2018届江苏省扬州中学高三上学期月考数学试题及答案

江苏省扬州中学2018学年第一学期月考
高三数学试卷
一、填空题：
1. 已知集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A ▲ ．
2．已知ss :p “若b a =，则||||b a =”，则ss p 及其逆ss 、否ss 、逆否ss 中，正确ss 的个数是 ▲ ．
3.设x 是纯虚数，y 是实数，且y x i y y i x +--=+-则,)3(12等于 ▲ ．
4. 已知⎩⎨⎧>+-≤=0
,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则4
()3f 的值为 ▲ ．
5. 在等差数列{}n a 中，若7893a a a ++=，则该数列的前15项的和为 ▲ ．
6. 已知直线 ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个ss ：
①α∥β⇒ ⊥m ；②α⊥β⇒ ∥m ；③ ∥m ⇒α⊥β；④ ⊥m ⇒α∥β 其中正确ss 序号是 ▲ ． 7. 已知||1a = ，||2b =
，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++= ，则a 与c 的夹角为▲ ．
8. 设y x ,均为正实数，且33122x y
+=++，则xy 的最小值为 ▲ ．
9.已知方程2x +
θtan x －θ
sin 1=0有两个不等实根a 和b ，那么过点),(),,(2
2b b B a a A 的直线与圆122=+y x 的位置关系是 ▲ ．
10．若动直线)(R a a x ∈=
与函数())()cos()66
f x x
g x x π
π
=+
=+与的图象分别交于N
M ,两点，则||MN 的最大值为 ▲ ．
11. 设12()1f x x =+，11()[()]n n f x f f x +=，且(0)1
(0)2n n n f a f -=+，则2014a = ▲ ．
12. 函数32()f x x bx cx d =+++在区间[]1,2-上是减函数,则c b +的最大值为 ▲ ．
13．已知椭圆与x 轴相切，左、右两个焦点分别为)25(1
,1(21，），F F ，则原点O 到其左准线的距离
为 ▲ ．
14. 设13521A ,,,,2482n n
n -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
(),2n N n *
∈≥，A n 的所有非空子集中的最小元素的和为S ，则S = ▲ ． 二、解答题：
15．(本小题满分14分)
设向量),cos ,(sin x x a =),sin 3,(sin x x b =x ∈R ，函数)2()(b a a x f +⋅=. （1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合． 16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，
//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，
N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点．
（1）求证：DM PB ⊥；
（2）求点B 到平面PAC 的距离．
17．(本小题满分14分)
某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到．x 元．公司拟投入2
1(600)6
x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入
1
5
x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入．．．与总投入．．．之和？并求出此时商品的每件定价．
18．(本小题满分16分)
已知函数()2
1f x x =-，设曲线()y f x =在点(),n n x y 处的切线与x 轴的交点为()1,0n x +，其
中1x 为正实数. （1）用n x 表示1n x +； （2）12x =,若1
lg
1
n n n x a x +=-，试证明数列{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n b 的前n 项和()
12
n n n S +=，记数列
}{n n b a ⋅的前n 项和n T ，求n T ．.
19. (本小题满分16分)
如图所示，已知圆
M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 是线段AM 的垂直平分线与直线CM 的交
点．
（1）求点P 的轨迹曲线E 的方程；
（2）设点00(,)P x y 是曲线E 上任意一点，写出曲线E 在点00(,)P x y 处的切线l 的方程；（不要求证明）
（3）直线m 过切点00(,)P x y 与直线l 垂直，点C 关于直线m 的对称点为D ，证明：直线PD 恒过一定点，并求定点的坐标．
20. (本小题满分16分)
设0a >，两个函数()ax
f x e =，g()ln x b x =的图像关于直线y x =对称. （1）求实数b a ,满足的关系式；
（2）当a 取何值时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点； （3）当1=a 时，在),2
1(+∞上解不等式2
)()1(x x g x f <+-．
高三___________ 姓名_____________ 学号
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………
数学(附加题)
21．
B ．(本小题满分10分)
已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
e ，并且矩阵M 对应的变换将点
(1,2)-变换成(2,4)-, 求矩阵M ．.
