直线与圆的位置关系ppt课件
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2.5.1 直线与圆位置关系 课件(共23张PPT)
2
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
(
3
)
4 1 2= 1 > 0
因为
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
由 2 − 3 + 2 = 0 ，解得1 = 2, 2 = 1.
把 1 = 2代入方程①，得 1 = 0 ；
把 2 = 1代入方程① ，得 2 = 3．
所以，直线 l 与圆的两个交点是：
（2，0），（1，3）
【分析】如图，点(2,1)位于圆: 2 + 2 = 1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切.我们设切线方
程为 − 1 = ( − 2), k为斜率.由直线与圆相切可求出k的值.
y
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为 − 1＝ − 2 ，
P.
即kx-y+1-2k=0
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
【分析】思路一 判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；
思路二 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．
解法一：由直线 l 与圆的方程，得：
3x y 6 0,
2
2
x
y
2 y 4 0.
消去y，得 x 2 3x 2 0
①当切线l的斜率存在时, 即 − + 2 − = 0,
由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
|2 − |
2
+1
= 1, 解得
3
=4 ,
y
.
P
此时，切线l的方程为3 − 4 + 5 = 0.
②当切线l的斜率不存在时,此时直线x=1也符合题意.
直线与圆的位置关系课件
研究图形性质
通过研究直线与圆的位置关系，可以进一步研究图形的性质 。例如，通过观察直线与圆的位置关系，可以研究圆的对称 性、中心性等性质。
在物理学中的应用
研究运动轨迹
在物理学中，直线与圆的位置关系可以用于研究物体的运动轨迹。例如，在研究抛物线运动时，可以 通过设定一个初始位置和初始速度，利用直线与圆的位置关系来研究物体的运动轨迹。
几何解释能够直观地描述直线与圆的 位置关系，有助于深入理解相关概念 和性质。
通过几何解释，可以更好地掌握解析 几何的基本思想和方法，提高解决实 际问题的能力。
直线与圆的位置关
04
系的代数表示
代数表示的方法
直线方程
一般式 $Ax + By + C = 0$，斜截式 $y = mx + b$，点斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$
圆方程
一般式 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，标准式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
直线与圆的位置关系判断
将圆心坐标代入直线方程，根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的 值判断。
代数表示的应用场景
解析几何问题
在解析几何中，直线与圆的位置关系是常见的问题，通过代数表示可以方便地 解决这类问题。
实际应用
在工程、建筑、地理等领域中，经常需要用到直线与圆的位置关系来解决问题 。例如，建筑设计中的平面布局、地理测量中的数据解析等。
代数表示的重要性
简化问题
通过代数表示，可以将复 杂的问题简化为易于处理 的形式，从而方便解决问 题。
提高效率
使用代数表示可以快速地 计算和比较数据，提高解 决问题的效率。
通过研究直线与圆的位置关系，可以进一步研究图形的性质 。例如，通过观察直线与圆的位置关系，可以研究圆的对称 性、中心性等性质。
在物理学中的应用
研究运动轨迹
在物理学中，直线与圆的位置关系可以用于研究物体的运动轨迹。例如，在研究抛物线运动时，可以 通过设定一个初始位置和初始速度，利用直线与圆的位置关系来研究物体的运动轨迹。
几何解释能够直观地描述直线与圆的 位置关系，有助于深入理解相关概念 和性质。
通过几何解释，可以更好地掌握解析 几何的基本思想和方法，提高解决实 际问题的能力。
直线与圆的位置关
04
系的代数表示
代数表示的方法
直线方程
一般式 $Ax + By + C = 0$，斜截式 $y = mx + b$，点斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$
圆方程
一般式 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，标准式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
直线与圆的位置关系判断
将圆心坐标代入直线方程，根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的 值判断。
代数表示的应用场景
解析几何问题
在解析几何中，直线与圆的位置关系是常见的问题，通过代数表示可以方便地 解决这类问题。
实际应用
在工程、建筑、地理等领域中，经常需要用到直线与圆的位置关系来解决问题 。例如，建筑设计中的平面布局、地理测量中的数据解析等。
代数表示的重要性
简化问题
通过代数表示，可以将复 杂的问题简化为易于处理 的形式，从而方便解决问 题。
提高效率
使用代数表示可以快速地 计算和比较数据，提高解 决问题的效率。
直线与圆的位置关系 课件
则Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0， 解得 8k2＋6k＝0，即 k＝0 或 k＝－34， 因此，所求直线 l 的方程为 y＝4 或 3x＋4y－13＝0.
