函数插值与曲线拟合

P1 ( x)
=
y0
y1 x1
-
y0 x0
(x
-
x0 )
= x - x1 x0 - x1
y0 +
x - x0 x1 - x0
1
y1 = i=0 li ( x) yi
l0(x)
l1(x)
4.1 Lagrange Interpolation
The mathematician S. had to move to a new place. His wife didn't trust him very much, so when they stood down on the street with all their things, she asked him to watch their ten trunks, while she got a taxi. Some minutes later she returned. Said the husband: "I thought you said there were ten trunks, but I've only counted to nine!"
n
| x - xi
i=0
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， f (n1)( x) 0,
可知 Rn ( x) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式 是精确的。
Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l2(x)的图像？
例如 P( x) = Ln ( x) p( x) ( x - xi ) 也是一个插值 i=0
多项式，其中 p( x)可以是任意多项式。
4.1 Lagrange Interpolation
➢ 插值余项 /* Remainder */
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 Rn( x) = f ( x) - Ln( x)
第4章 函数插值与曲线拟合
/* Interpolation and Approximation Theory */
当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一 系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函
数 (x) f(x)，满足条件(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 (x) 称为f(x) 的插值函数。
Biblioteka Baidun= 1
已称知为x拉0 氏, x基1 ;函y0数, y1/*，La求graPn1g(exB) =asais0 */，a1 x 使得
P满1( 足x0 )条= 件y0 l,i(Px1j)(=x1 )ij=/*yK1 ronecker Delta */
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
F(x) =
f (n1) ( x )
(n 1) !
Rn( x) =
f (n1) ( x ) (n 1) !
n
(x - xi )
i=0
4.1 Lagrange Interpolation
注： 通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) , Mn1 x(a,b)
将
M n1 (n 1)!
反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn( x) = Pn( x) - Ln( x) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn
注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
n
xi
)
推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0
0 ( x0 , x1 ), 1 i (=0x1 , x2 )
(x)有 n使+2得个不(同0 )的= 根(x10)…= 0xn x (0 ,1(n)使1) (得x ) =0(, )=x 0 (a, b)
f (n1) ( x ) - L(nn1)((xx)0-) F= ( x )=(n( x1)n!) == R0n(n1) ( x ) - F ( x) (n 1) ! 存在 (a, b) 使得 (n) ( ) = 0
n ji
(x- xj) (xi - x j )
j=0
n
Ln ( x) = li ( x) yi i=0
4.1 Lagrange Interpolation
定理 (唯一性) 满足 P( xi ) = yi , i = 0, ... , n 的 n 阶插值多
项式是唯一存在的。 证明： (利用Vandermonde 行列式论证)
The wife said: "No, they're TEN!" "But I have counted them: 0, 1, 2, ..."
n1 li(x)
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
n
Pn ( x ) =
li ( x )
y i
，则显然有Pn(xi)
n
RRno(lxl)e’至s T少h有eornem+1:个若根( x) 充分Rn光(x)滑= ，F(x() xi=00)(=x - (xxi )1 ) = 0 ，则
任存意在固注定意 (这xx0里, xxi是1 )(i对使= 0得t, 求…,导(n),)
=考0察。
(t)
=
Rn
(t
)
-
F
(
x)
n
(t
-
=
yi
。
i=0
每个与li节有点n 个有根关，x0而…与xi
li (x) = Ci (x - x0)...(x - xi
f …无x关n )...(x - xn
)
=
CiPLj no ali (ygxnr-oamnxgj i)eal
li (xi ) = 1
Ci
=
ji
( xi
1 - xj)
j=0
li ( x) =
最常用的插值函数是多…项? 式。
(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
4.1 拉格朗日插值 /* Lagrange Interpolation */
求 n 次多项式 Pn ( x) = a0 a1 x an xn 使得
Pn ( xi ) = yi , i = 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j