模糊数学全套课件
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模糊数学——模糊映射与模糊变换教学课件
f R 是X到Y的模糊映射。
。
于是，也确定了模糊映射 f R
模糊变换
定义4.3.2 称映射 T : F ( X ) F (Y ), A T ( A) B
为X到Y得模糊变换。
由定义可知，模糊变换是集合变换的推广，即 在影射T下，将模糊集A变成模糊集B. 若模糊变换T满足
T ( A B) T ( A) T ( B), T (A) T ( A),
因为Tf是由f诱导出的，所以 :Tf(A)=A•Rf .
r11 r12 令R r21 r22 , r r r 1,1,0 r 31 32 r
r 11 1 有，,0,0 r21 r 31
11 21
r 12 r22 0.2,0.5 , r32
例4. 3. 1 设 X x1 , x2 , x3 , x4 , Y y1, y2, y3 , 令
f1 : x1 f1 ( x1 ) x2 f1 ( x2 ) x3 f1 ( x3 ) x4 f1 ( x4 ) 1 y1 , y1 1 1 y1 , y2 , y1 y2 1 y3 , y3 1 1 1 y1 , y2 , y3 ; y1 y2 y3 0.2 0.3 0.8 , y1 y2 y3
B是Y上的模糊子集。 因此，T是X到Y的一个模糊变换。
模糊变换
例4.3.3
f : X Y,
T : F ( X ) F (Y ),
由1.4节的扩张原理知
A T ( A) f ( A), T 1 : F (Y ) F ( X ), B T ( B) f ( B)
则T是X到Y的模糊线性变换，
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
《模糊数学教案》课件
《模糊数学教案》课件第一章：模糊数学简介1.1 模糊数学的概念与发展1.2 模糊集合的基本概念1.3 模糊数学的应用领域第二章：模糊集合的基本运算2.1 模糊集合的并、交、补运算2.2 模糊集合的余集、商集运算2.3 模糊集合的运算规律与性质第三章：模糊逻辑与模糊推理3.1 模糊逻辑的基本概念3.2 模糊推理的基本方法3.3 模糊推理的应用实例第四章：模糊控制系统4.1 模糊控制系统的原理与结构4.2 模糊控制规则的制定方法4.3 模糊控制系统的仿真与优化第五章：模糊数学在工程与应用领域的应用5.1 模糊数学在模式识别中的应用5.2 模糊数学在中的应用5.3 模糊数学在优化方法中的应用第六章：模糊数学在决策分析中的应用6.1 模糊决策树6.2 模糊综合评价方法6.3 模糊多属性决策方法第七章：模糊数学在控制理论与应用中的扩展7.1 模糊PID控制器设计7.2 模糊自适应控制方法7.3 模糊控制系统的稳定性分析第八章：模糊数学在信号处理中的应用8.1 模糊信号处理的基本概念8.2 模糊滤波器设计8.3 模糊信号识别与分类第九章：模糊数学在机器学习与数据挖掘中的应用9.1 模糊聚类分析9.2 模糊神经网络9.3 模糊数据挖掘方法第十章：模糊数学在其它领域的应用及发展趋势10.1 模糊数学在生物学中的应用10.2 模糊数学在环境科学中的应用10.3 模糊数学的未来发展趋势重点和难点解析一、模糊数学简介难点解析：理解模糊数学的哲学背景与发展历程，以及模糊集合的隶属度函数和二、模糊集合的基本运算难点解析：掌握模糊集合运算的规则，以及如何通过模糊集合的运算得到新的模糊集合。
三、模糊逻辑与模糊推理难点解析：理解模糊逻辑的推理规则，以及如何应用模糊推理解决实际问题。
四、模糊控制系统难点解析：掌握模糊控制系统的构建和运作机制，以及如何制定合适的模糊控制规则。
五、模糊数学在工程与应用领域的应用难点解析：了解模糊数学在不同领域中的应用方法，以及如何将模糊数学应用于实际问题。
数学建模-模糊数学ppt课件
0.5 0.2
0 0..3 6,B0 0 0...5 3 1
0 0..4 2,则 0.6
AB0.5 0.3
0.6 0.3
B0.1 A0.3来自0.40.2 0.3 0.5
0.2 0.3 0.5
模糊集合及其运算
〔3〕模糊矩阵的转置 定义：设 A(aij)mn, 称 AT(aijT)mn为A的
转置矩阵，其中 aijT aji 。
模糊集合及其运算
2、指派方法 这是一种客观的方法，但也是用得最普遍的一种
方法。它是根据问题的性质套用现成的某些方式的模 糊分布，然后根据丈量数据确定分布中所含的参数。
3、其它方法 德尔菲法：专家评分法；
二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序， 由此决议隶属函数的大致外形。主要有以下方法： 相对比较法、择优比较法和对比平均法等。
制约着 A* 的运动。A* 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 u0 , 致使 u 0 对A的隶属关系是不确定的。
模糊集合及其运算
特点：在各次实验中，u 0 是固定的，而 A* 在随机变动。 模糊统计实验过程：
〔1〕做n次实验，计算出 u0对 A的隶属 u0 频 A* n 的 率次数
〔2〕随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为 u 0 对A的隶属度： A(u0)ln i mu0A*n的次数
模糊集合及其运算二模糊集合及其运算美国控制论专家zadeh教授正视了经典集合描述的非此即彼的清晰现象提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是非此即彼那么简单而概念的差异常以中介过渡的形式出现表现为亦此亦彼的模糊现象
Part2: 模糊数学
一 模糊集合及其运算 二 模糊聚类分析 三 模糊综合评判 四 模糊线性规划
A:U{0,1} uA(u),
