椭圆的应用

选修2-1
第一节 椭圆的定义与标准方程的应用
解析几何在日常生活中应用广泛，行星绕太阳的轨道、人造卫星绕地球的轨道是椭圆形，古希腊的音乐厅及现代化的美国国会议厅（U.S. Capitol ）和摩门教大礼拜堂（Mormon Tabernacle ）也是椭圆形。

如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法本节主要通过椭圆的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想
【引例】 某检验员通常用一个直径为2cm 和一个直径为1cm 的标准圆柱，检测一个直径为3cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径是多少？
简析：研究圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程。

解：设直径为3,2,1的三个圆的圆心分别为O,A,B.问题转化为求两个等圆P 、Q 使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切。

建立如图坐标系，并设⊙P 的半径为r ，则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5
∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长为2.5的椭圆上，
其方程为22
1
16()241253
x y ++= ①
同理点P 在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为2
2
1
4()12
3
x y -+
= ② 由①②得P 912(
,)1414，Q 9
12
(,)1414
，3327r ∴=-=
故所求圆的直径为
6
7。

一、
椭圆的定义：
1、 第一定义：平面里到
2、 第二定义
3
、 椭圆的标准方程： 一、类型1：椭圆定义的应用
例1.（2010·湖南高考文科·Ｔ19）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）。

考察范围到A 、B 两点的距离之和不超过10Km 的区域。

（I ） 求考察区域边界曲线的方程：
（II ） 如图4所示，设线段12P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界）
，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍。

问：经过多长时间，点A 恰好在冰川边界线上？
【命题立意】把直线和圆锥曲线的关系问题放在生活实际中考查充分体现了知识的应用性。

能很好的体现学生应用知识的能力，而且打破了解析几何的固定命题模式。

【思路点拨】题目的阐述比较新颖，把求曲线的方程阐述成求区域的边界。

不受表面阐述所干扰，还是利用定义法求轨迹即可。

第二问是数列问题，巧妙地把解析几何和数列的求和结合起来。

【规范解答】 (1) 设边界曲线上点P 的坐标为（x,y ），则由|PA|+|PB|=10知，点P 在以
A,B 为焦点，长轴为2a=10的椭圆上。

此时短半轴长34522=-=b .
所以考察区域边界曲线（如图）的方程为
19
252
2=+y x .
(2) 易知过点P 1,P 2的直线方程为04734=+-y x ，因此点A 到直线P 1P 2
的距离为
5
31)3(4|4716|2
2=
-++-=
d
设经过n 年，点A 恰好落在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可
得
5
31
12)12(2.0=--n
解得n=5，即经过5年，点A 恰好在冰川边界线上。

