变化的快慢与变化率

y 2x2
在x =1处的瞬时变化率。
解：y x
f (x0 x) x
f (x0 ) 2 (1 x)2 2 12 x
2 2 x x2 4 2 x x
当△x→0时，
y x
4
即函数在x =1处的瞬时变化率为4.
适应性练习：估计x =-1处的瞬时变化率。
思考与交流
有一个长方体的容器，如图所示，它的宽为10cm，高
课后作业：课本31页A组第2、3题；B组第2题
y
100m
甲 乙
o
t0 t
抽象与概括
对一般的函数来说，当自变量x从x1变为x2时，
函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为：
f (x2 ) f (x1) x2 x1
记 x x2 x1, y f (x2 ) f (x1)
我们用 y x
来刻画函数值在区间[x1,x2]
上变化的快慢。
变化的快慢与变化率
临川一中曾志平
变化的快慢与变化率
气温“骤降” 房价“暴涨” 股市大幅“跳水” GDP“猛增”
这些形容词表述什么含义呢？
变化的快慢与变化率
例：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如下 图所示，试问：
（1）甲、乙两人的百米速度哪个快？ （2）甲、乙两人的起跑速度哪个快？ （3）临终点时，谁的冲刺速度快？
为100cm。右侧面为一活塞。容器中装有1000ml的水，
活塞的初始位置（距左侧面）为x0=1cm,水面高度为
100cm。当活塞位于距左侧面xcm的位置时，水面高度为
ycm. （1）写出 y与x的函数解析式；
10
解：10 x y 1000
y 100 , x 1 x
y x
（2）活塞的位置x从1cm变为2cm，水面高度改变了多 少？活塞位置x从8cm变为10cm，水面高度改变了多少？ 以上哪个过程水面高度的变化较快？
2
问题4：若是求更短时间范围内的平均速度，这 些平均速度有何变化趋势？
利用物理学公式 vt g t，也可以求在得
小球t=5s这一时刻的瞬时速度为50m/s，其 结果与我们上述的近似估计是一致的。
抽象与概括
当时间的该变量进一步缩短时，小球平均 速度就更接近小球在t=5s这一时刻的瞬时速 度。不管从哪个方向“逼近”瞬时速度，两 者的近似值是相等的。因此，我们可以通过 减少自变量的改变量，用平均变化率“逼近” 瞬时变化率。
抽象与概括
一般地，函数y=f (x)的自变量x从x0变化到 x1的过程中，函数的平均变化率是：
y f (x1) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
x
x1 x0
x
当△x→0时，平均变化率就趋于函数在 x0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 函数在一点出的变化快慢。
例2、通过平均变化率估计ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 数
解：当活塞的位置x从1cm变为2cm
y 100 100 50, y 50
21
x
当活塞的位置x从1cm变为2cm
y 100 100 2.5, y 2.5 1.25
10 8
x 2
∵|-50|>|-1.25|， ∴当活塞的位置x从1cm变为2cm时，水面高度变化快。
（3）试估计当x=10时，水面高度y关于活塞位置x的 瞬时变化率。
65
1
问题2：求5秒到5.1秒这段时间的平均速度；
v S(5.1) S(5) 130.05 125 50.5(m / s)
5.1 5
0.1
例1：一个小球从高空中自由下落，其走过的 路程S（单位m）与时间 t （单位m）的函数关系为:
S 1 gt2, 其中g为重力加速度，设为 g 10m / s2.
y x
越大，函数在区间[x1,x2]变化越快。
例1：一个小球从高空中自由下落，其走过的 路程S（单位m）与时间 t （单位m）的函数关系为:
S 1 gt2, 其中g为重力加速度，设为 g 10m / s2.
2
问题1：求5秒到6秒这段时间的平均速度；
v S(6) S(5) 180 125 55(m / s)
解： y 100 , x 1 x
y
100 10 x
100 10
100 100 10x 10 x
x
x
x
10 10 x
当△x→0时，
y 1 x
即当x =10时，水面高度的瞬时变化率为-1.
小结
今天我们学习了刻画物体变化快慢的两个量 ——平均变化率和瞬时变化率。
这两个概念有何区别？ 如何用平均变化率估计瞬时变化率的？
2
问题3：求5秒到5.01秒这段时间的平均速度；
v S(5.01) S(5) 125.5005 125 50.05(m / s)
5.01 5
0.01
t0 t1
56 5 5.1 5 5.01
时间改变量 t
1 0.1 0.01
路程改变量 s
55 5.05 0.5005
平均速度 s
t
55 50.5 50.05
1 0.1 0.01 0.001
路程改变量 s
55 5.05 0.5005 0.050005
平均速度 s
t
55 50.5 50.05 50.005
例1：一个小球从高空中自由下落，其走过的 路程S（单位m）与时间 t （单位m）的函数关系为:
S 1 gt2, 其中g为重力加速度，设为 g 10m / s2.
例1：一个小球从高空中自由下落，其走过的 路程S（单位m）与时间 t （单位m）的函数关系为:
S 1 gt2, 其中g为重力加速度，设为 g 10m / s2.
2
问题4：若是求更短时间范围内的平均速度，这 些平均速度有何变化趋势？
t0 t1
56 5 5.1 5 5.01 5 5.001
时间改变量 t