数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
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x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
则
T T'
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T
u(
x dx, x
t)
u ( x, x
t
)
gds
ma
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
m ds
其中：
a 2u(x,t) t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
微小： 振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
牛顿运动定律：
横向：T cos T 'cos ' 0
纵向：T sin T 'sin ' gds ma 其中： cos 1 2 4 1
2! 4!
cos ' 1
sin tan u(x,t)
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学与物理的关系
数理不分家
☆ 数学物理方程： 用数学方程来描述一定的物理现象
数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门 分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等)， 它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。
• 如图，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长 方向的各截面均用平行位置x标记；在任一 时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u( x, t )
• 在杆中隔离一小段(x, x dx),分析受力情况
截面x：受到弹(应)力P( x, t )S; 截面x dx：受到弹力P(x dx,t)S, P为单位面积所受的弹力，沿x轴方向.
☆ 特殊函数
在求解某些类型的数理方程时，采用分离变量法所得到的方程的解 是某种特殊函数，例如贝塞尔(Bessel)函数、勒让德(Legendre)函 数等。其中有些特殊函数我们在“微积分”课程中已经学习并且研究 过其性质。在本课程中，我们只讨论它们在数理方程中的应用问题。
☆ 课程的内容： 三类方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
dx
T u2 (x,t)
2u( x, t )
g
x2ห้องสมุดไป่ตู้
t 2
令：
a2
T
2u t 2
a2
u 2 x2
g
自由项
忽略重力作用：
2u a2 u2
t 2
x2
…… 一维波动方程 ------非齐次方程
------齐次方程 （弦振动方程）
如果弦在振动方向上还受一外力作用，设单位长度所受的外力
为F ( x, t ), 则仿照前面的推导，有
u( x, t ) x
gdx
2u( x, t ) t 2
dx
其中：u(x dx,t) x
u ( x, t ) x
x
u(x,t) x
dx
2u ( x, t ) x2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
u ( x, t ) t
a2
2u( x, t ) x2
( 热传导方程 )
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
一、 基本方程的建立
例1、均匀弦的微小横振动
假设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线方向拉紧，只受弦 本身的张力和重力影响。如下图所示，我们研究弦作微小横向
牛顿运动定律：
dm 2u [P(x dx,t) P(x,t)]S. t 2
2u
dm t2 [P(x dx,t) P(x,t)]S.
若杆的密度为，dm dx S,则
2u P
t2 x
又x dx点处的位移 u(x dx,t) u(x,t) du u(x,t) u dx, x
波动方程、 热传导传导、 拉普拉斯方程
分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法
贝赛尔函数、 勒让德函数
☆ 参考书目：
*《数学物理方法》，梁昆淼著，人民教育出版社 *《数学物理方法》，邵惠民著，科学出版社 *《数学物理方程》, 戴嘉尊著，东南大学出版社
☆数学物理方程发展历史简介
偏微分方程诞生于18世纪，19、20世纪是其迅速发展时期：
(1) 首先确定所要研究的物理量 u( x, t )
(2) 根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用(抓住主要 影响，忽略次要影响)，这种相互作用在一个短时间段里如何
影响物理量 u
(3) 用数学语言表达出这种相互影响，经简化整理就得到数 学物理方程。
例2、杆的纵振动
考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动，假设在垂直杆长 方向的任一截面上各点的振动情况（位移）完全相同。
运动时，弦上各点的运动规律。
简化假设：
(1)柔软：弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向； 细：与张力相比可略去重力,弦的截面直径与长度相比可忽略，弦视为曲
线 均匀：质量是均匀的，线密度为常数。
(2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦的平衡位置为x轴，横向是指 弦上各点在同一平面内垂直于x轴的方向运动；
2u x2
2u y 2
2u z 2
0
(
( Laplace方程 ) 位势（Possion）方程
)
19世纪打开偏微分方程研究热烈局面的第一人是傅立叶 (Fourier)，当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要 确定物体内部各点的温度如何随时间变化。Fourier对这种 热流动问题颇感兴趣，1807年向巴黎科学院提交用数学研 究热传导的论文并创立了分离变量法：
17世纪微积分产生后，人们开始把力学中的一些问题和规律 归结为偏微分方程进行研究。1747年，法国数学家、物理学家 达朗贝尔将弦振动问题归结为如下形式的偏微分方程并探讨了
它的解法：
2u( x, t ) t 2
a2
2u( x, t ) x2
( 弦振动方程 ) ( 波动方程 )
1752年欧拉在论文中首先出现位势方程，后来因为拉普拉 斯(Laplace)的出色工作，称为Laplace方程：
u
Fds
T
2u x2
dx
Fdx
dx
2u t 2
M'
T'
'
M ds
T
2u x2
F
2u t 2
T
x
x dx x
其中a
2u t 2
a2
2u x2
f
,
一维非齐次波动方程 弦的受迫振动
T 为振动在弦上的传播速度，为线密度，T为张力,
f F , F为单位弦长在振动方向上所受的外力。
数学物理方程的导出步骤为：
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
则
T T'
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T
u(
x dx, x
t)
u ( x, x
t
)
gds
ma
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
m ds
其中：
a 2u(x,t) t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
微小： 振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
牛顿运动定律：
横向：T cos T 'cos ' 0
纵向：T sin T 'sin ' gds ma 其中： cos 1 2 4 1
2! 4!
