数学：第二讲 数表-从杨辉三角谈起 讲义
课件2：1.3.2 杨辉三角
1．使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其 课标 中的规律． 解读 2．掌握二项式系数的性质及其应用．
3．掌握“赋值法”并会灵活运用.
【问题导思】 观察“杨辉三角”发现规律
①第一行中各数之和为多少？ 第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？ ②观察第 3 行中 2 与第 2 行各数之间什么关系？ 第 4 行中 3 与第 3 行各数之间什么关系？ 第 5 行中的 4、6 与第 4 行各数之间有什么关系？ 由此你能得出怎样的结论？
答：①20,21,22,23,24，第 n 行各数之和为 2n－1. ②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除 1 外的每一个数都 等于它“肩上”两个数的和，设 Crn＋1表示任一不为 1 的数，则它“肩上”两数分 别为 Crn－1，Crn，所以 Crn＋1＝Crn－1＋Crn.
类型1 与杨辉三角有关的问题
例 1.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________． 【思路探究】 观察规律，可先计算出前(n－1)行的数字个数来求解．
【解析】 观察上述数阵，能够发 现，第一行有一个数字是 1，第二行
【答案】 B
3．设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a， (x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝________.
【解析】 由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1，所以 13Cm2m＝7Cm2m＋1， ∴m13！·2·mm！！＝m7！·（·（2mm＋＋11））！！，∴7（2mm＋＋11）＝13，解得 m＝6，
「精品」人教A版高中数学选修2-3课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质-精品课件
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 与杨辉三角有关的问题
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 下列是杨辉三角的一部分.
(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗? (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律?
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)杨辉三角的两条腰都是由数字 1 组成的,其余的数都等于它肩上 的两个数之和.
∴第四项 T4=C63·(2 3 ������)3·(-1)3=-160x.
答案:-160x
12345
5.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求: (1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.
等式组 AAkk++11≥≥AAkk+,2确定 k 的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:T6=������n5·(2x)5,T7=������n6·(2x)6,依题意有������n5·25=������n6·26⇒ n=8.
∴(1+2x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5=������84·(2x)4=1 120x4. 设第 k+1 项系数最大,则有 ������8k ·2������ ≥ ������8k-1·2������-1, ������8k ·2������ ≥ ������8k+1·2������+1, 解得 5≤k≤6.∴k=5 或 k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).
高二数学《二项式定理-杨辉三角》详说课件
1答案 2答案
令a=1，b=－1得
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
……………………
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
思考: 观察二项式系数表，寻求其规律： (a+b)1…………… 1 1
(a+b)2……………1
2 1
(a+b)3…………1 3 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 5 (a+b)6…1 6
除了这个性质外, 该表还蕴藏有什 么性质呢?
思考3
2答案
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考: 0 1 2 n n1 Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2 1.求证：