C ．(本小题满分10分)
在直角坐标系中，参数方程为为参数）t t y t x (21232⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=的直线l ，被以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为θρcos 2=的曲线C 所截，求截得的弦长．
22． (本小题满分10分)
设函数()(,n)1n
f x x =+,()
n N *∈． （1）求(,6)f x 的展开式中系数最大的项；
（2）若(,n)32f i i =（i 为虚数单位）,求13579
n n n n n
C C C C C -+-+．
23． (本小题满分10分)
电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体1111D C B A ABCD -顶点A 起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．
（1）求跳三步跳到1C 的概率P ；
（2）青蛙跳五步，用X 表示跳到过1C 的次数，求随机变量X 的概率分布及数学期望)(X E ．
1A
12
一、填空题
1. ()+∞,0 2．2 3. i 251-- 4. 3
2
5.15
6. ①③
7. 90︒
8.16
9. 相切 10．2 11. 2015
12⎛⎫
- ⎪⎝⎭ 12.152- 13
⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-=*2,3,2
12,47N n n n n
二、解答题
15．解：(1) )2()(b a a x f +⋅
=222sin cos 2(sin cos )x x x x x =++
1
11cos 2222(sin 2cos 2)2
x x x x =+-+=+-⋅ 22(sin 2cos
cos 2sin )22sin(2)666
x x x π
ππ
=+-=+-. …………5′
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，得6
3
k x k π
π
ππ-
≤≤+
()k ∈Z ，
∴()f x 的单调递增区间为[,]63
k k π
π
ππ-+()k ∈Z . …………8′
(2) 由()22sin(2)6f x x π=+-
，得()4cos(2)6f x x π
'=-.
由()2f x '≥，得1cos(2)62x π-≥，则222363
k x k πππ
ππ-≤-≤+，
即12
4
k x k π
π
ππ-
≤≤+
()k ∈Z . ∴使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合为
,124x k x k k ππππ⎧⎫
-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
Z .……14′
16．解：（1）因为N 是PB 的中点，PA=AB ，
所以AN ⊥PB,因为AD ⊥面PAB ，所以AD ⊥PB,又因为AD ∩AN=A 从而PB ⊥平面ADMN,因为平面ADMN ， 所以PB ⊥DM. …………7′
(2) 连接AC ，过B 作BH ⊥AC ，因为PA ⊥底面ABCD ， 所以平面PAB ⊥底面ABCD ，所以BH 是点B 到平面PAC 的距离.
在直角三角形ABC 中，BH
＝AB BC AC ⋅ ……………14′
17．解：（1）设每件定价为x 元，依题意，有25
(80.2)2581
x x --
⨯≥⨯， 整理得26510000x x -+≤，解得2540x ≤≤．
∴ 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．………7′
高三数学月考试卷参考答案
（2）依题意，25>x 时，
不等式21125850(600)65ax x x ≥⨯++
-+有解, 等价于25>x 时，1501165
a x x ≥++有解
, ()150110306x x x +≥==
当且仅当时，等号成立 , 10.2a ∴≥.
∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．……14′ 18．解：（1）由题可得()2f x x '=，所以在曲线上点()()
,n n x f x 处的切线方程为
()()()n n n y f x f x x x '-=-，即()()212n n n y x x x x --=-
令0y =，得()
()2112n n n n x x x x +--=-，即2112n
n n x x x ++= 由题意得0n x ≠，所以2
11
2n n n
x x x ++=………………5′
（2）因为2112n n n x x x ++=，所以22
1122
11
11221
lg lg lg 1121
12n n n n n n n n n n n
x x x x x a x x x x x ++++++++===+--+- ()()
2
2
11
lg 2lg
21
1n
n n n n x x a x x ++===--即12n n a a +=， 所以数列{}n a 为等比数列故11
111112lg
22lg 31
n n n n x a a x ---+==⋅=- ………10′ （3）当1n =时，111
b S ==，
当2n ≥时，()()
11122
n n n n n n n b S S n -+-=-=
-= 所以数列{}n b 的通项公式为n b n =，故数列{}n n a b 的通项公式为12lg 3n n n a b n -=⋅
()21122322lg 3n n T n -∴=+⨯+⨯++⋅ ①
①2⨯的()
2212322lg 3n n T n =⨯+⨯++⋅ ②
①-②得()
2112222lg 3n n n T n --=++++-⋅
故(
)22
1lg 3n n
n T n =⋅-+ ………………16′
19.解：（1） 点P 是线段AM 的垂直平分线,∴PA PM ＝
PA PC PM PC AC 2＋＝＋＝＝，
∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===
∴b c a
∴曲线E 的方程为.
1222
=+y x ………5′
（2）曲线E 在点00(,)P x y 处的切线l 的方程是0012
x x
y y +=.………8′
（3）直线m 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= .
设点C 关于直线m 的对称点的坐标为()D ,m n ,
则000000
12120
22x n
m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得3200020432
00002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪
⎨+--⎪=⎪-⎩ ∴直线PD 的斜率为4320000032
00004288
2(34)
n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PD 的方程为： 43200000032
0004288
()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即32000432
00002(34)
14288
y x x x y x x x x --+=+++--, 从而直线PD 恒过定点(1,0)A .………16′ 20.解：（1）设P()ax
x e ，是函数()ax
f x e =图像上任一点，则它关于直线y x =对称的点P ()ax
e x ，，在函数g()ln x b x =的图像上，ln ax x b e abx ∴==，1ab ∴=.
（2）当0a >时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，
两个函数关于直线y x =对称，∴两个函数图像的交点就是函数()ax f x e =，的图像与直线y x
=的切点.
设切点为0
0A()ax x e
，，00=ax x e ()ax f x ae =，
，0=1ax ae ∴，0=1ax ∴，00==ax x e e ∴, ∴当011
a x e
=
=时，函数()()()h x f x g x =-有且只有一个零点x e =； （3）当a =1时，设 ()2()(1)+g r x f x x x =--1x e -=2ln x x +-，则
()r x ，112x e x x -=-－＋，当1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，112211,1x x e x --<-=<-－，()0r x ，＜，
当[)1,+x ∈∞时，112121,0x x e x
--≤-=<－－，()0r x ，
＜．
()r x ∴在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上是减函数.
又(1)r ＝0，∴不等式()2(1)+g f x x x -<解集是()1,+∞．
21．B ．解：设M=a
b c
d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=811⎡⎤⎢⎥⎣⎦=88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故8,8.a b c d +=⎧⎨+=⎩
a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，故22,2 4.a b c d -+=-⎧⎨-+=⎩
联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=6244⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
．………10′ C ．解：由题意知，直线l 的倾斜角为 30，并过点A （2，0）；曲线C 是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，且圆C 也过点A （2，0）；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在OAB Rt ∆中，
330cos 2== AB ．…………10′
22．解：（1）展开式中系数最大的项是第4项＝()3
336
20C x x =；………5′
（2）由已知，n
(1)32i i =＋，两边取模，得n 32=，所以10n =.
所以13579n n n n n C C C C C -+-+=13579
1010101010
C C C C C -+-+ 而1001229910101010101010(1)i C C i C i C i C i =+++++ ＋
()()0246810135791010101010101010101010C C C C C C C C C C C i =++++－－－－＋－32i =
所以.329
10710510310110=+-+-C C C C C …………10′
23．解：将A 标示为0，A 1、B 、D 标示为1，B 1、C 、D 1标示为2，C 1标示为3，从A 跳到B 记为01，从B 跳到B 1再跳到A 1记为121，其余类推.从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的
概率为
13，从1到2与从2到1的概率为23
. （1）P ＝P （0123）＝1⨯23⨯13＝2
9
； ………4′
（2）X ＝0,1，2. P （X ＝1）＝P （010123）＋P （012123）＋P （012321）
＝1⨯
13⨯1⨯23⨯13＋1⨯23⨯23⨯23⨯13＋1⨯23⨯13⨯1⨯23 ＝2681，P （X ＝2）＝P （012323）＝1⨯23⨯13⨯1⨯13＝681
， P （X ＝0）＝1－P （X ＝1）－P （X ＝2）＝49
81
或P （X ＝0）＝P （010101）＋P （010121）＋P （012101）＋P （012121）
＝1⨯
13⨯1⨯13⨯1＋1⨯13⨯1⨯23⨯23＋1⨯23⨯23⨯13⨯1＋1⨯23
⨯
23⨯23⨯23＝
49
81
， ∴ E （X ）＝1⨯2681＋2⨯681＝3881
.…………10′。