综合与实践硬币滚动中的数学
新华东师大版九年级数学下册《27章 圆 综合与实践 硬币滚动中的数学》教案_3
小硬币、大学问——硬币的滚动问题教学目标：1、探究硬币在不同的轨道上滚动时的轨迹和距离2、巩固《圆》的知识，感受动态几何的特点，使数学知识向生活和实践延伸3、用硬币作为工具，进行实验、观察、画图、猜想，确定圆心的运动轨迹，综合利用直线与圆相切、圆与圆外切、弧长公式等圆的相关性质计算出硬币的运动距离教学重点：勤动手、勤动脑、互助合作提高解决问题的能力教学难点：探索硬币在两折线交汇处的运动轨迹及在不同的轨道上运动的轨迹教学过程：一、示标导学(1)学生用课前准备好的一枚硬币沿着直线滚动一圈，观察它所滚动过的的轨迹和距离．(2)将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一个，而另一个则沿着其边缘滚动一周，观察它所滚动过的轨迹和距离思考①一枚硬币在平面上滚动一圈，那么它滚动轨迹是什么，它的距离是多少?②研究滚动的硬币经过的距离时，怎样观察硬币最方便?(观察圆心的运动路径，在进行后面的研究时最好在硬币上作记号) ③将两枚同样大小的硬币换成大小不一样的呢?点评动手操作旨在引起学生对本课题的兴趣和思考．二、自主学习展示交流探索新知，合作交流师:通过上述的活动，学生们知道硬币在直线上滚动一圈的距离刚好等于它的周长．自主探究1了解硬币发现问题问题1测量你手中一元硬币的直径，直径为厘米。
问题2将1元硬币沿直线，作无滑动滚动一圈，则该硬币滚动的距离为厘米。
问题3将两枚1元硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘无滑动滚动一周，这时滚动的硬币滚动了厘米。
自主探究2：硬币在直线上滚动问题1：如图，将一枚半径为r的硬币在直线上滚动一圈，则这枚硬币滚动的距离为 .圆滚动时，圆心经过的路径的长度等于圆滚动过的长度.问题2：如图，若线段AB=4πr ,则这枚半径为r的硬币从点A无滑动地滚动到点B需转圈.问题，将总长为4πr 的线段AB在中点C处折成90°，这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转圈。
三、精讲点拨硬币在多边形上滚动问题：将等边三角形改为正方形，则这枚硬币沿正方形的外侧滚动一周需转圈.四、当堂检测将4枚半径为1cm的硬币放在桌上，固定其中三枚，而另一枚则沿着它们的边缘从⊙O滚动到⊙O′，这时硬币滚动的路程为，转了圈.五、课堂小结围绕下列问题，尝试自我总结1、测量硬币直径你用的什么方法？2、硬币沿直线滚动说明了什么？3、硬币沿折线滚动需要注意什么？4、沿多边形外缘滚动你发现什么规律？5、沿圆形外缘滚动你又有什么发现？6、关于硬币滚动、你想提醒大家什么？。
综合与实践 硬币滚动中的数学教案设计
【课堂小结】
交流收获.
培养学生及时总结，知识内化。
【作业】
将一枚一元硬币沿着周长为 cm的任意五边形外缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了几圈？
继续探索，硬币沿着折线滚动的情形
为下一节课的学习奠定基础.
思考直线轨道上滚动的模型.
由特殊到一般，注重知识的形成过程，发展学生推理的能力.
【小组探究活动】
将一枚硬币固定，另一枚相同硬币沿着固定硬币外缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了几圈？
总结提升:一个圆滚动前进，其滚动的圈数受轨道形状影响，由圆心运动的路径决定.
活动：
动手实践，在练习纸上滚动并画图，小组合作探究.
教学设计
课题: 《硬币滚动中的数学》
一、教学目标：
1.知识目标：①硬币在不同轨道上滚动时圆心移动的路径长算法.
②硬币在不同轨道上滚动的圈数.
2.能力目标：①经历实践、探索活动的过程，提升学生的数学思维水平.
②提升学生解决问题的能力.
3.情感目标：①发展学生主动探索，追求科学的精神.
②引导学生建立合作共进的人际环境.
培养学生模型思想
【应用】
如图，将半径为的圆放在数轴上原点处，与数轴相切，将该圆沿数轴向右滚动一周后停止，这时它和数轴接触的点就是表示圆周率 的点.
学以致用
发展应用意识
【实践】
经观察某变速箱中太阳齿轮和行星齿轮的齿数分别为24和12，当行星齿轮绕着太阳齿轮转一周时，它将自转几圈？
套用讲过的模型解决问题
发展学生探究问题的能力.
【一般情况】
一个半径为 的圆不动，另一个半径为 的圆沿着固定圆的外缘滚动，当滚动的圆回到初始位置时，它自转了圈.
