学而思讲义(乘法巧算)
学而思三年级数学寒假1-6讲课程讲义201802
学而思三年级数学寒假1-6讲课程讲义第1讲角的认识模块2：角度计算例3：(1)若∠A和∠B的和为150°，且∠A是∠B的4倍，那么∠A=.(2)若∠A+∠B+∠C=160°，其中∠C是直角，那么∠B=.例4：如图所示，已知∠1的度数是∠2度数的2倍，求∠1、∠2、∠3、∠4分别是多少度？练一练如图所示，已知∠3=30°，求∠2、∠1、∠4分别是多少度？312312作业2：10点整的时候，钟面上时针与分针所成的角是度。
作业3：已知∠1=35°，求∠1的补角是度，余角是是度。
作业4：(1)若∠A+∠B+∠C=120°，其中∠A=28°，∠C=60°，那么∠B=°。
第2讲四则运算模块1：加减法巧算例1：计算(1)63+294+37+54+6(2)261-43+83-157+39==(3)19+199+1999+19999(4)81+85+78+87+79 ==模块2：乘法的巧算例2：计算(1)33×15÷5(2)1800÷25÷4==(3)125×(8÷10)(4)(36×21)÷(6×7)==练一练(1)36×25(2)32×125==(3)25÷(10÷8)(4)37000÷125÷8==计算:(1)34×36;78×72(2)13×17;31×39 (3)43×63;87×27(4)25×25;56×56模块3：提取公因数例4：计算:(1)67×66+67×35-67(2)80×15+15×22-30 (3)33×34+34×35+68×66(4)12×38+12×34+24×14(1)76×25-50+25×26(2)60×29+60×33+40×62作业1：(1)736+49+264+24+11(2)653-249-151作业2：(1)240÷100×5(2)2800÷(25×7)作业3：35×20+70+35×7867×46+54×33+34×54第3讲数列中的秘密模块1：求通项与项数例1：(1)等差数列3，7，11，15，……,第26项是。
学而思六年级数学讲义
学而思六年级数学讲义第一章：整数的运算1. 整数的概念整数是由正整数、零、负整数组成的数集，用于表示有方向的量和相反的数。
2. 整数的加法与减法•整数的加法：同号相加，异号相减。
例如，(2) + (3) = 5，(-2) + (-3) = -5，(-2) + 3 = 1。
•整数的减法：加上相反数。
例如，(5) - (2) = 3，(-5) - (-2) = -3，(-5) - 2 = -7。
3. 整数的乘法与除法•整数的乘法：规律同整数的加法，同号相乘为正，异号相乘为负。
例如，(2) × (3) = 6，(-2) × (-3) = 6，(-2) × 3 = -6。
•整数的除法：除数与被除数同号时为正，异号时为负。
例如，(6) ÷(3) = 2，(-6) ÷ (-3) = 2，(-6) ÷ 3 = -2。
4. 混合运算整数的加减乘除可以进行混合运算，按照运算顺序进行计算，并注意运算符的优先级。
例题：计算：(4 + 6) × (-2) ÷ (-2) - 5解答：首先计算括号内的加法，得到10。
然后进行乘法，得到-20。
接下来进行除法，答案为10。
最后减去5，最终得到5。
第二章：小数的运算1. 小数的概念小数是由整数部分和小数部分组成的数，小数部分用十进制表示。
小数可以表示较小或无法用整数表示的数。
2. 小数的加法与减法•小数的加法：对齐小数点，逐位相加。
例如，1.2 + 3.4 = 4.6，5.8 +0.7 = 6.5。
•小数的减法：转换成加法，被减数加上减数的相反数。
例如，5.2 -1.3可以转换为5.2 + (-1.3)。
3. 小数的乘法与除法•小数的乘法：按照小学乘法的规则进行计算，然后确定小数点的位置。
例如，1.2 × 3 = 3.6，0.5 × 0.4 = 0.2。
•小数的除法：先将除法转化为乘法，然后确定小数点的位置。
学而思初一数学暑假班第15讲.乘法公式(二).教师版
= ⎡(a - b )2 + (a - c)2 + (b - c)2 ⎤⎦ 填空：⑷ a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca = (______+ ______+ ______)2 ；15乘法公式(二)基础知识常用公式 (二)：⑴三元完全平方公式： 示例剖析8a 3 - 27b 3 = (2a - 3b )(4a 2 + 6ab + 9b 2 )(a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac⑵立方差（和）公式：(2 x + y )3 = 8x 3 + 6 x 2 y + 6 xy 2 + y 3a 3 -b 3 = (a - b )(a 2 + ab + b 2 )a 3 +b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 )⑶完全立方公式：(a ± b )3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b 3常见变形：a 2 +b 2 +c 2 - ab - bc - ac1 2 ⎣a 3 +b 3 = (a + b )3 - 3ab (a + b )模块一三元完全平方公式夯实基础【例1】 计算：⑴ (a + b + c)2 ；⑵ (a - b - c)2 ；⑶ (a - 2b + 3c)21 1 1 1 1 19 16 4 6 4 3⑸ 4m 2 + n 2 + 16 p 2 - 4mn - 8np + 16 pm = (______ - ______ + 4 p )2【解析】⑴ 原式 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc⑵ 原式 = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab - 2ac + 2bc第 15 讲·尖端预备班·教师版1⑷ a ， b ， cn⑵ 已知三个数 a ，b ，c 满足方程 ⎨c 2 + 2ab = 29 ⎩a + 2bc = 21 ⑵ 已知 a - b = b - c = ， a 2 + b 2 + c 2 = 1 ，求 ab + bc + ca 的值．= ⎡(a - b )2 + (a - c)2 + (b - c)2 ⎤⎦ = ⎡⎣(-1)2 + (-2)2 + (-1)2 ⎤⎦ = 3 故 ab + bc + ca = (a 2 + b 2 + c 2 ) - 1 ⎡(a - b )2 + (b - c)2 + (c - a)2 ⎤2 ⎣⑶ 原式 = a 2 + 2b 3 + 3c 2 - 4ab + 6ac - 18bc1 1 1 3 42 ⑸ 2m ，【例2】 ⑴ 已知 ( x + y)2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 ，则 ( x + y)999 = ___________．⎧b 2 + 2ac = 14 ⎪，求 a + b + c ．⎪ 2【解析】⑴ 解法一：由已知条件可知， x 2 + y 2 + 1 + 2xy - 2 y - 2x = ( x + y - 1)2 = 0 ，故 x + y = 1 ， ( x + y)999 = 1 ．解法二：由已知条件可知， ( x + y)2 - 2( x + y) + 1 = ( x + y - 1)2 = 0 ， 故 x + y = 1 ， ( x + y)999 = 1 ．⑵ 三式相加，得 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 64 ，所以 (a + b + c )2 = 64 ，a + b + c = ±8 ．能力提升【例3】 ⑴ 若 a = 1990 ， b = 1991 ， c = 1992 ，则 a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac =．35【解析】⑴ a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac1 2 ⎣1 2⑵ 由 a - b = b - c = 3 可知， a - c = 6 ，5 5⎦1 9 9 36 2= 1 - ⨯ ( + + ) =- ．2 25 25 25 25【例4】 ⑴ 已知 3a + 2b + c = 24 ，且 a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca ，则 a 3 + b 2 + c = _________⑵ 如果 a ，b ，c 是 ∆ABC 三边的长，且 a 2 + b 2 - ab = c(a + b - c) ，那么 ∆ABC 是( )A ． 等边三角形B ． 直角三角形C ． 钝角三角形D ． 形状不确定【解析】⑴ 由 a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca ，可得 a = b = c ;则 a = b = c = 4 ． a 3 + b 2 + c = 84⑵ 已知关系式可化为 a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac = 0 ，即 1 (2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab - 2bc - 2ac) = 0 ，22第 15 讲·尖端预备班·教师版⎪3b - 2c = 0 ⎨ ⑶ 计算： (a - )(a + )(a 2 - a + )(a 2 + a + )⑵ (2a + b )2 ⎡4a 2 - (2a - b )b ⎤2所以 1 [(a - b )2 + (b - c)2 + (a - c)2 ] = 0 ，故 a = b ， b = c ， c = a ．即 a = b = c ．选 A ．2【备选】若 14(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + 2b + 3c)2 ，求 a : b : c ．【解析】∵14(a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + 2b + 3c)2 ，∴13a 2 + 10b 2 + 5c 2 - 4ab - 12bc - 6ac = 0 ，即 (4a 2 - 4ab + b 2 ) + (9a 2 - 6ac + c 2 ) + (9b 2 - 12bc + 4c 2 ) = 0 ， 亦即 (2a - b )2 + (3a - c)2 + (3b - 2c)2 = 0 ． ⎧2a - b = 0 ∴ ⎪3a - c = 0 ，⎩解得 b = 2a ， c = 3a ，∴ a : b : c = 1:2:3 ．模块二立方公式夯实基础【例5】 计算：⑴ (2m + n 2 )(4m 2 - 2mn 2 + n 4 ) ；⑵ (3x 2 - 2 y)(9x 4 + 6 x 2 y + 4 y 2 ) ； ⑶ ( x m + x n )(x 2m - x mn + x 2n ) ；填空：⑷ (b - _____)(4a 2 + 2ab + b 2 ) = b 3 - 8a 3 ；⑸ ( x + 3 y )( x 2 - ____ + 9 y 2 ) = x 3 + 27 y 3【解析】⑴ (2m + n 2 )(4m 2 - 2mn 2 + n 4 ) = 8m 3 + n 6 ；⑵ (3x 2 - 2 y)(9x 4 + 6x 2 y + 4 y 2 ) = (3x 2 )3 - (2 y)3 = 27 x 6 - 8 y 3⑶ ( x m + x n )( x 2m - x mn + x 2n ) = ( x m )3 + ( x n )3 = x 3m + x 3n ⑷ 2a ；⑸ 3xy ；【例6】 ⑴ 计算： (a + 2b )(a - 2b )(a 4 - 8a 2b 2 + 16b 4 )⑵ 计算： (2a + b )2 ⎡⎣4a 2 - (2a - b )b ⎤⎦21 1 1 1 1 13 3 3 9 3 9【解析】⑴ (a + 2b )(a - 2b )(a 4 - 8a 2b 2 + 16b 4 ) = (a 2 - 4b 2 )3 = a 6 - 12a 4b 2 + 48a 2b 4 - 64b 6 ．