人教版高中数学选修1-1导学案第一章 §1.2 充分条件与必要条件

§1.2充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件知识点二充要条件如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．特别提醒：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类(1)充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p；(2)充分不必要条件，即p⇒q且q⇏p；(3)必要不充分条件，即p⇏q且q⇒p；(4)既不充分也不必要条件，即p⇏q且q⇏p.1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)一、充分、必要、充要条件的判断例1指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一个作答)．(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；(2)对非空集合A，B，p：x∈A∪B，q：x∈B；(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B；(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解(1)在△ABC中，显然有A>B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)显然x∈A∪B⇏x∈B，但x∈B⇒x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．(3)取A＝120°，B＝30°，p⇏q，又取A＝30°，B＝120°，q⇏p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)p⇒q且q⇏p，所以p是q的充分不必要条件．反思感悟充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p⇒q，q⇏p，则p是q的充分不必要条件；若p⇏q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇏q，q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．跟踪训练1指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(4)p：a>b，q：ac>bc.解(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0⇏x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．(2)两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p 是q 的必要不充分条件．(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c ，且a ＋c >b ＋c ⇒a >b ，故p 是q 的充要条件． (4)a >b ⇏ac >bc ，且ac >bc ⇏a >b ，故p 是q 的既不充分也不必要条件． 二、充分条件、必要条件、充要条件的应用 命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m (m >0)}{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为(0,3]． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，即{x |－2≤x ≤10}{x |1－m ≤x ≤1＋m (m >0)}．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解得m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，所以m 不存在．反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x <－1”，则实数a 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0， 因为当－2<x <－1时不等式成立， 所以不等式的解集是－a <x <－1. 由题意有(－2，－1)(－a ，－1)， 所以－2>－a ，即a >2.(2)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－1,5]解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 寻求结论成立的条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件． 解 由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4.反思感悟 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |答案 C 解析a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b|b |，观察选项易知C 满足题意． 三、充要条件的证明例4 试证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 (1)必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca <0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0.(2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝ca <0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根， 且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 反思感悟 充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明： 一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”．①充分性：把q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p . ②必要性：把p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q .(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性． 跟踪训练4 已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0.证明 (1)必要性：由1x <1y，得1x －1y <0，即y －x xy<0， 又由x >y ，得y －x <0，所以xy >0. (2)充分性：由xy >0及x >y ， 得x xy >y xy ，即1x <1y. 综上所述，1x <1y的充要条件是xy >0.1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由(2x －1)x ＝0，可得x ＝12或x ＝0.因为“x ＝12或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件． 2．设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q ⇏p ，故选A. 3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝1 答案 A解析 当m ＝－2时，f (x )＝x 2－2x ＋1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.4．“关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0，x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．0<a <1 B ．0≤a ≤1 C ．0<a <12D ．a ≥1或a ≤0答案 B解析 当关于x 的不等式x 2－2ax ＋a >0，x ∈R 恒成立时，应有Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1，所以一个必要不充分条件是0≤a ≤1.5．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－1,6]解析 p ：－4<x －a <4，即a －4<x <a ＋4； q ：(x －2)(3－x )>0，即2<x <3，所以綈p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，綈q ：x ≤2或x ≥3. 而綈p 是綈q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.1．知识清单：(1)充分、必要、充要条件的判断方法． (2)充分、必要、充要条件的应用． (3)充要条件的证明． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：求参数范围时端点值的取舍．1．“x 为无理数”是“x 2为无理数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当x 2为无理数时，x 为无理数．