人教版高中数学选修1-1导学案第一章 §1.2 充分条件与必要条件

§1.2

充分条件与必要条件

学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．

知识点一充分条件与必要条件

命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题

推出关系p⇒q p⇏q

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件

知识点二充要条件

如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

特别提醒：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类

(1)充分必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p；

(2)充分不必要条件，即p⇒q且q⇏p；

(3)必要不充分条件，即p⇏q且q⇒p；

(4)既不充分也不必要条件，即p⇏q且q⇏p.

1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)

2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)

4．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)

一、充分、必要、充要条件的判断

例1指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一个作答)．

(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；

(2)对非空集合A，B，p：x∈A∪B，q：x∈B；

(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B；

(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.

解(1)在△ABC中，显然有A>B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．

(2)显然x∈A∪B⇏x∈B，但x∈B⇒x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．

(3)取A＝120°，B＝30°，p⇏q，又取A＝30°，B＝120°，q⇏p，所以p是q的既不充分也不必要条件．

(4)p⇒q且q⇏p，所以p是q的充分不必要条件．

反思感悟充分、必要、充要条件的判断方法

(1)定义法

若p⇒q，q⇏p，则p是q的充分不必要条件；

若p⇏q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

若p⇏q，q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．

(2)集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A B，则p是q的充分不必要条件；

若A B，则p是q的必要不充分条件．

跟踪训练1指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．

(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；

(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；

(4)p：a>b，q：ac>bc.

解(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0⇏x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．

(2)两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p 是q 的必要不充分条件．

(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c ，且a ＋c >b ＋c ⇒a >b ，故p 是q 的充要条件． (4)a >b ⇏ac >bc ，且ac >bc ⇏a >b ，故p 是q 的既不充分也不必要条件． 二、充分条件、必要条件、充要条件的应用 命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围

例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．

解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，

即{x |1－m ≤x ≤1＋m (m >0)}{x |－2≤x ≤10}，

故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧

1－m >－2，1＋m ≤10，

解得m ≤3.

又m >0，所以实数m 的取值范围为(0,3]． 延伸探究

1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．

解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，

即{x |－2≤x ≤10}{x |1－m ≤x ≤1＋m (m >0)}．

所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧

1－m <－2，1＋m ≥10.

解得m ≥9，

即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．

2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不

存在，说明理由．

解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．

若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧

－2＝1－m ，

10＝1＋m ，

所以m 不存在．

反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．

跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2

解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0， 因为当－2－a ，即a >2.

(2)已知P ＝{x |a －4

解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，

所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧

a ≤5，

a ≥－1，

所以－1≤a ≤5.

命题角度2 寻求结论成立的条件

例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件． 解 由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，

等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧

a >0，

Δ<0

⇔0