模糊数学3课件
V ( u1 ,u2 )∈U1 ×U 2
∨
( µ A' ×B' (u1 , u2 ) ∧ µ R ((u1 , u2 ), v))
例2.7.5 多输入模糊推理 课堂练习2.7.3
基于削顶法的模糊推理结果求取
两输入模糊推理规则的改写 规则1’：如果x是 A ，则z是 C 与 规则2’：如果y是 B ，则z是 C
玛丹尼方法
µ A (u ) ∧ µ B (v)
(u , v)
U ×V
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示 对于有限论域，可以采用模糊矩阵表示 一般采用矩阵的形式表示，只在特殊的场合写成向量 形式
模糊推理结果
B ' = A' ( A → B) = ∫ ∨ ( µ A' (u ) ∧ µ A→ B (u, v))
A' 前提：如果x是
结论：y是？ 求出模糊集合“？”，推知表示的语言值，得到推理结论
模糊蕴含关系
扎德方法
A → B = ( A × B) ∪ ( Ac × V ) ( µ A (u ) ∧ µ B (v)) ∨ ((1 − µ A (u )) ∧ 1) =∫ U ×V (u , v)
A → B = A× B =∫
A' ，且y是 B ' 前提：如果x是
结论：z是？
模糊蕴含关系
R = A× B → C
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示
A × B 用含有 m1 ⋅ m2 个元素的向量表示
采用玛丹尼方法得到的模糊矩阵
R = A × B × C = ( A × B)T C
模糊推理结果
C ' = ( A' × B ' ) R =∫
∨
( µ A' ×B' (u1 , u2 ) ∧ µ R ((u1 , u2 ), v))
例2.7.5 多输入模糊推理 课堂练习2.7.3
基于削顶法的模糊推理结果求取
两输入模糊推理规则的改写 规则1’：如果x是 A ，则z是 C 与 规则2’：如果y是 B ，则z是 C
玛丹尼方法
µ A (u ) ∧ µ B (v)
(u , v)
U ×V
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示 对于有限论域，可以采用模糊矩阵表示 一般采用矩阵的形式表示，只在特殊的场合写成向量 形式
模糊推理结果
B ' = A' ( A → B) = ∫ ∨ ( µ A' (u ) ∧ µ A→ B (u, v))
A' 前提：如果x是
结论：y是？ 求出模糊集合“？”，推知表示的语言值，得到推理结论
模糊蕴含关系
扎德方法
A → B = ( A × B) ∪ ( Ac × V ) ( µ A (u ) ∧ µ B (v)) ∨ ((1 − µ A (u )) ∧ 1) =∫ U ×V (u , v)
A → B = A× B =∫
A' ，且y是 B ' 前提：如果x是
结论：z是？
模糊蕴含关系
R = A× B → C
注意 可以采用任何模糊集合表示方法表示
A × B 用含有 m1 ⋅ m2 个元素的向量表示
采用玛丹尼方法得到的模糊矩阵
R = A × B × C = ( A × B)T C
模糊推理结果
C ' = ( A' × B ' ) R =∫
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Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)s×n， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}. 定义：若R为 n 阶方阵，定义 R 2 = R ° R，R 3 = R 2 ° R …
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系, R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)}, R2 ={(x, y) | y – z = 1} = {(2,1), (3,2), (4,3)}, 则R1与 R2的合成
0 0 R1 0 1
R1 ° R2={(x, y) | x + z = = {(2,3), (3,2), (4,1)}. 5}
0 0 1 0
关系的三大特性： 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集， 记为(A). 并集A∪B = { x | xA或xB }； 交集A∩B = { x | xA且xB }； 余集Ac = { x | xA }. 集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；
关系的矩阵表示法
设X = {x1, x2, … , xm},Y={ y1, y2, … , yn}，R 为从 X 到 Y 的二元关系，记
rij =R(xi , yj )，R = (rij)m×n，
则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系的合成
§1.2 模糊理论的数学基础
经典集合 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异， 即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属 于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)， 二者必居其一. 集合的表示法： (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}. AB 若xA，则xB； AB 若xB，则xA； A=B AB且 AB.
