2012年广州市一模理科数学试题及答案(word版)

试卷类型：A

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）

参考公式：锥体的体积公式Sh V 3

1

=

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 方差()()()

2222

121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12n

x x x x n

+++= . 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为

A ．2-

B ．1-

C ．0

D ．2

2．已知全集U =R ，函数

y =

A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合

B ，则集合()

U A B = ð

A ．()2,1--

B ．(]2,1--

C ．(),2-∞-

D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛

⎫

=+

⎪⎝⎭

()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12

D ．24

4．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：2

2

2

x y r +=内一点，直线l 的方程为2

0ax by r ++=，那么直

线l 与圆O 的位置关系是

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．不确定

5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，

则⨯a b 的值为

A ．8-

B ．6-

C ．8

D ．6

7．在△ABC 中，60ABC ∠=

，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的

概率为 A ．

16 B ．13 C ．12 D ．23

8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的

坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为

A ．252

B ．216

C ．72

D ．42 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分

（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．

10．已知()2

1

1d 4kx x +⎰

2≤≤，则实数k 的取值范围为 ． 11．已知幂函数(

)

22

6

57m y m m x

-=-+在区间()0,+∞上单调递增，

则实数m 的值为 ．

12．已知集合{}

1A x x =≤≤2，{}

1B x x a =-≤，若A B A =I ，

则实数a 的取值范围为 ．

13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小

石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，

被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，

第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点， 3OP =cm ，弦CD 过点P ，且1

3

CP CD =，则CD 的长为 cm ．

15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的

参数方程分别为l ：1,

1x s y s =+⎧⎨

=-⎩（s 为参数）和C ：2

2,x t y t

=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()tan 34f x x π⎛

⎫=+

⎪⎝⎭

． （1）求9f π⎛⎫

⎪⎝⎭的值；（2）设3,2απ⎛⎫

∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的值．

5 12 1 图2 图3

图1 俯视图 正(主)视图

侧(左)视图

如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中

的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．

已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．

（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；

（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学

成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．

18．（本小题满分14分）

如图5所示，在三棱锥ABC P -

中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，

1AD =，3CD =

，PD =．

（1）证明△PBC 为直角三角形；

（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值． 19．（本小题满分14分）

等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()

25

2123n n n b a n n +=

++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆2

2

14

y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，

的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；

（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；

（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu r

g ≤15，求22

12S S -的取值范围．

图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5

P

A

C

D