微分几何(第一课)
微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念ppt课件
方 向 称 为 曲 面.的 法 方 向 过 该 点 平 行 于直 法线 方叫 向做 的曲 面 在
法 法 单线 .向 位 N 量 法 rn u r向 vr， urv量 .
P
rr ppt精选版 uv
如果任意两条异族曲线不相切，则称该曲线网为
正规曲线网.
注 (1)正则曲面上的曲纹 网坐 是标 正规. 网 (2)曲面的正常点总则 在曲 一面 正片上，
因而其上的曲纹是 坐正 标规 网. 网
ppt精选版
12
从 则 在 r u ( ru 事u 而 此 0 实,v r上0 u) 连 ， 邻 rr v u如 ( .u 续 0 rv ,域 果 总 v 0 ) 0 点 P,存 (0 内 u,(0因u,在 v0为,0v曲)为 0面)的 是正光一 滑常的，点 个U ， ， 邻 ru,r域 v连 续 , 于 是P点 (u0,v0)在 邻U域 所 对 应 的 正 则 曲 ，面 片 其 上 的 曲 纹 坐 标 网 是规正网. 命题1曲面在正常点的邻域 总中 可以用形如
法线方程为： XxYyZz.
p q 1
ppt精选版
19
例1求圆 (S):柱 r {R 面 co ,R ss i,n t}在任 P (一 ,t)处
解：的 r { R 切 co ,R 平 ss i ,面 t} .n ,和法线方程
r { R si,R n co ,0 }rs t,{0,0,1},
z z ( x ,y ) 或 y y ( x ,z ) 或 x x ( y ,z )
证： 设总 的点P参存 (u数0(,u表v在 00,示)v为0.)的 正常一点则 个 ，r u U( ， u 邻 0 在 ,v 0 域 ) 此 r v ( u 0 ,邻 v r0 u ) r0 v域 ,0 ,
微分几何曲面的第一基本形式课件
整合第一基本形式，得到 $ds^2 = (u^2 + v^2)du^2 +
2uvdudv + (u^2 + v^2)dv^2$。
04
结果分析和讨论
01
通过计算结果，可以得出该曲面的第一基本形式，进
一步分析曲面的性质和特点。
02
可以使用该方法计算其他类型的曲面，并比较不同曲
面之间的差异和相似之处。
第一基本形式与度量张量的关系
第一基本形式与度量张量之间有 着紧密的联系，它们共同构成了
曲面的几何结构。
度量张量是曲面上各点处长度、 面积和体积等的度量标准，而第 一基本形式则提供了曲面上各点
处的曲率信息。
通过第一基本形式和度量张量的 结合，我们可以更好地理解和研
究曲面的形状和性质。
2023
PART 04
张量在物理学中的应用 张量在物理学中可以用来描述物体的运动状态和 相互作用，如力学、电磁学、相对论等领域。
2023
PART 03
第一基本形式的定义和性 质
REPORTING
第一基本形式的定 义
第一基本形式是曲面上的测地 曲率的一种表达形式，它与曲 面的第一基本张量有着密切的
关系。
在曲面上的任意一点，第一 基本形式可以定义为曲面的 第一基本张量与该点处切线
空间同胚的空间。
第一基本形式是微分几何中用于 描述曲面上的点与点之间的距离、
方向和曲率的一种方式。
研究目的和意 义
理解第一基本形式可以帮助我 们更好地理解曲面的几何性质 和特征。
通过研究第一基本形式，我们 可以研究曲面的形状、大小和 曲率等重要指标。
第一基本形式在微分几何中具 有重要的理论和应用价值。
微分几何
第二章曲线的概念4学时
第三章空间曲线12学时
第四章曲面的概念4学时
第五章曲面的第一基本形式8学时
第六章曲面的第二基本形式12学时
第七章直纹面和可展曲面6学时
第八章曲面论的基本定理8学时
第九章曲面上的测地线10学时
第十章常高斯曲率的曲面4学时
如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
第一章向量函数4学时第二章曲线的概念4学时第三章空间曲线12学时第四章曲面的概念4学时第五章曲面的第一基本形式8学时第六章曲面的第二基本形式12学时第七章直纹面和可展曲面6学时第八章曲面论的基本定理8学时第九章曲面上的测地线10学时第十章常高斯曲率的曲面4学时如果总课时数少于70可以只讲授第一至第八章
教学目的
引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。
主要内容
第一节简单曲面及其参数表示
第二节光滑曲面曲面的切平面和法线
第三节曲面上的曲线族和曲线网
教学要求
掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。
第五章曲面的第一基本形式
第二节空间曲线的基本三棱形
第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
第四节空间曲线在一点邻近的结构
微分几何教案 曲面的内蕴几何
通过第一章曲线论的学习，知道曲率是反映空间曲线弯曲程度的 量；而第二章曲面论的知识告诉我们法曲率是反映曲面上在给定点沿 给定方向的弯曲程度的量。现在自然要考虑曲面上的一条曲线在曲面 上的弯曲程度如何刻画？
教师讲 解结合 图形及 多媒体 课件演
示
1. 测地曲率的定义
第一小节内容
给定曲面 s : r r(u1,u2 ) 及曲面上一条曲线, c : ui ui (s) ,i=1,2,
2
gv 2 E V
k k k 所以 Liouville 公式可以改写为 d cos sin ，其中
g ds
gu
gv
k k, 分别表示 u 线和 v 线的测地曲率. gu gv
课堂 小结 （2 分钟）
本节课学习了曲面上曲线的测地曲率的定义，几何意义及其计算公式.