cos ' 1
sin tan u(x,t)
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学与物理的关系
数理不分家
☆ 数学物理方程： 用数学方程来描述一定的物理现象
数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门 分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等)， 它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。
• 如图，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长 方向的各截面均用平行位置x标记；在任一 时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u( x, t )
• 在杆中隔离一小段(x, x dx),分析受力情况
截面x：受到弹(应)力P( x, t )S; 截面x dx：受到弹力P(x dx,t)S, P为单位面积所受的弹力，沿x轴方向.
☆ 特殊函数
在求解某些类型的数理方程时，采用分离变量法所得到的方程的解 是某种特殊函数，例如贝塞尔(Bessel)函数、勒让德(Legendre)函 数等。其中有些特殊函数我们在“微积分”课程中已经学习并且研究 过其性质。在本课程中，我们只讨论它们在数理方程中的应用问题。
☆ 课程的内容： 三类方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
dx
T u2 (x,t)
2u( x, t )
g
x2ห้องสมุดไป่ตู้
t 2
令：
a2
T
2u t 2
a2
u 2 x2
g
自由项
忽略重力作用：
2u a2 u2
t 2
x2
…… 一维波动方程 ------非齐次方程
------齐次方程 （弦振动方程）
如果弦在振动方向上还受一外力作用，设单位长度所受的外力
为F ( x, t ), 则仿照前面的推导，有
u( x, t ) x
gdx
2u( x, t ) t 2
dx
其中：u(x dx,t) x
u ( x, t ) x
x
u(x,t) x
dx
2u ( x, t ) x2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
u ( x, t ) t
a2
2u( x, t ) x2
( 热传导方程 )
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
一、 基本方程的建立
例1、均匀弦的微小横振动
假设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线方向拉紧，只受弦 本身的张力和重力影响。如下图所示，我们研究弦作微小横向
牛顿运动定律：
dm 2u [P(x dx,t) P(x,t)]S. t 2
2u
dm t2 [P(x dx,t) P(x,t)]S.
若杆的密度为，dm dx S,则
2u P
t2 x
又x dx点处的位移 u(x dx,t) u(x,t) du u(x,t) u dx, x
波动方程、 热传导传导、 拉普拉斯方程
分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法
贝赛尔函数、 勒让德函数
☆ 参考书目：
*《数学物理方法》，梁昆淼著，人民教育出版社 *《数学物理方法》，邵惠民著，科学出版社 *《数学物理方程》, 戴嘉尊著，东南大学出版社
☆数学物理方程发展历史简介
偏微分方程诞生于18世纪，19、20世纪是其迅速发展时期：
(1) 首先确定所要研究的物理量 u( x, t )
(2) 根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用(抓住主要 影响，忽略次要影响)，这种相互作用在一个短时间段里如何
影响物理量 u
(3) 用数学语言表达出这种相互影响，经简化整理就得到数 学物理方程。
例2、杆的纵振动
考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动，假设在垂直杆长 方向的任一截面上各点的振动情况（位移）完全相同。
运动时，弦上各点的运动规律。
简化假设：
(1)柔软：弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向； 细：与张力相比可略去重力,弦的截面直径与长度相比可忽略，弦视为曲
线 均匀：质量是均匀的，线密度为常数。
(2)横振动：振动发生在同一平面内。若弦的平衡位置为x轴，横向是指 弦上各点在同一平面内垂直于x轴的方向运动；
2u x2
2u y 2
2u z 2
0
(
( Laplace方程 ) 位势（Possion）方程
)
19世纪打开偏微分方程研究热烈局面的第一人是傅立叶 (Fourier)，当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要 确定物体内部各点的温度如何随时间变化。Fourier对这种 热流动问题颇感兴趣，1807年向巴黎科学院提交用数学研 究热传导的论文并创立了分离变量法：
17世纪微积分产生后，人们开始把力学中的一些问题和规律 归结为偏微分方程进行研究。1747年，法国数学家、物理学家 达朗贝尔将弦振动问题归结为如下形式的偏微分方程并探讨了
它的解法：
2u( x, t ) t 2
a2
2u( x, t ) x2
( 弦振动方程 ) ( 波动方程 )
1752年欧拉在论文中首先出现位势方程，后来因为拉普拉 斯(Laplace)的出色工作，称为Laplace方程：
u
Fds
T
2u x2
dx
Fdx
dx
2u t 2
M'
T'
'
M ds
T
2u x2
F
2u t 2
T
x
x dx x
其中a
2u t 2
a2
2u x2
f
,
一维非齐次波动方程 弦的受迫振动
T 为振动在弦上的传播速度，为线密度，T为张力,
f F , F为单位弦长在振动方向上所受的外力。
数学物理方程的导出步骤为：