类型 3 弦长问题 [典例 3] 设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2 ＝0 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为 ________．
解析：由圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 可得 x2＋(y－a)2＝ |－a＋2a|
a2＋2，所以圆心 C(0，a)，由题意可知 2 ＝ a2＋2－3， 解得 a2＝2，所以圆 C 的面积为π(a2＋2)＝4π.
答案：4π
归纳升华 1．求弦长常用的三种方法： (1)利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l 之 间的关系 r2＝d2＋2l 2求弦长．
0)为圆心，以 3为半径长的圆．
设xy＝k，即 y＝kx. 当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值和最小值．
|2k－0|
此时
＝ 3，
k2＋1
解得 k＝± 3. 故xy的最大值为 3，最小值为－ 3.
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当直线 y＝x＋b 与圆相 切时，纵截距 b 取得最大值和最小值．
法二 (几何法)圆 x2＋y2＝100 的圆心为(0，0)，半径
r＝10， 则圆心到直线的距离 d＝ 3|2a＋| 42＝|a5|， ①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a
＝－50；
③当直线和圆相离时，d>r, 即|a5|>10，a<－50 或 a>50.
2直线与圆的位置关系课件
【答案】B 【详解】 ∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆， 则有2＝2，3＞2， ∴这个圆与x轴相切，与y轴相离． 故选B．
02
切线的判定
切线的判定
如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线l⊥OA，则 圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O有什么位置关系？
经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线．
感谢观看
第27章 圆与正多边形
27.4 直线与圆的位置关系
教师 xxx
目录
C O N TA N T S
01 直线与圆的位置关系 02 切线的判定
01
直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断呢？
点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
数量关系
公共点个数
例1．直线L与半径为r的⊙O相交，且点O到直线L的距离为6 ， 则r的取值范围是____r_>_6____．
变式1-1．直线L与半径为r的⊙O相切，且点O到直线L的距离 为6 ，则r的取值范围是____r_=_6____．
变式1-2．直线L与半径为r的⊙O相离，且点O到直线L的距离 为6 ，则r的取值范围是____r_<_6____．
变式1-3．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长
度范围．
M 【详解】
解：如图，连接OA，作直径MN⊥AB，垂足为D，
由垂径定理可知：AD＝DB＝ AB＝4(cm)，
∵圆的直径为10cm，
D
∴DA＝5cm，
由勾股定理得：OD＝3(cm)，
N
∵垂线段最短，半径最大，
02
切线的判定
切线的判定
如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线l⊥OA，则 圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O有什么位置关系？
经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线．
感谢观看
第27章 圆与正多边形
27.4 直线与圆的位置关系
教师 xxx
目录
C O N TA N T S
01 直线与圆的位置关系 02 切线的判定
01
直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断呢？
点与圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
数量关系
公共点个数
例1．直线L与半径为r的⊙O相交，且点O到直线L的距离为6 ， 则r的取值范围是____r_>_6____．
变式1-1．直线L与半径为r的⊙O相切，且点O到直线L的距离 为6 ，则r的取值范围是____r_=_6____．
变式1-2．直线L与半径为r的⊙O相离，且点O到直线L的距离 为6 ，则r的取值范围是____r_<_6____．
变式1-3．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长
度范围．
M 【详解】
解：如图，连接OA，作直径MN⊥AB，垂足为D，
由垂径定理可知：AD＝DB＝ AB＝4(cm)，
∵圆的直径为10cm，
D
∴DA＝5cm，
由勾股定理得：OD＝3(cm)，
N
∵垂线段最短，半径最大，
直线与圆的位置关系ppt课件
新知讲解
想一想：自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外,则过此点可以作几条切线? 若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线. (2)若点在圆上,则过此点只能作几条切线? 若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点. (3)若点在圆内,则过此点能作几条切线? 若点在圆内,则过此点不能作圆的切线，即可以作0条. 问题：如何刻画直线与圆相切？ 公共点的个数只有1个; 圆心到直线的距离等于半径.
2
因此所求切线l的方程为y=-2x或y= 1 x.
2
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
解法2：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆
心C(1,3)到直线l的距离为1≠ 5 ，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0,
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
思路1 直线与圆相切
直线的方程，
圆的方程
0
直线方程
思路2
d r
新知讲解
例2:已知直线l经过点 O (0,0),且与圆C：(x-1)2 + (y-3)2 =5相切，求直线l的方程.
