综合与实践硬币滚动中的数学

2πr
120度
2πr
所以滚动的圈数为
( 4r

2r

120 360
)
2r来自百度文库

2

1 3
…②
当AC+BC=4πr，但AC≠BC，②还成立吗？为什么？
成立。因为圆心经过的路线总长度没变。
900
1200
x
从上面两个例子中，当圆在折线上的折点处滚动 时，你认为圆心转动的弧的圆心角度数x与折线的夹 角α有什么关系？
小李说对了吗？
r
先猜一猜，再动手做一做。动手实验时，请
N
在硬币⊙M上作好记号.
实验的结果是，⊙M沿着⊙N的边缘滚动，要
图1
滚动二圈.
为什么⊙M沿着⊙N的边缘滚动，会滚动二圈，而不是一
圈呢？这里面隐含着怎样的数学知识呢？这节课我们一起来
学习“硬币滚动中的数学”.
要研究⊙M沿着⊙N的边缘滚动二圈的原因，先研究最简 单的情形，即⊙O在线段AB上滚动的情形图2。
不变.圆心经过路线的所有弧的和都是圆的周长2πr. ③半径为r的圆沿周长为a任意多边形滚动一周，圆滚动几圈？
将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另 一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( )
A.1圈 B.1.5圈 C.2圈 D.2.5圈
360
)
[a

2r
180 360
]

2r
半径为r的圆，在两条折线和为a且夹角为α
度两条折线上滚动，滚动的圈数是：
[a 2r 180 ] 2r
360 a 180
2r 360
(180-α)度
图5(1)折线总长为4πr,连AB，得等边△ABC,如图7(1).
等边△ABC的周长为6πr，⊙O从点A开始，经过点C、点B最后
回到开始位置，如图7(1).猜想这枚硬币会滚动多少圈？
圆心经过的路线如图7(2)，是由 三条长为2πr的线段和三条圆心
2πr 1200
角为120度、半径为r的弧组成，
圆心经过的总长度为
6r 2r 120 3 6r 2r
圆的? 周长
8r
2r
10r 10r 2r 5
a
圆的? 周长
2r
a 2r
a 2r 2r
思考：①三角形的周长不变，由等边三角形换成任意三角形， 圆滚动圈数会不会改变？为什么？
不变.圆心经过路线的所有弧的和都是圆的周长2πr.
②四边形的周长不变，由正方形形换成任意四边形，圆滚动圈 数会不会改变？为什么？
学习二次函数时，由抛物线1平移得到抛物线2，研究平 移的方向和距离，可考查的两抛物线的特殊点——顶点。硬 币在平面上滚动，要研究它滚动情况，观察什么点最理想？
圆心。
变式 问题2：如图3，线段AB=4πr ，则这枚半径为r的硬
币从点A滚动到点B需滚动几圈？ 2圈
通过问题1和问题2, 当硬币在直线段上滚动时，
360
4
……①
当AC+BC=4πr，但AC≠BC时，①还成立吗？为什么？
成立。因为圆心经过的路线总长度没变。
图4(1)两折线的夹角由90度变为60度，如图5(1).
圆心经过的路线是由两条长为2πr的线段和一条圆心 角为120度、半径为r的弧组成，圆心经过的总长度为
4r 2r 120
360
360
2πr
2πr
所以滚动的圈数为 ( 6r 2r ) 2r 3 1 4 …③
圆在下列多边形外部滚动一周时：
等边△ 正方形
图形 名称
图形
圆心经过的每条弧 圆心经过的弧线 线所对的圆心角 所对的圆心角之和
等边 三角形
1200
3600
正方形 正n边形
任意 n边形
9？00
3？600
1800 1800 (n 2) n
36?00
180 0 n 180 0 (n 2)
= 3？600
圆在下列多边形外部滚动一周时：
图形 名称
图形
周 长
圆心经过路线 圆心经过 的所有弧的和 的路径长
圆滚动 圈数
等边 三角形
正方形
任意
n边形
圆的周长
6r
2？r
8？r 8r 2r 4
①圆心经过的路径的长度与圆滚动过的长度有什么关系？
②滚动的圈数、滚动的路径与圆的周长三者之间有什么规律?
圆经过的路径长 圆心经过的路径长
硬币滚动的圈数=
圆周长

圆周长
问题3：若将图3的线段AB从中点C处折成一个直角形状，
如图4（1）.这时两折线段的总长仍为4πr，这枚半径为r的
硬币从点A滚动到点B是否还是滚动2圈？
圆心转动的弧的圆心角度数x与折线的夹角α互补 或x=1800-α
折 线 段 夹 角 ① 90度
折线
折
线 弧对
图形 段 的圆
总 长
心角
圆心经过的 路径总长
滚动的圈数
圆心经过路径总长
圆的周长
4r 90度
4r 2r 90 (4r 2r 90 ) 2r
360
360
② 60度
硬币滚动中的数学
资中县第一中学 王 烈
将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另 一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( )
A.1圈 B.1.5圈 C.2圈 D.2.5圈
小李说，因⊙M和⊙N的周长都是 2r，所以，
⊙N固定，⊙M沿着⊙N的边缘滚动，⊙M也刚好一圈
就能回到原位.
M
r
折线
4r
120 度
4r 2r 120 (4r 2r 120) 2r
360
360
③ α度
折线
4r
180-α
度
44rr22rr1(80 ) [4r
360
2r
180 ] 2r 360
④ α度
折线
a
180-α
度
a 2r21r8(0
问题1：如图2，将一枚半径为r的硬币在长度为2πr直线 段AB上滚动，滚动的过程中：
①⊙O与直线AB是怎样的位置关系？相切 ②从A到B要滚动几圈? 1圈 ③这枚硬币滚动的距离为多少？ 2πr ④圆心移动了多少距离？ 2πr ⑤圆滚动时，圆心经过的路径的长 度与圆滚动过的长度有什么关系？
圆滚动时，圆心经过的路径的长度 等于圆滚动过的长度.
(1)猜一猜还是刚好滚动2圈吗？
2πr
(2)算一算滚动了几圈？ 如图4(2)。O r
r 900
O r
(提示：找出圆心经过的路线.) A
4π r 图3
B
圆心经过的路线如图4(2)，
是由两条长为2πr的线段和一条
2πr
圆心角为90度、半径为r的弧组
成，总长度为 4r 2r 90
360
所以滚动的圈数为 (4r 2r 90 ) 2r 2 1