市场一直在上涨趋势中，其中有一些微小的回调(更高的高点和更高的低点)。5分钟线图上，在之前小幅下跌到该线下方后，价格温和反弹上涨到100线移动均线上方。最后一步的止损位并没有 威胁性，并且价格迅速飙升。市场一直在上涨趋势中，其中有一些微小的回调(更高的高点和更高的低点)。在此轮上涨过程中，不应该有恐惧。当然，价格上涨并且回调到前期高点(见灰线)下 方，但是，在它达到100线移动均线前，它形成一个v形反转。价格在1.2891见顶，自最后的回调低点又上涨了将近100个基点。我在1.272 5价位做多。价格现在是1. 289 1。伴随趋势万事顺利。 然而，随着价格触及1.291 5-1.293 1的关键阻力位(月度高点)，现在是时候思考未来的情况并计划下一次交易了，是时候考虑哲时退出交易了。在交易日以及交易之初，这看起来似乎不可能， 但是,1. 291 5-1. 293 1的月度交易高点近在眼前。这是可能会导致兑现部分利润并在第一次检验时抛售的价位水平。精明的交易者预测到趋势，赚取了165个基点的利润，他们可能在此水平 抛售，或者兑现部分利润，他们知道，如果价格上涨到1.293 1，他们就会买入。这是非常健康的资金管理方式，并且该交易很合理。在市场走得越来越高时，交易者卖出(做空)，他们也会在 此水平卖出。在他们的思想中，这是回调的时刻，可以让其重返盈亏平衡点。千万不要成为这样的交易者!如果价格的确发现了卖方，并且走低，该出现的情况是买入并改建低点支撑位。为了 兑现利润(或退出),我总是需要一个卖出的技术面因素。仅仅因为产生利润就卖出并不是一个好理由。然而,依据在1. 291 5-1. 293 1关键阻力位卖出就是一个卖出的好理由。它应该适一个关 键界限。界限会给我们提供交易的理由。除了1.291 5-1. 293 1区城外,还有没有其他可以卖出的区域?,1. 289 1-1. 293 1仍有40个基点。因为我总是要展望未来，并且我的图表是动态，而非 静态的.所以存在三种退出交易的选择。 选择方案1依据顶部趋势(图11.5A)卖出。当市场趋势走高(或走低)时，它不仅对通过连接更高低点绘制牛市趋势线是重要的，而且对连接图中更高的高点也是很重要的。 依据顶部趋势(图 11.5A)卖出。当市场趋势走高(或走低)时在图中，当最后一次平仓做空仓位时，市场已经把价位推升到了顶部趋势线。该线连接着该交易日的高点。这个价位水平出现在1.289 1。这是低风险 卖出界限吗?是的!依犯顶部趋势线界限卖出时，我的风险是什么?我确实有风险，因为我正在把自己带离自己想要处于的趋势。此时，我的风险是，是否价格会上涨到趋势线上方，并且突破到 月度高点1.293 1上方。如果出现这种情况，我需要在突破时买入。因此，通过在这里卖出，我会放弃40个基点的利润，并且必须在新突破时买入。可以通过其他途径界定风险。我可能依靠 1.289 1区域的趋势线卖出，但是，如果价格上涨到顶部趋势线上方7-10个基点(1. 289 8 -1. 290 1)，我就会买回自己的仓位。如果价格带最上涨到趋势线上方，就会出现额外的空头回补买 盘，这会迅速把价格推升到1.293 1,如果依据1.290。区域买入，我只会把止损放到趋势线下方5-10个基点的1.288 5。逻辑是，如果价格突破这条明显的趋势线，之后突破失败，回调下跌就有 可能自该点开始。因此，在这种选择中，在趋势线上兑现利润时，我所冒的风险为12-20个基点。这是我无法拒绝的选择。我依据界限进行交易，我已经界定了风险，并且我制订了明确的计划。 如果市场回调下跌，我可以在一个更合适的水平上重建多头仓位，或者，如果市场没有回调，并且继续走高，我会返回趋势重新买入。我取得165个基点的利润，所有选择都可以重建多头仓位。 这是抓紧趋势的回报。在逻辑上也完全说得通。对良好的趋势交易来讲.没有恐惧，只有快乐。
数学：第二讲 数表-从杨辉三角谈起 讲义
1 55 55
2
1540
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
5
练一练
-------------------------------------------------------------------------------------------
把自然数按如下规律排成三角形数表： 如 4 是第 3 行的第 3 个数， 那么(1)自然数 60 是第____行的第____个数． (2)94 是第___行的第____个数.
如图，从 1 开始的自然数按某种方式排列起来，请问： (1)第 10 行左起第 5 个数是多少? (2)100 在第几行?100 是这一行左起第几个数? (3)前 10 行的数的和是多少?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L L
[三角形数表]★ ★ 1 9 9 45 ，所 【解析】 （1）第 9 行的最后一个数为： 2 以第 10 行左起第 5 个数为 45+5=50. （2） 根据题意：1 2 3 L 13 91 ，第 13 行的最后 一个数是 91 ，所以 100 在第 14 行，是这一行中的第 100 91 9 个数． （ 3 ） 前 10 行 一 共 1 2 3 L 10 55 个 数 ，
210- 1 = 512 .