当堂检测
1.(1)直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为__相__切____ (2)直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为___相__离___ (3)直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系为__相__交____
2.5.1直线与圆的位置关系 课件【可编辑图片版】【共40张PPT】
题型三 有关圆的弦长问题 例 2 求直线 l：3x＋y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 截得 的弦长．
分析：弦心距、半弦长与半径构成的直角三角形求解．
解析：法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0 可化为x2＋(y－1)2＝5， 其圆心坐标为(0,1)，半径r＝ 5. 点(0,1)到直线l的距离为d＝|3×03＋2＋11－2 6|＝ 210， l＝2 r2－d2＝ 10，所以截得的弦长为 10. 法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为
|0＋0－8| 2
－
1＝(4 2－1) km.
即DE的最短距离为(4 2－1) km.
[方法技巧] 求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤
1．认真审题，明确题意． 2．建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际 问题中建立直线与圆的方程． 3．利用直线与圆的方程的有关知识求解问题． 4．把代数结果还原为实际问题的解释．
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝ 51， ∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 51(m)．
答案：(1)B (2)2 51
易错辨析 忽略了圆的一个隐含条件 例 4 已知圆的方程为 x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点 A(1,2)， 要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两条，则 a 的取值范围为________．
5，则弦长＝2
r2－d2＝4
5.
答案：4 5
题型一 直线与圆位置关系的判断
1．直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝
直线与圆的位置关系ppt课件
x 2 y 2 Dx Ey F 0
( D 2 +E 2 4 F 0)
代数方法
几何
图形性质究过程，如何通过代数方法，
研究直线与圆的位置关系？
联立两直线方程
两直线的位置关系
方程组解的情况
直线与圆的位置关系
联立直线与圆方程
方程组解的情况
求直线被圆截得的弦长.
(法1) 圆心为C (1, 2), 半径为r 2,
圆心C到直线l的距离d
| 2 2+2 |
2 5 2 8 5
2 2 5
2
弦长为2 (2) (
)
.
=
2
5
5
5
5
22 12
x2 y 2 2x 4 y 1 0
(法2)解 : 联立
2.5.1直线与圆的位置关系
春
来
江
水
绿
如
蓝
日
出
江
花
红
胜
火
问题1：把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，那么在日出的过程中，
体现了直线和圆的哪些位置关系？
相交
相切
相离
探究交流
问题2：如何判断直线与圆的位置关系？
d
d
d
r
r
r
地平线
直线与圆相切
直线与圆相交
1.通过直线与圆的公共点个数判断
直线与圆有两个公共点
2.弦心距：圆心到弦所在直线的距离；
弦心距
A
O
l
C
O
3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。
4.求弦长：
①两点距离：联立直线与圆的方程求两交点A,B的坐标
直线与圆的位置关系- 完整版课件
直线和圆的位置关系
直线和圆有两个公共点时，叫做直线
•o
和圆相交。这时直线叫做圆的割线
l
直线和圆有唯一公共点时，叫做直
•o
线和圆相切。这时直线叫做圆的切
l 线。唯一的公共点叫切点。
M
直线和圆没有公共点时，叫做直
•o
线和圆相离。
l
直线和圆的位置关系及其判定
直线和圆的位置 相交
图形
公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 公共点名称
变式：若AB等于6cm，
O
则∠AOB=___9_0_°__.
AC
B
2、已知⊙O的半径为2cm，圆心O到直线l 的距离为 3 cm,那么直线l与⊙O的位置关 系是_____
3、已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一 点C到圆心的距离为3cm,则直线l与⊙O的位 置关系是 _____
4、等边三角形的周长为18，则它的内切圆 面积是_____
直线名称
r •Od
2
d<r
交点 割线
相切
•O rd
1 d=r
相离
•O rd
0
d>r
切点
无
切线 无
切的判定方法有：
①、直线与圆有一个公共点。
②、直线到圆心的距离等于圆的半径。 ③、切线的判定定理。
切线的判定定理：经过半径外端 并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线。
切线的性质
1、经过切点的半径垂直于圆的切线
2、经过切点垂直于切线的直线必经
过圆心.