硬币中的数学市公开课金奖市赛课一等奖课件
第17页
O
BC
A
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思考：将轨道改为下列情形，半径为r圆O沿着轨 道(6个均半径为r圆形相拼而成图形)滚动，圆心 所通过路线是如何？ 路线长度是多少？
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A
B
C
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R
P
Q
A
B
S C
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完毕同时导学p46第15题
C
o
A
B
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W G
C
F
O
A
B
P V
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问题4：将长为2πr直线折成一个五边形轨道，半 径为r圆O沿着轨道滚动，圆O滚动了几圈？ 圆心所通过路线是如何？ 路线长度是多少？
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思考：将轨道改为下列情形，半径为r圆O沿着轨 道(7个均半径为r圆形连贯而成图形)滚动，圆心 所通过路线是如何？ 路线长度是多少？
A
B
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A B
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问题3：将长为2πr直线折成如图一个夹角为α （∠ABC）轨道，半径为r圆O沿着轨道ABC滚动， 圆O滚动了几圈？ 圆心所通过路线是如何？ 路线长度是多少？
C
A
B
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UC
T
O
L
A
KB
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问题3：将长为2πr直线折成如图一个夹角为α （∠ABC）轨道，半径为r圆O沿着轨道ABC滚动， 圆O滚动了几圈？ 圆心所通过路线是如何？ 路线长度是多少？
硬币滚动中
数学
C A
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问题1：半径为r圆沿着直线滚动一圈，它 所滚动距离是多少？ 圆心所通过路线是如何？ 路线长度是多少？
“滚动的硬币”实验方案
“滚动的硬币”实验方案作者：王磊来源：《初中生世界·九年级》2014年第10期【实验课题】滚动的硬币.【实验背景】通过本次实验活动，帮助大家系统地理解《圆》这章的知识，感受生活问题数学化的过程.学会用系统思维思考动态几何的特点.经历对硬币滚动的轨迹和硬币移动的距离规律的研究，发展动手操作能力，提高数学思维水平与解决问题的能力.【实验目的】探究硬币滚动过程中的规律.【实验难点】探索硬币在两折线交汇处的运动轨迹及在不同轨道上运动的轨迹.【实验准备】一元硬币（半径为r，以下相同）若干，实验活动单，常用数学作图工具.【实验过程】活动一：熟悉硬币的滚动规律1. 将一枚硬币沿着直线l滚动一周，观察它滚动时圆心的运动的轨迹和移动的距离.思考：（1）硬币滚动时圆心的运动的轨迹是什么？硬币移动了多长路程？如果将这条直线变为线段，那么这条线段至少需要多长？_______________________________（2）研究硬币移动的路程时，有怎样的观测技巧？_______________________________【活动说明】从最简单的规律开始研究，为之后的实验活动打下基础.要弄清硬币滚动时圆心运动的轨迹和自身的移动路程之间的关系.活动二：探究简单的硬币滚动规律1. 围绕一条折线滚动如图1，一枚硬币（设为☉O）在折线AB-BC上滚动，观察它滚动时圆心运动的轨迹和圆心经过的路径的长度.【思考】（1）圆与AB、BC是什么关系？_______________________________（2）☉O的圆心移动的路程等于线段AB与线段BC的长度之和吗？_______________________________（3）若∠O1BO2=n°，则该角度会对硬币圆心移动的路程有什么影响？_______________________________【活动说明】把直线改为折线，逐步增加探究的深度，通过观察、思考、探究、交流和总结的过程，锻炼自主学习和语言表达能力，为下一环节的学习做铺垫.2. 围绕一个三角形滚动如图2，若硬币围绕一个三角形滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________3. 