑谑浪笑敖谑浪笑傲载欢载笑
语笑喧呼不苟言笑
言笑晏晏言笑自如追欢买笑载笑载言一笑了之一笑千金一笑倾城
一笑一颦以宫笑角
依门卖笑贻笑大方贻笑后人遗笑大方有说有笑笑逐颜开笑面如花
笑傲风月笑比河清
笑不可仰笑而不答笑里藏刀笑容可掬笑口常开笑不可支笑傲江湖
笑之以鼻笑语指麾
笑骂从汝笑话奇谈笑歌戏舞笑里藏刀笑而不答笑比河清笑傲风月
笑不可仰手舞足蹈
开怀畅笑兴高采烈喜笑颜开喜出望外眼笑眉飞有说有笑
贻笑后人传为笑谈笑傲风月
笑而不答笑不可仰似笑非笑言笑不苟相视而笑言
笑自若言笑自如言笑晏晏嘻皮笑脸
投壶电笑掩口而笑谑浪笑傲笑逐颜开千金一笑遣愁索笑买笑追欢谄笑胁肩破涕成笑破愁为笑捧腹大笑
不值一笑买笑迎欢开眉笑眼烘堂大笑
轰堂大笑谈笑自如贻笑大方语笑喧阗一笑千金一笑
置之谑浪笑敖笑比河清喜眉笑眼。