(4)考查学生对杨辉三角形特性的认识．
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
1
第三行左起第三个数是 1 1 ； 第四行左起第三个数是 3 1 2 ； 第五行左起第三个数是 6 1 2 3 ； 第六行左起第三个数是 10 1 2 3 4 ； …… 归纳可知，第 101 行左起第三个数是 99 100 1 2 3 L 99 4950 . 2 2 或者是杨辉三角的每一行的第三个数都满足 Cn1 ，所以第 101
高中数学人教A版选修2-3课件：1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质
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D典例透析
IANLI TOUXI
1.杨辉三角 (a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形 式:
上面的二项式系数表称为杨辉三角. 归纳总结从上面的表示形式可以直观地看出:在同一行中,每行 两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
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【做一做1】 如图,满足①第n行首尾两数均为n;②表中的递推关 系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)的第2个数是 .
������2 -������+2 答案: 2
名师点拨求二项式系数的最大最小值时,一定要搞清楚n是奇数 还是偶数.
������-1 2 ������+1 2
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【做一做2-1】 在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系 数相等,则n=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 1 5 = C������ , 解析:由已知C������ 可知n=1+5=6. 答案:A 【做一做2-2】 在(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项是 ( ) A.第n项和第n+1项 B.第n-1项和第n项 C.第n+1项和第n+2项 D.第n+2项和第n+3项
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,
C1n
,
C
2 n
,,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看
成是以r为自变量的函数f (r) ,
其定义域是：0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右
图中的7个孤立点．
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在二项式定理中，令 a 1, b 1 ，则：
11 n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 (1)nCnn
0 (Cn0 Cn2 ) (Cn1 Cn3 )
C
0 n
C2n
C1n
C3n
2n 2
2n1
赋值法
例题
1.C110 C120
C 10 10
2_1_0 __1_;
二项式系数的性质
①对称性
与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n
C
n n
m
得到．
图象的对称轴：r n 2
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练习：
1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
r 8
所以当r 8时，系数绝对值最大的项为
T9
C
8 20
312
28
x12
y8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最
大的项，则有
TTrr
1 1
Tr Tr 2
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质讲义新人教A版
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(a ＋b )n的展开式的二项式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数□01相等． (2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的□02和，即C r n ＋1＝□03C r －1n＋C rn .2．二项式系数的性质(1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数．(2)在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1等，赋值法体现了函数思想f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a n.在解题时要注意审题，恰当赋值．(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.( )(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是第________项． (2)若(a ＋b )n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________.(3)已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________. 答案 (1)6和7 (2)8 (3)1解析 (1)由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．(2)由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式有9项，故n ＝8.(3)展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·a5－r·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，所以a＝2.则(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1.探究1 杨辉三角的有关问题例 1 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S n ，求S 19.[解] 由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.∴S 19＝(C 12＋C 22)＋(C 13＋C 23)＋(C 14＋C 24)＋…＋(C 110＋C 210)＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋10)×92＋C 312＝274. 拓展提升解决与杨辉三角有关的问题的一般思路[跟踪训练1] (1)如图数表满足：①第n 行首尾两数均为n ；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________；(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．答案 (1)n 2－n ＋22(2)2n－1 32解析 (1)由图中数字规律可知，第n 行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n (n －1)2＋1.(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n 次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.探究2 二项展开式的系数和问题 例2 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和； (3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和． [解] 在(2x －3y )10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1024. (2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512， 偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9. 由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1.①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510.②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为12(1＋510)；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510,故偶数项系数的和为12(1－510)．拓展提升求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x ＝－1则可得各项系数绝对值之和．[跟踪训练2] 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.与(2)中(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1. (5)因为T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r·(3)r x r，所以a 2k －1<0(k ∈N *)．所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100 ＝(2＋3)100.探究3 求二项展开式中的最大项问题 例3 已知在的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． [解] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n. 又展开式中二项式系数和为2n. ∴22n2n ＝2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，拓展提升1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． (1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1 项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解得r ，即得出系数的最大项．[跟踪训练3] 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解 (1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ， ∴n 2－21n ＋98＝0，∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8，∵T 8的系数为C 714×⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3432.故展开式中二项式系数最大项的系数为3432. (2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79， 解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第r ＋1项的系数最大，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧C r12·4r≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4.又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16896x 10.1．(2－x )8展开式中不含x 4项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B 解析∴展开式中x 4项的系数为C 88＝1.又∵(2－x )8展开式中各项系数和为(2－1)8＝1， ∴展开式中不含x 4项的系数的和为0.2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－3x n (n ∈N *)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．1 答案 D解析 由题意得2n ＝32，得n ＝5.令x ＝1，得展开式所有项的系数之和为(2－1)5＝1.故选D.3．若(1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 201922019的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－1 答案 D 解析 (1－2x )2019＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2019x2019，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎪⎫1－2×122019＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 201922019＝－1.4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第n (n ≥3)行第3个数字是________．答案2n (n －1)(n －2)(n ∈N *，n ≥3)解析 杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三角形．∵杨辉三角形中第n (n ≥3)行第3个数字是n C 2n －1，则“莱布尼茨调和三角形”第n (n ≥3)行第3个数字是1n C 2n －1＝2n (n －1)(n －2). 5．在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1， 令x ＝1，y ＝－1，可得：a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加除以2可得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．(4)解法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59.解法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59.。
新教材人教b版选择性必修第二册33第二课时杨辉三角课件2
②
①－②，得 2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝－1＋2 37＝－1 094.