B
O
A
T
三角形的内切圆
1、三角形的内切圆的圆心是_______的 交点
2、三角形的内心的性质_______
直线和圆有两个公共点时，叫做直线
•o
和圆相交。这时直线叫做圆的割线
l
直线和圆有唯一公共点时，叫做直
•o
线和圆相切。这时直线叫做圆的切
l 线。唯一的公共点叫切点。
M
直线和圆没有公共点时，叫做直
•o
线和圆相离。
l
直线和圆的位置关系及其判定
直线和圆的位置 相交
图形
公共点个数 圆心到直线距离 d与半径r的关系 公共点名称
变式：若AB等于6cm，
O
则∠AOB=___9_0_°__.
AC
B
2、已知⊙O的半径为2cm，圆心O到直线l 的距离为 3 cm,那么直线l与⊙O的位置关 系是_____
3、已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一 点C到圆心的距离为3cm,则直线l与⊙O的位 置关系是 _____
4、等边三角形的周长为18，则它的内切圆 面积是_____
直线名称
r •Od
2
d<r
交点 割线
相切
•O rd
1 d=r
相离
•O rd
0
d>r
切点
无
切线 无
切的判定方法有：
①、直线与圆有一个公共点。
②、直线到圆心的距离等于圆的半径。 ③、切线的判定定理。
切线的判定定理：经过半径外端 并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线。
切线的性质
1、经过切点的半径垂直于圆的切线
2、经过切点垂直于切线的直线必经
过圆心.
B
O
A
T
三角形的内切圆
1、三角形的内切圆的圆心是_______的 交点
2、三角形的内心的性质_______
直线和圆的位置关系-PPT课件
l 这时的直线叫切线，
．
O 切点 A
切线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
叫做直线和圆相离 ．
l
O
抢答
l ．O
．O
l （1）
（2）
．O
l （3）
除了用公共点的个数来区分直 线与圆的位置关系外，能否像点和 圆的位置关系一样用数量关系的方 法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相__交____; 直线a与⊙O的公共点个数是_两__个____．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距
离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _相__切___， 直线a与⊙O的公共点个数是_一___个___．
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
小练习
1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用 直尺近似地画出⊙O的切线．
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
．
O 切点 A
切线
唯一的公共点叫切点．
直线和圆没有公共点，
．
叫做直线和圆相离 ．
l
O
抢答
l ．O
．O
l （1）
（2）
．O
l （3）
除了用公共点的个数来区分直 线与圆的位置关系外，能否像点和 圆的位置关系一样用数量关系的方 法来判断直线和圆的位置关系？
2．直线和圆的位置关系 d：弦心距 —— 数量特征 r ：半径
那么直线与圆分别是什么位置关系？ 有几个公共点？
6.5cm
O·
d=4.5cm
AM B
6.5cm
O·
d=6.5cm
N
解 （1） 圆心距 d=4.5cm＜ r = 6.5cm
有两个公共点；
（2）圆心距 d=6.5cm = r = 6.5cm
有一个公共点；
（3）圆心距 d=8cm＞r = 6.5cm
没有公共点．
离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相__交____; 直线a与⊙O的公共点个数是_两__个____．
2． 已知⊙O的直径是11cm，点O到直线a的距
离是5.5cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _相__切___， 直线a与⊙O的公共点个数是_一___个___．
O dr
l 直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相离
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相切
d=r d>r
小练习
1．根据直线和圆相切的定义，经过点A用 直尺近似地画出⊙O的切线．
A
·O
2．圆的直径是13cm，如果直线与圆心的距离分别是 （1）4.5cm ； （2） 6.5cm ； （3） 8cm，
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BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？ (1)r=2cm；(2)r=2.4cm (3)r=3cm．
B
4
D
d
C
A
3
.
解：过C作CD⊥AB，垂足为D
在△ABC中，
AB= AC2 BC2 32 42 5
根据三角形的面积公式有
1CD AB1ACBC
2
2
∴ C D A C B C 342.4(c)m
B
(1) r=2cm
D
(2) r=4cm
(3) r=2.5cm
A
●
Ｍ
C
.
B
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cC m，
AC＝3cm，以C为圆心的圆与AB
相切，则这个圆的半径是
12cm。 5
A
4、直线L 和⊙O有公共点，则直线L与⊙O（ D ）. A、相离；B、相切；C、相交；D、相切或相交。
dr
直线和圆相交
d< r
∟ ∟
r d
r d
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离 位置关系
.
d> r
数量关系
总结： 判定直线 与圆的位置关系的方法有两____种：
（1）根据定义，由___直___线___与___圆__的__ 公共点 的个数来判断；
（2）根据性质，由__圆__心__到___直__线__的__距__离d与半径r 的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
.