作业 练习
书上 170 页习题 1,2,3,4.
例 2. 求平面上的测地线. 解:由正交网时测地线的微分方程组,平面 I du2 d 2 上的测
地线的微分方程组为
d du
tan
d
du
0
则有 0 (常向量), u tan C ( C 为积分常数),即平面上的测地 线均为直线.
例 3. 求圆柱面上的测地线.
解 : 在圆柱面 r(u, ) a cosu, a sin u, 上 , I adu2 d 2 . 同
网，这种参数坐标网称为曲面上的半测地坐标网，此时把 u, v 称为半
测地坐标. 当曲面 S 上采用半测地坐标网后，经计算可知它的第一基本形
式为 I d 2 Gdv2 .
以下利用半测地坐标网证明测地线的短程性质.
第四小节内容 定理 3 的证明: 设 C 为包含在曲面 S 上一区域U 内的一条测地 线，这里U 足够小，以使在U 内可建立半测地坐标网. 在U 上取含 C 在内的一族测地线为 u -线，它的正交轨线为 v -线，则 S 的第一基本 形式为
微分几何讲义
z
Tp S
n
ru
S
p
rv
y
x
图 x 曲面上任意点处的切空间和切平面 在空间 E 中经过点 p , 以为方向的直线称为曲面 S 在点 p 的法线, 它的参数方程是
3
= X ( t ) r ( u , v ) + tn ( u , v )
上式中 t 为法线上点的参数.
(1.16)
4. 曲面的第一基本形式
(1.14)
n (u,v ) =
ru ( u , v ) × rv ( u , v ) ru ( u , v ) × rv ( u , v )
(1.15)
Dr. Zhiyong Alex, Chang.
An Introduction to Differential Geometry
Northwestern Polytechnical University
s = 0 处的各阶导数
= ′′′ ( 0 ) r
( 0 ) = [ 0,0,0 ] r ′ ( 0 ) = [1,0,0] r ′′ ( 0 ) = [ 0, k ,0] r
(1.6)
[0,0, kΚ ]
( s ) 在在 s = 0 处的曲率是 k , 挠率是 Κ , 并且 Frenet 标架为 由上式不难看出 , 曲线 r
上式称为曲线在 s = 0 处的标准展开. 上式中坐标函数 x ( s ) , y ( s ) , z ( s ) 作为参数 s 的无穷小量的主要部分分别是 s ,
(1.4)
k 2 s 2
Dr. Zhiyong Alex, Chang.