(3)由展开式，知 a1，a3，a5，a7 均为负数，a0，a2，a4，a6 均为正数， ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7. 由(2)可知，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
()
A．第 9 项
B．第 10 项
C．第 8 项或第 9 项
D．第 9 项或第 10 项
解析：二项式(1＋x)17 的展开式中，各项的系数是展开式中二项式系数，∴展开
式中共有 18 项，系数最大的项为第 9 项或第 10 项． 答案：D
2．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＋|a8|＝________． 解析：由题意知|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＋|a8|表示(1＋x)8 的展开式中各项系数的和， 令 x＝1，得|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＋|a8|＝28. 答案：28
第三
章
排列、组合与二项式定理
3．3 二项式定理与杨辉三角
第二课时 杨辉三角
新课程标准解读 1.了解杨辉三角，并探索其中的规律 2.掌握“赋值法”并会灵活运用二项式定理解决与二项展开式 有关的简单问题
核心素养 逻辑推理
数学运算
同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以 写成如下形式：
…… 图①
第0行
1
第1行
111
第2行
12321
教版高中数学人教A版选修2-3第一章-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学课件 (共17张PPT)
湖南师大附中 杨章远
1 复习引入
1、组合数的两个性质：
C n k C n n k,C n k C n k 1 C n k 1
2、二项式定理：
(a + b)n = C 0an + C 1an- 1b + L + C nbn
n
n
n
3、二项展开式的通项：
T k 1 C n k a n k b k(k 0 ,1 ,2 ,L ,n )
2 知识提炼 1、什么是“杨辉三角”？
（杨 辉）
（杨辉三角）
2 知识提炼 2、在二项式系数 C n 0,C n 1,C n 2,L,C n n1,C n n 中，哪些二项式系数是相等的？
C n kC n n k(k0,1 ,2,Ln)
2 知识提炼
3、二项式系数的增减性如何？当n分别
为偶数与奇数时，第几项的二项式系数
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
（4）求 a0a1a2La2014 的值。
(1 )1 ( 2 )1
(3) 1 32014 (4)32014
2
5 总结归纳与作业布置
自主小结：
数学知识： 思想方法：
作业布置： 《5.3》上的相应练习题
课后思考： 探索“杨辉三角”所蕴含的 其他数字规律。
思考题1、（2007湖南）将杨辉三角中 的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图 所示的0—1三角数表．从上往下数，第 1次全行的数都为1的是第1行，第2次全 行的数都为1的是第3行，…，第 n 次全 行的数都为1的是第 行。
T3=C5 2(2x)240x2 T4=C3 5(2x)380x3
20130309数表——杨辉三角教案
数表，从杨辉三角谈起知识要点数列与数表问题常用的思考方法有：1、观察：观察是解决数列数表问题的根本前提，许多数列数表问题首先是找规律问题，这需要观察出突破口。
2、对应：找准数列的项与其项数及位置的对应关系，必要时要用代数式表示出来。
3、周期性：许多数列数表问题是周期问题，特别是某些求某数在第几行第几列的问题。
4、递推关系：即数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系。
5、整体与动态分析。
6、利用特殊位置：比如中间项，拐角，最大数或最小数等。
7、结合奇偶分析或整除分析等。
典题解析基础过关1、计算。
（1）、1＋2＋3＋4＋…＋19＋20＝（2）、1＋3＋5＋7＋…＋27＋29＝（3）、1＋4＋7＋10＋…＋37＋40＝（4）、2＋6＋10＋14＋…＋46＋50＝2、我们知道，45在62和72之间，而2013在（）2和（）2之间。