围绕一个多边形滚动如图3，若硬币围绕一个多边形（设周长为C）滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________【活动说明】由折线改为多边形，从而使情况由简单到复杂，由特殊到一般，遵循了人的认知规律.4. 将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一个，而另一个则沿着其边缘滚动一周，观察它滚动时圆心运动的轨迹和路径长度，你有何发现？_______________________________【活动说明】轨道改变为圆形时，也可以看成是当多边形的边数n趋近于无穷大时的图形，如下图5所示.活动三：拓展延伸，开阔视野问题：☉O围绕的轨道改为下列情形，你能发现其中的数学奥秘吗？（1）若半径为r的☉O沿着半径为2r的☉A滚动一周（如图6所示），这时圆心运动的路径长度是多少？_______________________________（2）若半径为r的☉O沿着7个半径均为r的圆连贯而成图形的边缘滚动一周，这时圆心沿着怎样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________（3）若半径为r的☉O沿着由6 个半径均为r的圆拼成图形的边缘滚动一周，这时，圆心沿着什么样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________【活动说明】“活动三”主要探索硬币在不同轨道中滚动的情况，是对“活动一”和“活动二”的总结和提高.运用前面的探究结论，结合等边三角形的知识，“活动三”的问题可迎刃而解.通过三个难度逐步加大的实验，进一步锻炼了同学们的动手能力和思维能力，加强了小组成员间的合作意识.（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）。
硬币滚动中的数学
10 πr 8 πr 18 πr + = = 6 π． 3 3 3 硬币运动的路程均为几段弧的长度之
和． 解决问题的关键在于确定弧所在圆的圆心角的度数 及哪几段弧 ． 点评 学生通过做实验， 画图， 观察发现硬币滚动
的过程中始终要与轨道相切， 所以当硬币要由一个圆形 到另一个圆形时， 会与这两个圆形轨道同时外切 ． 因此 就能自己发现这三个圆形圆心的连线是等边三角形， 而 得到 ∠BCD = 60 ° ， 所以 ∠ OAB = 120 ° ， 即硬币在两侧的 弧所对的圆心角是 120 ° ， 在中间所经过弧所对的圆心角 都是 60 °． （ 3 ） 由 6 个半径均为 r 的圆形相拼而成的图形
（ 180 ° － ∠ BCD） πR + CD 180 ° + （ 180 ° － ∠CDE） πR +… 180 ° α1 π R α2 π R α3 π R + BC + + CD + +… 180 ° 180 ° 180 ° 360 ° πR 180 °
)
生4 ： 多了 DE， 还要加DE 的长度 ． 生5 ： 运动距离为两部分的和， 即线段的长度加弧长DE． 老师请画图的学生说明原因 ． 生6 ： ⊙ O 在线段 AC 和 BC 上滚动时， 都和直线 AC OA 始终和直线垂直， 和 BC 相切， 在运动过程中， 所以当 圆心 O 从 D 到 E 时， 多走了一段 DE， 圆心 O 在线段 AC 上移动的距离等于 AC 的长度， 在线段 BC 运动的距离等 点评
硬币运动的轨迹就是一条与运动轨道平行的线段 ． 滚动 的距离实际是圆心 O 移动的距离 、 线段的长度 ． （ 2 ） 由两条直线段组成， 其夹角为 α． 师： 当圆沿着直线 AC 和 BC 滚动时， 圆与直线是什 么位置关系？ 生： 仍然相切， 此时过切点的半径与切线垂直 ． 师： （ 1 ） 这时⊙O 滚动的距离还是等于折线段 AB 的 长度吗？ （ 2 ） 角度对滚动的距离有什么影响？ 老师示意小组合作， 动手实验 ．
华东师大九年级下第27章综合实践硬币滚动中的数学教学设计
二、学情分析
九年级下学期的学生已经具备了一定的数学基础和思维能力，对几何图形有一定的认识和理解。在此基础上，他们对综合实践活动有较高的兴趣和热情，希望通过实践活动解决实际问题。然而，学生在解决实际问题时，可能仍存在以下困难：一是将理论知识与实际问题相结合的能力较弱；二是小组合作中，沟通与协作能力有待提高；三是面对复杂问题时，缺乏独立思考和解决问题的能力。因此，在本章节的教学过程中，教师应关注学生的这些特点，有针对性地进行教学设计和引导，帮助他们克服困难，提高数学综合素养。同时，注重激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极参与实践活动，培养他们的探究精神和创新意识。
华东师大九年级Biblioteka 第27章综合实践硬币滚动中的数学教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握滚动的基本概念，通过硬币滚动的实践活动，深化对圆周率π的认识，以及圆的周长和直径的关系。
2.学会运用数学公式进行实际问题的计算，例如，通过测量硬币滚动一定距离的数据，计算硬币的周长，并进一步求解π的近似值。