An Introduction to Differential Geometry
最新微分几何(第三版)梅向明黄敬之编[1]
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微分几何(第三版)梅向明黄敬之编[1]第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数«Skip Record If...»具有固定方向的充要条件是«Skip Record If...»× «Skip Record If...»= «Skip Record If...»。
分析：一个向量函数«Skip Record If...»一般可以写成«Skip Record If...»=«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»的形式，其中«Skip Record If...»为单位向量函数，«Skip Record If...»为数量函数，那么«Skip Record If...»具有固定方向的充要条件是«Skip Record If...»具有固定方向，即«Skip Record If...»为常向量，（因为«Skip Record If...»的长度固定）。
证对于向量函数«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»为其单位向量，则«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»具有固定方向，则«Skip Record If...»为常向量，那么«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»×«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»（«Skip Record If...»×«Skip Record If...»）=«Skip Record If...»。
微分几何1
中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：专业知识课程性质：选修一、课程介绍1.课程描述：微分几何是主要面向数学专业高年级的课程，对进一步理解现代数学和物理学的内容有较大帮助。
在选修本课程之前，学生要熟悉多元函数微积分的内容，了解二次曲面的几何特性，掌握线性空间理论，理解常微分方程初值问题解的存在性定理。
课程包括如下主要内容：向量函数、曲线论、曲面的第一、第二基本形式、曲面论基本定理、测地曲率和测地线等。
2.设计思路：（1）低起点、高终点本课程注重与《空间解析几何》课程在内容上的衔接性，贯彻“从简单到复杂、从基础到前沿”的理念，从向量函数讲起，贯穿曲线论、曲面的第一、第二基本形式，最终达到曲面论基本定理、测地曲率和测地线的高度。
（2）问题驱动、强调几何直观本课程采用问题驱动的模式，追踪溯源，抓住“几何不变量”这一微分几何理论发展的主线，清晰交代理论的研究背景与数学思想，使学生体会到几何理论的发展、几何思想的进化是一种自然而然、逐步深化的过程，从中学习几何学研究的思想与方法。
“几何是数学演绎的舞台”，培养学生通过“几何直觉”来学习与研究数学的能力。
（3）扩展性强本课程注重微分几何的经典理论与现代数学发展前沿的衔接，从更加现代的观点- 1 -介绍经典的理论，为学生打开一扇通往现代数学前沿的窗口。
3.课程与其他课程的关系：先修课程：数学分析I-III、高等代数I-II、空间解析几何、常微分方程；并行课程：拓扑学等；后置课程：无。
二、课程目标本课程以培养学生的空间想象力和直觉能力为主要目标。
学完本课程，应掌握局部微分几何的基本内容，初步了解整体微分几何的研究对象，了解微分几何在数学和物理学领域中的作用。
应能使学生运用解析几何的知识，以微积分和线性代数为工具，解决和处理局部性几何问题和部分整体性几何问题。
到课程结束时，学生应能：（1）掌握微分几何的近代发展史概况；掌握标架的概念，了解向量分析基础知识。
（2）掌握正则参数曲线、弧长、曲率、挠率的概念；能够计算常见曲线的弧长、曲率和挠率；理解标准展开的几何意义，以及Frenet公式的本质。
微分几何课件 课件一：矢量代数小结
何结构代数化为欧几里得矢量空间的一个模型。这 样以来就可以把几何里的一些推论转化为这个欧几 里得矢量模型上的以矢量的运算为基础的代数运算， 因此代数的方法也就引入到几何里来了。
几何结构矢量化，只是将代数运算带到了几何 里来，它可以研究几何里的一些定性问题，如：共
线、共面、中点等。它还不能解决有关定量的问题， 但许多几何问题研究的是数量关系，所以在几何中 要进行数的计算，还要沟通几何结构（或矢量）与 数量的关系。这个关系是通过建立坐标系沟通的。 本章是通过矢量引进标架来建立坐标系和坐标 概念的。在空间，给定一点O和不共线的三个矢量
（1）
或 b 可用 a 线性表出 a b （2）a, b, c 共面 a, b, c 线性相关 不全为零 的一组数 x, y , z 使 xa yb zc 0 a, b, c 中至少有一个是另两个的线性组合 若 a, b 不 共线，则 x, y 使 c xa yb 其中 x, y 被 a
几何结构
几何特征
代数结构
矢量形式
有向线段、点 矢量、径矢
三角形、平行 矢量的加法、 四边形 减法 放大、缩小， 数乘矢量、线 定比分点 性运算 长度、夹角 面积 体积 数性积 矢性积 混合积
(abc) (a b)c
c
O
b
a
(abc) V
矢量加法满足
(1)
(3)
ab ba
(2)(Βιβλιοθήκη )2(10)( a b)c ac bc
aa a (a 0)
(13)
矢性积满足 (12) a b b a
(14)
(a b) ( a) b a (b)
( a b) c (a c) (b c)
《微分几何》PPT课件
3点到平面的距离：
点M 0 x0 , y0 , z0 到平面Ax By Cz D 0的距离
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C 2
结论：
平面
1：A1x B1 y C1z D1 0 2：A2 x B2 y C2 z D2 0
1 // 2
n1 // n2
n A, B, C为平面的法向量 , D 0平面过坐标原点,A=0
平面过x轴,A B 0平面平行于xoy面.