小试牛刀
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有__2__个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆_相__切___, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆_相__离___, 直线与圆有__0__个公共点.
(3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。
.
O
l
相交
O
A
l
相切
O
l
相离
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化， 还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线 与圆的位置关系？
.
相关知识点回忆
直线外一点到这条直线 的垂线段的长度叫点到直线 的距离。
.A
D
a
.
二、直线和圆的位置关系
（用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分）
B
∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径,
∴CD⊥OA. ●O
C 温馨提示:切线的性质是证明两线垂直的重要根据;
A
D
作过切点的半径是常用的辅助线之一.
.
例1： 在 Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=8cm，AC=4cm. （1）以C为圆心作圆，当半径为多长时，
AB与⊙C相切？ （2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半
.
(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm为半径作两 个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?
解:(2)由(1)可知,圆心到AB的距离 d= 2 3 cm,所以
当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离;
当r=4cm时,d<r,AB与⊙C相交.
.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm
;
2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
.
●O 相交
●O 相切
●O 相离
• 上面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能 画出它们的对称轴吗?
直线和圆的位置关系
.
A C
点和圆的位置关系有几种？
点到圆心的距离为d， B 圆的半径为r，则：
点在圆外 点在圆上 点在圆内
位置关系
.
d>r; d=r； d<r.
数量关系
同学们，在我们的生活中到处都 蕴含着数学知识，下面老师请同 学们欣赏美丽的
海上日出
从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪 些基本的几何图形呢？
径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的 位 置关系？
A
4cm
D 8 cm
C
B
.
解:(1)过点C作CD⊥AB于D.
∵AB=8cm,AC=4cm.
cosA AC1. AB 2
∴∠A=60°.
A D
┐
C
B
C A D sC A i n 4 s6 i0 n 0 2 3 c.m
因此,当半径长为 2 3 cm时,AB与⊙C相切.
AB 5
D
d
即圆心C到AB的距离d=2.4cm
所以 (1)当r=2cm时, 有d>r, 因此⊙C和AB相离。
.
（2）当r=2.4cm时,有d=r, 因此⊙C和AB相切。
D
d
（3）当r=3cm时，有d<r， 因此，⊙C和AB相交。
.
D
d
自我检验
1、已知：圆的直径为13cm，如果直线和圆心 的距离为以下值时，直线和圆有几个公共点？ 为什么？
.
拓展 已知⊙A的直径为6，点A的坐标为 （-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是 _相__离__, y轴与⊙A的位置关系是_相__切__。
(1) 4.5cm A、0 个；
答案:C B、1个； C、2个；
(2) 6.5cm A、0 个；
(3) 8cm
答案:B B、1个； C、2个； 答案:A
A、0 个； B、1个； C、2个；
.
2、如图，已知∠BAC=30度，M为AC 上一点，且AM=5cm，以M为圆心、 r为半径的圆与直线AB有怎样的 位置关系？为什么？
.
.
请同学们利用手中的工具再现海上 日出的整个情景。
在再现过程中，你认为直线与圆的 位置关系可以分为哪几类？
你分类的依据是什么？
.
一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分） (1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交， 这条直线叫圆的割线， 这两个公共点叫交点。
(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线， 这个公共点叫切点。
•直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
B
则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于
⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已
知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.
●O
所以CD与AB垂直.
C
AM D
.
切线的性质
圆的切线垂直于过切点的直径.
如图
线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样 的位置关系?说说你的理由.
• 直径AB垂直于直线CD.
B
小颖的理由是:
∵右图是轴对称图形,AB是对称轴,
∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重合,因
●O
此,∠BAC=∠BAD=90°
C
A
D
.
探索切线的性质
• 小亮的理由是:
B
4
D
d
C
A
3
.
解：过C作CD⊥AB，垂足为D
在△ABC中，
AB= AC2 BC2 32 42 5
根据三角形的面积公式有
1CD AB1ACBC
2
2
∴ C D A C B C 342.4(c)m
B
(1) r=2cm
D
(2) r=4cm
(3) r=2.5cm
A
●
Ｍ
C
.