⎣ ⎦= (2a + b )2 (4a 2 - 2ab + b 2 )2 = (8a 3 + b 3 )2 = 64a 6 + 16a 3b 3 + b 6 ；⑶ (a - 1)(a + 1)(a 2 - 1 a + 1 )(a 2 + 1 a + 1 ) = (a 3 - 1 )(a 3 + 1 ) = a 6 - 1 ；3 3 3 9 3 9 27 27 729第 15 讲·尖端预备班·教师版3⑵ a 2 + b 2 = (a + b ) + (a - b ) = 13 ， ab = (a + b ) - (a - b ) = -6 ， a 2 + b 2 + ab = 7 ．故 a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 ) = (a + b ) ⎡(a + b )2 - 3ab ⎤ = 125 - 15ab⑵ 由xy = 1 ⎡( x + y)2 - ( x 2 + y 2 )⎤ = - 1 ， 2 ⎣ 2模块三公式的应用能力提升【例7】 ⑴ 已知 a + b = 3 ， ab = 12 ，求下列式的值： a 2 - ab + b 2 = ； (a - b )2 =⑵ 已知实数 a 、 b 满足 (a + b )2 = 1 ， (a - b )2 = 25 ，求 a 2 + b 2 + ab 的值．⑶ 若 a + b = 5 ，求 a 3 + b 3 + 15ab 的值．【解析】⑴ a 2 - ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 - 3ab = (a + b )2 - 3ab = 45(a - b )2 = a 2 - 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 - 4ab = (a + b )2 - 4ab = 572 2 2 2 2 4⑶ 解法一：由 a + b = 5 ，⎣ ⎦从而可知， a 3 + b 3 + 15ab = 125 解法二：由 a + b = 5 ，故 (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a + b ) = a 3 + b 3 + 15ab = 125【例8】 若 x + y = m + n ， x 2 + y 2 = m 2 + n 2 ，求证： x 2012 + y 2012 = m 2012 + n 2012【证明】因为 x + y = m + n ，所以 ( x + y)2 = (m + n)2 ，即 x 2 + 2xy + y 2 = m 2 + 2mn + n 2 ；因为 x 2 + y 2 = m 2 + n 2 ，所以 2xy = 2mn ，于是 x 2 - 2xy + y 2 = m 2 - 2mn + n 2 ， 即 ( x - y)2 = (m - n)2 ，所以 x - y = m - n 或者 x - y = n - m ； 于是 x = m ， y = n 或者 x = n ， y = m ； 无论哪种情况，都有 x 2012 + y 2012 = m 2012 + n 2012【例9】 ⑴ 已知 x + y = 10 ， x 3 + y 3 = 100 ，求 x 2 + y 2 的值．⑵ 已知 x + y = 1， x 2 + y 2 = 2 ，求 x 6 + y 6 的值．【解析】⑴ 由 x 3 + y 3 = ( x + y)3 - 3xy( x + y) ，得1000 - 3xy ⨯10 = 100 ，即 xy = 30 ．所以 x 2 + y 2 = ( x + y)2 - 2xy = 40 ．⎦ ∴ x 6 + y 6 = ( x 2 )3 + ( y 2 )3 = ( x 2 + y 2 )3 - 3x 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) = 13 ．2【例10】 ⑴ 若 ( x + 2)2 + ( x - 3)2 = 13 ，则 ( x + 2)(3 - x) = ．⑵ 已知 (2012 - a)(2010 - a) = 2011 ，那么 (2012 - a)2 + (2010 - a)2 = ．【解析】⑴ 令 x + 2 = a ， 3 - x = b ，问题变为： a + b = 5 ， a 2 + b 2 = 13 ，求 ab 的值．4第 15 讲·尖端预备班·教师版易知 ( x + 2)(3 - x) = ab = ⎡(a + b )2 - (a 2 + b 2 )⎤ ⨯ 1 = 6 ．a = 5 ，则 a 2 =_________．a 的值．【解析】⑴ a + 1 = 5 ⇒ a 2 + 1 = 23 ， a + a + 1 = a 2 + 1 + 1 = 24x ；⑵ x 2 + x 2 ；⑶ x 4 + x 4 的值．【解析】⑴ ∵ x 2 - 7 x + 1 = 0 ，∴ x ≠ 0 ，∴ x - 7 x + 1 = 0 ，即 x + 1 = 7x = 7 ，∴ x 2 + x 2 = 47 ，∴ x 4 + x 2 - x + 1 = 7，则 x 4 + x 2 + 1 =__________．x 2 - x + 1 = 7 ⇒x = x + 1 x - 1= = 1 = 49x 4 + x 2 + 1 =⎣ ⎦ 2⑵ 令 2012 - a = x ， 2010 - a = y ，问题变为： x - y = 2 ， x ⋅ y = 2011 ，求 x 2 + y 2 的值．易知 x 2 + y 2 = ( x - y)2 + 2xy = 22 + 2 ⨯ 2011 = 4026【例11】 ⑴ 已知 a + 1a 4 + a 2 + 1⑵ 已知： a 2 + 1 a 2= 7 ，求 a + 14 2 a a 2 a 2 a 2⑵ ∵ a 2 + 1 = 7 ，∴ a 2 + 1 + 2 = 9 ，即 (a + 1 )2 = 9 ， a + 1 = ±3a 2 a 2 a a【例12】 已知： x 2 - 7 x + 1 = 0 ，求⑴ x + 1112 x x⑵ ∵ x + 1 1 1x 2 + 2 = 49 ，∴ x 2 + x 2 = 47⑶ ∵ x 2 + 1 1 1 x 4 + 2 = 2209 ，∴ x 4 + x 4 = 2207【备选】若 x x 2【解析】x1 1 8 1 34= 7 ⇒ x + ⇒ x 2 + =-7 x 2 49x 2 1 1x 2 + 1 + 1 1 - 34 15 15x 2 49 49第 15 讲·尖端预备班·教师版5⑶ 2 x - y - z ⎪ ⑶ 2 x - y - z ⎪ = ⎢2x + (- y ) + - z ⎪⎥ = 4x 2 + y 2 + z 2 - 4xy + yz - 2zx 1 ⎫2 ⎡ 2 ⎭ ⎣ x + 20 ， b = x + 19 ， c = x + 21 ， 故 a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca = 1 ⎡(a - b )2 + (b - c)2 + (c - a)2 ⎤ = 1 ⨯ 6 = 32 ⎣ 2实战演练知识模块一 三元完全平方公式 课后演练【演练1】 计算：⑴ (3x - y + 5z)2⑵ ( x - 5 y - 9)2⎛ 1 ⎫2 ⎝2 ⎭ 【解析】⑴ (3x - y + 5z)2 = 9x 2 + y 2 + 25z 2 - 6xy - 10 yz + 30 z x ；⑵ ( x - 5 y - 9)2 = x 2 + 25 y 2 + 81 - 10xy + 90 y - 18x ．⎛ ⎛ 1 ⎫⎤ 21 ⎝ ⎝2 ⎭⎦4【演练2】 已知 a =1 1 120 20 20求代数式 a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca 的值．【解析】由 a = 1 x + 20 ， b = 1 x + 19 ， c = 1 x + 21 ，可知， a - b = 1 ， b - c = -2 ， c - a = 120 20 20⎦【演练3】 若 a ， b ， c 均为正数，且满足 a 4 + b 4 + c 4 = a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ，那么 a ， b ， c 之间有什么关系？【解析】由 a 4 + b 4 + c 4 = a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 ，得 2(a 4 + b 4 + c 4 ) = 2(a 2b 2 + b 2c 2 + c 2a 2 )故 (a 4 - 2a 2b 2 + b 4 ) + (b 4 - 2b 2c 2 + c 4 ) + (c 4 - 2c 2 a 2 + a 4 ) = 0即 (a 2 - b 2 )2 + (b 2 - c 2 )2 + (c 2 - a 2 )2 = 0 ，得 a 2 - b 2 = 0 , b 2 - c 2 = 0 , c 2 - a 2 = 0 即 a 2 = b 2 = c 2 ，又由 a ， b ， c 为正数，即得 a = b = c6第 15 讲·尖端预备班·教师版【演练6】 已知 x + y = 1 ， x 3 + y 3 =，求 x 6 + y 6 的值． ⎦a 的值．知识模块二 立方公式 课后演练【演练4】 ⑴ 填空： (m + 2n)(____ - 2mn + ____) = m 3 + 8n 3⑵ 计算： (b + 3a)(9a 2 - 3ab + b 2 ) ⑶ 计算： ( x + 2 y)2 ( x 2 - 2 x y + 4 y 2 )2【解析】⑴ m 2， 4n 2 ；⑵ (b + 3a)(9a 2 - 3ab + b 2 ) = (b + 3a)(b 2 - 3ab + 9a 2 ) = b 3 + (3a)3 = b 3 + 27a 3 ； ⑶ ( x + 2 y)2 ⋅ ( x 2 - 2xy + 4 y 2 )2= ⎡⎣( x + 2 y)(x 2 - 2xy + 4 y 2 )⎤2 = ( x 3 + 8 y 3 )2 = x 6 + 16x 3 y 3 + 64 y 6知识模块三 公式的应用 课后演练【演练5】 已知 a + b = 3 ， a 2b + ab 2 = -30 ，则 a 2 - ab + b 2 + 11 = ．【解析】 a 2b + ab 2 = ab(a + b ) = 3ab = -30 ，所以 ab = -10 ，a 2 - ab + b 2 + 11 = (a + b )2 - 3ab + 11 = 50 ．13【解析】由于 x 3 + y 3 = ( x + y)3 - 3xy(x + y) = 1 - 3xy = 1 ，得到 xy = 2 ；3 9于是： x 6 + y 6 = ( x 3 + y 3 )2 - 2x 3 y 31 2= ( )2 - 2 ⨯ ( )33 9 = 65 729【演练7】 已知： a 2 + 1 a 2= 3 ，求 a - 1【解析】∵ a 2 + 1 = 3 ，∴ a 2 + 1 - 2 = 1 ，即 (a - 1 )2 = 1 ， a - 1 = ±1a 2 a 2 a a第 15 讲·尖端预备班·教师版7。
学而思初一数学寒假班第5讲.基本乘法公式及应用.教师版