2．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a ＝1时，N ⊆M ，反过来，N ⊆M 时，a 不一定为1，为2也可以． 3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 答案 B解析 由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件，由面面平行性质定理知，若α∥β，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是α∥β的必要条件，故选B. 4．在△ABC 中，若p ：A ＝60°，q ：sin A ＝32，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为sin 60°＝32，故p ⇒q ，但当sin A ＝32时，A ＝60°或120°. 5．下列四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a ≥b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3 答案 A解析 由a ≥b ＋1>b ，从而a ≥b ＋1⇒a >b ；反之，如a ＝4，b ＝3.5，则4>3.5⇏4≥3.5＋1，故a >b ⇏a ≥b ＋1，故A 正确．6．“x 2－3x ＋2<0”是“－1<x <2”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 由x 2－3x ＋2<0，得1<x <2，因为“1<x <2”是“－1<x <2”的充分不必要条件，所以“x 2－3x ＋2<0”是“－1<x <2”的充分不必要条件．7．设实数a 为常数，则函数f (x )＝x 2－x ＋a (x ∈R )存在零点的充要条件是________． 答案 a ≤14解析 ∵函数f (x )＝x 2－x ＋a (x ∈R )存在零点， ∴x 2－x ＋a ＝0的判别式Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14，∴函数f (x )＝x 2－x ＋a (x ∈R )存在零点的充要条件是a ≤14.8．条件p ：1－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 p ：x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q ，但q ⇏p ，也就是说，p 对应集合是q 对应集合的真子集，所以a <1.9．判断下列各题中，p 是q 的什么条件． (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2. 解 (1)∵|x |＝|y |⇏x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形⇏△ABC 是等腰三角形， △ABC 是等腰三角形⇏△ABC 是直角三角形， ∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形， 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， ∴p 是q 的必要不充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)相切， 则圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ， 即r ＝|c |a 2＋b 2，∴c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b 2＝r 成立，说明圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心(0,0)到直线ax＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的距离等于r ，即圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线ax ＋by ＋c ＝0相切， 故p 是q 的充要条件．10．(1)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？ 解 (1)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只需⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}， 则只需－m2≤－1，即m ≥2，故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件． (2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只需⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊇{x |x <－1或x >3}， 这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．11．已知等差数列{a n }，则“a 2>a 1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 等差数列{a n }为递增数列等价于a n <a n ＋1.12．已知p ：x 2＋2x －3<0，q ：1－a ≤x ≤1＋a ，且q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(4，＋∞) 答案 B解析 由命题p ：－3<x <1，因为p ⇒q ，q ⇏p ， 所以{x |－3<x <1}{x |1－a ≤x ≤1＋a }，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤－3，1＋a ≥1，所以a ≥4.13．有以下四种说法，其中正确说法的个数为( ) ①“m 为实数”是“m 为有理数”的充分不必要条件； ②“a >b ”是“a 3>b 3”的充要条件；③“x ＝3”是“x 2－2x －3＝0”的必要不充分条件； ④“A ∩B ＝B ”是“A ＝∅”的必要不充分条件． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 C解析 ①“m 为实数”是“m 为有理数”的必要不充分条件，所以原说法不正确；②a >b ⇔a 3>b 3，所以②正确；③“x ＝3”是“x 2－2x －3＝0”的充分不必要条件，所以原说法不正确；④“A ∩B ＝B ”是“A ＝∅”的既不充分也不必要条件，所以原说法不正确．14．有下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分条件；②“b 2－4ac <0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ”的充要条件；③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件；④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为________．答案 ①④解析 ①当x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之不一定，所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件，故①为真命题；②不等式的解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0，故②为假命题；③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，所以a ＝2，所以“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0，所以xy ＝1且x >0，y >0，所以xy ＝1必成立，反之不然，所以“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件，故④为真命题．综上可知，真命题是①④.15．设计如图所示的三个电路图，条件p ：“开关S 闭合”；条件q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充分不必要条件的电路图是________．(填序号)答案 (1) 解析 图(1)开关S 闭合则灯泡L 亮，反之，灯泡L 亮不一定有开关S 闭合，∴p ⇒q ，但q ⇏p ，∴p 是q 的充分不必要条件．图(2)p ⇔q ，∴p 是q 的充要条件．图(3)开关S ，S 1与灯泡L 串联，∴p ⇏q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．16．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝S 1＝p －1，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1也成立．∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列． 必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，∵p ≠0且p ≠1，∴当n ≥2时，a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝p ，即a 2＝p 2＋pq ＝p 2－p ，解得q ＝－1.故数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.。