（请你填入两个连续的自然数）3、请依照每一个数列的规律，填出括号内的数。
（1）、1,2,3,4,5，（），7,8，……（2）、1,3,5,7，（），9,11，……（3）、2,4,6,8,10，（），12，14，……（4）、1,4,7,10,13，（），……（5）、1,4,9,16,25，（），……（6）、2,5,10,17,26，（），……（7）、2,4,8,16,32，（），……（8）、1，1,2,3,5,8，（），……（9）、1,3,6,10,15,21，（），……（10）、2,6,12,20,30,42，（），……例题1、下面是按规律排列的杨辉三角：（1）杨辉三角第8行第2个数是；（2）杨辉三角第一行所有数之和为1，第2行所有数之和为2，第3行为4，第4行为8……那么，第10行的所有数之和是，第12行的所有数之和是；（3）我们知道，110＝1,111＝11,112＝121,113＝1331，观察杨辉三角，快速写出114＝；（4）观察图（2）的线，你会发现左斜线的数之和等于下一行右边的数。
1.3.2杨辉三角课件人教新课标B版(2)
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从 左到右第 14 个数与第 15 个数之比为 2∶3.
解析：设第 n 行从左至右第 14 与第 15 个数之比为 2∶3， 则 3C1n3＝2C1n4， 即13！3nn－！13！＝14！2nn－！14！. 解得 n＝34. 答案：34
1.3.2杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
121
第3行
1 3 31
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第n-1行 1
…… ……
第n行 1
… … C C 1 2 n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
1
C
1 n
Cn2
…
C
r n
[一点通] 赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根 据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要 使展开式中项的关系变为系数的关系，令 x＝0 可得常数项，令 x＝1 可得所有项的和，令 x＝－1 可得偶次项系数之和与奇次 项系数之和的差．
3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n 的展开式中各项系数的和为
2
10＋4 k
则由 Tk＋1＝Ck5(x 3 )5－k(3x2)k＝3kCk5x 3 ，
得33kkCCk5k5≥≥33kk＋－11CCk5k5＋－11，， ，∴72≤k≤92，∴k＝4，
即展开式中系数最大的项为
2
26
T5＝C45(x 3 )(3x2)4＝405x 3 .
[一点通] 1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质， 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时， 中间一项的二项式系数最大． 2．求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同 的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式 组、解不等式的方法求得．
人教版高中数学选修2-31.3.2杨辉三角中的一些秘密(共24张PPT)
左 衺 乃 积 《数
,
贾宪
1C1405C143101CC0312410C162C11133100CC11442211CC531121CC12432C33C每 式 以44 系写一杨数成个，组数辉都合三都可数角是都中二可的项
——
开右
1C506 C1551 2C052 15C53 6 C154 C55
方衺 作乃
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
....................
1
Cn1-1 Cn2-1
...
Cr 1 n-1
Cnr-1 ...
1 Cn1 Cn2
... Cnr ...