代数式6级 复杂乘法公式及整式除法代数式5级 基本乘法公式及应用代数式4级 整式乘法原来如此漫画释义满分晋级阶梯5基本乘法公式及应用题型切片（四个） 对应题目题型目标平方差公式及几何意义 例1； 完全平方公式及几何意义 例2；例3； 简便计算例4；乘法公式的综合运用例5；例6；例7；例8考点一、平方差公式 若226m n -=，且3m n -=，则m n += .【解析】 2考点二、完全平方公式及变形若4,2p q pq -==-，则22p q +的值为 . 【解析】 12【例1】平方差公式及几何意义； 【例2】完全平方公式的计算；【例3】完全平方公式几何意义和复杂计算； 【例4】利用两个公式简便计算； 【例5】先化简再代入求值； 【例6】平方差公式的应用；编写思路考点剖析知识互联网题型切片【例7】完全平方公式的应用； 【例8】常考恒等变形.【例1】 ⑴ 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）图乙图甲bbaaabbA ．222()2a b a ab b +=++ B ．222()2a b a ab b -=-+ C ．22()()a b a b a b -=+- D ．22(2)()2a b a b a ab b +-=+-⑵如图，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，将余下部分拼成一公 式示例剖析平方差公式：22()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做（乘法的）平方差公式．bbbaa注意：⑴ 负数的奇数次幂与偶数次幂结果完全不同，运算中要格外注意．⑵ 运算性质中，字母a ，b 可表示一个数一个单项式或一个多项式． ⑶ 幂的运算法则的逆运用，可以解决很多相关问题，要求对运算法则熟练掌握才能做到准确地应用． ⑷ 零指数计算中底数不能为零．夯实基础知识导航模块一 平方差公式及几何意义个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为( )A ．()2222a b a ab b -=-+B ．()2222a b a ab b +=++ C ．()()22a b a b a b -=+- D ．()2a ab a a b +=+⑶计算①()()x y x y +- ②()()x y x y +-+ ③()()22x y x y +- ④(43)(43)x x +- ⑤()()x y x y -+-- ⑥2233n m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】 ⑴ C ；⑵C; ⑶①22x y -；②22y x -；③224x y -；④2169x -；⑤22x y -；⑥2249m n -.公 式示例剖析完全平方公式：222()2a b a ab b -=-+ 222()2a b a ab b +=++两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，这两个公式叫做完全平方公式．()22121x x x +=++完全平方公式几何意义：知识导航模块二 完全平方公式及几何意义【例2】 计算⑴()2x y +；⑵()2x y -+；⑶()2x y --⑷2(3)x y + ；⑸2(23)x y --；⑹ 2324x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】 ⑴222x xy y ++；⑵222x xy y -+⑶222x xy y ++；⑷2296x xy y ++；⑸ 224129x xy y ++；⑹293416x x -+.【例3】 ⑴ 有若干张面积分别为2a ，2b ，ab 的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为2a 的正方形纸片，4张面积为ab 的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为2b 的正方形纸片为（ ）A ．2张B ．4张C ．6张D ．8张⑵ 化简：()()()222m n m n m n m -+++-; ⑶2(25)(52)(25)x x x ----； ⑷()()x y z x y z +++- ⑸()()x y z x y z +--+ ⑹(59)(59)x y x y +--+.【解析】⑴ B ；⑵ ()()()22222222222m n m n m n m m n m mn n m mn -+++-=-+++-=; ⑶ 284050x x -+-； ⑷2222x y z xy +-+； ⑸2222x y z yz --+； ⑹22259081x y y -+-bbaaba b a关于完全平方公式的重要变形： 222()2a b a b ab +=+- 222()2a b a b ab +=-+()22()4a b a b ab +=-+221()()4ab a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 夯实基础对于在形式上符合平方差公式和完全平方公式的数字运算，可以运用两个公式进行简便计算，注意无论公式还是公式的逆用都要很熟悉，才能熟练应用.【例4】 ⑴ 2999; ⑵2299101+；⑶ 22221111111123410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;【备选】⑷24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++ 【解析】⑴ 998001;⑵ 原式=()()2210011001-++=20002；⑶原式=11111111111122331010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=132491122331010⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=1120；⑷24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++2481622481644816881616163232(21)(21)(21)(21)(21)(21)1(21)(21)(21)(21)(21)1(21)(21)(21)(21)1(21)(21)(21)1(21)(21)1(21)12=-++++++=-+++++=-++++=-+++=-++=-+=首先要熟悉每个公式的特点，从而灵活应用.知识导航模块四 乘法公式的综合运用知识导航模块三 简便计算能力提升【例5】 ⑴ 先化简，再求值:()()()2111x x x x +-+-，其中2x =-⑵ 已知21y x +=，求代数式()()2214y y x +--的值．⑶()()()22322x y x y x y +-+-，其中1132x y ==-，.⑷若22m m +=，求代数式()221(1)(2)(23)(32)m m m m m ++----+的值.【解析】 ⑴ 原式232311x x x x =-+-=-,当2x =-时，原式()3219=--=-.⑵ 原式22214y y y x =++-+ =241y x ++ ()=221y x ++当21y x +=时，原式2113=⨯+=. ⑶ 原式=()()222241294x xy y x y ++--=21210xy y +=111232⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭+21102⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=12.⑷ 原式=21214m m ++=.【例6】 ⑴ 若()()22122163a b a b +++-=，求a b +的值.⑵ 已知2214x y y z x z -=-=+=，，，求22x z -的值.【解析】 ⑴ ()()()22212212163a b a b a b +++-=+-=⎡⎤⎣⎦⇒()216a b +=⇒4a b +=±.⑵ ()()224x z x y y z -=-+-=+=，()()2214456x z x z x z -=+-=⨯=.【例7】 ⑴已知()()212x x x y ---=-，求222x y xy +-的值.⑵已知72a b ab +==，，求① 22a b +；② 22a ab b -+.【解析】⑴ 条件化简得2x y -=，()2222222222222x y x y x y xy xy -++--====. ⑵ ①()2222a b a b ab +=+-=2722-⨯=45.②22a ab b -+=()23a b ab +-=2732-⨯=43.【备选】⑴已知22610340m n m n +-++=，求m n -的值.⑵已知3a b +=，2230a b ab +=-，求2211a ab b -++的值.【解析】⑴()()222261034350m n m n m n +-++=-++=，所以35m n ==-，，故8m n -=.⑵22()30a b ab ab a b +=+=-， 10ab ∴=-夯实基础能力提升22211()3119301150a ab b a b ab ∴-++=+-+=++=.【例8】 已知2410x x -+=，求 ① 1x x +；② 221x x+. 【解析】 ① ∵2410x x -+= ∴0x ≠， 则两边同时除以x 得11404x x x x-+=⇒+=，② 221x x +=2112x x x x ⎛⎫+-⨯⨯= ⎪⎝⎭24214-=.【备选】先化简：()()22x y x xy y +-+，若=1=1x y xy +-，，求33x y +. 【解析】33x y +；334x y +=.训练1. 请设计一个几何图形，验证222()2a b a ab b -=-+.【解析】训练2. ⑴ 若21690x x -+=，则2x = ; ⑵()()22a b c b c a --+-; ⑶ ()()222121a a +-.【解析】⑴ 6; ⑵ 2224442b c a bc ab ac ----++; ⑶ 421681a a -+.训练3. 已知实数a ，b 满足()21a b +=，()225a b -=，求22a b ab ++的值． （北大附期末考试） 【解析】 ()22221a b a ab b +=++=①()222225a b a ab b -=-+=②①+②得2213a b +=. ①-②得6ab =-. ∴221367a b ab ++=-=.思 维 拓 展 训 练（选讲）真题赏析bbaa训练4. 2222004200312004200220042004++ 【解析】 设20042003a =，则2222004200312004200220042004++=2221(1)(1)a a a +-++=12.知识模块一 平方差公式及几何意义 课后演练 【练习1】 计算()()2112x x +-= .【解析】214x -.知识模块二 完全平方公式及几何意义 课后演练 【练习2】⑴ 计算 22(2)(2)x x +-；⑵ 计算 2222()()a ab b a ab b ++-+； ⑶ 化简：()()22121x x x ++--;⑷ 如果26x xy m ++是一个完全平方式，则m =（ ） A ．9y 2B ．3y 2C ．y 2D ．6y 2【解析】⑴ 42816x x -+;⑵ 4224a a b b ++;⑶ 原式2221223x x x x =+++--=; ⑷ A.知识模块三 简便运算 课后演练【练习3】⑴ 2238.977.848.948.9-⨯+;⑵ 2222221009998979621-+-+-⋅⋅⋅+-. 【解析】⑴ 100;⑵ 原式=()()1009910099+-+()()98979897+-+⋅⋅⋅()()2121+-=100999821+++⋅⋅⋅++=5050.实战演练知识模块四 乘法公式的综合应用 课后演练【练习4】⑴先化简，再求值：()()()222a a a a -+--，其中1a =-.⑵先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-.【解析】 ⑴ 原式246a =-=-.⑵ 2222(32)(32)5(1)(21)9455(441)95x x x x x x x x x x x +-----=--+--+=-又13x =-，故原式=1959583x ⎛⎫-=⨯--=- ⎪⎝⎭【练习5】13a a -=，则221a a+= .【点评】 11.【练习6】已知实数x 、y 、z 满足259x y z xy y +==+-，，求23x y z ++的值. 【解析】 将5x y =-代入29z xy y =+-得()()22259693z y y y y y y =-+-=-+-=--⇒()2230z y +-=⇒032z y x ===，，，代入23x y z ++得8.第十四种品格：信念飞翔的信念信念就是一支火把，它能最大限度地燃烧一个人的潜能，指引他飞向梦想的天际。
