高中数列经典习题(含答案)

1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和,

(1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除.

2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由.

3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值.

4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S .

5、已知数列{n a }的前n 项和31=

n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和.

6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根;

(2)设这些方程的另一个根为i m ,求证

111+m ,112+m ,113+m ,…, 1

1+n m ,…也成等差数列.

7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根,当a 1=2时,试求c 100的值.

8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.

9、有两个各项都是正数的数列{n a },{n b }.如果a 1=1,b 1=2,a 2=3.且n a ,n b ,1+n a 成等差数列,

n b ,1+n a ,1+n b 成等比数列,试求这两个数列的通项公式.

10、若等差数列{log 2x n }的第m 项等于n ，第n 项等于m(其中m ≠n)，求数列{x n }的前m ＋n 项的和。

11、设{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,且a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2b 4=a 3分别求出{a n }及{b n }的前10项的和S 10及T 10．

12、已知等差数列{a n }的前项和为S n ，且S 13＞S 6＞S 14,a 2=24．

(1)求公差d 的取值范围；（2）问数列{S n }是否成存在最大项，若存在求,出最大时的n ，若不存在,请说明理由．

13、设首项为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2n 项的为6560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比．

14、设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对所有正整数n ，t 与a n 的等差中项和t 与S n 的等比中项相等，求证数列{n S }为等差数列，并求{a n }通项公式及前n 项和．

15、已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}

n b a 是公比为q 的等比数列，且.17,5,1321===b b b

①求q 的值；

②求数列{}n b 前n 项和.

16、 若a 、b 、c 成等差数列，且a ＋1、b 、c 与a 、b 、c ＋2都成等比数列，求b 的值．

答案：

1、 解： a 1=－250, d=2, a n =－250+2(n －1)=2n －252

同时满足70≤n ≤200, n 能被7整除的a n 构成一个新的等差数列{b n }.

b 1=a 70=－112, b 2=a 77=－98,…, b n ′=a 196=140

其公差d ′=－98－(－112)=14. 由140=－112+(n ′－1)14, 解得n ′=19

∴{b n }的前19项之和266142

1819)112(19=⨯⨯+

-⨯=S . 2、解： (Ⅰ)依题意,有 02)112(1212112>•-⨯+=d a S 02)113(1313113<•-⨯+=d a S ，即⎩⎨⎧<+>+)2(06)1(01121

1d a d a 由a 3=12,得 a 1=12－2d (3)

将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ⎩⎨⎧<+>+0

30724d d ，∴3724-<<-d .

(Ⅱ)由d ＜0可知 a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13.

因此,若在1≤n ≤12中存在自然数n,使得a n ＞0,a n+1＜0,则S n 就是S 1,S 2,…,S 12中的最大值. 由于 S 12=6(a 6+a 7)＞0, S 13=13a 7＜0，即 a 6+a 7＞0, a 7＜0.

由此得 a 6＞－a 7＞0.因为a 6＞0, a 7＜0,故在S 1,S 2,…,S 12中S 6的值最大.

3、 (1)由a 6=23＋5d ＞0和a 7=23＋6d ＜0,得公差d=－4.(2)由a 6＞0,a 7＜0,∴S 6最大, S 6=8.(3)由a 1=23,d=－4,则n S =2

1n(50－4n),设n S ＞0，得n ＜12.5,整数n 的最大值为12. 4、∵a 1=3, ∴S 1=a 1=3.在S n+1＋S n =2a n+1中,设n=1,有S 2＋S 1=2a 2.而S 2=a 1＋a 2.即a 1＋a 2＋a 1=2a 2.∴a 2=6. 由S n+1＋S n =2a n+1,......(1) S n+2＋S n+1=2a n+2, (2)

(2)－(1),得S n+2－S n+1=2a n+2－2a n+1，∴a n+1＋a n+2=2a n+2－2a n+1

即 a n+2=3a n+1

此数列从第2项开始成等比数列,公比q=3.a n 的通项公式a n =⎩⎨⎧≥⨯=-.2,32,

1,31时当时当n n n

此数列的前n 项和为S n =3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n – 1=3＋1

3)13(321--⨯-n =3n . 5、n a =n S －1-n S =31n(n ＋1)(n ＋2)－31(n －1)n(n ＋1)=n(n ＋1).当n=1时，a 1=2,S 1=31×1×(1＋1)×(2＋1)=2,∴a 1= S 1.则n a ＝n(n ＋1)是此数列的通项公式。∴)111()3121()211()1(143132*********+-++-+-=+++⨯+⨯+⨯=++n n n n a a a n ＝1－11+n ＝1

+n n . 6、 (1)设公共根为p,则02212=++++i i i a p a p a ①023221=+++++i i i a p a p a ②则②-① ,

得dp 2+2dp+d=0,d ≠0为公差,∴(p ＋1)2=0.∴p=－1是公共根.(直接观察也可以看出公共根为－1).(2)另一个根为i m ,则i m ＋(－1)=i i i a d a a 2221--=-+.∴i m +1=i

a d 2- 即d

a m i i 211-=+,易于证明{11+i m }是以－21为公差的等差数列. 7、解由根与系数关系, n a ＋1+n a =－3n,则(1+n a ＋2+n a )－(n a ＋1+n a )=－3,即2+n a －n a =－

3.∴a 1,a 3,a 5…和a 2,a 4,a 6…都是公差为－3的等差数列,由a 1=2,a 1+a 2=－3,∴a 2=－5.则k a 2=－3k －2,∴a 100=－152, 12-k a =－3k ＋5,∴a 101=－148,∴c 100= a 100• a 101=22496

8、设首项分别为a 和b,公比q 和r. 则有1,1〈〈r q .依据题设条件,有q a -1=1,① r

b -1=2,②