Cn2 n-1
1
Cnn1 1
杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和
C r1 n-1
Cr n-1
Cnr
杨辉恒等式
第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
再见
宁波市正始中学 陈碧文
藏 (a b)n Cn0an Cn1an1b... Cnranrbr ... Cnn1abn1 Cnnbn
》者 贾皆 宪廉
杨辉三角中,第n行第r个数为
an,r
C r1 n1
1
11
121
13 31
146 41
高考数学 第一章《计数原理》杨辉三角与二项式系数的性质(二)课件
第五页，共15页。
例3.已知 Sn 2n Cn1 2n1 Cn2 2n2 证：当n为偶数(ǒu shù)时，
Sn 4n 1
C n1 n
2
1,
(n
N求* )
能被64整除
例3.已知 Sn 2n Cn1 2n1 Cn2 2n2
C n1 n
2
1,
(n
N
*
)
求证：当n为偶数时， Sn 4n 1 能被64整除
34 C160 33C170 32 C180 3C190
第十二页，共15页。
（四）、课后作业：
1.求证
C(n1qiú2zChn2èng3)C：n3
nCnn n 2n1, (n N *)
提示(tíshì)：采用倒序相
加法
2.已知
f (x) (1 2x)m (1 4x)n , m, n N *
9 Cn08n 9 Cn18n1
9
C n2 n
82
9
Cnn18
9
Cnn 80
8n
9
9 Cn08n 9 Cn18n1
9
C n2 n
82
64n
变式引申(yǐnshēn)：填空
1） 230 3除以7的余数是
2）5555 15除以8的余数是
； 。
第七页，共15页。
例4、在 (
x
2 x2
)8的展开式中，
8100 （7 1）100
C1000 7100
C1100 799
C 7 r 100r 100
C99 100
71
C100 100
（7 C1000 799 C19090） 1
余数
所以(suǒyǐ) 第九页，共15页。
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【分析】 第 56 行第 2 个和第 55 个；第 13 行第 3 个和第 11 个．
例2
-------------------------------------------------------------------------------------------
(1)如图所示的三角形数表中，满足： ①第一行的数为 1； ②第 n 行首尾两数均为 n ，其余的数都是等于它肩上的两 个数相加；则第 50 行第 2 个数是_________.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 190 ，
得到 190 排第 19 行第 1 列， 191 排在第 1 行第 20 列.所以 200 排在 10 行第 11 列； （由原数表转化到下数表，原数 表中行数+列数相等的数都在此数表中的同一行中． ）
数）为________。
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 L L 1 20 L 1 12 1 30 L 1 6 1 2 1 3 1 12
1 4 1 20 L 1 5 L
[杨辉三角]★ 【解析】 “莱布尼兹调和三角形”数阵中所示的规律，可 得每 1 行的第 1 个数均为行数的倒数， 且每一个数等于下
1 55 55
2
1540
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
5
练一练
-------------------------------------------------------------------------------------------
把自然数按如下规律排成三角形数表： 如 4 是第 3 行的第 3 个数， 那么(1)自然数 60 是第____行的第____个数． (2)94 是第___行的第____个数.
n2 n 2 (1)每一行的第二个数是 2 2 3 L (n 1) ， 代 2
入 n 50 后，得第 50 行第 2 个数是 1226.
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
3
(2)由数表可以得到如下的规律， (a)两边的数以中间的数为轴对称分布，两边分别包 1，其 他的数等于上一行对应的数和相邻数的和； (b)每一行数的和分别是：1，3，9，27…，即第 n 行数的 和是 3n-1，由此解决． ①1+0=1，1+3=4，1+3+6=10，3+6+7=16，6+7+6=19，后 面的数就是 16、10、4、1； 故答案为：1、4、10、16、19、16、10、4、1； 9 ② 3 =19683 ；
7 (7 1) 28 个数. 前 7 行一共有 2
34 28 6 ，所以 67 是第 8 行第 6 个数.
例7
-------------------------------------------------------------------------------------------
m 1 2
≥n>3
时 ， 存 在
n 1 2 2 Cm 1 Cm1 C101 5050 .不会再出现 5050.因此 5050 在左
侧只能出现在第 5051 行第 2 个数和第 102 行第 3 个数． 由 对称可知， 第 5051 行第 5051 个数和第 102 行第 100 个数 也是 5050.
2
例1
数表—从杨辉三角谈起
+
-------------------------------------------------------------------------------------------
下面是按规律排列的杨辉三角：
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ……………………… ……第一行 ……第二行 . . .