学而思三年级奥数第十三讲巧算乘法
学而思三年级奥数第十三讲巧算乘法一、乘11，101，1001的速算法一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得a×11=a×(10＋1)=10a＋a，a×101=a×(101＋1)=100a＋a，a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。
例如：38×101=38×100＋38=3838。
二、乘9，99，999的速算法一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得a×9=a×(10-1)=10a-a，a×99=a×(100-1)=100a- a，a×999=a×(1000-1)=1000a-a。
例如：18×99=18×100-18=1782。
上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。
凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。
例1 计算：(1) 356×1001 练习：38×102＝356×(1000＋1)＝356×1000＋356＝356000＋356＝356356；(2) 526×99 1234×9998＝526×(100-1)＝526×100-526＝52600-526＝52074；三、乘5，25，125的速算法一个数乘以5，25，125时，因为5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到例如，76×25＝7600÷4＝1900。
第一节 整式乘法及应用-学而思培优
第一节整式乘法及应用-学而思培优第一节整式乘法及应用一、课标导航二、核心纲要1.幂的运算性质1) 同底数幂的乘法同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
即：$a^m \cdota^n = a^{m+n}$。
（其中$m,n$都是正整数）特别地，$a^m \cdot a^{-n} = \dfrac{a^m}{a^n}$。
注：①此性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，如：$a\cdot a\cdot a = a^3$。
②此性质可以逆用，即$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$。
③当幂的指数为1时，可省略不写，但是不能认为没有，如：$a\cdot a = a^2$。
2) 幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：$(a^m)^n =a^{mn}$。
注：此性质可以逆用，即：$a^{mn} = (a^m)^n$。
3) 积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：$(ab)^n = a^n b^n$。
（$n$是正整数）注：①此性质可推广到多个因数的积的乘方，即：$(abc)^n = a^n b^n c^n$。
②此性质可以逆用：$abc = (abc)^1 = a^1 b^1 c^1$。
2.整式乘法法则1) 单项式与单项式相乘系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
如$2abc\cdot3ab = 6a^2 b^2 c$。
注：①此法则适合多个单项式相乘；②用法则解题时，可分三步计算：第一步：将系数相乘；第二步：将相同字母相乘；第三步：将单独的单项式写在积中。
2) 单项式与多项式相乘单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，即：$m(a+b+c) = ma+mb+mc$，其中$m$为单项式，$a+b+c$为多项式。
3) 多项式与多项式相乘将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，即：a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd$。
(完整版)整数乘除法速算巧算教师版
本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题．一、乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。
例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆） 711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c 积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)二、乘、除法混合运算的性质⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即： ()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n ≠⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）． 例如：a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷ 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．二、乘除法巧算与速算（1）凑整：2×5；4×25；8×125……；知识点拨教案目标整数乘除法速算与巧算（2）构造整数：99999......9101k =-k 个；（3）乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯； （4）提取公因数：()a b a c a b c ⨯+⨯=⨯+； 注意：除法算式中公因数只能用为除数。
三年级奥数第13讲-乘除巧算(教)
(3)原式 626 (1000 3) 626000 1878 624122
(4)原式 1234 (10000 2) 123410000 1234 2 12340000 2468 12337532
例 3、计算： 333333333333
【解析】原式 31111113111111
999999 111111 （1000000 1）111111 111111000000 111111 111110888889
所以 27016 为结果．
例 2、请你根据“乘法的凑整”思路，推算下列各题．
3561002
231030
【解析】(1)原式 356 (1000 2) 356000 356 2 356000 712 356712 (2)原式 23 (1000 30) 23000 690 23690
例 2、小朋友，相信你一定能行噢．
(1) 6297
(2) 123 998
(3) 626997
(4) 1234分别比100 ，1000 小 3 、 2 ，利用乘法分配律可得
(1)原式 62 (100 3) 6200 186 6014
(2)原式 123 (1000 2) 1231000 123 2 123000 246 122754
291 50 9 50 (291 9) 50 300 50 6
(4)这是一个连除, 225 9 计算起来会比较复杂,但是 225 5 相比较就会简单一些,根据连除的性质:
交换除数的位置，商不变,得到比较简便的运算:
225 9 5 225 5 9 45 9 5 ．
例 2、计算的方法很重要，我们要仔细听啦。
例 2、你知道下题怎样快速的计算吗？ 786 5
【解析】 7865 786 (5 2) 2 7860 2 3930 或 7865 393 25 39310 3930
第一讲 速算与巧算之四则运算~
第一讲速算与巧算之四则运算一．加、减法速算与巧算：凑整法：凑整法就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数，再将各组的结果相加。
凑整法主要分为：⑴移数凑整法，⑵借数凑整法，⑶拆数凑整法，⑷找“基准数”法，⑸分组凑整法；例1.（一）同学们是不是很简单啦，都来试试吧！⑴34+53+66 ⑵679+27+321 ⑶63+294+37+54+6=34+66+53 =679+321+27 =63+37+294+6+54=100+53 =1000+27 =100+300+54=153 =1027 =454解析：同学们还记加法中的朋友数吗？1+9，2+8，3+7，4+6，5+5；通过运用移数凑整法（带号搬家）将朋友数组合在一起；（二）下面这道题的所有加数都是很有特点的，仔细观察，快速计算，其实并不难199999+19999+1999+199+19=200000-1+20000-1+2000-1+200-1+20-1=200000+20000+2000+200+20-5=222220-5=222215解析：此题采用借数凑整法，通过借加、还减的思想将加数转化成整数。
另外，此题还可拆小数补大数：199999+19999+1999+199+19=200000+20000+2000+200+19-4=222200+15=222215（补） 28+208+2008+20008+200008=20+8+200+8+2000+8+20000+8+200000+8=20+200+2000+20000+200000+5×8=222220+40=222260解析：此题采用拆数凑整法，通过拆减、补加的思想将加数转化成整数。
（三）计算： 801+802+805+798+807+808+795=7×800+1+2+5-2+7+8-5=5600+16=5616解析：观察发现这个几个数比较接近于同一个整数（800），所以选择这个整数（800）为“基准数”，把多加的数减去，把少加的数加上，称为找“基准数”法；（补） 100-99-98+97+96-95-94+93+…+4-3-2+1=（100-99-98+97）+（96-95-94+93）+…+（4-3-2+1）=0+0+…+0=0解析：此题采用分组凑整法，典型的分组有：⑴ + - - + ，⑵ - + + -，连续的自然数或等差数列结果等于0.观察发现此算式中恰好包含 + - - + = 0，则将100个数分成4个1组，每组结果为0，整体也为0，但需要注意的是，并不是没到题目都能正好分完，同学们在做题的时候要注意数字的个数.注：凑整看“数字”，分组看“符号”；二．乘法速算与巧算：⑴乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，即：a×b=b×a⑵乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘；或先把后两个相乘后，再与前一个数相乘，乘积不变，即：a×b×c=（a×b）×c=a×（b×c）⑶乘法分配律：两个数之和（或差）与数相乘，可用此数先分别乘和（或差）中的各数，然后再把这两个积相加（或减），即：（a+b）×c=a×c+b×c或（a-b）×c=a×c-b×c。