2.引导学生运用数学方法对硬币滚动中的数学问题进行定量和定性分析，学习如何收集数据、处理数据，并从中寻找规律。
3.通过小组合作的方式，培养学生团队协作的能力，学会倾听他人意见，表达个人观点，共同完成学习任务。
4.教学过程中，教师应关注学生的个别差异，因材施教，引导他们通过自主学习、合作学习、探究学习等多样化学习方式，提高数学思维能力。
2.以任务驱动法为主线，设计具有挑战性的学习任务，让学生在完成任务的过程中，自主探究、发现、解决问题。
3.运用启发式教学法，引导学生通过观察、实验、讨论等途径，主动探索硬币滚动中的数学规律。
成霞霞课题1
课题：硬币滚动中的数学 (共4课时)【活动目标】：《硬币滚动中的数学》是华东师大版九年级数学（上册）第28章《圆》的章后课题学习。
探索硬币在不同的轨道上运动的轨迹和距离，这个问题很有趣，与圆的知识紧密联系，又有助于激发学生的学习兴趣，是本章知识的综合应用，通过学习学生应用数学的能力将会进一步的提高。
【课前小组准备】：1、直尺，计算器；2、一元硬币1枚，半径为3㎝和5㎝的圆形纸片；3、上网搜索一元硬币的直径。
【探究过程】：课时1：硬币在直线上滚动课堂探究：1、计算一元硬币的周长：2、在纸上画一条直线m ，如下图所示，在一元硬币边缘的某个位置涂上彩色记号，将这枚硬币在直线m 上滚动一圈，测得圆心经过的路径长是 ㎝.3、计算半径为将半径为3㎝的圆形纸片的周长： ㎝将3㎝的圆形纸片在直线上滚动一圈，测得圆心经过的路径长为 ㎝。
4、将半径为5㎝的圆形纸片进行2、3的操作。
5、思考：①在滚动的过程中，圆和直线的位置关系是什么？答案：相切②如何才能知道硬币刚好滚动了一圈？③研究硬币滚动的轨迹时，如何观察最方便？答案：轨迹是与直线平行的一段线段。
6、小组讨论：你们发现了什么规律？结论： 硬币在直线上滚动一圈的距离刚好等于它的周长。
圆滚动一圈，圆心经过的路径长等于圆的周长。
⊙O 滚动的距离等于圆心O 移动的距离。
思考：硬币在直线上滚动时，硬币滚动的圈数、圆的周长、圆心经过的路径长之间有何联系？我们将一元硬币的半径记为r ，① 将一枚半径为r 的硬币在直线上滚动1圈，这枚硬币滚动的距离是 2πr ， ② 将一枚半径为r 的硬币在直线上滚动2圈，这枚硬币滚动的距离是 4πr ， ③ 将一枚半径为r 的硬币在直线上滚动3圈，这枚硬币滚动的距离是 6πr ， 那么，硬币滚动圈数、圆的周长、圆心经过的路径长之间的关系是：硬币滚动的圈数=圆经过的路径长 = 圆心经过的路径长圆周长 圆周长m课堂探究：问题1、如图，将总长为4πr的线段AB在中点C处折成90°，这时，半径为r的硬币从点A到点B需转几圈？答案：AC+BC + 180－902πr 360问题2、如图，将总长为4πr的线段AB在中点C处折成60°，这时，半径为r的硬币从点A到点B需转几圈？答案：AC+BC + 180－602πr 360问题3、若AB长为a，点C为AB上任一点，如图所示，这时，半径为r的硬币从点A到点B需转几圈？答案：AC+BC + 180－∠12πr 360问题1：半径为r 的硬币沿等边△ABC 的外侧滚动一周需转 圈？答案：4圈问题2：将等边三角形改成正方形，则这枚硬币沿正方形的外侧滚动一周需转 圈？ 答案：5圈问题3：将等边三角形改成任意三角形，且该三角形的周长为a ，则这枚硬币沿三角形的外侧滚动一周需转 圈？答案：a ÷2πr+1问题4：将任意三角形改成任意四边形，且该四边形的周长为a侧滚动一周需转 圈？答案：a ÷2πr+1B BC B C C D问题5：如果是任意一个周长为a 的多边形，硬币需转 圈？答案：a ÷2πr+1总结：①一个周长为c 的圆绕周长为a 的凸多边形或圆形无滑动的滚动一圈回到出发点，因为每一次旋转的角度之和恰好等于360°,所以滚动的圆转动了n=（a ÷c+1）圈②一个周长为c 的圆绕凸多边形或圆形无滑动的滚动，滚动的路径长度之和用a 表示,所旋转的角度之和用m 来表示，则滚动圆转动了n=（a ÷c+m ÷360°）圈C E课时4：圆在曲线上滚动问题1：将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，另一枚沿着其边缘滚动一周，这时，滚动的硬币滚动了 圈？圆A 的运动轨迹是什么？此时，两枚硬币是怎样的位置关系？答案：（1）滚动的距离是 2π（r+r ）= 4πr 当硬币在曲线上滚动时，硬币转动的圈数=圆心经过的路径长÷圆周长=4πr ÷2πr =2（2）⊙A 的运动轨迹是以点O 为圆心，2r 为半径的圆（3）外切问题2：将一枚半径为r 的硬币沿着一个半径为2r 的圆形纸片的边缘滚动一周，这时，滚动的硬币滚动了 圈？画出硬币运动的轨迹。
综合与实践硬币滚动中的数学-华东师大版九年级数学下册教案
综合与实践硬币滚动中的数学-华东师大版九年级数学下册教案一、教学目标1.了解硬币滚动的基本规律2.理解角动量守恒定理，学习如何根据定理解决问题3.思维灵活，有创造性，能够运用所学的数学知识解决实际问题。