例2 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m 万千米和3
4
m 万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为
2π和3
π
，求该彗星与地球的最近距离 分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a －c ，这样把问题就转化为求a ，c 或a －c
解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F （－c ，0）处，椭圆的方程为
22a x +2
2b y =1，当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，
彗星A 只能满足∠xFA =3π（或∠xFA ′=3
π
）
作AB ⊥Ox 于B ，则｜FB ｜=21｜FA ｜=3
2
m ，
故由椭圆的第二定义可得
m =a c （c a 2－c ）① 且34m =a c
（c a 2－c +32m ）②
两式相减得31m =a c ·3
2
m ，∴a =2c 代入①，得m =21（4c －c ）=23c ，∴c =32m ∴a －c =c =32m
答：彗星与地球的最近距离为3
2
m 万千米
点评： （1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a －c ，另一个是a +c
（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质
例3 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m ，要求通行车辆限高45 m ，隧道全长25 km ，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状
（1）若最大拱高h 为6 m ，则隧道设计的拱宽l 是多少？
（2）若最大拱高h 不小于6 m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为S =
4
π
lh ，柱体体积为底面积乘以高本题结果均精确到01 m ） （1）解：如下图建立直角坐标系，则点P （11，45），
椭圆方程为22a x +22
b
y =1将b =h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得
a =
7744，此时l =2a =77
88≈333 因此隧道的拱宽约为333 m
（2）解法一：由椭圆方程22a x +22b y =1，得2211a +22
5.4b
=1
因为2211a +225.4b
≥ab 5.4112⨯⨯，即ab ≥
99，且l =2a ，h =b ，所以S =4πlh =2πab 2π99
当S 取最小值时，有2211a =225.4b
=21，得a =112，b l =2a =222≈311，h =b
≈64故当拱高约为64 m 、拱宽约为311 m 时，土方工程量最小
解法二：由椭圆方程22a x +22b y =1，得2211a +225.4b =1于是b 2
=481·121
22-a a
a 2
b 2=
481（a 2
－121+121
12122-a +242）≥481（22121+242）=81×121，即ab ≥99，当S 取最小值时，有a 2－121=
121
12122-a 得a =112，b =22
9，以下同解法一
二、类型二 构造椭圆的模型
例1 解方程842++x x +2082+-x x =10．
解：将原方程配方，得4)2(2++x +4)4(2+-x =10． 令y 2= 4，即有22)2(y x ++ +22)4(y x +-=10．
根据椭圆定义，它表示以(－2，0)、(4，0)为焦点，长、短半轴分别为5、4的椭圆
25)1(2-x +162
y =1， 将y 2
= 4代入椭圆方程中，解得x =1±2
35．
经检验，x =1±
2
3
5均是原方程的解． 例2 已知βα24sin cos +β
α2
4cos sin =1 ，求证：α+β= 2π
． 证明：由已知点A(cos 2α，sin 2α)、B( sin 2β ，cos 2β)都在椭圆
β22sin x +β
2
2
cos y =1 上，过点B 的切线方程为 x + y = 1，而点A 又在此切点上，由切点的唯一性知 ，点A 与点B 重合．
∴cos 2α= sin 2β ，且sin 2α= cos 2β， ∴cos α= sin β= cos(2
π
－β)， 又 α、
2π－β∈(0，2π)，∴α=2π－β，即α+β=2
π． 建模小结（小四黑体） 强化练习（小四黑体）
1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了
两颗“铱星”系统通信卫星卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km ，远地点为 n km ，地球的半径为R km ，则通信卫星运行轨道的短轴长等于
A 2))((R n R m ++ B
))((R n R m ++ C 2mn D mn
解析：由题意22R n m ++－c =m +R ， ① 2
2R
n m +++c =n +R ， ② ∴c =
2
m
n -，2b =222)2()22(
m n R n m --++=2))((R n R m ++ 答案：A
2有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝，只留有一个透明窗用作通光孔，它的反射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分，灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上，并且这两物体间距离为45 cm ，灯丝距顶面距离为28 cm ，为使卡门处获得最强烈的光线，在加工这种灯泡时，应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程
分析：由于光线从灯丝发出，反射到卡门上光线应交于一点，这就是光线聚焦，只要把灯丝、卡门安在椭圆的2个焦点上，反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡门处，因而可获得强光
解：采用椭圆旋转而成的曲面，如下图建立直角坐标系，中心截口BAC 是
椭圆的一部分，设其方程为22a x +22
b
y =1，灯丝距顶面距离为p ，由于△BF 1F 2为
直角三角形，因而，|F 2B |2=|F 1B |2+|F 1F 2|2=p 2+4c 2，由椭圆性质有|F 1B |+|F 2B |=2a ，所以a =2
1
（p +224c p +），a =
2
1
（28+225.48.2+）≈405 cm ，b =22c a -≈337 m ∴所求方程为22
05.4x +2
237.3y =1
3 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行该轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点近地点A 距地面200 km ，远地点B 距地面350 km 已知地球半径R =6371 km （如图）
（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程； （2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km ，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?（结果精确到1 km/s ）（注：km/s 即千米/秒）
解：（1）设椭圆的方程为22a x +22
b
y =1
由题设条件得
a －c =|OA |－|OF 2|=|F 2A |=6371+200=6571， a +c =|OB |+|OF 2|=|F 2B |=6371+350=6721 解得a =6646，c =75，所以a 2=44169316，
b 2=a 2－
c 2=（a +c ）（a －c ）=6721×6571=44163691
∴所求椭圆的方程为441693162
x +44163691
2y =1
（注：由44163691≈66455768得椭圆的方程为22
6646x +2
26.6645y =1，也是
正确的）
（2）从15日9时到16日6时共21个小时，即21×3600 s 减去开始的9分50 s ，即9×60+50=590（s ），再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650（s ），得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950（s ），
平均速度是
74950
600000
≈8（km/s ） 所以飞船巡天飞行的平均速度是8 km/s。