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巧算分数5-2巧算加减法综合5-10分数初识5-13巧算乘法9-1分数乘除5-14巧算除法9-2分数加减6-2巧算综合11-1分数裂项7-13多位数计算10-13分数四则混合运算8-4第五种运算9-16分数应用题10-18完全平方数6-9小数的认识10-19位值原理7-4小数的计算11-17比较与估算8-1小数巧算9-14循环小数9-9比和比例9-10比例模型10-7比例应用题11-19比例法解行程解方程数列5-20等式代换6-13等差数列初步6-3用字母表示数7-5等差数列进阶6-18解方程8-8整数与数列6-19列方程11-6整数裂项与通项归纳7-10定义新运算初步10-3定义新运算进阶8-18方程与方程组8-19列方程(组)解应用题11-15列方程(组)解应用题10-4方程法解行程10-16不定方程数论几何5-16周期问题进阶5-6巧求周长进阶5-18奇数与偶数进阶5-9长方形与正方形8-10整数特征进阶6-1角度9-18神奇的96-10平行四边形与梯形8-16进位制初步7-2三角形初步12-12进位制进阶7-3三角形进阶8-5质数与合数初步8-2格点与割补9-6质数与合数进阶10-8时钟问题5-19字典排列法与树形图10-9圆与扇形初步6-12带余除法进阶10-12勾股定理7-8整除特征初步10-17圆与扇形进阶10-14带余除法综合11-10特殊图形10-15同余12-1图形结合9-13因数和倍数初步12-3复合图形分拆10-11因数与倍数进阶12-6旋转与轨迹11-9数论中的组合7-14等积变形12-5数论中的规律7-15一半模型9-15鸟头模型9-19蝴蝶模型10-2燕尾模型10-5长方体与正方体10-20立体图形与空间想象12-2圆柱与圆锥应用问题行程问题逻辑推理5-8归一问题6-20速度、路程与时间6-6逻辑推理综合1 5-11和倍问题7-6相遇问题7-9逻辑推理综合2 5-12差倍问题7-7追及问题11-8逻辑推理综合3 6-4和差倍综合7-20环形跑道7-16最值问题初步5-15鸡兔同笼进阶8-6火车过桥8-14最值问题进阶5-17盈亏问题8-12流水行船11-14最值问题综合6-7方阵8-17相遇与追及综合8-9统筹与最优化6-11年龄问题进阶9-17电梯与发车问题8-15操作类智巧趣题9-7牛吃草问题11-12多次相遇与追及9-3棋盘中的数学11-18浓度问题12-11变速问题9-11斥容问题12-4经济问题8-7包含与排除9-20工程问题初步9-12必胜策略12-10工程问题进阶11-2归纳与递推11-5应用题综合111-3切片与染色11-13应用题综合211-4韩信点兵12-13应用题综合312-15计算问题综合选讲12-16图形问题综合选讲12-17整数问题综合选讲12-18组合问题综合选讲12-19应用问题综合选讲12-20行程问题综合选讲数字谜计数解题方法5-3加减法竖式数字谜进阶5-1找规律综合6-16标数法5-4突破乘法竖式6-15平面图形计数综合9-4枚举法5-5突破除法竖式7-12几何计数初步11-11从整体考虑6-8巧填算符综合10-10几何计数进阶12-7算两次7-19破译乘除法竖式6-14统计12-8从极端中考虑7-17数阵图初步5-7平均数初步6-5逆向思考进阶9-8数阵图综合7-18平均数进阶8-3数表-从日历谈起8-13抽屉原理初步10-6数表-杨辉三角12-14抽屉原理进阶11-7弦图11-16排列组合进阶10-1数字谜中的最值9-5排列组合初步12-9数字谜中的计数7-1加乘原理初步8-11加乘原理进阶6-17页码问题7-11体育比赛中的数学11-20概率初识。
学而思三年级奥数第十三讲巧算乘法教学提纲
学而思三年级奥数第十三讲巧算乘法学而思三年级奥数第十三讲巧算乘法一、乘11，101，1001的速算法一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得a×11=a×(10＋1)=10a＋a，a×101=a×(101＋1)=100a＋a，a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。
例如：38×101=38×100＋38=3838。
二、乘9，99，999的速算法一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得a×9=a×(10-1)=10a-a，a×99=a×(100-1)=100a- a，a×999=a×(1000-1)=1000a-a。
例如：18×99=18×100-18=1782。
上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。
凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。
例1 计算：(1) 356×1001 练习：38×102＝356×(1000＋1)＝356×1000＋356＝356000＋356＝356356；(2) 526×99 1234×9998＝526×(100-1)＝ 526×100-526＝ 52600-526＝52074；三、乘5，25，125的速算法一个数乘以 5，25，125时，因为 5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到例如，76×25＝7600÷4＝1900。
三年级学而思奥数讲义
目录第一讲加减法的巧算（一） (2)第二讲加减法的巧算（二） (7)第三讲乘法的巧算 (12)第四讲配对求和 (16)第五讲找简单的数列规律 (17)第六讲图形的排列规律 (19)第七讲数图形 (23)第八讲分类枚举 (26)能力测试（一） (26)第九讲填符号组算式 (28)第十讲填数游戏 (31)第十一讲算式谜（一） (35)第十二讲算式谜（二） (37)第十三讲火柴棒游戏（一） (39)第十四讲火柴棒游戏（二） (40)第十五讲从数量的变化中找规律 (45)第十六讲数阵中的规律 (45)第17讲时间与日期……………第18讲推理……………能力测试（二） (63)第19讲循环………………第20讲最大和最小…………………………第21讲最短路线…………………………第22讲图形的分与合…………………第23讲格点与面积……………………第24讲一笔画………………………阶段测试（三）……………………第25讲移多补少与求平均数………………第26讲上楼梯与植树………………第27讲简单的倍数问题……………………第28讲年龄问题……………………………第29讲鸡兔同笼问题……………………第30讲盈亏问题…………………第32讲周长的计算……………………第33讲等量代换……………………第34讲一题多解……………………能力测试（四）………………………………第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。
选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。
台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。
只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。
等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。
小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。
学而思讲义(乘法巧算)
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2. 计算 （1 ）37 ×3=
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（2 ）37 ×27=
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3. 计算 7 ×11 ×13
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4 倍还多五个，已知大胖比小胖多吃了
35 个，
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速算思想：
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（ 1 ）“整”比“散”好！ （ 2 ）“小”比“大”好！
实 计算： （1 ）2 ×5=
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（ 2 ）4 ×25=
（3 ）8 ×125
（4 ）16 ×625=
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乘法巧算
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[乐乐带你课前测 ]
1. 鸡比鸭多 10 只，且鸡的数量是鸭的 3 倍，请问：鸭有多少只？
2. 书架有两层，上面一层的书的数量是下面一层的 相差 13 本，那么一共有多少本书？
2 倍多 4 本，已知两层书架
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3. 大胖吃的包子的数量比小胖的 那么小胖吃了多少个？
整数乘除法速算巧算教师版
本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题．一、乘法凑整思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。
例如：425100⨯=，81251000⨯=，520100⨯=123456799111111111⨯= （去8数，重点记忆） 711131001⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c 积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)二、乘、除法混合运算的性质⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即： ()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠ ，0n ≠⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）． 例如：a b c a c b b c a ⨯÷=÷⨯=÷⨯⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即()()a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()a b c a b c a b c a b c ÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯ 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即()()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷ 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．二、乘除法巧算与速算（1）凑整：2×5；4×25；8×125……；知识点拨教案目标整数乘除法速算与巧算（2）构造整数：99999......9101k =-k 个；（3）乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯； （4）提取公因数：()a b a c a b c ⨯+⨯=⨯+； 注意：除法算式中公因数只能用为除数。
学而思资料_奥数_01巧算分数乘法
巧算分数乘法一、知识点概述同学们，今天我们一起学习分数乘法的巧算。
这一部分内容是在学习了分数乘法及乘法的运算定律的基础上进行学习的。
我们知道，分数乘法计算和整数乘法计算一样，既有知识要求，又有能力要求，计算法则、运算定律是计算的依据，要使计算快速、准确，关键在于掌握运算技巧。
二、重点知识归纳及讲解(一)分数乘法包含两种情况：分数乘整数，分数乘分数，如：、(二)分数乘法的计算法则：一个分数乘整数，可以用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
为了计算简便，能约分的要先约分，然后再乘；两个分数相乘，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母；分数乘法中有带分数的，通常先把带分数化成假分数，然后再乘。
如：；；。
(三)分数乘法的运算定律：整数乘法的运算定律对于分数乘法同样适用。
(四)倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
要弄清哪个数是哪个数的倒数，哪个数与哪个数互为倒数，如：5×0.2=1，则5是0.2的倒数，0.2是5的倒数，5和0.2互为倒数。
求倒数的方法：求一个数(0除外)的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置即可。
1与1相乘的积是1，所以1的倒数是1；0和任何数相乘都得0，所以0没有倒数。
三、难点知识剖析例1、计算解析：21是7的3倍，120是24的5倍，应用乘法结合律分别算。
解答：例2、计算解析：为了便于观察与计算，先把分数化成小数，再利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。
解答：例3、计算解析：此例可以运用变形约分的方法，使计算简便。
解答：例4、计算解析：181818和818181都是两位数连写三遍得到的六位数，所以分别有因数18和81。
同样的，218218和182182分别有因数218和182，所以先把分子、分母写成乘积形式，约分后再计算。
解答：例1、计算：解析：通过观察发现，直接计算非常复杂。
但我们发现，所有的括号中，都包含了相同的部分。
于是，我们可以将这个共同的部分，用字母a来代替，以求简算。
012(学而思)乘法公式
乘法公式一、平方差公式1. 数形结合探寻公式的几何意义2. 平方差公式的直接运用3. 综合创新应用二、完全平方公式1. 数形结合探寻公式几何意义2. 完全平方公式的应用三、立方和、立方差一、平方差公式1. 数形结合探寻公式的几何意义1. 【易】（2011南山外国语初二下期中）在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形()a b >，再沿虚线剪开，如图⑴，然后拼成一个梯形，如图⑵．根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（ ）A ．()()22a b a b a b −=+−B ．()2222a b a ab b +=++ C ．()2222a b a ab b −=−+D ．()222a b a b −=−【答案】A2. 【易】（北师大附属实验中学2009第一学期初二年级数学期中练习）在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（b a >）．把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )21bb aaabA ．))((22b a b a b a −+=−B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +−=−D ．)(2b a a ab a −=−【答案】A3. 【易】（2010深圳初一下期中）从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）A ．()222a b a b −=− B ．()2222a b a ab b +=++C ．()()22a b a b a b +−=−D ．()2222a b a ab b −=−+【答案】C4. 【易】（2010宝安区初一下期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据甲、乙两个图形的面积关系可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）A ．()2a ab a ab −=−B ．()2222d a b a ab b +=++C ．()()22a b a b a b +−=−ababD ．()2222a b a ab b −=−+【答案】C5. 【易】（2012•白银）如图，边长为3m +的正方形纸片，剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）A ．3m +B ．6m +C ．23m +D ．26m +【答案】C6. 【中】（杭州吴中区2011—2012初一第二学期期末）乘法公式的探究及应用．⑴如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；⑵如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 （写成多项式乘法的形式）；⑶比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式 ； ⑷运用你所得到的公式，计算：()()22a b c a b c +−−+． 【答案】⑴22a b −⑵()()a b a b +−⑶()()22a b a b a b −=+−⑷()()()2222222244a b c a b c a b c a b c bc +−−+=−−=−−+2. 平方差公式的直接运用7. 【易】（2011育才三中期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y x y −−+B ．()()x y x y −+−−C ．()()x y x y −−−D ．()()x y x y +−+【答案】A8. 【易】（2011深圳外国语初一下期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()4334x y y x −−−B ．()()222222x yxy −+C ．()()a b c c b a +−−−+D ．()()x y x y −+−【答案】D9. 【易】（2011莲花中学初一下期中）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）A ．()()x a x a +−B ．()()b m m b +−C ．()()x b x b −−−D ．()()a b a b +−−【答案】D10. 【易】(八中2011-2012学年第二学期期中考试初一年级数学)在下列乘法计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．7882×B ．()()2121x x −−−C ．()()1221x x −−D ．()()a b c a b c −+−−【答案】C11. 【易】（第21届“希望杯”全国数学邀请赛初2第1试）四个多项式：①22a b −+；②22x y −−；③22249x y z −；④4221625m n p −，其中不能用平方差公式分解的是_______________．（填写序号）【答案】②12. 【易】（2011罗湖外国语初一下期中）下列算式能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()22a b b a +−B ．111122x x +−− C ．()()33x y x y −−+D ．()()m n m n −+−−【答案】D13. 【易】（（汇文）第二学期期中考试试卷初一）下列各题中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．1133a b a b −−− B ．1133a b a b −− C ．1133a b a b −−+ D ．1133a b a b −−+ 【答案】A14. 【易】（2011深圳实验中学初一下）下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）A ．()()11x x ++B ．1122a b b a +− C ．()()a b a b −+−D ．()()22x yyx −+【答案】B15. 【易】（2010初一下期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()22x y x y −+−B ．()()1551m m −−C ．()()3535x y x y −−−D ．()()a b b a ++【答案】C16. 【易】(2011-2012学年度第二学期期中考试初一数学试卷)下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()p q p q +−−B ．()()p q q p −−C ．()()5335x y y x +−D ．()()2332a b a b +−【答案】C17. 【易】（杭州青勇进中学2011第二学期七年级期中）下列式子：①()()22a b a b −+；②()()a b a b −+−−；③()()11a a −−−；④()()x y x y −+−可运用平方差公式的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C18. 【易】（2012年北京十四中初一下期中）()()3223b a a b −+=【答案】2294b a −19. 【易】（北师大附中初一下期中）计算：()()1313x x −+−−=【答案】219x −20. 【易】（2010上海黄浦期中）计算：()()3232x x −−−+=【答案】294x −21. 【易】(2009-2010重庆巴蜀中学初一下期中)22(2)(2)a b a b +−．【答案】()222224422(2)(2)4168a b a b a b a b a b +−=−=+−22. 【易】（朝外初二章测）计算：22(2)(2)x y x y −+【答案】4224816x x y y −+23. 【易】（2012云南省）若2214a b −=，12a b −=，则a b +的值为 【答案】1224. 【中】（2011莲花中学初一下期中）()()11a b a b −−−+【答案】2221a b ab +−−25. 【中】（2011年南山二外初一下测试）()()a b c a b c +−−+【答案】2222a b c bc −−+26. 【中】（2010深圳外国语分校初一下期末）化简：()()1212x y x y ++−−；【答案】22144x y xy −−−27. 【中】（2011年北京十二中初一下期中）计算：()()2323a b c a b c −++−【答案】222496a b c bc −−+28. 【中】（2010深圳外国语分校初一下期中）计算(23)(23)a b a b +−−−【答案】[][]22(23)(23)(3)2(3)2649a b a b a b a b a a b +−−−=−+−−=−−+29. 【中】（2011年成都石室中学初一下期末）计算()()2323x y x y +−−−【答案】[][]22(23)(23)(23)(23)4129x y x y x y x y x x y +−−−=−+−−=−−+30. 【中】（2010上海黄浦期中）计算：()()3232a b c a b c −−++【答案】原式()()2222232944a b c a b bc c =−+=−−−31. 【中】（北京市第一七一中学2009—2010初二第一学期）(23)(23)x y x y +−−+【答案】()2222(23)(23)234129x y x y x y x y y +−−+=−−=−+−32. 【中】(2010-2011重庆初一下期中)2222()()x xy y x xy y −+++【答案】4422x y x y ++33. 【中】（整式达标测）()()2323x y z x y z +++−【答案】222449x y xy z ++−34. 【中】（初一下期末模拟）计算题()()x y z x y z −++−【答案】2222x y z yz −−+35. 【中】(2011-2012学年度第二学期期中考试初一数学试卷)计算()()2121a b a b +++− 【答案】22441a b ab ++−36. 【中】(11-12下初一下期中)计算()()2121a b a b +++−【答案】22441a b ab ++−37. 【难】(北京九中初一下期中) ()()()2393a a a ++−【答案】原式()()()2339a a a =−++()()2299a a =−+ 481a =−38. 【难】（实验学校初一下期末）213132448x x x −++ 【答案】213132448x x x −++ 2111324416x x x =−+×+ 221161616x x =−+ 421616x=×−436128x =−39. 【中】（2011~2012年下期七年级数学半期测试题）⑴()()()2222224x x x −++= ．⑵计算2244()()()()a b a b a b a b −+++ 【答案】8432256x x −+；88a b −3. 综合创新应用40. 【中】（河南省实验中学2009-2010期中试题用简便方法计算：210010397−×【答案】()()2210010397100100310039−×=−+−=41. 【中】（朝外初二章测）计算：2200420032005−×= ．【答案】()()22200420032005200420041200411−×=−+−=42. 【中】（初一下期末）计算2200520062004−×【答案】()()22200520062004200520051200511−×=−+−=43. 【中】（2011莲花中学初一下期中）利用乘法公式计算：2123124122−×．【答案】()()()22221231241221231231123112312311−×=−+×−=−−=44. 【中】（2010深圳外国语初一下期末）2201020112009−×= ．【答案】原式()()222201020101201012010201011=−+−=−+=45. 【中】用简便方法计算：⑴80.179.9× ⑵10298×⑶29999【答案】⑴原式=(800.1)(800.1)+−=22800.1− 64000.01=−6399.99=⑵原式=()()21002100210049996+−=−=⑶原式=()()299999999199991199980001=+−+=46. 【中】（2011育才三中期中）()()()()()22483221212121211−+++++⋯的个位数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C47. 【中】（2009年北京六校联考期中）计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)得（ ）A ．48－1B ．264－1C ．26－1D ．23－1 【答案】A48. 【中】（初一下期中）计算：()()()()248212121211+++++= ．【答案】16249. 【中】计算：2111111111124162562n +++++ ⋯【答案】原式211111************n =−++++ ⋯4411121222nn −=−=−．50. 【中】(第16届希望杯2试)如果22()()4a b a b +−−=，则一定成立的是( )A ．a 是b 的相反数B ．a 是b −的相反数C ．a 是b 的倒数D ．a 是b −的倒数【答案】C51. 【难】计算：2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)++++++【答案】设2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)S =++++++，两边乘以(31)−，得2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)(31)(31)S −=−++++++22481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)=−+++++=⋯6431=− ∴641(31)2S =−，即6423231(31)(31)(31)2−+++=⋯．52. 【难】求123517.....(21)n −××××+的值.【解析】观察原式的每一项，均可写成121(1,2,...2)n n n −+=的形式，而1=2-1，原式1122223517.....(21)(21)(21)(21)....(21)21n n n−−=××××+=−×+×+××+=−.【答案】221n−53. 【难】计算：9621−有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数．【解析】()()964848212121−=−+()()()()()661224482121212121=−++++()()()1224486365212121=××+++，这两个数是63和65．【答案】63和6554. 【难】已知2431−可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数．【解析】()()241212313131−=+−()()()()1263331313131=+++−()()12631312826=++××所求二整数为28、26．【答案】28、26二、完全平方公式1. 数形结合探寻公式几何意义55. 【易】（2010保安初一下期中）图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b 的形状拼成一个正方形．⑴你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ ⑵请用两种不同的方法求图b 中阴影部分的面积． 方法1： 方法2：⑶观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：()2m n +，()2m n −，mn ． ⑷根据⑶题中的等量关系，解决如下问题： 若7a b +=，5ab =，则()2a b −= ． 【答案】⑴图b 中的阴影部分的正方形的边长为m n −⑵请用两种不同的方法求图b 中阴影部分的面积．nmnmm nmnnn mm 图a 图b方法1：()2m n − 方法2：()24m n mn +− ⑶()()224m n m n mn −=+− ⑷()()22429a b a b ab −=+−=56. 【易】（2012南外初二期末）如图，大正方形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2a b +的值为（ ）A ．13B ．19C ．25D ．169 【答案】C57. 【易】（2012—西安—高新一中—七年级数学（下）—期末考试试卷．）利用图像中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据下图中的图甲，我们可以得到两数和的平方公式：()222+=+2+a b a ab b ．你根据图乙能得到的数学公式是（ ） A ．()()22+a b a b a b −=−B ．()222=2+a b a ab b −− C ．()2+=+a a b a abD ．()2=a a b a ab −−【答案】B58. 【中】⑴根据表中所给a ，b 的值，计算()2a b −与222a ab b −+的值，并将计算结果填入表中：a 1 2 3 4 ··· b-11-26··· ()2a b −··· 222a ab b −+···⑵如图，边长为()a b −的正方形的面积可以直接由正方形面积公式表示为()2a b −；又可以用边长为a 的正方形的面积，减去2个长为a ，宽为b 的长方形面积，加上边长为b 的正方形的面积，结果用含a ，b 的式子表示为 ；⑶结合⑴、⑵中获得的经验，你能够得出什么结论结论（用含a ，b 的式子表示） ⑷请你利用你发现的结论进行简便运算：2212.3456789212.3456789 2.3456789 2.3456789−××+ 【答案】⑴a 1 2 3 4 ···b-1 1 -2 6 ··· ()2a b −4 125 4 ··· 222a ab b −+ 41254···⑵222a ab b −+⑶()2222a b a ab b −=−+．⑷2212.3456789212.3456789 2.3456789 2.3456789−××+ ()212.3456789 2.3456789=−210=100=2. 完全平方公式的应用59. 【易】（2011-2012北京十四中学初一第二学期期中）若()()42a a m +−−为完全平方式，则m =（ ） A ．9 B ．9− C ．8 D ．1【答案】B60. 【易】（2011莲花中学初一下期中）要使29x mx ++成为一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．6 B ．6± C ．3 D ．18± 【答案】B61. 【易】（2011南山外国语初二下期中）如果225x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为（ ） A ．10 B ．10± C ．5 D ．5± 【答案】B62. 【易】（2011南外初二下）若22x mxy y ++是一个完全平方式，则m 等于（ ） A ．2 B ．1 C ．1± D ．2±【答案】D63. 【易】（2011深圳外国语分校初二下期中）若22144x mxy y −+是一个完全平方式，则m =（ ） A ．2 B ．1 C ．1±D ．2±【答案】D64. 【易】（朝外初二章测）当22(3)25x k x +−+是一个整式的平方时，则k 的值（ ）A ．8B ．2−C ．8−或2−D ．8或2−【答案】D65. 【易】（11-12北京十四中初一下期中）要使代数式2412a a －成为一个完全平方式，则加上 ． 【答案】966. 【易】（2011年北京十二中初一下期中）若代数式2481x mx ++是完全平方式，则m的值为 ． 【答案】36±67. 【易】（郑州市2009-2010学年度上期期中考试八年级数学调研试题）设12142++mx x 是一个完全平方式，则m = ． 【答案】44±68. 【易】（2010深圳外国语初一下期末）若22924x xy A ++是一个完全平方式，则A = ． 【答案】4±69. 【易】（郑州市2009-2010学年第一学期期末考试）多项式291x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是___________ (填上一个你认为正确的即可)． 