二、教学内容1.硬币滚动的基本规律2.角动量守恒定理3.实战演练三、教学重点1.规律的了解和理解2.角动量守恒定理的原理和应用四、教学难点1.角动量守恒定理的原理和应用2.同学们需要能够掌握一定数学思维并运用灵活。
五、教学过程(1)导入环节通过一则小视频来完成本节课的导入，视频中展示了两个硬币在台阶上滚动，其中一个硬币滚动的距离明显比另一个长，询问同学们为什么呢？(2) 活动1-硬币滚动的探究1.分组进行学习：同学们按照自己的小组进行研究。
2.观察探究：观察硬币在台阶上滚动时的规律，并进行总结。
3.交流讨论：小组之间进行分享和交流。
(3) 活动2-角动量守恒定理的应用1.角动量守恒定理的介绍和讲解2.实战演练：同学们根据所学知识，自己设计实验并进行演练。
(4) 活动3-总结延伸1.学习总结：总结观察到的规律和角动量守恒定理，并进行总结。
2.延伸拓展：探究极限情况和不同形状的物体在同等条件下的滚动规律。
(5) 板书设计勾勒出关键点，强化各个重点概念，让同学们学以致用。
六、教学评价1.观察同学们的小组交流、分享合作情况。
2.通过实战演练考核同学们能否应用所学角动量守恒定理解决问题。
3.掌握角动量守恒定理的本质以及规律的掌握与推广的能力。
七、思考和总结1.通过描述硬币的滚动规律和相关物理学概念，让学生对物理学的基本知识有更深刻的认识。
2.通过实验演示、讨论和总结，让学生成为能够独立思考、观察、实验和总结的全面人才。
八、延伸阅读教师可在本节课之后为同学们推荐一些有关角动量守恒定理相关的科普故事、书籍和视频。
同时也应该让同学们意识到在生活中学习不仅仅是为了考试，还是为了让生活变得更好，能够学以致用。
硬币的滚动轨迹研究
硬币的滚动轨迹研究一、课程目标知识目标：1. 让学生理解硬币滚动的基本原理，掌握影响硬币滚动轨迹的因素；2. 帮助学生掌握运用数学知识描述硬币滚动轨迹的方法；3. 引导学生了解圆周运动的基本概念及其在硬币滚动中的应用。
技能目标：1. 培养学生运用观察、实验、数据分析等方法研究硬币滚动轨迹的能力；2. 提高学生运用几何图形和数学公式解决问题的技能；3. 培养学生团队协作、沟通交流的能力，能够共同完成硬币滚动轨迹的研究任务。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对科学研究的兴趣，激发学生探索未知世界的热情；2. 培养学生严谨求实的科学态度，敢于面对困难和挑战；3. 引导学生认识到数学与实际生活的紧密联系，增强学生运用数学知识解决实际问题的信心。
课程性质分析：本课程属于自然科学与数学相结合的探究性学习，注重实验观察与理论分析相结合，旨在培养学生的实践操作能力和逻辑思维能力。
学生特点分析：六年级学生对科学实验有较高的兴趣，具备一定的观察、分析和总结能力。
在此基础上，学生能够通过本课程的学习，进一步提高探究问题和解决问题的能力。
教学要求：1. 教师应注重引导学生从实践中发现问题，激发学生的探究欲望；2. 教师要关注学生在探究过程中的思维发展，适时给予指导；3. 教师要关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与，培养团队协作精神。
二、教学内容1. 硬币滚动的基本原理：引导学生理解硬币在滚动过程中的力学原理，包括重力、摩擦力等；教材章节：《力学》第五章“力的作用与运动”2. 影响硬币滚动轨迹的因素：探讨硬币大小、重量、表面材质等对滚动轨迹的影响；教材章节：《力学》第五章“摩擦力”、《几何》第二章“圆的性质”3. 描述硬币滚动轨迹的方法：教授学生运用几何图形、数学公式描述硬币滚动轨迹；教材章节：《几何》第二章“圆的方程”、“圆的切线方程”4. 圆周运动在硬币滚动中的应用：分析硬币滚动过程中圆周运动的特点及其对滚动轨迹的影响；教材章节：《力学》第四章“匀速圆周运动”5. 实践操作与数据分析：组织学生进行硬币滚动实验，收集数据，分析并总结规律；教材章节：《实验指导》第三章“力学实验”教学进度安排：第一课时：硬币滚动的基本原理及影响滚动轨迹的因素；第二课时：描述硬币滚动轨迹的方法；第三课时：圆周运动在硬币滚动中的应用；第四课时：实践操作与数据分析。
硬币的滚动问题 拓展课
边数n趋向于无穷大时
课堂小结
本节课你学到 了哪些知识？有什 么收获？
课后思考
一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形轨道上滚动一 个半径为10cm的圆盘，如图所示：AB与CD是水平的， BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm， BC=40cm，圆盘从A点滚动到D点，圆心所经过的路线 的长度为多少？ C 40cm D
r
r
第9题图
实践操作
？
？
解决问题
圆滚动时，圆滚动过的长度等于圆心经过 的路径长度. 结论：
O
r r
当硬币在曲线上滚动时，
硬币转动的圈数
O1
圆心经过的路径长 = 圆周长
2 2r 2 硬币转动的圈数= 2 r
学以致用
将一枚半径为r的硬币沿着另一枚半 径为2r的硬币的边缘滚动一周，这时滚动 3 圈 的硬币滚动了
a
圈.
2 r
1
1 5
2
6 4 8意一个周长为a多边 形呢，硬币需转几圈？
A1 r An A5 A4
a
2 r
1
结论：当硬币在多边形的外侧
A2 上滚动时，硬币转动的圈数 A3 =
多边形的周长 1 圆周长
多边形的周长为2 r
O
r
O
r
O
r
O
r
O
r
O
……
r r
O r
2r
O1
探究三 硬币在两条线段和其围成的夹 角上滚动 问题：如图，将总长为 4 r的线段AB在中点C处折成90°，
这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转
rO A
O1 90°
圈；
2 r
C
滚动
硬币滚动中的数学1、如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（）2、如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）3、一位小朋友在一轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，其中∠ABC=120°，AB=60cm，BC=40cm，该小朋友将圆盘从A点滚动到C点，则其圆心所经过的路线的长度为_________cm．【变式训练】如图，将半径为2，圆心角为60°扇形纸片AOB，在直线l滚动至扇形A’O’B’处，则点O 经过路线总长为。
4、如图，等边△ABC中AB=3,BC=6，AC=4，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，△ABC部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（）5、如图，⊙O沿凸多边形A1A2A3…A n﹣1A n的外侧（圆与边相切）作无滑动的滚动．假设⊙O 的周长是凸多边形A1A2A3…A n﹣1A n的周长的一半，那么当⊙O回到出发点时，它自身滚动的圈数为（）lAOOAO'A'BBB'11、如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地旋转，当点C离开原来的位置第一次落在直线l上是，点C所经过的路径线与直线l围成图形的面积为（结果用含有π的式子表示）如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为________________;2圆中的计算3。
综合与实践硬币滚动中的数学
学习目标：
1、经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程 中加深对圆的相关知识的理解认识。
2、经历实际操作、小组合作交流，培养学生的合作 意识，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。
3、通过验证过程中的数形结合，体会数形结合的思 想以及数学知识之间的内在联系。
4、通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数 学学习的信心。
问题2:半径为r的圆的滚动轨道为：两条总长 度为2πr的直线段组成，其夹角为α
r
C
A
α
B
思考：1、在整个滚动的过程中，直线和圆的 位置关系是否有发生改变？ 2、角度对滚动的轨迹与距离是否有影响？ 3、滚动的距离还是线段的长度AC+BC吗？
4、请试着画出滚动的轨迹，求出滚动的距离。
问题2:半径为r的圆的滚动轨道为：两条总长 度为2πr的直线段组成，其夹角为α
5、如图⑤，多边形的周长为l，半径为r的⊙O从与某 边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方 向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，在 这个过程中，圆心O经过的路径长为 1+2πr
6、将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚， 而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时硬币自身滚动了 （ C） A．1圈 B．1.5圈 C．2圈 D．2.5圈
r
2πr
轨道上滚动， 研究其滚动的 轨迹和距离.
思考：1、在硬币滚动的 过程中，圆与直线有何位 置关系？
2、画出圆心的滚动轨迹，
并求出其距离，你发现了
什么？
问题1：将一个半径为r的硬币在一段 总长度为2πr 的直线段上滚动。
A 2πr
B
1、滚动的轨迹？ 与滚动轨道平行的线段 2、滚动的距离？ 2πr 3、硬币自转了几圈？ 1圈
科学会跳动的硬币教案及反思
科学会跳动的硬币教案及反思科学会跳动的硬币教案及反思教案目标:1. 通过实验观察和探究，让学生了解硬币在跳动时的物理原理。
2. 培养学生的观察力、实验设计和数据分析能力。
3. 培养学生的团队合作和沟通能力。
教学准备:1. 硬币（足够数量供每个小组使用）2. 直尺和量角器3. 纸张和铅笔4. 计时器或秒表5. 实验记录表格教学过程:引入:1. 向学生介绍科学实验的重要性和目的，提出问题：“你们有没有想过为什么硬币会在跳动时能够保持平衡？”2. 引导学生思考并分享他们的猜想和理由。
实验设计:1. 将学生分成小组，每组3-4人。
2. 向学生解释实验的步骤和要求，并提供实验记录表格。
3. 每个小组将需要一枚硬币、直尺、量角器和纸张。
4. 学生需要设计一个实验来观察和测量硬币在跳动时的物理参数，如跳动高度、5. 学生可以自由选择实验方法和测量工具，但需要记录实验步骤和结果。
实验进行:1. 学生按照实验设计进行实验，并记录实验步骤和结果。
2. 学生可以通过多次实验来获得更准确的数据。
3. 教师可以在需要时提供指导和帮助，鼓励学生团队合作和有效沟通。
数据分析:1. 学生将收集到的数据整理并绘制成图表或图形。
2. 学生可以通过数据分析来寻找规律和结论。
3. 学生应该能够回答问题：“硬币的跳动高度和跳动时间是否有关系？为什么？”讨论和反思:1. 学生将在小组内分享他们的实验结果和结论。
2. 教师引导学生进行讨论和思考，帮助他们理解硬币跳动的物理原理。
3. 学生可以提出问题和解释他们的观点，鼓励他们展示批判性思维和科学推理能力。
反思:1. 教师和学生一起回顾整个实验过程和结果。
2. 学生可以分享他们的实验体验和发现，以及对实验设计和数据分析的改进意见。
3. 教师提供反馈和建议，鼓励学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。
扩展活动:1. 学生可以设计更复杂的实验，探究其他因素对硬币跳动的影响，如硬币的质2. 学生可以进行文献调研，了解更多与硬币跳动相关的科学知识，并展示他们的研究成果。
圆在滚动中的数学
硬币滚动中的数学教学目标:让学生了解硬币在滚动过程中形成的规律重点、难点：规律的探讨过程教学准备：硬币两个，圆形纸片一个教学过程：1.将一枚硬币在直线上滚动2.将一枚硬币在另一枚硬币边缘滚动一圈得出规律:转过的圈数=圆心经过的路径/圆周长练:将一枚半径为R的硬币在一段总长度为2πr的下列轨道上滚动:1. 一条直线段2. 由两条直线段组成,其夹角为120度3. 一个三角形4. 正方形,多边形5. 半径为2 r的圆,2个半径为r的相切圆,多个半径为r的相切圆(半径在同一直线上),特殊图形6.在探讨中，用圆O来代替硬币，硬币半径为r一、硬币在一个半径为r的圆形轨道中滚动时，硬币圆心的轨迹如图1。
圆心所经过的路程的半径为：r+r=2r，则圆心所经过的路程为4πr。
由此可见当硬币在一个半径与硬币相等的圆形轨道上滚动时，设硬币圆心所经过的距离即为S时，则S=4πr但是当硬币在一个由两个半径为r的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，硬币圆心所经过的距离为会有什么变化呢？图1二、硬币在一个由两个半径为r、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，硬币圆心的轨迹如图2。
圆心O所经过的距离为：∵AO1=AO2=O1O2=O1B=O2B=2r∴∴∴ =2×2πr ·∴ =2 ·2πr － 2 · 2πr · =πr图2由此可见，当硬币在一个由两个半径为r、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时，设硬币圆心的运动距离为S时，即S=πr三、硬币在一个由n(n≧1)个半径为r、圆心在同一直线上的圆形连贯而成的图形的轨道上滚时的探究。
图3从实验二可以发现，硬币圆心运动的距离是两个半径为2r、圆心分别为O1、O2的圆的周长减去这两个圆相交后产生的两个劣弧的长。
现有一个n个半径为r、圆心在同一直线的圆形连贯而成的图形的轨道（图3），设n个圆分别为O1、O2、O3......On则半径为2r、圆心分别为O1、O2、O3......On的圆的总周长为2nπr∵∴须减去的劣弧总长为2(n-1)· =2(n-1) ·2πr · =πr(n-1)所以设硬币在沿着一个n个半径为r、圆心在同一直线的圆形连贯而成的图形的轨道滚动时，硬币圆心运动的距离为S，即S＝πr()1。
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圆心。
变式 问题2：如图3，线段AB=4πr ，则这枚半径为r的硬
币从点A滚动到点B需滚动几圈？ 2圈
通过问题1和问题2, 当硬币在直线段上滚动时，
①圆心经过的路径的长度与圆滚动过的长度有什么关系？
②滚动的圈数、滚动的路径与圆的周长三者之间有什么规律?
圆经过的路径长 圆心经过的路径长
硬币滚动的圈数=
圆周长
圆周长
问题3：若将图3的线段AB从中点C处折成一个直角形状，
如图4（1）.这时两折线段的总长仍为4πr，这枚半径为r的
硬币从点A滚动到点B是否还是滚动2圈？
折线
4r
120 度
4r 2r 120 (4r 2r 120) 2r
360
360
③ α度
折线
4r
180-α
度
44rr22rr1(80 ) [4r
360
2r
180 ] 2r 360
④ α度
折线
a
180-α
度
a 2r21r8(0
小李说对了吗？
r
先猜一猜，再动手做一做。动手实验时，请
N
在硬币⊙M上作好记号.
实验的结果是，⊙M沿着⊙N的边缘滚动，要
图1
滚动二圈.
为什么⊙M沿着⊙N的边缘滚动，会滚动二圈，而不是一
圈呢？这里面隐含着怎样的数学知识呢？这节课我们一起来
学习“硬币滚动中的数学”.
要研究⊙M沿着⊙N的边缘滚动二圈的原因，先研究最简 单的情形，即⊙O在线段AB上滚动的情形图2。
2πr
120度
2πr
所以滚动的圈数为
( 4r
2r
120 360
)
2r
2
1 3
…②
当AC+BC=4πr，但AC≠BC，②还成立吗？为什么？
成立。因为圆心经过的路线总长度没变。
900
1200
x
从上面两个例子中，当圆在折线上的折点处滚动 时，你认为圆心转动的弧的圆心角度数x与折线的夹 角α有什么关系？
(1)猜一猜还是刚好滚动2圈吗？
2πr
(2)算一算滚动了几圈？ 如图4(2)。O r
r 900
O r
(提示：找出圆心经过的路线.) A
4π r 图3
B
圆心经过的路线如图4(2)，
是由两条长为2πr的线段和一条
2πr
圆心角为90度、半径为r的弧组
成，总长度为 4r 2r 90
360
所以滚动的圈数为 (4r 2r 90 ) 2r 2 1
问题1：如图2，将一枚半径为r的硬币在长度为2πr直线 段AB上滚动，滚动的过程中：
①⊙O与直线AB是怎样的位置关系？相切 ②从A到B要滚动几圈? 1圈 ③这枚硬币滚动的距离为多少？ 2πr ④圆心移动了多少距离？ 2πr ⑤圆滚动时，圆心经过的路径的长 度与圆滚动过的长度有什么关系？
圆滚动时，圆心经过的路径的长度 等于圆滚动过的长度.
不变.圆心经过路线的所有弧的和都是圆的周长2πr. ③半径为r的圆沿周长为a任意多边形滚动一周，圆滚动几圈？
将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另 一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( )
A.1圈 B.1.5圈 C.2圈 D.2.5圈
360
)
[a
2r
180 360
]
2r
半径为r的圆，在两条折线和为a且夹角为α
度两条折线上滚动，滚动的圈数是：
[a 2r 180 ] 2r
360 a 180
2r 360
(180-α)度
图5(1)折线总长为4πr,连AB，得等边△ABC,如图7(1).
等边△ABC的周长为6πr，⊙O从点A开始，经过点C、点B最后
回到开始位置，如图7(1).猜想这枚硬币会滚动多少圈？
圆心经过的路线如图7(2)，是由 三条长为2πr的线段和三条圆心
2πr 1200
角为120度、半径为r的弧组成，
圆心经过的总长度为
6r 2r 120 3 6r 2r
360
2πr
2πr
所以滚动的圈数为 ( 6r 2r ) 2r 3 1 4 …③
圆在下列多边形外部滚动一周时：
等边心经过的每条弧 圆心经过的弧线 线所对的圆心角 所对的圆心角之和
等边 三角形
1200
3600
正方形 正n边形
任意 n边形
9？00
3？600
圆的? 周长
8r
2r
10r 10r 2r 5
a
圆的? 周长
2r
a 2r
a 2r 2r
思考：①三角形的周长不变，由等边三角形换成任意三角形， 圆滚动圈数会不会改变？为什么？
不变.圆心经过路线的所有弧的和都是圆的周长2πr.
②四边形的周长不变，由正方形形换成任意四边形，圆滚动圈 数会不会改变？为什么？
硬币滚动中的数学
资中县第一中学 王 烈
将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另 一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( )
A.1圈 B.1.5圈 C.2圈 D.2.5圈
小李说，因⊙M和⊙N的周长都是 2r，所以，
⊙N固定，⊙M沿着⊙N的边缘滚动，⊙M也刚好一圈
就能回到原位.
M
r
360
4
……①
当AC+BC=4πr，但AC≠BC时，①还成立吗？为什么？
成立。因为圆心经过的路线总长度没变。
图4(1)两折线的夹角由90度变为60度，如图5(1).
圆心经过的路线是由两条长为2πr的线段和一条圆心 角为120度、半径为r的弧组成，圆心经过的总长度为
4r 2r 120
360
1800 1800 (n 2) n
36?00
180 0 n 180 0 (n 2)
= 3？600
圆在下列多边形外部滚动一周时：
图形 名称
图形
周 长
圆心经过路线 圆心经过 的所有弧的和 的路径长
圆滚动 圈数
等边 三角形
正方形
任意
n边形
圆的周长
6r
2？r
8？r 8r 2r 4
圆心转动的弧的圆心角度数x与折线的夹角α互补 或x=1800-α
折 线 段 夹 角 ① 90度
折线
折
线 弧对
图形 段 的圆
总 长
心角
圆心经过的 路径总长
滚动的圈数
圆心经过路径总长
圆的周长
4r 90度
4r 2r 90 (4r 2r 90 ) 2r
360
360
② 60度