映射与扩张
映射 f ： X Y 集合A的特征函数：
1, x A ; A ( x) 0, x A.
特征函数满足：
取大运算, 如 2∨ 3 = 3
A B ( x) A ( x) B ( x); A B ( x) A ( x) B ( x); A ( x) 1 A ( x). 取大运算,
分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = ； U 为全集， 为空集. 集合的直积： X Y = { (x , y )| xX , y Y }.
第1章 模糊集的基本概念
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用.
c
扩张：点集映射 集合变换
如 2∧ 3 = 2
二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系. 二元关系简称为关系. 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1 ； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的关系 R1 = (aik)m×s，
例 设 X ={1, 2, 3, 4}, Y ={ 2, 3, 4}, Z = {1, 2, 3}, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系, R1 ={(x, y) | x + y = 6} = {(2,4), (3,3), (4,2)}, R2 ={(x, y) | y – z = 1} = {(2,1), (3,2), (4,3)}, 则R1与 R2的合成
0 0 R1 0 1
R1 ° R2={(x, y) | x + z = = {(2,3), (3,2), (4,1)}. 5}
0 0 1 0
关系的三大特性： 设R为 X 上的关系 (1) 自反性：若 X 上的任何元素都与自己有 关系R，即R (x , x) =1，则称关系 R 具有自反性； (2) 对称性：对于X 上的任意两个元素 x , y， 若 x 与y 有关系R 时，则 y 与 x 也有关系R，即 若R (x , y ) =1，则R ( y , x ) = 1，那么称关系R具 有对称性； (3) 传递性：对于X上的任意三个元素x, y, z， 若x 与y 有关系R，y 与z 也有关系R 时，则x与z 也有关系R，即若R (x , y ) = 1，R ( y , z ) =1，则 R ( x , z ) = 1，那么称关系R具有传递性.
集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集， 记为(A). 并集A∪B = { x | xA或xB }； 交集A∩B = { x | xA且xB }； 余集Ac = { x | xA }. 集合的运算规律 幂等律： A∪A = A， A∩A = A； 交换律： A∪B = B∪A， A∩B = B∩A； 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C )， ( A∩B )∩C = A∩( B∩C )； 吸收律： A∪( A∩B ) = A，A∩( A∪B ) = A；
关系的矩阵表示法
设X = {x1, x2, … , xm},Y={ y1, y2, … , yn}，R 为从 X 到 Y 的二元关系，记
rij =R(xi , yj )，R = (rij)m×n，
则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系的合成
§1.2 模糊理论的数学基础
经典集合 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异， 即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属 于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)， 二者必居其一. 集合的表示法： (1)枚举法，A={x1 , x2 ,…, xn}； (2)描述法，A={x | P(x)}. AB 若xA，则xB； AB 若xB，则xA； A=B AB且 AB.
映射与扩张
映射 f ： X Y 集合A的特征函数：
1, x A ; A ( x) 0, x A.
特征函数满足：
取大运算, 如 2∨ 3 = 3
A B ( x) A ( x) B ( x); A B ( x) A ( x) B ( x); A ( x) 1 A ( x). 取大运算,
分配律：( A∪B )∩C = ( A∩C )∪( B∩C )； ( A∩B )∪C = ( A∪C )∩( B∪C )； 0-1律：A∪U = U ， A∩U = A ； A∪ = A ， A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ； 对偶律： (A∪B)c = Ac∩Bc，(A∩B)c = Ac∪Bc； 排中律： A∪Ac = U， A∩Ac = ； U 为全集， 为空集. 集合的直积： X Y = { (x , y )| xX , y Y }.
第1章 模糊集的基本概念
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方 法. 众所周知，经典数学是以精确性为特征的.
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、 没有价值的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还 要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子 长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他 信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头 脑的综合分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各 个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的 应用.
c
扩张：点集映射 集合变换
如 2∧ 3 = 2
二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二元关系， 特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系. 二元关系简称为关系. 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1 ； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的关系 R1 = (aik)m×s，