贵阳市必修第二册第三单元《立体几何初步》测试题(含答案解析)

一、选择题

1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，则异面直线1AB 和1BC 所成的角的大小是（ ）．

A ．π6

B ．π4

C ．π3

D ．π2

2．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22

； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（ ）

A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．②④ 3．正三棱锥底面边长为a ，高为

66，则此正三棱锥的侧面积为（ ） A ．234a B ．232a C ．2334 D ．2332

4．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，且//l α，则下列选项正确的是（ ） A ．若//l m ，则//m α

B ．若//m α，则//l m

C ．若l m ⊥，则m α⊥

D ．若m α⊥，则l m ⊥

5．用长度分别是2，3，5，6，9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ） A ．2258cm B ．2414cm C ．2416cm D ．2418cm 6．正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角的大小为（ ）

A ．0︒

B ．45︒

C ．60︒

D ．90︒

7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（ ）

A ．1//BD GH

B ．//BD EF

C ．平面//EFGH 平面ABCD

D ．平面//EFGH 平面11A BCD

8．体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为（ ）

A ．

77π B ．287π C ．1919π D ．7619π 9．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为16π，则该二十四等边体的表面积为（ ）

A ．123+

B ．183+

C ．2483+

D ．363+10．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB AD ==12CC =1C BD C --的大小是（ ）

A ．30º

B ．45º

C ．60º

D ．90º

11．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：

①AC BD ⊥②AC ∥截面PQMN

③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45

其中所有正确结论的编号是（ ）

A ．①③

B ．①②④

C ．③④

D ．②③④

12．已知,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．a α⊥，b β//，αβ⊥ B ．a α⊥，b β⊥，//αβ

C ．a α⊂，b β⊥，//αβ

D ．a α⊂，b β//，αβ⊥ 13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A ．186+

B ．206+

C ．2010+

D ．1810+ 14．长方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，

E 为AB 的中点，3CE =，53cos 9ACE ∠=

，且四边形11ABB A 为正方形，则球O 的直径为（ ） A ．4 B 51C ．451D ．4或5 二、解答题

15．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为矩形，2AB AC ==2BC =，D ，E 分别为BC 、11B C 的中点，过BC 作平面α分别交11A B 、1A E 、11A C 于点M 、F 、N ．

（1）求证：平面BCNM ⊥平面1AA ED ．

（2）若Q 为线段AD 上一点，3AD AQ =，1//A Q 平面BCNM ，则当1A Q 为何值时直

线BM 与平面1AA ED 所成角的正弦值为13

（请说明理由）． 16．在如图所示的几何体中，侧面CDEF 为正方形，底面ABCD 中，//AB CD ，222AB BC DC ===，30BAC ∠=，AC FB ⊥.

（1）求证：AC ⊥平面FBC ； （2）线段AC 上是否存在点M ，使//EA 平面FDM ？证明你的结论.

17．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90CAD ABC ∠=∠=，

30BAC ADC ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点，2AC =.

（1）求证：//AE 平面PBC .

（2）若四面体PABC 的体积为33

，求PCD 的面积. 18．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，侧棱1AA ⊥底面ABC ，,E F 分别是1111,A B AC 的中点.

（1）求证:11B F AC ⊥ ；

（2）求平面EFCB 与底面ABC 所成二面角的正切值.

19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥面ABC ，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．

（1）若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 面1AB M ；

（2）若132

C M =，求二面角1A B M C --的大小． 20．如图，在四面体ABC

D 中，

E ，

F 分别是线段AD ，BD 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC 2，AB =BD =2，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°.