2014年新人教版八年级下16.1二次根式(1)

2
2 x)
2
分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意 义的范围内，本题有一个隐条件，即2-x≥0,x≤2.
解 2 x 0, x 2,原式 3 x 2 x 1
7.设等式
a( x a) a( y a) x a a y
a( x a) a( y a) x a a y
a
1
2 1 2 1 3 2 ______, 3 2 ________, 2 3 ______, 7 3 7 3

2
2
2
2 2 4 5 ________, 5 5 3 ________. 3
x y
(1 2)
x y
x y 0 原式 （x y)
2 1
yx
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？ 分母不为0 被开方数大于等于0 结合数轴,写出解集来
例
题
(1) (3 ) ;
2
(2) x 2 2 x 1 , 其中x 3.
解：(1) (3 )22 | 3 | 2 (2) x 2 x 1 ( x 1) | x 1| 解：
因为 | 3 |= －（3 ）=
2 (3 ) 所以， 所以，当 3.
3、关系式中h 5t ，用含有h的式子 h 表示t，则t为 。
2
5
新授:
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
b3
2
h 5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a
读作“根号
被开方数 二次根号
a”
归纳:
二次根式的定义
一般地，代数式形如 式子做叫二次根式。
a(a 0 ) 的
a
a
2
与 | a | 有什么关系?
a
一般地,二次根式有下面的性质:
a ( a 0) 2 a a 0 (a 0) a (a 0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
1.从读法来看：
2
2:从运算顺序来看：
2
a 根号a的平方 a 先开方,后平方
2
（2）
a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) a -a ( a <0 )
(1)( 2 ) 2 2 (2)( 2 ) 2 2 (3) ( 2 ) -2
2
(4) (2) |-2|=2
2
(5) 2 |2|=2
2
(6) ( 2) -|-2|=-2
2
例2 求下列二次根式的值：
4.真正理解：
a a
2
a


2
a(a 0)
a (a 0) 0( a 0) a (a 0)
这两个性质的概念，
我们才能灵活地去解决有关二次根式的问题。
5. a 0, a 0 （双重非负性） .
解决二次根式类问题时特别注意条件， 有时还得挖掘隐含条件。
2.化简及求值：
2 2
则m的取值范围是 _________
m4
( m 4) ? 4 m
2
m4 0 m4
1.若
(1 x) 1 x ,则x的取值范围为 ( A )
2
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2.下列式子一定是二次根式的是（ C ）
A． x 2 B． x C． x 2
2
2 x D． 2
3.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
a
2
b
c
2
(a b) (b c) c a
4.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
(b c a) + (c a b)
2
2
- (b c a)
2
解：原式 b c a c a b b c a
∴当 -1≤ x ≤3时， 1 x 3 x 有意义.
1 当x取何值时， 在实数范围内有意义。 x 5
解：由题意得
x 5 0 1 0 x 5
1 x 5

x-5 ＞ 0
∴ 当x＞5时，
在实数范围内有意义。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0 1 2 (3) 4 x x为全体实数 ( 4) x0 x
5.化简
(1) (a 1) ( a )
2
2
解：原式 a 1 a
a 1 a 2a 1
1 3x 0 1 x 3
(2)（ 1 3x ) 1 x
2
6.把下列各式写成平方差的形式， 再在实
数范围内分解因式；
(1)a 9
4
2 2
2
(2)a 6a 9
而
2 x2 2 x 3 2, 3 这些二次根式看 这类代数式，应把 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
说一说:
下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
⑶
1 2
⑵
16
x ( x 0)
a9
a 2a 2
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1
(a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1
( -1<x<3 )
解：原式= ( x 3) 2 ( x 1) 2 =|x-3|+|x+1| ∵-1<x<3 , ∴x-3＜0 , x+1>0 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4
思考：若 m (m 416 m , m4) 8m 4
a, b, c是三角形三边, b c a 0, c (a b) 0, b (c a ) 0
原式 b c a a b c b c a 3b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系 这个知识点上，特别要应用好。
1 ( 5) x x 0 ( 6) 2 x x 1 0 ( x 2) x 1, 且x 2 (7) x3
3
x0
(8)
x2 x
x 0 (9) x 1 x为全体实数
2
?
一般地,二次根式有下面的性质:
a
快 速 判 断
2
a
(a 0)
1 15 a6 9 17 4

2
2
2 2 2 ___,
2 | 2 | ___; 5 | 5 | ___;
5
2
2
5 ___,
0 0 ___, 当 a 0 时,
0 . | 0 | ___
a a
2
请比较左右两边的式子,议一议:
a 2 ____ ; 当 a 0 时, a 2 ____ .
2
其中a=
2
1 2a a
3
ab 0
原式 ab
解 : 原式 (a 1) a 1
当a 3时，原式 3 1 （ 3 1） 3 1
(5)
(1 2 ) 2 ( 2 1) 2
解：原式 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2
a 根号下a平方
2
a 先平方,后开方
2
3.从取值范围来看：
4.从运算结果来看:
a
2
2
a≥0
a =a
2
a a取任何实数
a =∣a ∣
2
a ( a 0) 0 ( a 0) a ( a 0)
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
, (a 0) a a
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念( 双重非负性) • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质(1,2)
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
1.
a 表示什么含义?
a 表示a的正平方根; a 表示a的平方根.
答:当a>0时, 当a=0时,
2. 当a满足什么条件时,代数式
a 才有意义?
a 才有意义!
答:由于负数没有平方根,所以当a≥0时,
3. 代数式
a (a≥0)有如下特征:
a≥0, a ≥0 ( 双重非负性) a可以是数,也可以是式.
既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(1) 代数式 a来自百度文库是二次根式吗? 答:代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式! 二次根式是属于有特殊条件的代数式. (2)
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
导入新课
1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 取3.14）； 它的半径为 2 m（
当 x 3 时，原式= | 3 1 |
3 ＜0，所以
3 =
3 1
的值是
3 1.
x 3 时，元二次根式
将下列各式化简：
跟踪练习

1
1 2
2
(2) 3
x 2 xy y
2
2
2 (x﹤y)
解 : 原式 1 2
解 : 原式 ( x y)
(1)
2
4
(2)
a
4
(3)
ab
3
2 2 ( a＜0,b＞0)
(4)
1 2a a
2
2 其中a=
(5)
(1 2 ) ( 2 1)
2
(1)
2
4
(2)
解：原式 a 2 a 2 解：原式 ab
2
a
4
(3)
ab
2 2 ( a＜0,b＞0)
解：原式 2 4
(4)
a 0, b 0
在实数范围内成立，其中a, x, y 是两两不等的实数，求
3x 2 xy y 2 解：∵ x 2 xy y 2 的值。
人教版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.1 二次根式(1)
知识回顾
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这 个数就叫做a的平方根。
a的平方根是
a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
1 x 5 x 5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x ＞0.
2
∴当 是任何实数时， 1 x 2 有意义.
1 x 0 （3）由题意可知： 3 x 0
2、 已 知 x 5 6 3 y z 2 0
2
求xyz的 值。
(-5)×2×(-2)=20
再议 a的双重非负性
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥ 0 (a≥0) （双重非负性）
思考： 到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？
a (n为偶数）
n
a
a (a 0)
4 2
2
2 2
解： (1)原式 （a ） 3 (a 3)(a 3)
(a 3)( a 3 )( a 3 )
(2)原式 (a 3) 2 2 (a 3 ) (a 3 )
2 2
1、当 x 1 y 3 0时， x （ ）， y （ ） -1 3
2 是二次根式吗？
2
答：符合条件(1)被开方数 2 2 为非负数; (2) 含 有二次根号，所以 2 2 是二次根式． 1 ( x 0) 是二次根式 (3) 代数式 a 2(a 2), x 吗? 答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式.
注意
a 1 这类代数式只能称为含有二次 如： 根式的代数式，不能称之为二次根式；
非负数 1.几个非负数的和、积、商、乘方及 的性质： 算术平方根仍是非负数 2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零. 3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值.
若（a 2) 3 b c 2 0, 则a b c 3
2
6.化简： ( x 3) - (