第二章环和域

关于整数的基本函数： Abs(a) Sign(a) Max(a,b), Min(a,b) Ilog2(a): 的整数部分 log 2 a Isqrt(a): a的平方根的整数部分 Intseq(a,b): 输出a的b进制展开 Seqint(Q,b): 以序列Q中数为系数的b进制数
关于有理数域的基本函数 Numerator(x): 返回x的分母 Denominator(x): 返回x的分子 Abs(x) Sign(x) Floor(x) Ceiling(x) RationalReonstruction(s) 例 F:=GF(29); RationalReconstruction(F!22); RationalReconstruction(F!20); F!(2/3);
Type(Q); Type(Z12); Type(G); R<x>:=PolynomialRing(Integers()); K<k>:=NumberField(x^3-2); R<x,y>:=PolynomialRing(RationalField(),2); P<t>:=PowerSieriesRing(FiniteField(5)); 子环: sub<R| list of generators> 返回值有两个：R的子环以及子环到R的嵌入 G<g>:=FiniteField(625); F<f>,Em:=sub<G|g^26>; Em(f^2);
环的扩张 ext<R>: 相当于PolynomialRing(R); ext<F|f>: 域F上添加f的一个根生成的扩域。 例 K<w>:=GF(8); PK<X>:=PolynomialRing(K); f:=X^2+w*X+1; IsIrredubible(f); E<alpha>:=ext<K|f>; E; IsZero(Evaluate(f,alpha));
Z9:=ResidueClassRing(9); IsField(Z9); IsDomain(Z9); Z7:=ResidueClassRing(7); IsField(Z7); 即便如此，我们也不能在Z7中做除法。
第二节 整数环 a:=374/2; Factorization(a); 出错！怎么解决？ n:=123556789012345678901234567890; m:=n*(n-1/7); 怎么分解M? 一次性得到商和余数 q,r:=Quotrem(123871,4249); q,r; 例 将一个正整数分解成 n = 2s d 的形式
第二章 环和域上的运算 第一节. 环、域概览 Magma提供以下交换环和域中的基本计算 IntegerRing RationalField FiniteField(GaloisField, GF) RealField ComplexField PolynomialRing PowerSeriesRing LaurentSeriesRing pAdicRing FunctionField NumberField pAdicField 等等 我们重点介绍IntegerRing、RationalField、FiniteField和PolynomialRing 例 Q:=RationalField(); Q; Z12:=ResidueClassRing(12); Z12; G:=FiniteField(5,2); G;
生成理想: 例 R<x>:=PolynomialRing(RationalField()); f:=x^3-1/2*x^2-3*x-3/2; I:=ideal<R|f>; I; 商环 :返回商环以及环R到商环的自然满同态。 Q<y>,h:=quo<R|I>; Q; y; h(x); h(f); Q2<z>:=quo<R|f>; Q2;
算术函数： DivisorSigma(i,n): k返回 ∑ |n k i EulerPhi(n)；欧拉tau函数 MoebiusMu(n): 默比乌斯mu函数 LegendreSymbol(n,p): 勒让德符号 JacobiSymbol(n,m): 雅克比符号
7. 模算术 k 例 (计算n ) a mod N:=508213; time 101^(N-1) mod N; time Modexp(101, N-1, N);
环中的运算 例 (强制赋值) Z12:=Integers(12); Z12!57; Integers()!(Z12!57); R<x>:=PolynomialRing(RationalField()); p:=R![5/4,0,-1,2]; R<s,t>:=PolynomialRing(FiniteField(5),2); R.1, R.2; Zero(R); One(R); f:=s^3+t^2; s:=-2; t:=1; s^3+t^2; f; Evaluate(f,[-2,1]);
EvenexpOdd:=function(n) s:=0; q,r:=Quotrem(n,2); while IsZero(r) do s+:=1; q,r:=Quotrem(q,2); end while; return s,d; end function; N:=158561449984; EvenexpOdd(N);

A:=[5,-7,1]; B:=[4,1,3]; N:=[13,24,7]; Solution(A,B,N);
9. 剩余类环 Z:=Integers(); I:=ideal<Z|12,18>; I; Generator(I); I+ideal<Z|15>; Z eq Parent(I!42); Z6:=ResidueClassRing(6); Z6; Set(Z6); Z38:=ResidueClassRing(38); prim:=PrimitiveElement(Z38); prim; Order(prim); EulerPhi(Z38);
ax ≡ b 例 (解同余方程mod n Solution(8,7,11);
注意SoluБайду номын сангаасion的返回值。
)
模算术函数： Quotrem(a,n): n=a*q+r, 其中0<=r<a, 返回a,r; a div n: 返回q; a mod n: 返回r; Modsqrt(a,n): 若a是mod n的平方，则返回一个mod n的平方根； 否则出错。
u:=R.1; v:=R.2; u^2*v; 非交换环 M:=MatrixRing(Integers(12),3); One(M); Zero(M); M!0; Is关键字： IsZero(x) IsOne(x) IsMinusOne(x) IsUnit(x) IsNilpotent(x) IsZeroDivisor(x) IsRegular(x) IsIdempotent(x) IsIrreducible(x) IsPrime(x) IsField(R) IsOrdered(R) IsEuclideanDomain(R) IsPrincipleIdealDomain(R)=IsPID(R) IsPIR(R) IsUFD(R) IsIntegeralDomain(R)=IsDomain IsCommutative(R) IsDivisonRing(R) IsUnitary(R) IsFinite(R)
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units:={prim^i: i in [1..18]}; units; #{u:u is units|IsPrimitive(u)}; EulerPhi(Order(prim)); G,h:=UnitGroup(Z38); G,h; G.1; h(G.1); IsPrimitive(Z38!21); units eq (h(Set(G)));
Modinv(a,n): 若a和n互素，则返回 a mod n的逆元；否则出错。 Order(a,n): 返回a mod n的阶； IsPrimitive(a,n): 若a是mod n的本原元，则返回true; 反则返回 x 2 + dy 2 = m false. NormEquation(d,m): 若 A[i ] x ≡ B[i ] mod N [i ] 有解，返回true；否则返回 false. Solution(A,B,N) 5 x ≡ 4 mod 13 . ：解同余方程组 例 (中国剩余定理)≡ 1 mod 24 − 7 x 解同余方程组 ≡ 3 mod 7 x