用导数求函数的单调区间含参问题

用导数求函数的单调区间一一含参问题

一、 问题的提出

应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每

年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。 其中，学生用导数求单调区间最困难的 是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、 准确分类

二、 课堂简介

请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。

例1、 求函数f(x) . x(x a), a R 的单调区间。

解：定义域为［0,)

(1) a 0, f'(x) 0恒成立，f(x)在［0,)上单调递增； a

a a ⑵a 0,令f'(x) 0得x

f (x)在［0,—)上单调递减，在［―,)上单调递增。

3 3 3

所以，当a 0时，f (x)在［0,)上单调递增；当a 0时，f (x)在［0,-)上单调递减,

3 在［a ,)上单调递增。

3 分类讨论特点：一次型，根 a 和区间端点0比较

3 例2、 求函数f (x)

1 3 x 3 1

2 ax (a 2 1)x 1,a R 的单调区间。 解：定义域R

2 f' (x) x ax a

1 [x (a 1)](x 1), 令 f'(x) 0,得 X 1 a 1, x

2 1

(1) a 1 1即a 2，令f'(x) 0得x a 1或x 1 f (x)在(，1)上单调递增，

(1,a 1)上单调递减，(a 1,)上单调递增。

(2) a 1 1即a 2，f'(x) 0恒成立，所以f (x)在R 上单调递增。

⑶a 1 1即a 2，令f'(x) 0得x a 1或x 1 f (x)在(，a 1)上单调递增,

(a 1,1)上单调递减，(1,)上单调递增。

所以，当a 2时，f(x)在(，1)上单调递增，(1,a 1)上单调递减，(a 1,)上单调

f'(x)

f'(x)

0,得x

递增；当a 2时，f(x)在R 上单调递增。当a 2时，f(x)在(,a 1)上单调递增, (a 1,1)上单调递减，(1,)上单调递增。

解：定义域［0,

三、小结

建构用导数求函数单调区间的思维流程图 分类讨论特点: 两根大小不确定(分成大于,

例3、 求函数 f(x) a lnx x 2 4x, a 0的单调区间。 f'(x) a x 2x

设 g(x) 2x 2 (1) 16 8a ⑵ 16 8a 分类讨论特点:

4x 2x 2

4x a

a ，二次方程g(x) 0的根的情况要看判别式

0， f (x) 0在［0,)上恒成立，所以f (x)在［0, 0,令 f'(x) 0 得

元二次方程解的个数不确定。

16 8a ° )上单调递增

四、牛刀小试

1 a 1

1、(2011年海淀期末理18)已知函数f(x) ln(x 1) ax ,a ,求函数f (x)的

x 1 2

单调区间。

2、求函数f(x) kx ln(x 1),k R的单调性。