第二章环和域
人教版高中地理选择性必修第2册 第二章 资源、环境与区域发展 第一节 区域发展的自然环境基础
人类利用、改造自然,实现人地和谐的区域发展途径 人类在生存和发展中需要遵循自然规律,合理、充分利用好当地的自然条件和自 然资源,某些自然条件相对不利时,通过因地制宜地改造,如山区地形条件下,沿着 等高线,在适合的坡面改造地形,修筑梯田;合理利用自然条件,如利用地势高差,修 建自流灌溉水利设施,重视水源和水质的保护;种植适应当地土壤条件的作物,不 断改良土壤;重视环境生态效益,有效保护森林生态系统,减少自然灾害等,实现人 类与自然的和谐共生。
第一节 区域发展的自然环境基础
本节内容简单但细碎,涉及事例多,主要内容有自然条件与区域发展、自然资源 与区域发展。在学习时重点关注以下问题: 1.自然条件中的地理位置和自然要素如何影响区域发展。 2.人类如何遵循自然规律,充分利用和改造自然条件以促进区域发展。 3.自然资源的种类、丰富程度、区域分布与组合及有效开发利用如何影响区域 发展。
某些区域虽矿产资源贫乏,但利用科技、金融等社会资源优势,也会成为经 济发展水平高的发达国家或地区之一,如瑞士。 8.自然条件和自然资源对区域发展有重要影响,但影响不是绝对的。 ( )
如何利用、改造自然,谋求人地和谐?
人与自然高度和谐的典范:红河哈尼梯田 红河哈尼梯田位于云南省南部,遍布红河哈尼族彝族自治州元阳县、红河县、金 平苗族瑶族傣族自治县、绿春县,以“江河·梯田·村寨·森林”四度同构的“人与 自然高度协调的、可持续发展的、良性循环的生态系统”被列为世界文化遗产 和全球重要农业文化遗产。元阳梯田以面积大、地势陡、级数多和海拔高的 “四绝”著称,为红河哈尼梯田的核心区。
自然资源与区域发展
1.自然资源是区域发展的物质基础。在不同发展阶段,影响区域发展的⑥自然资 源种类 不同。在农业社会,土地资源对区域发展具有重要影响;在工业社会,矿产 资源对区域发展影响较大。 2.在一定生产力水平下,自然资源⑦ 丰富 程度是区域发展的重要基础。一种重 要能源或关键性矿产资源的发现与开发,会使区域经济发生根本性改变。而有的 区域矿产资源贫乏,成为制约区域发展的重要因素。 3.自然资源的种类和储量⑧ 区域分布与组合 极不平衡,有的区域自然资源种类 多、数量大,对其经济发展有很好的⑨ 支撑 作用。
中科院课程
Geometry, Vol.1,2， Interscience Publishers， New York， 1969. 撰写人： 肖良(中国科学院研究生院) 撰写日期： 2001 年 10 日
同构定理；共轭定理。 第五章 存在定理
通用包络代数；PBW 定理；生成元与定理关系。 第六章 表示理论
有限维表示；基础表示与初等表示；旋表示；表示的 Freudeuthal 公式；特征标理论；Weyl 公式；Kostant 公式和 Steinberg 公式。 第七章 李群与李代数
指数映射；伴随表示；李群与李代数。
本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课。同时 也可作为物理学、力学等专业研究生的选修课。微分流形己成为现代 数学研究的基本对象。本课程讲授微分流形与李群的基本知识。通过 本课程的学习，希望学生能初步掌握微分流形的基本概念、方法和技 巧。为进一步学习微分几何、微分拓扑、几何分析等相关课程打下坚 实基础。 内容提要: 第一章 欧氏空间
单纯同调群；奇异同调群；一般系数同调群；长正合同调列； Mayer-Vietoris 序列；球面同调群及几何应用；Lefschetz 不动点定理； CW 复形及其同调群。 第四章 上同调与对偶定理
上同调群；正合上同调列；上同调环；Poincare 对偶定理； Alexander 对偶定理；Lefschetz 对偶定理。
主要参考书： 1．Maunder, C.R.F.，Algebraic Topology，Cambridge University Press，
环与域的定义与基本性质
环与域的定义与基本性质环与域是抽象代数学中重要的概念，它们在数学和其它领域有着广泛的应用。
本文将介绍环与域的定义、基本性质以及它们在代数学中的应用。
一、环的定义与基本性质环是一个集合R，配上两个二元运算“加法”和“乘法”，满足以下条件：1. 加法的封闭性：对于任意的a、b∈R，a+b∈R；2. 加法的结合律：对于任意的a、b、c∈R，(a+b)+c=a+(b+c)；3. 加法的交换律：对于任意的a、b∈R，a+b=b+a；4. 零元素的存在：存在一个元素0∈R，对于任意的a∈R，a+0=a；5. 加法逆元素的存在：对于任意的a∈R，存在一个元素-b∈R，使得a+(-b)=0；6. 乘法的封闭性：对于任意的a、b∈R，a×b∈R；7. 乘法的结合律：对于任意的a、b、c∈R，(a×b)×c=a×(b×c)；8. 乘法对加法的分配律：对于任意的a、b、c∈R，a×(b+c)=a×b+a×c；9. 乘法对加法的分配律：对于任意的a、b、c∈R，(a+b)×c=a×c+b×c。
基于上述定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 零元素唯一性：零元素0是唯一的；2. 加法逆元素的唯一性：对于任意的a∈R，它的加法逆元素-b是唯一的；3. 乘法单位元素的存在唯一性：存在一个元素1∈R，使得对于任意的a∈R，a×1=a；4. 乘法单位元素的唯一性：乘法单位元素1是唯一的；5. 乘法的交换律：对于任意的a、b∈R，a×b=b×a。
二、域的定义与基本性质域是一个集合F，配上两个二元运算“加法”和“乘法”，满足以下条件：1. F构成一个交换环；2. F中非零元素构成一个乘法群。
基于上述定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 零元素的唯一性：零元素0是唯一的；2. 加法逆元素的唯一性：对于任意的a∈F，它的加法逆元素-b是唯一的；3. 乘法单位元素的存在唯一性：存在一个元素1∈F，使得对于任意的a∈F，a×1=a；4. 乘法单位元素的唯一性：乘法单位元素1是唯一的；5. 消去律：对于任意的a、b、c∈F，如果a×b=a×c且a≠0，则b=c。
高考地理一轮复习(新人教版) 第3部分 第2章 课时59 生态脆弱区的综合治理
1.两种坡面初始产流早晚存在差别的原因在于降雨初期
√A.裸土坡面土壤孔隙度大
B.裸土坡面地表摩擦力大
C.生物结皮坡面下渗速率快
D.生物结皮坡面土壤不稳定
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据图可知，两种坡面初始产流时间生物结皮早于裸土，而随着降雨时间的延长， 生物结皮产流量与产流率增长较慢，裸土产流量与产流率增长较快，从而可以推 测，裸土坡面土壤孔隙度大，雨水开始下渗速率快，初始产流时间较晚，A正确。
第二章
资源、环境与区域发展
课时59
生态脆弱区的综合治理
1.生态脆弱区 (1)概念：指生态系统抗干扰能力弱、易于退化且难以恢复的地区。 (2)主要分布：分布在干湿交替、 农牧交错 、水陆交界、森林边缘、 沙漠边缘 等 地区。 (3)主要的环境问题：生态系统稳定性较差，土地易退化。 ①土地退化：是指受自然因素和人类活动的影响，土地出现质量下降、生产力降低 的过程。 ②表现：土地沙化、石漠化、土壤侵蚀、土壤 盐碱化 、土壤肥力下降等。
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(2024·福建龙岩模拟)冲沟是由间断流水冲刷地表而形成的沟槽。由于降水、坡
向、坡度等要素的差异和变化，黄土高原的某处冲沟(下图)表面积由1982年的37平方
千米扩大至1997年的65平方千米。1983年，为保障农业生产，
该地修建了水土保持工程。近年来，该地利用飞机撒播林木
种子(简称飞播造林)，其生态修复效果明显优于人工种植。
(1)分别简述图1所示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三个阶段湖沼面积和风沙活动的 变化特征，并归纳湖沼面积与风 沙活动的关系。(8分) (2)说明毛乌素沙地1995～2013年 流动沙地趋于固定的自然原因。(6分) (3)毛乌素沙地1995～2013年湖沼面积减小，试对此做出合理解释。(6分) (4)近些年来，毛乌素沙地绿化面积逐渐增大，有人认为“毛乌素沙地即将消失”。 你是否赞同？表明你的态度并说明理由。(4分)
第九讲 环和域讲解
具有有限个元素的域，称为有限域。 定理2：（Zn，＋，·）是域的充要条件是n是素数。
环
零元、 单位元
有单位元环 无零因子环
交换环 非零元素可逆
整环 除环
域
问题：整环、除环和域的区别？分别举例。
二、子环、理想、商环
1.子环
<R，＋>是一个交换群，称为环R的加法群。 如果环R的乘法还满足交换律，则称R为交换环。
例1：全体整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成一 个环<Z，＋，·>。 <Z，＋，·>是一个交换环。 <Z，＋，·>称为整数环。
有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成交换环。
把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。
Z，Q，R，C都是数环。
例2：设Z[i] {a bi | a，b Z，i 1}，
则Z[i]关于复数加法和乘法构成一个交换环， Z[i]称为 高斯整数环。
例3：设Mn(Z)={(aij)n×n | aijZ}为元素为整数的一切n阶方 阵所成集合，则Mn(Z)对矩阵加法是一个可换群，对矩阵乘 法是一个半群，且适合分配律，所以<Mn(Z)，＋，·>是一 个环。
3.环的分类 3-1．无零因子环
定义2：设R是一个环，a，bR，若a·b=0，且a≠0和 b≠0，则称a为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。 若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。
例7：求模6的同余类环Z6的所有零因子和单位。 定义3：设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。
第九讲 环和域
教师：李艳俊
八年级上册地理第二章知识点
八年级上册地理第二章知识点八年级上册地理第二章知识点笔记中国的自然环境2.1 中国的地势地形1、地势特征：地势西高东低，呈阶梯状分布。
分三级阶梯分界线：第一阶梯(昆仑山脉、祁连山脉、横断山脉)第二阶梯(大兴安岭、太行山脉、巫山山脉、雪峰山脉)第三阶梯山势走向：东西走向：天山、阴山、昆仑山、秦岭、南岭;南北走向：贺兰山、六盘山、横断山区。
东北西南走向：大兴安岭、太行山、巫山、雪峰山、长白山、武夷山、台湾山脉、玉山。
西北东南走向：阿尔泰山、祁连山;弧形走向：喜马拉雅山脉。
中华五岳：东岳泰山;西岳华山;南岳衡山;北岳恒山;中岳嵩山。
2、地形特征：复杂多样、山区面积广大。
纵横交错的山脉和复杂多样的地形(33%山地、26%高原、19%盆地、12%平原、10%丘陵)，为我们提供了丰富多彩的自然景观，又是祖国各地的生产活动和生活方式各有不同。
山区：包括山地、崎岖的高原和丘陵，常见的自然灾害：崩塌、滑坡、泥石流。
四大高原：青藏高原：世界上最高的高原，被称为“世界屋脊”，高山终年积雪，冰川纵横;内蒙古高原：高原地势平坦开阔，西北部多荒漠、戈壁、东部和中部多肥美草原;黄土高原：世界上黄土分布面积最广的区域;云贵高原：高原大部分地区地形崎岖，石灰岩分布广泛。
四大盆地：塔里木盆地：我国最大的内陆盆地，内中有我国最大的沙漠——塔克拉玛干沙漠;准噶尔盆地：我国第二大盆地;柴达木盆地：被美誉为“聚宝盆”;四川盆地：有“紫色盆地”之称，著名的成都平原位于盆地西部，农业发达，物产丰富“天府之国”之称。
三大平原：东北平原：黑土面积广大;华北平原：地势低平，地面坡度很小;长江中下游平原：我国著名的“鱼米之乡”。
2.2 中国的气候1、特征：气候复杂多样，季风气候显著。
(1、气候复杂多样：冬季南北气温差异大，南方温暖，而越往北气温就越低。
夏季南北普遍高温。
2、季风气候显著：我国虽然气候类型多样，但季风气候显著，季风气候区最为辽阔。
) 我国气候类型分为：温带季风气候、亚热带季风气候、热带季风气候、温带大陆性气候、高原高山气候。
群、环、域的基本概念与性质
群的同态与同构
群的同态
设$(G,cdot)$和$(H,*)$是两个群，如果存在一个映射$varphi:Gto H$，使得对于任意两 个元素$a,bin G$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，则称$varphi$为从 $(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同态映射。
群的同构
如果同态映射$varphi:Gto H$既是单射又是满射，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到 $(H,*)$的一个同构映射，此时称群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同构的。
同态核
设$varphi:Gto H$是一个同态映射，称集合${ain G|varphi(a)=e_H}$为$varphi$的核， 记作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的单位元。同态核是群$(G,cdot)$的一个正规 子群。
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域在代数几何中的应用
代数曲线与曲面
域上的多项式环与代数曲线、曲面密切相关， 是代数几何的基本研究对象。
有限域上的代数几何
有限域上的代数几何在密码学、编码理论等领 域有广泛应用。
域扩张与Galois理论
域的扩张与Galois理论是代数几何中的重要工具，可用于研究代数方程的可解 性等问题。
THANKS
子环、理想与商环
子环
设$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$对$+$和$*$也构 成环，则称$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子环。
理想
设$I$是环$R$的子集，若$I$对加法构成阿贝尔群，且对 于任意$rin R$和任意$iin I$，有$r*iin I$和$i*rin I$，则 称$I$是环$R$的理想。
资源、环境与区域发展
B．②③④
C．①③④
D．①②④
2．农牧交错带主要的生态环境问题表现为（B ）
①耕地减少 ②水土流失 ③土地荒漠化 ④生物多样性减少
A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【解析】1．北方农牧交错带位于内蒙古高原向东北平原、华北平原的过渡
地带，①正确；内蒙古高原主要位于半干旱区，华北平原、东北平原主要位于半湿润区，北方农牧交错带位于
反面案例 美国“黑风暴”
典型例题
美济岛（下图）位于我国南海的南沙群岛中东部海域，北距海南岛约1100公里， 是在美济礁的基础上填海造陆而成，因形状优美被誉为“南海之心”。目前美济岛常 住人员上百，且以军人为主。据此完成下面小题。
1．美济岛当前适宜发展的产业是（A ）
A．高品质海产养殖业 B．深海探测装备制造C．海洋生物医药
1．贵州石漠化问题产生的人为原因主要是（A ）
A．过度樵采垦荒，植被破坏严重 B．石灰岩广布，成土过程缓慢
C．人口大量迁出，土地荒废
D．土层较瘠薄，植被根系浅
2．关于图示农业布局的描述，正确的是（C ） A．建设水利设施是为了应对干旱的气候 B．发展沼气解决了当地能源紧张问题 C．充分利用了土地和水热资源 D．机械化和规模化程度高 【解析】1．本题考查石漠化的人为原因。不合理的垦殖活动会破坏原有的植被，造成严重的水土流失，使基岩大面 积裸露，出现石漠化问题，A项正确；该地区石灰岩广布，地表崎岖，淋溶作用显著且成土慢，土壤贫瘠，是石漠化 问题产生的自然原因，B、D项错误；石漠化问题主要是人类过度使用土地引起的，C项错误。故选A。2．该地区属 于亚热带季风气候，降水较多，但贵州多喀斯特地貌，地表水易流失，修建水利设施主要是为了储水，A错误。该布 局条件下生产的沼气有限，可缓解当地能源紧张问题，但不能解决，B错误。在山麓种植粮食作物，在山坡发展林果 业、畜牧业等，可以充分利用土地和水热资源，C正确。当地为山区，地势起伏较大，机械化和规模化程度较低，D错 误。故选C。
综合自然地理学：第二章 地域分异规律(二)
月牙泉
沙漠芦苇
第四节 地域分异的相互关系
全球性分异 （全）大陆、 （全）海洋分异
区域性尺度分异
大尺度分异
中尺度分异
小尺度分异
大尺度分异是中小尺度分异的背景，通过小尺度区 域分异的比较和概括，可以反映大尺度分异规律。
全球性分异规律大陆和大洋的分异规律区域性分异派生的分异规律中尺度地方性分异规律基本的分异规律地域分异规律之间的关系地域分异规律分布规律形成基础根本原因小结东西延伸热量为主太阳辐射纬度地带性赤道到两极的地域分异规律东西更替水分为主海陆位置经度省性沿海到内陆的地域分异规律水平延伸水热状况海拔高度垂直地带性山地垂直地域分异规律ks5u精品课件纬度地带性经度省性垂直地带性重点
水上处境：潜水面距地表不远，埋藏不深，潜水因蒸发 可上升到地表，影响土壤发育。这一处境有地表水和地 下水流入，从残积处境的土壤中淋溶出来的不同物质可 被潜水带到这里。水上处境又是过境环境，从分水岭来 的物质经过这里，被带到水下处境去。
水下处境：物质从侧面以流体或固体径流方式流入，土 壤（河泥、湖泥）自下而上发育，与下部基岩无关，周 围分水岭地区的所有化学元素都能进入到这里，因此， 易移动元素的堆积可以作为水下处境的特征。
原因是山地的水热状况随海拔发生的变化； ✓ 垂直带性既受到地带性因素影响，又受到非地带
性因素影响，是此两种因素相互作用的区域性地 域分异规律。
（1）垂直带性与纬度地带性有相似之处 珠穆朗玛峰从山脚到山顶的植被与赤道到
北极。但二者产生的原因有差别，在哪里？
（2）垂直带性受经度省性的影响明显
垂直带谱
因素4：人类活动
……
高等代数：数环与数域
又由Q是数域可知, Q( )是一个数域.
