网络流算法讲座材料

网络流常用算法：
1.Fort_Fulkerson算法.
2.Edmonds_Karp算法(最短增广路算法).-------------------O( n*m^2 )
3.SAP算法(使用距离标号的最短增广路算法).--------------O( n^2*m )
4.Dinic算法.------------------------------------------O( n^2*m )
5.Push_Relabel算法(预流推进算法).---------------------O( n^2*m )
6.FIFO Preflow_Push算法.-------------------------------O( n^2*m)
7.Relabel_to_Front算法.--------------------------------O( n^3 )
8.Highest Label Preflow_push算法.----------------------O( n^2*m^1/2)
网络流算法讲座材料
1 概念与性质
网络N是指具有以下结构的有向图D，D中有两个称为源和汇的不同顶点s, t，在D的弧集E上定义了非负整数值函数c。

网络N的流是定义在弧集E上的整数值函数，满足对任意边a，
0<=f(a)<=c(a)，且对任意顶点，入流量等于出流量。

性质1：任何st-流都具有如下性质：从s的出流量等于到t的入流量。

性质2：任何st-流都有一个最大流，它可以表示为从s到t，至多E条有向路径集合上的流。

图的切割是将顶点分成两个独立的集合，交叉边是一条连通两个集合中顶点的边，交叉边的集合叫做切割集合。

网络N的st-切割是这样的一个切割，它将源s放到一个集合，将汇t放到另一个集合。

与st-切割对应的每条交叉边或者是st-边(从集合s指向集合t)，或者是ts-边(从集合t指向集合s)，st-切割的容量是st-边的容量之和，st-切割的流量等于st-边上的流量和与ts-边上的流量和之差。

性质3：网络中所有st-流的最大值等于所有st-切割的最小容量。

残余网络
边费用是定义在边集E上的整数值函数h。

流的费用是该流的所有边的流值与边费用乘积的总和。

最小费用最大流是费用最小的最大流。

性质4：当且仅当残余网络不包含负开销的有向环时，最大流才是一个最小费用流。

2 最大流应用
2.1 一般网络的最大流
描述：给定一个含多个源和多个汇的网络，找出其中的最大流。

解法：在原网络的基础上，增加一个虚源s和一个虚汇t。

若原网络有p个源s1, s2, …, sp和q个汇t1, t2, …, tq，则在原网络中增加p条以s为起
点的边(s,s1), (s,s2), …, (s,sp)，以及q条以t为终点的边(t1,t),
(t2,t), …, (tq,t)，新增各边的容量分别定义为各源si的流出量和各汇t的流入量。

新网络的s-t最大流与原网络的最大流等价。

例题：HOJ 1229, Power Network
2.2 顶点容量约束的最大流问题
描述：给定一个某些顶点存在容量约束的流网络，找出其最大流。

解法：在原网络的基础上，将具有顶点容量约束的顶点u拆成两个顶点u, u*, 原顶点u 的入边仍为u的入边，原顶点u的出边改为u*的出边，增加一条边(u, u*)，其边容量为原顶点u的顶点容量。

新网络的s-t最大流与原网络的最大流等价。

例题：
2.3 可行流问题
描述：在一个流网络中给每个顶点分配权重，如果为正值，可以解释为供给，如果为负值，可以解释成需求，顶点权重的总和等于0。

如果每个顶点的出流和入流差等于该顶点的权重(如果为正，则为供给，如果为负，则为需求)，定义此流为可行流。

已知这样一个网络，判断是否存在一个可行流。

解法：已知一个可行流问题，构建一个具有相同顶点和边，但顶点上不带权重的网络。

添加一个源s和一个汇t，s有一条边到达每个供给顶点，其边容量等于该顶点的供给，t有一条边从需求顶点出发，其边容量等于该顶点的需求。

当且仅当新网络的s-t最大流为满流时(充满从源s出发的所有边及到达汇t的所有边)，原网络才有一个可行流。

例题：
2.4 带下界约束的最大流问题
描述：求边有容量下限的网络的最大流。

解法：设边(u, v)的容量上下限分别为c, l，再添加一个源s'和汇t'，将(u, v)的下限去掉，上限改为c-l，增加两条边(u, t')，(s', v)，容量均为l。

这样，将原网络带下限约束的最大流转换为双源点无容量下限的最大流。

例题：
2.5 循环流问题
描述：考虑无源也无汇的网络，设N是具有基础有向图D=(V，A)的网络，l 和c是定义在A上的非负整数值且对任意边a，l(a)<=c(a)，分别称l和c为下容量函数和上容量函数。

如果定义在A上的函数f满足：
f(v, V) - f(V, v) = 0, V中任意顶点v
l(a) <= f(a) <= c(a)
则称f为网络N的循环流。

对一般的网络N，循环流未必存在。

给一个这样的网络，判断循环流是否存在。

解法：添加一个源s和汇t，对于每个下限容量l不为0的边(u, v)，将其下限去掉，上限改为c-l，增加两条边(u, t)，(s, v)，容量均为c。

这样，原网络存在循环流等价于新s-t网络的最大流是满流。

例题：
2.6 带下界约束的最小流问题
2.7 二分图的最大匹配
描述：利用最大流求一个二分图的最大匹配。

解法：已知一个二分图匹配问题，让所有的边从一个集合U指向另一个集合T，再添加一个源s和一个汇t，s有一条边指向U中所有顶点的边，t有一条边从T中所有顶点指向它自身，最后给图中所有边分配容量1。

新s-t网络中的最大流对应于原二分图的一个最大匹配。

例题：
2.8 图的连通性问题
HOJ 1646，Cable TV Network
3 最小费用流应用
3.1 运输问题
描述：公司有工厂和零售部门，工厂生产的商品必须通过一定的运输渠道到达零售部门进行销售。

不同的运输渠道具有不同的容量和单位开销。

问是否可以从工厂配送商品到零售问题，使得供应满足每个地方的需求，并找出这样做的最低开销途径。

解法：转化为多源多汇的最小费用最大流问题。

例题：PKU 2516, Minimum Cost
3.2 二分图的最小权最大匹配
描述：利用最大流求一个二分图的最大匹配。

解法：已知一个二分图匹配问题，让所有的边从一个集合U指向另一个集合T，再添加一个源s和一个汇t，s有一条边指向U中所有顶点的边，t有一条边从T中所有顶点指向它自身，最后给图中所有边分配容量1。

新s-t网络中的最大流对应于原二分图的一个最大匹配。

例题：HOJ 2025, Going Home。