1 3 2 6 5 4 10 9 8 7 15 14 13 12 11 L 17 16
（2）第 18 行的第 1 个数为： 1 2 3 18 171 . 公差为 18.所以第 22 列为 171 18 19 20 L 38 759
例6
-------------------------------------------------------------------------------------------
[三角形数表]★ ★ ★ 【解析】 上 面 数 表 第 n 行 有 n 个 数 ， 所 以 前 n 行 有
n(n 1 ) 个数，从小到大排列. 2 先计算 67 是第 (67 1) 2 34 个奇数； 1 2 3L n
8
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
练一练
-------------------------------------------------------------------------------------------
杨辉三角中，55 可能是杨辉三角中第几行的第几个数? [杨辉三角]★ ★
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五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
图(1) 图(2) (1)杨辉三角第 8 行第 2 个数是_________; (2)观察图(2)中的线，你会发现左斜线的数之和等于下一 行右面的数．如：1+2+3=6，照此规律，第 8 行的第 3 个 数是_____． (3)杨辉三角第 1 行的所有数之和为 1， 第 2 行的所有数之 和为 2，第 3 行为 4，第 4 行为 8，…，那么，第 n 行的 所有数之和是________. (4)杨辉三角中，第 101 行中左起第三个数是 ． (5) 5050 可能是杨辉三角中第几行的第几个数? [杨辉三角]★ ★ 【分析】 ⑴根据题意： 每一行第 2 个数是 n - 1 ； 所以第 8 行第 2 个数是 7. (2) 1+2+3+ L +6=21．老师可拓展到第 n 行的第 3 个数． n- 1 (3) 第 n 行 的 和 是 2 ， 所 以 第 10 行 所 有 数 的 和 是
如图，把从 1 开始的自然数按某种方式排列起来.请问： （1）200 排在第几行，第几列?
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五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
（2）第 18 行第 22 列的数是多少?
1 3 6 10 15 L 2 4 7 11 16 5 8 12 17 L 9 13 L 14 L L L
[三角形数表]★ ★ 【解析】 （1）根据题意，每一行相邻两个数的差在依次 增加 1，每一列的相邻两个数的差依次增加 1，所以
把从 2 开始的偶数数列排成如下图所示三角形数表， 则表 中的偶数 80 是第_____行第_____个数.
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
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2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 L L L
[三角形数表]★ ★ ★ 【解析】 法 1：每个偶数都除以 2，会得到例 2 中的自然 数列， 80 是第 40 个偶数， 1+2+3+4+5+6+7+8=36， 40-36=4. 因此 80 在第 9 行第 4 个数． 法 2：第 n 行的最后一个数是 n(n 1) ，第 8 行最后一个数 为 72，之后第 9 行的前几个数分别为 74，76，78，80， 因此 80 在第 9 行第 4 个数．
1 2 3 6 5 4 7 8 9 10 L L 12 11
[三角形数表]★ ★ 【解析】 观察规律.每 n 行有 n 个数，奇数行是从大数到 小数，偶数行是从小到大；
1 2 3L n n(n 1 ) ， 2
10 11 11 12 55 66 60 1 7 ， (1) 2 ， 2 66 ， 因此 60 在第 11 行，
1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 L L L
(2) 下图是按规律排列的三角形数表：
1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1
①在方格中填上第五行的各个数． ②求第 10 行各数的和． [杨辉三角]★ ★ ☆ 【解析】
所以 60 是 11 行第 7 个数.
14 15 13 14 91 (2) 2 ， 2 105 ，94-91=3，因此 94 在第 14
行第 3 个数． 此题可以说是自然数列的“神龙摆尾”， 奇数行第一个数是 三角形数，偶数行最后一个数是三角形数，在做题时，要 分清方向．
例5
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2 2 C C 101 1 100 行的第三个数是
100 99 4950 . 2
(5) 杨 辉 三 角 第 m 行 第 n 个 数 实 际 就 是
n 1 n 1 C 5050 ，而 Cm m 1 1 ． (m n)!(n 1)!
(m 1)!
，101
是质数，因此 m-1≥101，0<n-1<m-1.当 n=2，m=5051;当 n ＝ 3 时 ， m=102 ； 当
如图，从 1 开始的自然数按某种方式排列起来，请问： (1)第 10 行左起第 5 个数是多少? (2)100 在第几行?100 是这一行左起第几个数? (3)前 10 行的数的和是多少?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L L
[三角形数表]★ ★ 1 9 9 45 ，所 【解析】 （1）第 9 行的最后一个数为： 2 以第 10 行左起第 5 个数为 45+5=50. （2） 根据题意：1 2 3 L 13 91 ，第 13 行的最后 一个数是 91 ，所以 100 在第 14 行，是这一行中的第 100 91 9 个数． （ 3 ） 前 10 行 一 共 1 2 3 L 10 55 个 数 ，