数域的充要条件
设K是一个含有不等于0的数的数集, 则K作为一个数
域的充要条件是：K中任两个数的差与商(除数不为0)
仍属于K.
证：由定义可得其必要性. 再证充分性：
任取a, b∈K, 若K中任两个数的差与商仍属于K, 则
a-a=0∈K, 0-b= -b∈K,
从而a+b=a-(-b)∈K,
又当b≠0时, b/b=1∈K, 1/b∈K,
从而ab=a/(1/b)∈K, ∴K是一个数域.
用充要条件证明
一个数集是数域
证明：数集Q(i)={a+bi, a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+bi≠0.
任取α,β∈Q(i), 令α=a+bi, β=c+di, (a,b,c,d∈Q)
(2)数域的含义中包含除法, 数环则不包含;
是数环, 但数环不一定是数域.
如{0}与Z都是数环, 但都不是数域.
用定义证明
一个数集是数域
证明：数集Q( )={a+b , a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+b ≠0.
任取α,β∈Q( ), 令α=a+b , β=c+d , (a,b,c,d∈Q)
数环与数域
数环的概念
设S是一个非空数集, 如果S中任意二数的和,差,积仍属于
S, 则称S是一个数环.
例如：整数集是一个数环，称为整数环；
全体偶数(包括负数)也是一个数环，称为偶数环；
数集{0}本身就是一个数环.
想一想：全体奇数是一个数环吗？
{a|a∈R且a≠0}呢？
数域的概念
设K是一个含有不等于０的数的数集. 如果K中任意
近世代数-环和域
近世代数环和域环和域无零因子环的特征数同态和理想子环极大理想和费尔马定理定义13.1.1设R是一个非空集合，R上有两个代数运算，一个称为加法，用“+”表示，另一个称为乘法，用“◦”表示。
如果下面三个条件成立：1(R,+)是一个Abel群。
2(R,◦)是一个半群。
3乘法对加法满足左右分配律：对∀a,b,c∈R有a◦(b+c)=a◦b+a◦c(b+c)◦a=b◦a+c◦a则称代数系(R,◦,+)是一个环。
Definition(定义13.1.2)如果环(R,◦,+)的乘法满足交换律，即对∀a,b∈R有a◦b=b◦a，则称(R,◦,+)是一个交换环或可换环。
Example(例13.1.1)整数集合Z对通常的加法和乘法构成一个环(Z,+,·)，这个环是一个交换环。
Example(例13.1.2)有理数集Q、实数集R和复数集C对通常的加法和乘法分别构成交换环(Q,+,·)、(R,+,·)和(C,+,·)。
Example(例13.1.3)设M n为所有n×n实矩阵的集合，则M n对矩阵的加法和乘法构成一个非交换环(M n,+,·)，这个环称为n阶矩阵环。
Definition(定义12.1.3)环(R,◦,+)称有限换环，如果R是非空有限集合，即|R|<+∞。
Example(例13.1.4)文字x的整系数多项式之集设Z[x]对多项式的加法和乘法构成一个交换环。
Example(例13.1.5)设S={0}，则S对数的通常加法和乘法构成一个环，称为零环，它仅有一个元素。
Example(例12.1.6)有限环的一类重要例子是模n剩余类环(Z n,+,·)，其中Z n是全体整数集合Z对模n的同余类之集Z n={[0],[1],···,[n−1]}在环(R,+,◦)中，加法的单位元用0表示，并称为R的零元（素）。
对∀a∈R，a对加法的逆元素记为−a，并称为a的负元素。
环的特征与素域
Def: 设F是域, f (x)∈F[x], deg f (x) =n, a∈F,若
(x-a)k |f(x), (x-a)k+1 f(x) 则称a是 f (x)的k重根.
Th2:对F[x]中的每一个次数1的多项式 f (x), 存在域F 的扩域K,使 f (x)在K中至少有一个根. 证明:设 f1(x)是 f (x) 的一个次数1的不可约因子,则
证明: 从例3.9.4知,域F的特征数只能为0或素数p,但F 为有限域,故其特征数不能为0,从而是素数p.
命题2: 设F是特征数为p≠0的域, 则 :F→F, (a)=ap 是单同态.