2 两平面的夹角
1：A1x B1 y C1z D1 0
2：A2 x B2 y C2 z D2 0
cos n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22
椭
球
面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y
o x
z
椭圆抛物面：
x2 a2
y2 b2
2z
y
o
x
双曲抛物面：- x2 a2
y2 b2
2z
单叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面：x2 y2 z 2 1 a2 b2 c2
二
次
锥面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
0
z
o x
z
o x
a b a b sin a b
a b的方向垂直于 a与 b决定的平面，a b的指向 按右手规则，从 a转向 b，大拇指的指向即 a b 的方向.
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k
微分几何大纲
微分几何大纲《微分几何》教学大纲课程名称：微分几何课程编号：0641010课程类别：专业必修课程适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）总学时数：54学分：3一、课程性质和教学目标1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课程；2．教学目标：学习和掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的基本知识、培养学生直观能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，熟悉三维欧氏空间中常见曲线和常见曲面的方程和形状；掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的各种曲率的计算；理解三维欧氏空间中曲线和曲面微分几何的基本理论和基本方法；了解曲面内蕴微分几何的意义、基本概念和理论。
二、教学要求和教学内容第一章曲线论（12学时）【教学要求】1. 掌握向量的运算法则及其性质：加法、减法、数乘、数量积、向量积；2. 理解向量分析的基本内容；3. 掌握曲线的概念及其参数表示、曲线的切线、法面和密切平面、弧长公式和弧长参数。
4. 掌握曲线的曲率、曲线的单位切向量、主法向量、副法向量、Frenet标架和曲线的挠率。
5. 能计算 Frenet公式、一般参数下的曲率、挠率和Frenet公式。
6. 掌握曲线论的基本定理。
7. 了解曲线在一点邻近的结构。
【教学内容】●讲授内容1. 向量分析的基本内容；2. 曲线的概念及其参数表示、曲线的切线和法面、弧长公式和弧长参数；※3. 曲线的曲率、单位切向量、主法向量，副法向量、Frenet标架、挠率、Frenet公式；※4. 曲线论的基本定理；5．曲线在一点邻近的结构。
第二章曲面的第一基本形式 (10学时)【教学要求】1．掌握曲面的参数表示、曲纹坐标网、曲面在一点的切方向、曲面的切平面和法线；2. 理解曲面上的曲线族和曲线网；3．能计算曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积；4．掌握曲面间的保长变换和保角变换；5. 了解可展曲面的例子、直纹面可展的条件、可展曲面的分类、可展曲面和平面间的保长变换。
大专高等数学微分几何教材
大专高等数学微分几何教材导言：微分几何是现代数学中的重要分支，它研究的是曲线、曲面以及其它高维空间中的各种几何性质。
微分几何在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用，对于大专学生来说，学习微分几何是提高数学素养和应用能力的重要一步。
本教材将系统、全面地介绍大专高等数学微分几何的基本概念、定理和方法，以期帮助学生深入理解和掌握微分几何的核心内容。
第一章曲线的参数方程1.1 曲线的描述与参数化1.2 曲线的一阶曲率与二阶曲率1.3 曲线的切线与法平面1.4 曲率半径与主法曲率第二章曲线的弧长与曲率2.1 弧长与速度向量2.2 曲线的弧微分与弯曲度2.3 极坐标下的曲线2.4 曲线的整体性质第三章曲面的参数方程3.1 曲面的定义与参数化3.2 一阶偏导数矩阵与法向量3.3 曲面的切平面与法线3.4 曲面的切向量与法向量场第四章曲面的曲率与法平面4.1 曲面的一阶、二阶曲率与法平面4.2 曲面的主曲率与平均曲率4.3 曲率曲面与渐近线4.4 曲面的高斯曲率与平均曲率第五章曲面的全微分与法线场5.1 曲面的全微分与法线场5.2 一阶可微曲面与隐函数定理5.3 二阶局部特征与带有局部图的曲面5.4 曲面的几何应用第六章曲面的曲线长度与曲率6.1 曲面上的曲线长度与弧微分6.2 曲面上的一阶、二阶曲率6.3 极坐标下的曲面6.4 曲面的整体性质结语：通过本教材的学习，学生将掌握曲线和曲面的参数化、曲率与法平面的概念与计算方法，能够准确描述和分析各种几何对象的形状和性质。
希望本教材能够成为大专高等数学学习者的有效工具，提高他们的数学思维和实际应用能力。
同时，鼓励学生进一步挖掘微分几何在科学研究和实际工作中的应用前景，为建设创新型国家作出贡献。
《微分几何第一节》课件
曲面的参数化表示
1
曲面的参数式表示
2
通过参数方程描述曲面在空间中的运动。
3
曲面的一般式表示
用方程系统描述曲面的参数化表示。
常见曲面的参数化标准式
如平面、球面、圆柱面等常见曲面的参数化 表达。
常见的微分几何量
切矢场、法矢场
描述切矢、法矢随空间的变化情况。
曲率、扭率
刻画曲线、曲面的弯曲程度和旋转性质。
第二基本形式
描述曲面的几何性质和内在结构。
微分几何的坐标表示
1 在欧几里得空间中的坐标表示
2 在流形上的坐标表示
使用笛卡尔坐标系或其他坐标系描述几何对象。
利用不同坐标系描述流形上的几何对象。
微分几何的基本定理
1
Poincaré-Hopf定理
2
研究向量场的拓扑特征和曲面的欧拉特征。
3
Gauss-Bonnet定理
描述曲面的整体几何性质与局部性质之间 的关系。
Stokes定理
连接微分几何和微积分，揭示曲面与流形 上的积分关系。
总结
1 微分几何的重要性
应用广泛且深入，是现代ຫໍສະໝຸດ 学和科学的重要组成部分。2 微分几何的学习建议
加强数学基础，掌握基本概念和定理，进行实际问题的应用探索。
2 切矢、法矢的概念
刻画曲线、曲面上的切向量、法向量。
3 切平面、法平面的概念
描述曲面的局部性质，如曲面上的切平面与法平面。
曲线的参数化表示
1
曲线的一般式表示
用联立方程方式表达曲线的参数化表示。
2
曲线的参数式表示
通过参数方程描述曲线在空间中的运动。
3
常见曲线的参数化标准式
如直线、圆、椭圆等常见曲线的参数化表达。
