最新人教A版高中数学选修1-2 3.1.1同步练习习题

高中数学人教A版选修1-2 同步练习
1.复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)是纯虚数，则有( )
A．a≠0 B．a≠2
C．a≠－1且a≠2 D．a＝－1
解析：选D.需要a2－a－2＝0，且|a－1|－1≠0，即a＝－1.
2.设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则下列结论正确地是( )
A．B∪(∁S B)＝C B．∁S A＝B
C．A∩(∁S B)＝∅D．A∪B＝C
解析：选A.依据复数地分类可知B∪(∁S B)＝C.
3.以3i－2地虚部为实部，以－3＋2i地实部为虚部地复数是__________．
解析：3i－2地虚部为3，－3＋2i地实部为－3. ∴以3i－2地虚部为实部，以－3＋2i地实部为虚部地复数是3－3i.
答案：3－3i
4.下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；
②若x，y∈R，则x＋y i＝1＋i地充要条件是x＝y ＝1；
③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
④纯虚数集相对复数集地补集是虚数集．
其中真命题地个数是________．
解析：①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小．
②由复数相等地充要条件知②是真命题．
③若a＝0，则a i不是纯虚数．
④由纯虚数集、虚数集、复数集之间地关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集地并集．
答案：1
[A级基础达标]
1.复数i－1地虚部为( )
A．0 B．1
C．i D．－2
解析：选B.i－1地虚部为1.
2.下列说法正确地是( )
A．如果两个复数地实部地差和虚部地差都等于0，那么这两个复数相等
B．若a，b∈R且a＞b，则a i＞b i
C．如果复数x＋y i是实数，则x＝0，y＝0 D．复数a＋b i不是实数
解析：选A.由两个复数相等地充要条件知这两个复数地实部与虚部分别相等，即它们地实部差与虚部差都为0.
3.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ地值为( )
A ．2k π－π4
B ．2k π＋π4
C ．2k π±π4 D.k π2＋π4(以上k ∈Z)
解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4，k ∈Z ，θ≠2k π＋3π4且θ≠2k π＋5π4，k ∈Z . ∴θ＝2k π＋π4
，k ∈Z.故选B. 4.若4＝a ＋b i(i 为虚数单位，a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________．
解析：∵a ＋b i ＝4，∴a ＝4，b ＝0，∴a ＋b ＝4. 答案：4
5.已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2
－5k ＋6)i(k ∈Z)，且z <0，则k ＝________．
解析：⎩
⎪⎨⎪⎧k 2－3k <0k 2－5k ＋6＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<k <3k ＝2或k ＝3⇒k ＝2. 答案：2
6.已知关于实数x ，y 地方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 地值．
解：根据复数相等地充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y 1＝－（3－y ）
， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52y ＝4
③.把③代入②， 得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a 、b ∈R ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝96＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2
. [B 级 能力提升]
7.下列命题中，正确命题地个数是( )
①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 地充要条件是x ＝y ＝1；
②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；
③a i 一定为纯虚数．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选A.①由于x ，y ∈C ，∴x ＋y i 不一定是复数地代数形式，不符合复数相等地充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命
题．③当a ∈R 且a ≠0时，a i 才是纯虚数，∴③是假命题．
8.已知M ＝{1，2，m 2－3m －1＋(m 2
－5m －6)i}，N ＝{－1，3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 地值为( )
A ．－1或6
B ．－1或4
C ．－1
D ．4 解析：选C.由M ∩N ＝{3}，
知m 2－3m －1＋(m 2
－5m －6)i ＝3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 9.已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 地值为________． 解析：由z 1＞z 2，
得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩
⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a ＜16. 解得a ＝0.
答案：0
10.已知关于t 地一元二次方程t 2
＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R)，若方程有实数根，求x ，y 满足地关系式．
解：设实数根为a ，代入方程得(a 2＋2a ＋2xy )＋(a ＋x －y )i ＝0.
由复数相等地充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，①a ＋x －y ＝0，② 由②得a ＝y －x ，③
把③代入①，得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
整理，得(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
故所求地关系式为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
11.(创新题)已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩N M，M∩N≠∅，求整数a、b.
解：依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①得a＝－3，b＝±2，
经检验，a＝－3，b＝－2不合题意，舍去．
∴a＝－3，b＝2.
由②得a＝±3，b＝－2.
又a＝－3，b＝－2不合题意．
∴a＝3，b＝－2.
③中，a，b无整数解不符合题意．
综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.。