证明: 先证是同态,即保运算:
(a+b)= (a)+ (b), (ab)= (a) (b),
其中pi为不同的素数,ki, ji是非负整数. 对1ir, 有ki ji , i1 ir jt jr 1 对r+1i t, 有ki< ji, 令up = , v = ,则 ... p p ... p 1 r O( a ) , u
§3.6 环的特征与素域
(3.6 Expansion of Ring)
当我们在研究环和域的性质时,特征数是其一个 重要性质. 特征数不同的环和域在结构上有很大的 不同. 本节首先介绍环和域的特征数,然后介绍素域 及其性质和判别.
3.6.1 环的特征数
Def: 设(R,+, · )是一个环,若存在自然数n,对 a∈R, 有na=0,则称具有这种性质的最小自然数为 R的特征数.
Th1: 设F是任一域,G是 F的非零元素乘法群的一个 有限子群,则G是循环群.
证明:设|G|=q, m是Ｇ中元素阶的最大值,只需证m=q即 可. 设O(a)=m, 任取b∈G,设O(b)=n,则n是m的因子.
域的定义与性质剖析
框架 II
定义 4 设 F 是域，则单位元 1 在加法群中的阶就是环的特征。 定理.4 域的特征为 0 或者一个素数。 定理 5 设 F 是域，令 M={n| n∈N, 任意 a ∈F, na=0} , 如果 M 为空集， 则 F 的特征为零 （对任意的 a ∈F 与任意的正整数 n，na 不等于 0 ） ；否则，M 中最小的正素数 p 是 F 的特征。
引理 2
设 G 为群，a,b∈G，且 ab = ba. 如果 |a| = n，|b| = m，且 n 与 m
互质，证明 |ab| = nm. 证 设 |ab| = d. 由 ab = ba 可知 (ab)nm = (an)m(bm)n = emen = e 从而有 d | nm. 又由 adbd = (ab)d = e 可知 ad = bd , 即 |ad| = |bd| = |bd|. 再根据 ad)n = (an)d = ed = e 得 |ad| | n. 同理有 |bd| | m. 从而知道 |ad| 是 n 和 m 的公因子. 因为 n 与 m 互质，所以 |ad| = 1. 这就证明了 ad = e, 从而 n | d. 同理可证 m | d， 即 d 是 n 和 m 的公倍数. 由于 n 与 m 互质， 必有 nm|d. 综合前边的结果得 d = nm. 即 |ab| = nm.
第三章 域
主要内容 域的定义、性质、子域 域的特征、同构和素域 有限域的乘法群 有限域的结构
第一节 域的定义与性质
一、域 1．域的定义 定义 1 设<R,+,· >是代数系统，+和· 是二元运算. 如果满足以下条件: （1）<R,+>构成交换群， （2）<R*,· >构成交换群，R*表示 R 中的非 0 元素集， （3）· 运算关于+运算适合分配律， 则称<R,+,· >是一个域. 通常称+运算为域中的加法，· 运算为域中的乘法. 域中加法单位元记作 0，乘法单位元记作 1. 对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作x. 对任何非零元素 x，称 x 的乘法逆元为逆元，记作 x1.
离散数学 第8讲 环和域
二、环、整环
含零因子/无零因子环的定义： <R, +, · >是环, a, b∈R,若 a≠0且b≠0,但是a· b=0, 则称<R, +, · >是含零因子 环, a、b称为零因子。不含零因子的环称为无零因子环。 <R, +,· >为无零因子环∀a, b∈R,a≠0且b≠0时必有a· b≠0。 即 a· b=0时，有a=0或b=0 定理2：环<R, +, · >是无零因子 <R, +, · >满足可约律。 证明：(1) 必要性：∀a, b, c∈R, 且a≠0，若a· b=a· c, 则有 a· b-a· c=0, a· b -a· c=a· b+a· (-c)= a· (b-c)=0。 由于无零因子，则b=c , 可见<R, +, · >满足可约律。 (2) 充分性：∀b, c∈R, b· c=0, 证明b=0或c=0。 如果b· c=0且b≠0，那么b· c=b· 0，根据可约律可得c=0；如果b· c=0且c≠0
因a和(b-c)都比k小，而k又是质数,(1)式不可能成立。这样就证明了若b
作业： P222
习题6.8 1、3、13 、14
谢谢同学们!
14
充分性(思路：在例1(b)中已证明<Nk,+k,×k>是一个环，根据域的定义II
，我们只需证明<{Nk-0},×k>是阿贝尔群)。
(1)
对Nk-{0}中任意元素a和b, a×kb≠0, 所以Nk-{0}对×k封闭；
(2)
(3) (4) (5)
×k是可结合；
运算×k的么元是1； ×k是可交换的；
对每一元素a∈Nk-{0}都存在一逆元。
第二章 近世代数简介
对于元素A ( x ) = ∑ a i x 和
i i=0
n-1
B (x ) =
n -1
∑ b x ，多项式加“+”定义为：
i i i= 0
n-1
A ( x ) + B ( x ) = ∑ ( ai + bi )mod q xi
i =0
(2-2)
多项式modf(x)乘“.”定义为 :
n-1 n−1 j +k A ( x ) ⋅ B ( x ) = ∑∑ ( a j bk ) x (2-3) mod q k = 0 j =0 mod f ( x )
) 多项式剩余类环的环元素是模f(x)乘的产物，即 A ( x ) ⋅ B ( x除以f(x)的余 式。余式也就是“剩余”类环名称的来历。 [ ] deg n 如果f(x)的最高次幂是n，称此f(x)是n次多项式，写做 deg [ f ( x)] =。这 里 表示阶次degree。显然，多项式剩余类环Rq ( x ) f ( x)中所有环元 素的次数不高于n-1次，通式形式为：
∀a, b ∈ I , ∃a − b ∈ I ; ∀a ∈ I , r ∈ R, ∃a r = r a ∈ I ,
则I是R的理想子环，建成理想。 与一般子环相比，理想子环要求更多的条件：R必须是交换环且具 有凝聚力，即任意一个子环元素与任意一个非子环的环元素运算后所得 的元素一定位于子环内。 环R的任意多个理想子环的交集仍是R的理想子环。
②结合性（Associativity），即
∀ a , b ∈ G , ∃ a * (b * c ) = ( a * b ) * c o
③存在惟一的一个单元e（Identity），即
∀a ∈ G ,∃a * e = e * a = a o
01 加群、环的定义
第三章 环与域（Rings and Fields ）概述：本章主要讨论两种基本代数系统——环与域．和上章一样，在这一章我们只讨论环与域的若干最基本的性质及一些基本理论，并且介绍几种特殊的环与域，使得我们一方面对于中学代数有更清楚、更深入的了解，另一方面为今后进一步的学习和研讨获得必要的基础.第一节 环的定义基本概念：环的定义及基本性质、单位元、零因子、整环、无零因子环、除环、域．重点、难点: 环的定义、几种最常见的环之间的关系.一、加群定义3.1.1 设G 是一个交换群，若将群G 的代数运算叫做加法，则称G 为一个加群，此时G 的代数运算记为“＋”．注１ 加群G 中的单位元称为零元，记为0;G 中元素a 的逆元称为a 的负元（简称负a ），记为－a.注２ 加群G 中的其他一些符号及运算定律的记法也随之发生改变（具体见教材P80-82）．注3 设S 加群G 的一个非空子集,则S 为G 一个子群,,,,,a b S a S a b Sa b S a b S ⇔+∈-∈∀∈⇔-∈∀∈二、环的定义＜一＞ 基本概念环就是一个带有两种代数运算并满足一些运算性质的非空集合．具体如下定义3.1.2 设R 是一个非空集合，R 带有两种代数运算：加法（记为“＋”）和乘法（记为“．”），假如(1) R 对于加法是一个加群；(2) R 对于乘法构成一个幺半群；(3) 加法和乘法满足左、右分配律：()(),,,a b c ac bca b c ab ac a b c R +=++=+∀∈， 则称R 是一个结合环，简称R 是一个环，记做(R,+,．，0)是一个环．注 环中的运算顺序为：有括号先算括号，无括号的先算乘法后算加法．例1 R ＝{0，，，}。
加法和乘法由以下两个表给定：则R 对于上述两种运算构成一个环．证 (1) R 是一个加群： ①. 封闭，② 结合律，③ 零元，④ 负元，⑤ 交换律．(2) R 是一个乘法半群： ①封闭，结合律．(3) 满足左、右分配律．例 2 容易验证：（1）全体整数关于数的普通加法和乘法构成一个环，称为整数环，记为(,,,0,1)+或简记为¢．（２）全体有理数（实数、复数）关于数的普通加法和乘法构成一个环，称为有理数域，记为(,,,0,1)+（(,,,0,1)+、(,,,0,1)+）或简记为¤（¡、£）． 例３ 数域F 上的n 阶方阵的全体关于矩阵的加法和乘法构成一个环，称为F 上的n 阶方阵环，记为()n M F ．例４ R ＝{所有模的剩余类}，规定运算为 ， ．可以证明R 关于上述运算构成一个环，称之为模的剩余类环，记为/n ⅱ，或n ¢．＜二＞ 初等性质 （P81-84中的（１）－（１４）条，略）值得一提的是：在一般的环中，()n ab 未必等于n n a b ，即二项式定理未必成立．三、一些特殊的环＜一＞ 交换环定义3.1.3 若环R 的乘法满足交换律，即，,a b R ∀∈，则称R 是一个交换环． 例如，¢、¤、¡、£、n ¢都是交换环，而()n M F 则不是交换环．注１ 在交换环中，二项式定理成立，即()n n nab a b =，n 为正整数．＜二＞ 含幺环定义3.1.4 若R 的乘法半群是一个乘法幺半群，则称R 是一个有单位元的环，其中乘法单位元通常记为1，此时环R 通常也称为含幺环．例如，¢、¤、¡、£都是含幺环，单位元就是数1，n ¢、()n M F 也是含幺环，单位元分别是[1]和n 阶单位矩阵n E ．这也说明含幺环中的单位元1并非就是普通整数1．注１ 并非所有的环都是含幺环．如下例．例5 2¢＝{所有偶数}，R 对于数的普通加法和乘法来说作成一个环．但R 没有单位元． 注2 若R 是有单位元的非零环，则R 中的零元与单位元一定不相等．注意，零环{0}R =也是一个含幺环．故约定在今后的讨论中，含幺环总是指非零环．注3 含幺环中的单位元总是惟一存在的．注4 在含幺环R 中，规定 01,a a R =∀∈．定义3.1.5 一个有单位元环的一个元叫做元的一个逆元，假如，此时也称a 是一个可逆元．注１ 若b 是a 的一个逆元，则a 也是b 的一个逆元．注2 逆元未必存在，如非零环中的零元．但逆元若存在，则必是惟一存在的．注3 若a 可逆，则1(),nn a a n --=∀∈¢． 注4 还有左逆、右逆的概念（见第二章）．＜三＞ 无零因子环问：在一般的环中，两个非零元素之积是否仍然非零，即0ab =能否推出0a =或0b =？ 这个问题的回答是否定的，如环 ,n n ¢是个合数．定义3.1.6 若是在一个环里0,0a b ≠≠，但0ab =， 则称是这个环的一个左零因子，是一个右零因子．若a 既是一个左零因子，又是一个右零因子，则称a 是一个零因子．注１ 在交换环中，左零因子、右零因子、零因子的概念是统一的．注2 在非交换环中，左零因子与右左零因子的概念是不统一的．如特殊矩阵环0,0a R a b b ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭¤． 注３ 乘法可逆元一定不是左、右零因子．定义3.1.7 不含左、右零因子的环称为无零因子环．例如，¢、¤、¡、£都是无零因子环，而n ¢(n 是合数)、()n M F 不是无零因子环．注１ 可以证明：R 是无零因子环",,000"a b R ab a b ⇔∀∈=⇒==⇔或R 中非零元素之积仍非零．定理3.1.1 环R 是无零因子环⇔R 的乘法满足左、右消去律.证 (0),,a R b c R ∀≠∈∈．假定 R 是无零因子环，则有()00ab ac a b c b c b c =⇒-=⇒-=⇒=；()00ba ca b c a b c b c =⇒-=⇒-=⇒=故R 中的乘法满足左、右消去律.反过来，假定R 中的乘法满足左消去律 ，则000ab ab a b =⇒=⇒=即R 无零因子．由上面的证明可以得知有推论3.1.2 环R 的乘法满足左消去律⇔R 是无零因子环⇔R 的乘法满足右消去律.＜四＞ 整环定义3.1.8 一个有单位元的无零因子的交换环叫做一个整环．例如，¢、¤、¡、£都是整环，而2¢、n ¢(n 是合数)、()n M F 不是整环．＜五＞ 除环、域例6 只包括一个元，加法和乘法是：则R 是一个有单位元环，单位元a 有一个逆元，就是a 本身．此时R 就是零环．例7 ¤、¡、£中任意一个非零数a 都有一个逆元1a ，且111a a a a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 一般的，我们有如下的概念．定义3.1.9 一个环R 叫做一个除环（或体、斜域），假如(1) R 中至少包含一个不等于零的元 (即R 中至少有两个元素)；(2) R 有单位元；(3) R 的每一个不等于零的元有一个逆元．交换的除环叫做域．例如， ¤、¡、£都是域．容易证明，除环具有下面的性质．命题3.1.3 (1) 除环是无零因子环．(2) 设R 是一个非零环，记*{|0}\{0}R a R a R =∈≠=，则R 是除环⇔*R 对于R 的乘法构成一个群，称之为除环R 的乘法群．（3）在除环R 中，(0),a R b R ∀≠∈∈，方程ax b =和ya b =都有惟一解．注1 在除环R 中，(0),a R b R ∀≠∈∈，1a b -与1ba -未必相等．若R 是域，则11a b ba --=，统一记为b a，称为b 除以a 的商，易知商具有与普通数相似的一些性质（具体见教材P91）．例8 设01230123{|,,,}H a a i a j a k a a a a =+++∈¡是实数域¡上的四维向量空间，1,,,i j k 为其一组基，规定基元素之间的乘法为：（１）2221i j k ===-； （２）,,ij k jk i ki j ===．将其线性扩张为H 中的元素之间的乘法．则H 关于向量的加法和上面定义的乘法构成一个除环，称之为（Hamilton)四元数除环或四元数体．证 只需证明*H 对于H 的乘法构成一个群，为此只需证明H 中的每个非零元均可逆：事实上，设01230a a i a j a k H α≠=+++∈，则222201230a a a a ∆=+++≠，令 0312a a a a i j k H β=---∈∆∆∆∆，则1αββα==，即α可逆，从而H 为除环．注1 H 还有其他的定义方式，如定义为复数域上的二维向量空间（见教材P92）或复数域上的二阶方阵环2()M £的子环（见N.Jacobson 《Basic Algebra I 》）．注2 爱尔兰数学家W.R.Hamilton 花了十年时间给出了H 的乘法．关于扩大数系的探索研究开辟了代数研究中的一个方向—有限维代数（有兴趣的读者可以查阅相关资料）．利用＂满足满足左、右消去律的有限半群是群＂可知定理3.1.4 一个至少含有两个元素的无零因子的有限环是除环．推论3.1.5 有限整环是除环．例9 模p 的剩余类环p ¢为域p ⇔为素数．证 ()⇒：易知0,1p ≠．若p 为合数，则,,1p ab a b =≠±．于是[]0,[]0a b ≠≠，但[][][]0a b p ==，即p ¢中有零因子，此与p ¢为域矛盾，故p 为素数．()⇐：设p 为素数．若[][]0a b =，则|p ab ，从而|p a 或|p b ，即有[]0a =或[]0b =，故p ¢为一个无零因子环，于是p ¢是一个有限整环，即p ¢为域．附注1附注2 本节中介绍的几种最常见的环之间有如下的关系图：其中，例①可取偶数环2¢；例②可取数域F 上的n 阶方阵环()n M F ；例③可取模n 的剩余类环n ¢(n 是合数)； 环①有单位元环交换环③ 非交换环②④ 整环⑤无零因子环除环⑥ 域⑦*(){0}R R =例④可取四元数除环H 的子环0'1230123{|,,,}H a a i a j a k a a a a =+++∈¢； 例⑤可取整数环¢或数域F 上的一元多项式环[]F x ； 例⑥可取四元数除环H ；例⑦可取¤或¡或£． 作业：Page 89第2题，第5题 Page 93第1题，第3题，第5题。
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环中的运算 例 (强制赋值) Z12:=Integers(12); Z12!57; Integers()!(Z12!57); R<x>:=PolynomialRing(RationalField()); p:=R![5/4,0,-1,2]; R<s,t>:=PolynomialRing(FiniteField(5),2); R.1, R.2; Zero(R); One(R); f:=s^3+t^2; s:=-2; t:=1; s^3+t^2; f; Evaluate(f,[-2,1]);
ax ≡ b 例 (解同余方程mod n Solution(8,7,11);
注意Solution的返回值。
)
模算术函数： Quotrem(a,n): n=a*q+r, 其中0<=r<a, 返回a,r; a div n: 返回q; a mod n: 返回r; Modsqrt(a,n): 若a是mod n的平方，则返回一个mod n的平方根； 否则出错。
EvenexpOdd:=function(n) s:=0; q,r:=Quotrem(n,2); while IsZero(r) do s+:=1; q,r:=Quotrem(q,2); end while; return s,d; end function; N:=158561449984; EvenexpOdd(N);
A:=[5,-7,1]; B:=[4,1,3]; N:=[13,24,7]; Solution(A,B,N);
9. 剩余类环 Z:=Integers(); I:=ideal<Z|12,18>; I; Generator(I); I+ideal<Z|15>; Z eq Parent(I!42); Z6:=ResidueClassRing(6); Z6; Set(Z6); Z38:=ResidueClassRing(38); prim:=PrimitiveElement(Z38); prim; Order(prim); EulerPhi(Z38);
生成理想: 例 R<x>:=PolynomialRing(RationalField()); f:=x^3-1/2*x^2-3*x-3/2; I:=ideal<R|f>; I; 商环 :返回商环以及环R到商环的自然满同态。 Q<y>,h:=quo<R|I>; Q; y; h(x); h(f); Q2<z>:=quo<R|f>; Q2;
第二章 环和域上的运算 第一节. 环、域概览 Magma提供以下交换环和域中的基本计算 IntegerRing RationalField FiniteField(GaloisField, GF) RealField ComplexField PolynomialRing PowerSeriesRing LaurentSeriesRing pAdicRing FunctionField NumberField pAdicField 等等 我们重点介绍IntegerRing、RationalField、FiniteField和PolynomialRing 例 Q:=RationalField(); Q; Z12:=ResidueClassRing(12); Z12; G:=FiniteField(5,2); G;
Type(Q); Type(Z12); Type(G); R<x>:=PolynomialRing(Integers()); K<k>:=NumberField(x^3-2); R<x,y>:=PolynomialRing(RationalField(),2); P<t>:=PowerSieriesRing(FiniteField(5)); 子环: sub<R| list of generators> 返回值有两个：R的子环以及子环到R的嵌入 G<g>:=FiniteField(625); F<f>,Em:=sub<G|g^26>; Em(f^2);
Modinv(a,n): 若a和n互素，则返回 a mod n的逆元；否则出错。 Order(a,n): 返回a mod n的阶； IsPrimitive(a,n): 若a是mod n的本原元，则返回true; 反则返回 x 2 + dy 2 = m false. NormEquation(d,m): 若 A[i ] x ≡ B[i ] mod N [i ] 有解，返回true；否则返回 false. Solution(A,B,N) 5 x ≡ 4 mod 13 . ：解同余方程组 例 (中国剩余定理)≡ 1 mod 24 − 7 x 解同余方程组 ≡ 3 mod 7 x
关于整数的基本log2(a): 的整数部分 log 2 a Isqrt(a): a的平方根的整数部分 Intseq(a,b): 输出a的b进制展开 Seqint(Q,b): 以序列Q中数为系数的b进制数
关于有理数域的基本函数 Numerator(x): 返回x的分母 Denominator(x): 返回x的分子 Abs(x) Sign(x) Floor(x) Ceiling(x) RationalReonstruction(s) 例 F:=GF(29); RationalReconstruction(F!22); RationalReconstruction(F!20); F!(2/3);
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units:={prim^i: i in [1..18]}; units; #{u:u is units|IsPrimitive(u)}; EulerPhi(Order(prim)); G,h:=UnitGroup(Z38); G,h; G.1; h(G.1); IsPrimitive(Z38!21); units eq (h(Set(G)));
算术函数： DivisorSigma(i,n): k返回 ∑ |n k i EulerPhi(n)；欧拉tau函数 MoebiusMu(n): 默比乌斯mu函数 LegendreSymbol(n,p): 勒让德符号 JacobiSymbol(n,m): 雅克比符号
7. 模算术 k 例 (计算n ) a mod N:=508213; time 101^(N-1) mod N; time Modexp(101, N-1, N);
环的扩张 ext<R>: 相当于PolynomialRing(R); ext<F|f>: 域F上添加f的一个根生成的扩域。 例 K<w>:=GF(8); PK<X>:=PolynomialRing(K); f:=X^2+w*X+1; IsIrredubible(f); E<alpha>:=ext<K|f>; E; IsZero(Evaluate(f,alpha));
Z9:=ResidueClassRing(9); IsField(Z9); IsDomain(Z9); Z7:=ResidueClassRing(7); IsField(Z7); 即便如此，我们也不能在Z7中做除法。
第二节 整数环 a:=374/2; Factorization(a); 出错！怎么解决？ n:=123556789012345678901234567890; m:=n*(n-1/7); 怎么分解M? 一次性得到商和余数 q,r:=Quotrem(123871,4249); q,r; 例 将一个正整数分解成 n = 2s d 的形式
u:=R.1; v:=R.2; u^2*v; 非交换环 M:=MatrixRing(Integers(12),3); One(M); Zero(M); M!0; Is关键字： IsZero(x) IsOne(x) IsMinusOne(x) IsUnit(x) IsNilpotent(x) IsZeroDivisor(x) IsRegular(x) IsIdempotent(x) IsIrreducible(x) IsPrime(x) IsField(R) IsOrdered(R) IsEuclideanDomain(R) IsPrincipleIdealDomain(R)=IsPID(R) IsPIR(R) IsUFD(R) IsIntegeralDomain(R)=IsDomain IsCommutative(R) IsDivisonRing(R) IsUnitary(R) IsFinite(R)