(整理)微分几何(第三版)梅向明黄敬之编[1]
![(整理)微分几何(第三版)梅向明黄敬之编[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/4a51de80856a561252d36fda.png)
第一章 曲线论 §2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r=0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r'r ''r）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n= 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微分几何讲义 王幼宁
目 录
第一章 预备知识 ···································································································1 §1 向量代数复习 ··················································································· 1 一．E3 中 Descartes 直角坐标系 O-xyz 中的点与向量····················· 1 二．向量空间 R3 （起点自由） ······················································ 1 三．E3 中向量的乘积 ······································································· 2 四．在初等几何中的应用例示 ························································ 3 §2 向量函数微积分 ··············································································· 4 一．E3 中实变向量函数 ··································································· 4 二．向量函数的极限、连续和微积分简介 ····································· 5 三．常用几何条件的解析判定式 ···················································· 7 §3 标架和标架场 ··················································································· 9 一．E3 中的单位正交右手标架及其变换 ······································ 10 二．E3 中的刚体运动与等距变换 ·················································· 12 三．E3 中的正交标架场的运动公式 ·············································· 13 四．E3 中的仿射标架 ····································································· 13 第二章 曲线的局部微分几何············································································ 15 §1 参数化曲线与曲线的参数表示 ······················································ 15 一．E3 中参数化曲线的定义 ························································· 15 二．正则曲线 ················································································· 16 三．曲线的等价 ············································································· 18 §2 曲线的弧长和弧长元素 ·································································· 21 一．E3 中正则曲线段的长度 ························································· 22 二．弧长和弧长参数 ····································································· 23 §3 曲线的曲率和 Frenet 标架 ······························································ 25 一．曲率························································································· 25 二．Frenet 标架 ·············································································· 27 §4 曲线的挠率和 Frenet 公式 ······························································ 33 一．挠率························································································· 33 二．Frenet 公式 ·············································································· 36 §5 曲线在一点附近的结构 ·································································· 38
微分几何课件
3、向量函数 r (t )的微商 r (t )仍为 t 的一个向量函数，如果函数 r (t ) 也是连续和可微的，则 r (t )的微商r (t ) 称为 r (t )的二阶微商。
( n) 类似可定义三阶、四阶微商。如r (t ), r (t ).
4、在区间 [t1,t2]上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次
命题4 如果向量函数 r (t ) 在 [t1 , t2 ]上是 C x(t ), y(t ), z (t ) 在 [t1 , t2 ] 上是 C k 类函数。
证明 将 r (t ) x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3两边点乘 e1得 x(t ) r (t ) e1
1、2 向量函数的连续性
1、 给出一元向量函数 r (t ) ，当t t0 时，若向量函数 r (t ) 则称向量函数 r (t ) 在 t0 点是连续的。
, r (t0 )
也有 lim r (t ) r (t0 ).
t t 0
2、如果 r (t ) 在闭区间[t1,t2]的每一点都连续，则称 r (t ) 在区间 [t1,t2]上是连续的。
2、命题3 设 r (t ), s (t ), u (t ) 分别是可微的向量函数， (t )是可微 的实函数，则 (t )r (t ), r (t ) s (t ), r (t ) s (t ), r (t ) s (t ), (r (t ), s (t ), u (t )) 都是可微函数，并且 (r ) r r , (r s ) r s , (r s ) r s r s , (r s ) r s r s , (r , s , u ) (r , s , u ) (r , s , u ) (r , s , u )
微分几何教案 第一讲
一、E 3中的曲线论.3))(),(),(()(),(:E t z t y t x t r b a t r ∈=→∈0))('),('),('),('()('≠=t r t z t y t x t r 时，)(t r 称为正则的。
定义弧长：()|'()|,|'()|t s t r t dt r t t ==⎰Remark ：弧长与参数的选择无关（即不依赖于参数的选择）。
事实上，设)(,0)('),('0u t u u t ϕϕϕ=>=。
则()(()),'()(())'()'(),r r u r u dr u r u dudr dt r t u dt duϕϕϕ=====以u 为参数的弧长:)(|)('|)('|)('||)(')('||)('|)(0t s t tdt t r duu uu t r du u u u t r du u u u r u s =⎰=⎰=⎰=⎰=ϕϕ以t 为参数的弧长。
当以弧长为参数时，|,)('|)(s r dsdsds t ds == 即1|)('|=s r 。
设曲线),,()(t sht cht t r =，cht t r cht sht t r 2|)('|),1,,()('==, 显然该曲线不是以弧长为参数。
为研究曲线的弯曲情况，首先介绍曲线的曲率。
对于不同的曲线其弯曲程度可能不同，如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大。
从直观来看，曲线弯曲程度较大时，其切向量方向的改变也较快，可以用曲线的切向量对弧长的旋转速度来刻划曲线的弯曲程度。
曲线)(s r 以弧长s 为参数， 故 1|)('||)('|=∆+=s s r s r 。
|2sin |2|2sin ||)('|2|)(')('|θθ==-∆+s r s r s s r00|sin ||'()'()|2||||2|sin ||'()'()|2lim lim (|''()|)||||2s s r s s r s s s r s s r s r s s s θθ∆→∆→+∆-⇒=∆∆+∆-==∆∆ k s r =|:)(''|曲率。
《微分几何》课件
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微分几何是研究光滑曲线和曲面的 学科
微分几何的基本概念包括：切向量、 曲率、测地线等
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主要研究对象是光滑曲线和曲面的 局部性质
微分几何在物理学、工程学、计算 机科学等领域有广泛应用
微分几何主要研究光滑曲线和曲面的性质 微分几何的研究对象包括曲线、曲面、流形等 微分几何的研究对象还包括曲线和曲面上的向量场、联络等 微分几何的研究对象还包括曲线和曲面上的微分方程和积分等
如向量场、流形等。
切线定理在微分几何中有广泛 的应用，如曲面的切线场、曲
面的曲率等。
切面定理是微分几何的基本定理之一，描述了曲面与切面的关系。
切面定理指出，曲面上的每一点都有一个唯一的切面与之对应。
切面定理在微分几何中具有重要的应用，如曲面的局部参数化、曲面的微分几何性质等。
切面定理是微分几何中研究曲面的一个重要工具，对于理解曲面的性质和几何结构具有 重要意义。
面的变化量
微分几何在计算 机图形学中的应 用：模拟曲线和 曲面的变化量， 实现三维建模和
动画制作
微分几何在数 学分析中的应 用：研究曲线 和曲面的变化 量，解决数学
问题
曲面积分：对曲面上的函数进 行积分，得到曲面上的积分值
曲线积分：对曲线上的函数进 行积分，得到曲线上的积分值
曲线积分分为第一类曲线积 分和第二类曲线积分
物理中的应用：如计算流体力学中 的流量、压力等
计算机图形学中的应用：如计算曲 面的曲率、法线等
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工程中的应用：如计算结构力学中 的应力、应变等
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R.Riemann（1826~1866）才进一步发展了Gauss的内在几 何学，1854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间 与几何两者之间的差别。Riemann将曲面本身看成一个独立 的几何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实 体，从而他认识到二次微分形式（现称为黎曼测度）是加到 流形上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼 测度。Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与 外加的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出 了杰出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富了经典的
天衣岂无缝，匠心剪接成。 浑然归一体，广邃妙绝伦。 造化爱几何，四力纤维能。 千古寸心事，欧高黎嘉陈。
微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或 曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几 何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的 性质的数学分支学科。 。
Euler（瑞士,1707-1783）：1736年首先引进 了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧 长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始 了曲线的内在几何的研究。将曲率描述为某一 特殊角的变化率也是Euler的工作。他在曲面 论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他在 测地线方面的一些工作，最早把测地线描述为 某些微分方程组的解。
G. Monge（法国,1746-1818）：在筑城垒这 个实际问题的推动下，他1771年开始写了关 于空间曲线论的论文，发表于1785年，他用 的是几何方法，并反映了他对偏微分方程的 兴 趣。Monge写了第一本微分几何课本《分析 在 几何学上的应用》 ，这是微分几何最早 的 一 本著作。1807年出版，这课本共印了五 版，一直发行到Monge逝世后三十年，足见 该
由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的 建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中 得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特 色、应用广泛的独立学科。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广 泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机 械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微 分几何学的理论。
F.Frenet(1816~1868)与J.Serret(1819~1885) 分别于1847年和1851年独立地得出现在通称 的Frenet-Serret方程（或Frenet方程）后，空 间曲线论才最后统一起来。
高斯（德国，1777-1855，）：1827年，发表了 《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何 的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形 式曲面论的基础。 微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微 分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立 了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面 上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面 上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区 域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。 他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。
从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维 从理论的发展过程可以看到，除了微分几何本 身研究中所产生的研究问题外，其他数学学科 及物理学、力学等也推动了微分几何的发展。
微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分 几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开 的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质， 则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等， 就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上 每一点的曲率就要用到微分的方法。 在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如， 在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最 短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微 分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的 一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面 在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域 的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意 曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换 把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
在线性理论中，一个突出的成果是Atiyah和 Singer的指标定理：紧致微分流形上的一个线性 椭圆算子的零空间的维数与象空间的维数都是有 限数，其差称为指标，这个定理指出，这种指标 可以表示为和流形（或纤维丛）及椭圆算子有关 的拓扑不变量，而过去的黎曼-罗赫定理，希策布 鲁赫的指标定理等都是它的特殊情形。 这个定理对于确定杨-米尔斯方程的解的存在性和 其自由度，起了重要作用。此外，流形上的拉普 拉斯算子的特征值的研究也是一个重要方面。
近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲 面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、 拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系， 这些数学分支和微分几何互相渗透，已成为现 代数学的中心问题之一。
微分方程：达布的《曲面论》一书就包含了丰 富的古典微分方程的内容。é.嘉当和凯勒所发 展的外微分方程理论，对于解析函数领域的一 大类局部微分几何问题，给出了一般的有效的 方法。 整体微分几何的发展，需要运用更深入的，现 代化的分析工具，特别是偏微分方程理论以及 与之有关的非线性分析。
黎曼几何。
克莱因（德国）：1872年在德国埃尔朗根大 学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》， 用变换群对已有的几何学进行了分类。 在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它 成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展， 导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微 分几何的建立。
射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906 年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起 又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 二十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了外微分形式与 活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联系，从而为微 分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极 为深远。陈省身将Cartan的方法发扬光大，他关于纤维丛 和示性类的理论，建立了微分几何与拓扑的联系，是一个光 辉的里程碑。 20世纪30年代起中国苏步青及其学生们以及苏联С.∏.菲尼 科夫等进一步发展了射影微分几何。