【答案】6x ±70. 【易】（2012成都金牛初一下期末）若是一个完全平方式，则系数． 【答案】4±71. 【易】（2012成都锦江初二下零诊）是一个完全平方式，则是 ．【答案】23±72. 【易】（2010深圳外国语初一下测试）如果2216x kxy y ++是一个完全平方式，则k = ．【答案】8±73. 【易】(2011-2012学年度第二学期期中考试初一数学试卷)若22925x mxy y ++是一个完全平方式，则m 的值为 【答案】30±74. 【易】(10年北京十一校期中)将方程2410x x −−=的左边配成一个完全平方式，方程可以变为（ ）A ．()225x −=B ．()225x +=C ．()223x −=D ．()223x +=【答案】A75. 【易】（2010上海黄浦期中）计算：()221x +=【答案】2441x x ++76. 【易】（2011-2012北京十四中学初一第二学期期中）()223x −−= ．【答案】()22234129x x x −−=++224a mab b ++m =219x kx −+k77. 【易】（2010深圳外国语初一下测试）()22a b −−=【答案】2244a ab b ++78. 【易】（2012年成都石室联合中学初一下）若对所有的x ，()223936x n x mx +=++恒成立，则m n −的值是多少． 【答案】30±79. 【易】（2011南山实验学校荔林初一下期中）⑴221.23450.7655 2.4690.7655++× ⑵222006401020062005+×+ ⑶22001【答案】⑴()22221.23450.7655 2.4690.7655 1.23450.765524++×=+==⑵原式()222220062200520062005200520064011=+××+=+= ⑶()2222001200012000400014004001=+=++=80. 【易】⑴已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b −=，求22a b ab ++的值．⑵已知2(1)()5a a a b −−−=−，求222a b ab +−的值．【答案】7、25281. 【中】设a ，b 为有理数，且20a b +=，设22a b +的最小值为m ，ab 的最大值为n ，则m n += ．【解析】222222()()120()22a b a b a b a b ++− +==+−， 因为2()0a b −≥，所以22a b +最小值200m =；222()()1400()44a b a b ab a b +−− ==−− ，所以ab 的最大值100n =，故300m n +=．【答案】30082. 【中】若22(2)(3)13x x ++−=，则(2)(3)x x +−= .【解析】22(2)(3)x x ++−22(2)(3)x x =++−[]2(2)(3)2(2)(3)x x x x =++−−+−252(2)(3)13x x =−+−=，所以2(2)(3)12x x +−=，(2)(3)6x x +−=.【答案】683. 【中】已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，求代数式222a b c ab bc ca ++−−−的值.【解析】由12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，可知，1a b −=，2b c −=−， 1c a −= 22222211()()()6322a b c ab bc ca a b b c c a ++−−−=−+−+−=×=【答案】384. 【中】已知35a b b c −=−=，2221a b c ++=，求ab bc ca ++的值. 【解析】由35a b b c −=−=可知，65a c −=， 故2222221()()()()2ab bc ca a b c a b b c c a ++=++−−+−+− 1993621()225252525=−×++=−. 【答案】225−85. 【中】已知2()2210x y x y +−−+=，则999()x y +=___________.【解析】解法一：由已知条件可知，2221222(1)0x y xy y x x y +++−−=+−=，故1x y +=，999()1x y +=.解法二：由已知条件可知，22()2()1(1)0x y x y x y +−++=+−=，故1x y +=，999()1x y +=.【答案】186. 【中】已知：2217a a +=，求⑴1a a +⑵1a a −⑶4221a a a ++【答案】⑴∵2217a a +=，∴22129a a ++=，即21()9a a +=，13a a +=±⑵∵2217a a +=，∴22125a a +−=，即21(5a a −=，1a a−= ⑶42218a a a++=87. 【中】1.设1x x −=1x x+的值. 2.已知：2710x x −+=，求⑴1x x +；⑵221x x +；⑶441x x+的值.【答案】1.∵1x x −=22125x x −+=，∴22211(29x x x x+=++=，所以 13x x+=± 2.⑴∵2710x x −+=，∴0x ≠，∴2710x x x−+=，即17x x +=⑵∵17x x +=，∴221249x x ++=，∴22147x x+=⑶∵22147x x +=，∴44122209x x ++=，∴4412207x x +=88. 【中】⑴若271x x x =−+，则2421x x x ++=__________ . ⑵若2410x x ++=，则42321912192x x x x x++++=_________.【答案】⑴22211813477117491x x x x x x x x x=⇒=⇒+=⇒+=−−++− 242221114913415115114949x x x x x ====++++−⑵214104x x x x++=⇒+=−，22422321119()17191333112192112()192()19x x x x x x x x x x x x x++++++====++++++.89. 【中】（2010年朝阳二模）阅读下列材料，然后解答后面的问题：利用完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+，通过配方可对22a b +进行适当的变形， 如()2222a b a b ab +=+−或()2222a b a b ab +=−+．从而使某些问题得到解决． 例：已知5a b +=，3ab =，求22a b +的值． 解：()2222252319a b a b ab +=+−=−×=． 问题：⑴已知16a a +=，则221a a+=________； ⑵已知2a b −=，3ab =，求44a b +的值．【答案】⑴22221126234a a a a+=+−=−=⑵()()2224422222222282a b a ba b a b ab a b +=+−=−+−=90. 【中】已知三个数a b c ，，满足方程222214229221b ac c ab a bc += += += ，求a b c ++.【解析】三式相加，得22222264a b c ab bc ca +++++=，所以()264a b c ++=，8a b c ++=±.【答案】8±91. 【中】x ，y ，z 为有理数且2222()()()(2)y z z x x y y z x −+−+−=+−22(2)(2)x z y x y z ++−++−，求222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++的值．【解析】先将已知等式222()()()y z x y z x −+−+−222(2)(2)(2)y z x x z y x y z =+−++−++− 的等号两边分别展开，得：左边222222222x y z xy yz xz =++−−−； 右边222666666x y z xy yz xz =++−−−对等号两边合并同类项，得2222222220x y z xy yz xz ++−−−= 即222()()()0.x y x z y z −+−+−=因为x ，y ，z 均为实数所以x y z ==，故222(1)(1)(1)(1)(1)(1)yz zx xy x y z ++++++222222(1)(1)(1)1(1)(1)(1)x y z x y z +++==+++. 【答案】1三、平方差立方差综合92. 【易】计算⑴()()()()2222a b a b a b a b +−−+−⑵()()()()22222222x y x y x y x y −+−−−+⑶2222003200220032001200320032+− 【答案】⑴432222342a a a b a b ab b b −−+−++⑵42247216x x y y −+ ⑶1293. 【易】若()102240ba a ==>，求2111111454545a b a b a b +−−+ 的值【答案】()2105222432,5b a a b ===∴==，，原式=212181025ab b −−=−四、立方和、立方差94. 【易】（江苏省苏州市相城区2011－2012学年度七年级第二学期期末考试试卷）已知24x y +=，1xy =，则338x y += ． 【答案】4095. 【易】（天津市和平区2010-2011学年度第一学期七年级数学学科期中质量调查试卷）⑴当12x y ==−，时，求下列各式的值；①322333x x y xy y +++；②()3x y +⑵观察并回答：⑴中①、②两式的值有什么关系？⑶当12x y =−=，时，⑵中结论是否仍然成立？请计算并回答． ⑷根据⑵、⑶的结论你有什么猜想，写出你的猜想． 【答案】⑴①3223331x x y xy y +++=−；②()31x y +=−⑵⑴中①、②两式的值相等；⑶当12x y =−=，时，3223331x x y xy y +++=，()31x y +=，结论仍成立． ⑷猜想()3322333x y x x y xy y +=+++恒成立．96. 【易】利用立方和、立方差公式填空：⑴2233(_____)(42)8b a ab b b a −++=−； ⑵2233(3)(____9)27x y x y x y +−+=+； ⑶33(2)(____2____)8m n mn m n +−+=+. 【答案】⑴2a ；⑵3xy ；⑶2m ，24n .97. 【易】已知1x y +=，222x y +=，求66x y +的值．【答案】由22211()()22xy x y x y =+−+=− ， ∴662323()()x y x y +=+2232222()3()x y x y x y =+−+132=．98. 【易】若5a b +=，求3315a b ab ++的值.【答案】由5a b +=，故33222()()()()312515a b a b a ab b a b a b ab ab +=+−+=++−=−从而可知，3315125a b ab ++= 解法二：由5a b +=，故332233333()333()15125a b a a b ab b a b ab a b a b ab +=+++=+++=++=99. 【易】已知10x y +=，33100x y +=，求22x y +的值．【答案】由333()3()x y x y xy x y +=+−+，得1000310100xy −×=，即30xy =．所以222()240x y x y xy +=+−=．100. 【易】（2011深圳外国语分校初二下期中）已知3a b −=，a c −=，求()()()()()22c b a b a c a b a c −−+−−+−的值是 ．【解析】原式=()()3327261a b a c −−−=−= 【答案】1。