B
3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cC m，
AC＝3cm，以C为圆心的圆与AB
相切，则这个圆的半径是
12cm。 5
A
4、直线L 和⊙O有公共点，则直线L与⊙O（ D ）. A、相离；B、相切；C、相交；D、相切或相交。
dr
直线和圆相交
d< r
∟ ∟
r d
r d
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离 位置关系
.
d> r
数量关系
总结： 判定直线 与圆的位置关系的方法有两____种：
（1）根据定义，由___直___线___与___圆__的__ 公共点 的个数来判断；
（2）根据性质，由__圆__心__到___直__线__的__距__离d与半径r 的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
.
小试牛刀
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有__2__个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆_相__切___, 直线与圆有___1_个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆_相__离___, 直线与圆有__0__个公共点.
(3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。
.
O
l
相交
O
A
l
相切
O
l
相离
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化， 还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线 与圆的位置关系？
.
相关知识点回忆
直线外一点到这条直线 的垂线段的长度叫点到直线 的距离。
.A
D
a
.
二、直线和圆的位置关系
（用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分）
B
∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径,
∴CD⊥OA. ●O
C 温馨提示:切线的性质是证明两线垂直的重要根据;
A
D
作过切点的半径是常用的辅助线之一.
.
例1： 在 Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB=8cm，AC=4cm. （1）以C为圆心作圆，当半径为多长时，
AB与⊙C相切？ （2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半
.
(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm为半径作两 个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?
解:(2)由(1)可知,圆心到AB的距离 d= 2 3 cm,所以
当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离;
当r=4cm时,d<r,AB与⊙C相交.
.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm
;
2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm.
.
●O 相交
●O 相切
●O 相离
• 上面的三个图形是轴对称图形吗?如果是,你能 画出它们的对称轴吗?
直线和圆的位置关系
.
A C
点和圆的位置关系有几种？
点到圆心的距离为d， B 圆的半径为r，则：
点在圆外 点在圆上 点在圆内
位置关系
.
d>r; d=r； d<r.
数量关系
同学们，在我们的生活中到处都 蕴含着数学知识，下面老师请同 学们欣赏美丽的
海上日出
从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪 些基本的几何图形呢？
径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的 位 置关系？
A
4cm
D 8 cm
C
B
.
解:(1)过点C作CD⊥AB于D.
∵AB=8cm,AC=4cm.
cosA AC1. AB 2
∴∠A=60°.
A D
┐
C
B
C A D sC A i n 4 s6 i0 n 0 2 3 c.m
因此,当半径长为 2 3 cm时,AB与⊙C相切.
AB 5
D
d
即圆心C到AB的距离d=2.4cm
所以 (1)当r=2cm时, 有d>r, 因此⊙C和AB相离。
.
（2）当r=2.4cm时,有d=r, 因此⊙C和AB相切。
D
d
（3）当r=3cm时，有d<r， 因此，⊙C和AB相交。
.
D
d
自我检验
1、已知：圆的直径为13cm，如果直线和圆心 的距离为以下值时，直线和圆有几个公共点？ 为什么？
.
拓展 已知⊙A的直径为6，点A的坐标为 （-3，-4），则x轴与⊙A的位置关系是 _相__离__, y轴与⊙A的位置关系是_相__切__。
(1) 4.5cm A、0 个；
答案:C B、1个； C、2个；
(2) 6.5cm A、0 个；
(3) 8cm
答案:B B、1个； C、2个； 答案:A
A、0 个； B、1个； C、2个；
.
2、如图，已知∠BAC=30度，M为AC 上一点，且AM=5cm，以M为圆心、 r为半径的圆与直线AB有怎样的 位置关系？为什么？
.
.
请同学们利用手中的工具再现海上 日出的整个情景。
在再现过程中，你认为直线与圆的 位置关系可以分为哪几类？
你分类的依据是什么？
.
一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分） (1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交， 这条直线叫圆的割线， 这两个公共点叫交点。
(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线， 这个公共点叫切点。
•直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
B
则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于
⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已
知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.
●O
所以CD与AB垂直.
C
AM D
.
切线的性质
圆的切线垂直于过切点的直径.
如图
线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样 的位置关系?说说你的理由.
• 直径AB垂直于直线CD.
B
小颖的理由是:
∵右图是轴对称图形,AB是对称轴,
∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重合,因
●O
此,∠BAC=∠BAD=90°
C
A
D
.
探索切线的性质
• 小亮的理由是: