命题逻辑等值演算
离散数学-命题逻辑等值演算
消解规则
总结词
消解规则允许我们通过消除两个等价的 命题来得出新的结论。
VS
详细描述
消解规则允许我们通过消除两个等价的命 题来得出新的结论。例如，如果我们有两 个等价的命题A和B，并且知道A能推出C， 同时B能推出D，那么我们可以通过消解规 则得出C ∧ D。
03
推理规则
假言推理
总结词
假言推理是一种基于前件和后件的推理方法，前件是推理的前提，后件是推出的结论。
详细描述
假言推理的逻辑形式是“如果P，则Q”，表示当P为真时，Q也为真。例如，“如果天 下雨，则地面会湿”，当天下雨时，可以推断出地面会湿。
应用场景
假言推理在日常生活和科学研究中广泛应用，如自然语言处理、人工智能、法律推理等 领域。
拒取式与析取三段论
总结词
拒取式是一种通过否定结论 来推导前提的推理方法，而 析取三段论则是通过前提的 析取来推导结论的推理方法
人工智能中的逻辑推理是离散数学中命题逻辑等值演算的另 一个重要应用。在自然语言处理、知识表示和推理、智能决 策等领域，逻辑推理都发挥着关键作用。
通过使用命题逻辑等值演算，人工智能系统可以更好地理解 和处理复杂的逻辑关系，提高推理的准确性和效率。例如， 在专家系统中，逻辑推理可以帮助我们构建知识库和推理机 ，实现智能化的决策支持。
05
习题与思考
命题逻辑的习题练习
练习题1
理解命题逻辑的基本概念，如命题、联结词、量词等，并能够准确 判断一个语句是否为命题。
练习题2
掌握命题逻辑中的推理规则，如析取三段论、合取三段论、假言推 理等，并能够运用这些规则进行简单的逻辑推理。
练习题3
利用真值表法判断复合命题的真假值，理解复合命题的逻辑关系。
21命题逻辑的等值和推理演算
A,B代表任意 的命题公式
摩根律 : (AB) = AB，
(AB) = AB
吸收律: A(AB) = A, A(AB) = A
零律:
AT = T, AF = F
同一律: AF = A, AT = A
TA = A， T A = A，
补余律: AA = T， AA = F，
等值公式
2. 常用等值公式
公式A的子公式置换后，A化为公式B，必有A = B
n 等值演算
n 由已知的等值公式推演出新的等值公式的过程 n 如已知: AA = A
则: BAA = BA
n 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反、对称、传递 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则
三个重要的等值式
P Q = P Q P Q = (P Q) ( P Q )
C
P∧Q
FF
T
T
F
T
P∧Q
FT
T
T
F
F
TF
F
F
T
T
P∧Q
TT
T
F
F 任意
2.3 命题公式与真值表的关系
按真值表列出命题公式的方法
从F来列出
如下表中B为F有二种可能
所以，B的命题公式形式为：□ ∧ □
而取F相应的P、Q解释分别为： P∨Q 、 P∨ Q
所以，B=(P∨Q)∧(P∨Q ) 同理，A= P∨Q
按真值表列出命题公式的方法
从T来列出
如下表中A为T有三种可能
所以，A的命题公式形式为：□∨ □ ∨□ 而取T相应的P、Q解释分别为： P∧Q、P∧Q、 P∧Q
所以，A=(P∧Q) ∨(P∧Q) ∨(P∧Q)
第二章命题逻辑等值演算
每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的 因式分解可判断代数式的根情况。逻辑公式在等 值演算下也有标准形--范式 （公式的规范化）
2.2 析取范式与合取范式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。 如：p、┐p、p∨┐q∨r等是简单析取式 p、┐p、 p∧q∧┐r 等是简单合取式 注:一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
(p→r)∧(q→r) （ ┐p∨ r)∧(┐q∨ r) (┐p ∧ ┐q ) ∨ r ┐(p ∨q ) ∨ r (p∨q)→r
一般情况下，不能用等值演算法直接验证两个公 式不等值。 例2.4 证明：(p→q)→r p→(q→r)
证： 方法一：真值表法。 方法二：观察法。 易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010是p→(q→r)的 成真赋值，所以原不等值式成立。 方法三：设A=(p→q)→r, B=p→(q→r) A= (p→q)→r (┐p∨q)→r ┐(┐p∨q)∨r (p∧┐q)∨r B= p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r) ┐p∨┐q∨r 容易观察到， 000，010是A 的成假赋值， 而它们是B的 成真赋值。
A∨ 0 A ， A∧ 1 A A∨┐A 1
11. 矛盾律
12. 蕴涵等值式 13. 等价等值式 14. 假言易位
A∧┐A 0
A→ B ┐ A∨ B (A B) (A→B)∧(B→A) A→B ┐B→┐A A B ┐A ┐B (A→B)∧(A→┐B) ┐A
Hale Waihona Puke (p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨
离散数学第2章 命题逻辑等值演算
例2.6
CHAPTER TWO
例2.6 在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音 对他是哪个省市的人进行了判断： 甲说王教授不是苏州人，是上海人。
乙说王教授不是上海人，是苏州人。 丙说王教授不是上海人，也不是杭州人。 听完3人的判断，王教授笑着说，他们3人中有一人说得全对， 有一人说对了一半，有一人说得全不对。试用逻辑演算法分析 王教授到底是哪里的人？ 解： 设命题 p, q, r分别表示 ： 王教授是苏州、上海、杭州人。 则p, q, r中必有一个真命题，两个假命题。要通过逻辑演算将 真命题找出来。 设： 甲的判断为： A1= ┐p∧q; 乙的判断为：A2= p∧┐q; 丙的 判断为：A3= ┐q∧r。
等值式模式
CHAPTER TWO
当命题公式中变项较多时，用上述方法判断两个公式是否 等值计算量很大。为此，人们将一组经检验为正确的等值式作 为等值式模式，通过公式间的等值演算来判断两公式是否等值。 常用的等值式模式如下：
1.双重否定律：A⇔ ┐(┐A) 2.幂等律：A⇔A∨A, A⇔A∧A
3.交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A 4.结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C), (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C) 5.分配律：A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) (∨对∧的分配律)
⇔ ┐(┐p∨q)∨r (蕴含等值式，置换规则） ⇔ (p∧┐q)∨r (德摩根律，置换规则）
⇔(p∨r)∧(┐q∨r)(分配律，置换规则） 为简便起见, 以后凡用到置换规则时, 均不必标出。
6/2/2013 9:02 PM Discrete Math. , Chen Chen 10
ch2命题逻辑等值演算
主要内容 等值式与基本的等值式 等值演算与置换规则 析取范式与合取范式，主析取范式与主合取范式 联结词完备集 可满足性问题与消解法
1
2.1 等值式
定义2.1 若等价式AB是重言式，则称A与B等值，记作 AB，并称AB是等值式 几点说明： 定义中，A, B, 均为元语言符号 A或B中可能有哑元出现. 例如 (pq) ((pq)(rr)) r为左边公式的哑元. 用真值表可检查两个公式是否等值 请验证：
范式
13
范式的性质
定理2.1 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某 个命题变项和它的否定式. (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题 变项和它的否定式.
定理2.2 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合 取式都是矛盾式. (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都 是重言式.
制表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值 的十进制表示. mi（Mi）称为极小项（极大项）的名称.
19
实例
由两个命题变项 p, q 形成的极小项与极大项
极小项
公式 成真赋值 名称
pq pq pq pq
00
m0
01
m1
10
m2
11
m3
极大项
公式 成假赋值
pq
00
pq
01
pq
10
pq 1 1
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主范式的应用
例7 用主析取范式判断公式的类型:
(1) A (pq)q (2) B p(pq) (3) C (pq)r
解
(1) A ( pq)q ( pq)q 0
矛盾式
(2) B p(pq) 1 m0m1m2m3 (3) C (pq)r (pq)r
离散数学第二章 命题逻辑等值演算
范式存在定理
定理2.3 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 定理 取范式. 取范式. 求公式 的范式的步骤 的范式的步骤： 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去 中的→, ↔ 消去A中的 中的→ A→B⇔¬ ∨B ⇔¬A∨ → ⇔¬ A↔B⇔(¬A∨B)∧(A∨¬ ∨¬B) ↔ ⇔ ¬ ∨ ∧ ∨¬ (2) 否定联结词¬的内移或消去 否定联结词¬ ¬ ¬A⇔ A ⇔ ⇔¬A∧¬ ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
真值表法
例1 判断 ¬(p∨q) 与 ¬p∧¬q 是否等值 ∨ ∧ 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬p ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 p∨q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q) ∨ ∨ ∧ ∨ ↔¬ ∧ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
实例(续)
(2) (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) ∨¬p) ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 该式为重言式. 该式为重言式 （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） （交换律） 交换律）
实例(续)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解 ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧ ∨ ∧¬ ∧¬q))∧ （分配律） 分配律） （排中律） 排中律） （同一律） 同一律） ∨¬q))∧ ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∧ ∨¬ ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ ⇔ p∧r ∧ 成假赋值. 成假赋值 总结:A为矛盾式当且仅当 ⇔ 为重言式当且仅当A⇔ 总结 为矛盾式当且仅当A⇔0; A为重言式当且仅当 ⇔1 为矛盾式当且仅当 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明 演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 演算步骤不惟一
命题逻辑等值演算
8
应用举例——证明两个公式等值 证明两个公式等值 应用举例
例2 证明 (p ∨ q)→r ⇔ (p → r) ∧ (q → r) → 可以从左边开始演算,也可以从右边开始演算. 可以从左边开始演算,也可以从右边开始演算. 证 (p → r) ∧ (q → r) 蕴涵等值式） ⇔(¬p ∨ r ) ∧ (¬ q ∨ r) ¬ ¬ （蕴涵等值式） 分配律） ⇔ (¬p ∧ ¬ q ) ∨ r ¬ （分配律） 德摩根律） ⇔ ¬ (p ∨ q) ∨ r （德摩根律） ⇔ (p ∨ q)→r → （蕴涵等值式） 蕴涵等值式）
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ห้องสมุดไป่ตู้
例3 (续) 续
(2) (p→q)↔(¬q→¬ →¬p) → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ ∨¬p) （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ 交换律） ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) （交换律） ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 由最后一步可知，该式为重言式. 由最后一步可知，该式为重言式 最后一步为什么等值于1？ 问：最后一步为什么等值于 ？
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于是,由同一律可知: E ⇔ ( ¬p ∧ q ∧ ¬r ) ∧ (p ∧ ¬ q ∧ r ) 但因为王教授不能既是上海人,又是杭州人,因 而p, r必有一个假命题,即p ∧ ¬ q ∧ r ⇔ 0,于是 于是 E ⇔ ¬p ∧ q ∧ ¬r 为真命题. 因而必有p, r为假命题, q为真命题, 即王教授 为上海人.甲说得全对,丙说对了一半,而乙全说 错了.
17
由王教授所说,可推出 E= (B1 ∧ C2 ∧ D3) ∨ (B1 ∧ C3 ∧ D2) ∨(B2 ∧ C1 ∧ D3) ∨(B2 ∧ C3 ∧ D1) ∨(B3 ∧ C1 ∧ D2) ∨(B3 ∧ C2 ∧ D1) 为真命题.而 B1 ∧ C2 ∧ D3 ⇔ 0 B1 ∧ C3 ∧ D2 ⇔ ¬p ∧ q ∧ ¬r B2 ∧ C1 ∧ D3 ⇔ 0 B2 ∧ C3 ∧ D1 ⇔ 0 B3 ∧ C1 ∧ D2 ⇔ p ∧ ¬ q ∧ r B3 ∧ C2 ∧ D1 ⇔ 0
命题公式等值演算
命题公式等值演算命题公式等值演算（Propositional Formula Equivalence）是数理逻辑领域中的一个重要概念和技巧。
本文将介绍命题公式等值演算的基本思想和常用方法，并通过一些例子来详细说明。
一、命题公式等值关系的定义在逻辑学和计算机科学中，命题公式是由包含命题变量、逻辑运算符和括号构成的表达式。
而命题公式等值关系则是指两个命题公式具有相同的真值。
换句话说，当且仅当两个命题公式在每一个赋值下具有相同的真值时，它们才是等值的。
例如，对于命题变量p和q，表达式(p∧q)∨(¬p∧¬q)和(p∨¬q)∧(¬p∨q)是等值的，因为它们在每一个赋值下的真值相同。
二、命题公式等值演算的基本规则命题公式等值演算是通过一系列基本规则来推导等值式的过程。
下面是一些常用的基本规则：1. 交换律：p∧q ≡ q∧p，p∨q ≡ q∨p2. 结合律：(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)，(p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)3. 分配律：p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)，p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)4. 吸收律：p∧(p∨q) ≡ p，p∨(p∧q) ≡ p5. 否定律：p∨¬p ≡ T，p∧¬p ≡ F6. 德摩根定律：¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q，¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q7. 双重否定律：¬(¬p) ≡ p三、命题公式等值演算的应用命题公式等值演算是数理逻辑中的一项基础技术，可以应用于证明命题的等价关系、简化复杂的命题公式以及构造等价的命题公式等领域。
1. 证明等价关系通过命题公式等值演算，可以证明两个命题公式之间的等价关系。
例如，要证明(p∨q)∧(¬p∨q) ≡ q，可以使用分配律、交换律和吸收律等基本规则进行推导。
2. 简化命题公式当给定一个复杂的命题公式时，可以利用命题公式等值演算的基本规则来简化它，使得它更加易于理解和计算。
命题逻辑等值演算
Mi mi。
例 2 由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
例 3 p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
三、主范式
1、主析取范式：由极小项构成的析取范式。
2、主合取范式：由极大项构成的合取范式。
3、主范式：主析取范式与主合取范式统称为主范式。
值。
方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
例3用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q(pq)
解： q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq)
（德摩根律）
p(qq)
（交换律，结合律）
p0
（矛盾律）
0
（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
得到合取范式（由两个简单析取式构成）。
二、极小项与极大项
1、定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项（或它的
否定式）均以文字的形式出现且仅出现一次，称这样的简单合取式(简单析取式)为极
离散数学
第二章 命题逻辑等值演算
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第二章 命题逻辑等值演算
一、等值式
1、等值式：设A，B是命题公式，且AB为重言式,则称A与B是等值的，记作AB。
说明 ：1）符号不是联结符，只是一种记法。
2）若A与B的真值表相同（真值表法），则AB；否则A
B。
3）判断公式等值的方法——利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。
五、主范式的应用
二章命题逻辑等值演算资料精品文档
2.1 等值式
常元律
零律: p 1 1， p 0 0 同一律: p 0 p， p 1 p 排中律: p ¬p 1 矛盾律: p ¬p 0
吸收律
p (p q) p p (p q) p
9
2.1 等值式
蕴涵等值式 p q ¬p q 等价等值式 p q (p q) (q p) 假言易位 p q ¬q ¬p 等价否定等值式 p q ¬p ¬q 归谬论 (p q ) (p ¬q ) ¬p
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2.1 等值式
2. 用等值演算判断公式的类型 证明： ((p∨q) ¬(¬p (¬q∨¬r)))∨(¬p¬q)∨(¬p ¬r)为一
永真式 证明：原式 ((p∨q) (p∨(q r)))∨¬(p∨q)∨¬(p∨r) ((p∨q) (p∨q) (p∨r))∨¬((p∨q) (p∨r)) ((p∨q) (p∨r))∨¬((p∨q) (p∨r)) 1
10
2.1 等值式
说明： (1)16组等值模式都可以给出无穷多个同类型的具
体的等值式。 (2)证明上述16组等值式的代入实例方法可用真值
表法，把改为所得的命题公式为永真式，则 成立。
11
2.1 等值式
等值演算：由已知的等值式推演出另外一些等 值式的过程
置换规则：设φ(A)是含公式A的命题公式， φ(B)是用公式B置换了φ(A)中所有A后得到的 命题公式，若ＡB ，则φ(A) φ(B)
2. “”对“”分配，化为析取范式 ( p p q) (q p q)
3. 最简析取范式
pq
29
2.2 析取范式和合取范式
例：求((p q) r) p的析取范式和合取范式 (一) 求析取范式
离散数学第二章命题逻辑等值演算
再如 ┑p ∨ q 既是p →q的析取范式又是它的的合取范式
如果公式的范式不唯一则对于将公式按等值进行分类的利用价值就不高
p q (p → q)∧(q→p) (p∧q)∨(┓p∧┓q)
00
1
1
01
0
0
10
0
0
11
1
1
（0,0）与（1,1）为公式的成真赋值。 （0,1）与（1,0）为公式的成假赋值
命题公式的分类（根据公式在赋值下的真值情况进行分类） 1）若命题公式在它的各种赋值下取值均为真,则称命题公式是重言
式或永真式。 2）若命题公式在它的各种赋值下取值均为假,则称命题公式是矛盾
2
如：┐Q∧（Ｐ→Q） → ┐P
4
分析1：若要得出：当设 A为真，B为
假的情况不会出现，
5
那么A →B 为永真式。
6
可证明：设前件为真
7
分析2： 还可以从设 B为假，推出A
为真的情况不会出现（A为假），
9
证明： 设后件为假
8
那么A →B 为永真式。
1 0
(（Ｐ→Q）∧( Q→R)) →(Ｐ→R)
不同真值表的公式 1）当命题变元确定后，通过五个连接词及其命题变元可以构成 无数个不 同表现形式的命题公式。 问题：这些不同形式的命题公式的真值表是否都不相同？ 先看变元仅有两个p,q 那么关于这两个变元的公式的赋值仅有4组
（┐p ∨ q）∧（┐q∨┐p∨r）∧┐q
是含三个简单析取式的合取范式．
2、性质：
1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
┐p ∧ P ∨ ┐ q∧ q ⇔ 0 ∨ 0 ⇔ 0
命题逻辑的等值演算
1命题逻辑的等值演算这一讲讨论命题公式之间的等值关系，其中一些重要的等值关系将用于对命题公式进行等值运算和设计推理规则。
1. 等值式定义1.1 若命题公式A 和B 是恒等的布尔代数式，即在任何赋值下二者的值总相等，则称二者是等值的，记为A B A B ≡⇔或者称为等值式。
注意，等值式不是逻辑公式，而是逻辑学的公式。
显然，A ≡B 当且仅当A B ↔是永真公式。
等值关系的性质：（1） 自反性：对任何公式A ，都有 A A ≡。
（2） 对称性：若 A B ≡，则 B A ≡。
（3） 传递性：若 A B ≡且若 B C ≡，则 A C ≡。
例1.2 试证明下列等值式。
a a ⌝⌝≡证明：当a =1时，左式=101⌝⌝=⌝==右式。
当a =0时，左式=010⌝⌝=⌝==右式。
因此，左式恒等于右式。
依定义，该等值式成立。
例1.3试证明下列等值式。
()()() a b c a b a c ∧∨≡∧∨∧证明：当a =1时，左式=b c ∨，右式=b c ∨，两边相等。
当a =0时，左式=0，右式=0，两边相等。
因此，该等值式成立。
2上述两例中的证明方法可以称为代数分析法。
还有一种演算方法，可以将将左式等值地变形为右式。
这种保持公式真值的演算称为等值演算。
2. 等值演算规则：替换等值演算是将当前公式中的某个子公式替换为与之等值的公式。
替换在课本中称为置换，与抽象代数中的置换（permutation ）是不同的概念。
替换的定义如下。
定义3.1 设[] A Φ是一个命题公式，A 是出现在其中某处的一个子公式。
若用另外一个公式B 替换[] A Φ中的A ，则可得一个新公式，记为[] A Φ。
我们称这种公式变形为替换（replacement ）。
注意，这里A 是指[] A Φ中某一处出现的子公式，不是[] A Φ中所有与A 相同的子公式。
例如，将()()p q p r ⌝⌝→∨⌝⌝→中第二次出现的子公式p ⌝⌝替换为p ，得()()p q p r ⌝⌝→∨→定理3.2（替换原理）若 A B ≡，则[][] A B Φ≡Φ。
第2章 命题逻辑的等值演算
如果将真值1，0 看做是数，则每一个解释对应一 个n位二进制数。 假设使极小项m取1值的解释对应的二进制数为i， 今后将m记为mi。
例:
对p，q，r而言，pqr是极小项 解释{p，q，r}使该极小项取1值，解释{p，q， r} 对应的二进制数是2 (010) 于是pqr记为m2
例：
(p(qr))s (p(qr))s p(qr)s p(qr)s …………….
式)
(ps)(qr) (psq)(psr)
( 析取范
…… (合取范式)
主范式
定义2. 4 设p1,…,pn是n个不同原子，一个简单合取式如果 恰好包含所有这n个原子或其否定，且其排列顺序与 p1,…,pn的顺序一致，则称此简单合取式为关于p1,…,pn的 一个极小项。 显然，共有2n个不同的极小项。 例如: 对原子 p，q，r 而言， pqr，pqr，pqr 都是 极小项，但是，p，pq不是极小项， 对原子p，q而言,pq是极小项。
例
判断公式 (pq)(qr)(rp)是否永假? 解： (pq)(qr)(rp) (pq)(qr)(rp) ((pq)(qq)(pr)(qr))(rp) (pqr)(qqr)(prr)(q rr)(pqp)(qqp)(prp) (qrp) 故公式(pq)(qr)(rp)不是永假的。
命题公式和真值表的关系
从0来列写
B (…) ∧ (…)
由1列写的方式进行转化： B (…)∨ (…) B (…) ∧ (…) (…) 写成析取式，表示一种 B 值为假的情况。如 p=1，q=0 时为假，
(…) 写成p ∧q， (…)写成 p ∨ q
1值取p形式
定理
对于任意公式G，存在唯一一个与G等值的主析取 范式。
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第二章命题逻辑等值演算例1 . 设三元真值函数f为：f（0,0,0）＝0，f（0,0,1）＝1，f（0,1,0）＝0，f（1,0,0）＝1 f（0,1,1）＝1，f（1,0,1）＝1，f（1,1,0）＝0，f（1,1,1）＝1 试用一个仅含联结词→，⌝的命题形式来表示f 。
解：则根据真值表法可以求出f的主合取范式为：（⌝P∨⌝Q∨R）∧（P∨⌝Q∨R）∧（P∨Q∨R）而：（⌝P∨⌝Q∨R）∧（P∨⌝Q∨R）∧（P∨Q∨R）⇔(⌝P∨⌝Q∨R)∧（P∨R）⇔((⌝P∨⌝Q)∧P)∨R⇔(P∧⌝Q)∨R又由于：P∧Q⇔⌝(P→⌝Q) P∨Q⇔⌝P→Q所以，(P∧⌝Q) ∨R⇔⌝( P∧⌝Q)→R⇔⌝(⌝(P→Q))→R所以，f可以用仅含→，⌝的命题⌝(⌝(P→Q))→R来表示。
例2 . 不用真值表判断下列公式是永真式、永假式还是其它。
(1)(P∨Q)→(P∧Q) ;(2)⌝((Q→P)∨⌝P)∧(P∨R) ;(3)((⌝P∨Q)→R)→((P∨⌝Q)∨R) .解：（1）(P∨Q)→(P∧Q) ⇔⌝(P∨Q)∨(P∧Q) ⇔(⌝P∧⌝Q)∨(P∧Q) 所以，(P∨Q)→(P∧Q)既非永真式也非永假式。
（2）⌝((Q→P)∨⌝P)∧(P∨R) ⇔⌝((⌝Q∨P)∨⌝P)∧(P∨R)⇔⌝T∧(P∨R) ⇔F∧(P∨R) ⇔F所以，⌝((Q→P)∨⌝P)∧(P∨R)为永假式。
（3）((⌝P∨Q)→R)→((P∨⌝Q)∨R) ⇔(⌝(⌝P∨Q)∨R)→((P∨⌝Q)∨R) ⇔((P∨⌝Q)∨R)→((P∨⌝Q)∨R) ⇔T所以，((⌝P∨Q)→R)→((P∨⌝Q)∨R)为永真式。
例3 .证明下列等价式。
（1）(P→Q)∧(P→R) ⇔P→Q∧R ;（2）P∧Q∧(⌝P∨⌝Q) ⇔⌝P∧⌝Q∧(P∨Q) .解：说明: 这两道题看似麻烦，但是如果不采用直接推导的方法，而是利用范式或是左右夹击推导的方法，会起到事半功倍的效果。
(1). (P→Q)∧(P→R) ⇔(⌝P∨Q)∧(⌝P∨R)⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)⇔M4∧M5∧M6P→Q∧R ⇔⌝P∨(Q∧R) ⇔(⌝P∨Q)∧(⌝P∨R)⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)⇔M4∧M5∧M6所以，(P→Q)∧(P→R) ⇔P→Q∧R成立。
(2). P∧Q∧(⌝P∨⌝Q)⇔(P∧Q∧⌝P)∨(P∧Q∧⌝Q)⇔F⌝P∧⌝Q∧(P∨Q)⇔(⌝P∧⌝Q∧P)∨(⌝P∧⌝Q∧Q)⇔F所以，P∧Q∧(⌝P∨⌝Q) ⇔⌝P∧⌝Q∧(P∨Q)例4 . 试求下列各公式的主析取范式和主合取范式。
(1)(P→(Q∧R))∧(⌝P→(⌝Q→R))(2)((P∨Q)→R)→P解: (1) (P→(Q∧R))∧(⌝P→(⌝Q→R)) ⇔(⌝P∨(Q∧R))∧(P∨(Q∨R))⇔(⌝P∨Q)∧(⌝P∨R)∧(P∨Q∨R)⇔(⌝P∨Q∨R)∧(⌝P∨Q∨⌝R)∧(⌝P∨⌝Q∨R)∧(P∨Q∨R) ⇔M4∧M5∧M6∧M0 (主合取范式)则其主析取范式为m1∨m2∨m3∨m7(2)((P∨Q)→R)→P ⇔⌝(⌝(P∨Q)∨R)∨P⇔((P∨Q) ∧⌝R)∨P ⇔(P∧⌝R)∨(Q∧⌝R)∨P⇔(Q∧⌝R)∨P ⇔(Q∨P)∧(⌝R∨P)⇔(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨⌝R)∧(P∨⌝Q∨⌝R)⇔M0∧M1∧M3 (主合取范式)则其主析取范式为m2∨m4∨m5∨m6∨m7例5 . 用等值演算法证明下面等值式。
(1)P ⇔(P∧Q)∨(P∧⌝Q)(2)(P→Q)∧(P→R) ⇔P→(Q∧R)(3)⌝(P↔Q) ⇔(P∨Q)∧⌝(P∧Q)(4)(P∧⌝Q)∨(⌝P∧Q) ⇔(P∨Q)∧⌝(P∧Q)解: (1)右边⇔P∧(P∨⌝Q)∧(P∨Q)∧(Q∨⌝Q)⇔P∧(P∨⌝Q∧Q)∧T⇔P∧P⇔P ⇔左边所以P ⇔(P∧Q)∨(P∧⌝Q)(2)左边⇔(⌝P∨Q)∧(⌝P∨R)⇔⌝P∨Q∧R⇔P→(Q∧R) ⇔右边所以(P→Q)∧(P→R) ⇔P→(Q∧R)(3)左边⇔⌝((P→Q)∧(Q→P))⇔⌝(⌝P∨Q)∨⌝(⌝Q∨P)⇔P∧⌝Q∨Q∧⌝P⇔(P∨Q)∧(P∨⌝P)∧(⌝Q∨Q)∧(⌝Q∨⌝P)⇔(P∨Q)∧(⌝Q∨⌝P)⇔(P∨Q)∧⌝(P∧Q)⇔右边所以⌝(P↔Q) ⇔(P∨Q)∧⌝(P∧Q)(4) 左边⇔(P∧⌝Q)∨(⌝P∧Q)⇔(P∨⌝P)∧(P∨Q)∧(⌝Q∨⌝P)∧(⌝Q∨Q)⇔(P∨Q)∧(⌝Q∨⌝P)⇔(P∨Q)∧⌝(P∧Q)⇔右边所以(P∧⌝Q)∨(⌝P∧Q) ⇔(P∨Q)∧⌝(P∧Q)例6 . 将下列公式化成与之等值且只含{⌝,∨, ∧}中联结词的公式。
(1) ⌝( P→(Q↔(Q∧R)))(2) P↔(Q↔R)解：(1) ⌝( P→(Q↔(Q∧R)))⇔⌝(⌝P∨(Q→(Q∧R))∧((Q∧R)→Q))⇔⌝(⌝P∨(⌝Q∨(Q∧R))∧(⌝(Q∧R)∨Q))⇔⌝(⌝P∨(⌝Q∨R))⇔P∧Q∧R(2) P↔(Q↔R)⇔(P→(Q↔R))∧((Q↔R)→P)⇔(P→((Q→R)∧(R→Q)))∧(((Q→R)∧(R→Q))→P)⇔(⌝P∨(⌝Q∨R)∧(⌝R∨Q))∧(⌝((Q→R)∧(R→Q))∨P)⇔(⌝P∨(⌝Q∨R)∧(⌝R∨Q))∧(⌝(⌝Q∨R)∨⌝(⌝R∨Q)∨P)⇔(⌝P∨⌝Q∧⌝R∨R∧Q)∧(Q∧⌝R∨R∧⌝Q∨P)⇔(⌝P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)例7. 在某班班委成员的选举中，已知王小红、李强、丁金生三位同学被选进了班委会，该班的甲、乙、丙三名学生预言：甲说：王小红为班长，李强为生活委员。
乙说：丁金生为班长，王小红为生活委员。
丙说：李强为班长，王小红为学习委员。
班委会分工名单公布后发现，甲、乙、丙三人恰好都猜对了一半。
问王小红、李强、丁金生各任何职（用等值演算求解）？解：设P：王小红为班长；Q：李强为生活委员；R：丁金生为班长；S：王小红为生活委员；M：李强为班长；N：王小红为学习委员。
由已知条件可得公式：T: (⌝P∧Q)∨(P∧⌝Q)U: (⌝R∧S)∨(R∧⌝S)W: (⌝M∧N)∨(M∧⌝N)根据题意得G ⇔T∧U∧W ⇔T，于是G ⇔T∧U∧W⇔((⌝P∧Q)∨(P∧⌝Q))∧((⌝R∧S)∨(R∧⌝S))∧W⇔((⌝P∧Q∧⌝R∧S)∨(⌝P∧Q∧R∧⌝S)∨(P∧⌝Q∧⌝R∧S)∨(P∧⌝Q∧R∧⌝S))∧W由于P和R不能同时为真，Q和S不能同时为真，P和S不能同时为真（因为这样不符合题意），故上式变为：G ⇔(⌝P∧Q∧R∧⌝S) ∧((⌝M∧N)∨(M∧⌝N))⇔(⌝P∧Q∧R∧⌝S∧⌝M∧N)∨(⌝P∧Q∧R∧⌝S∧M∧⌝N)由于P,R,M不能同时为真，P,S,N不能同时为真（因为这样不符合题意），则上式仅剩一项⌝P∧Q∧R∧⌝S∧⌝M∧N，可见王小红不是班长，李强是生活委员，丁金生是班长，王小红不是生活委员，李强不是班长，王小红是学习委员，于是得到：王小红是学习委员，李强是生活委员，丁金生是班长。
例8 .（讨论题）试用多种方法证明蕴含式P∧Q⇒(P→Q)解: 方法一：只要证明P∧Q→(P→Q)是永真式。
P∧Q→(P→Q) ⇔⌝(P∧Q)∨(⌝P∨Q) ⇔⌝P∨⌝Q∨⌝P∨Q⇔⌝Q∨⌝P∨Q ⇔T即为永真式，故P∧Q⇒(P→Q)成立。
方法二：设P∧Q为T，则P和Q都为T，则P→Q为T，故P∧Q⇒(P→Q)。
方法三：设P→Q为F，则P为T，Q为F，则P∧Q为F，故P∧Q⇒(P→Q)。
例9 . （讨论题）联结词“↑”和“↓”服从结合律么？解：联结词“↑”和“↓”均不服从结合律。
证明方法有以下两种：方法一：(P↑Q)↑R ⇔⌝(⌝(P∧Q)∧R) ⇔(P∧Q)∨⌝R而P↑(Q↑R) ⇔⌝(P∧⌝(Q∧R)) ⇔⌝P∨(Q∧R)一般而言(P∧Q)∨⌝R与⌝P∨(P∧Q)是不等价的,故联结词“↑”不服从结合律。
(P↓Q)↓R ⇔⌝(⌝(P∨Q)∨R) ⇔(P∨Q)∧⌝R而P↓(Q↓R) ⇔⌝(P∨⌝( Q∨R)) ⇔⌝P∧(Q∨R)一般而言(P∨Q)∧⌝R与⌝P∧(Q∨R)是不等价的，故联结词“↓”不服从结合律。
方法二：可以举例如下：对于↑，给出一组真值指派：P为F，Q为T，R为T，则(P↑Q)↑R 为F，但是P↑(Q↑R)为T，故联结词“↑”不服从结合律。
对于↓，给出一组真值指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↓Q)↓R 为T，但是P↓(Q↓R)为F，故联结词“↓”不服从结合律。
例10 . （思考题）设计一个保密锁的控制电路，锁上共有三个按钮A,Q,C。
当三键同时按下，或只有A,Q两键按下，或只有A,Q其中之一按下时，锁被打开。
请写出此控制电路的公式并画出线路图。
分析：本题是逻辑在电路设计中的应用。
解题时先用真值表求出开锁条件，再写出逻辑表达式，化成最简的形式，最后根据最简表达式画出电路图。
解：根据题目要求，列出开锁条件的真值表：设P：A按下，Q：B按下，R：C按下由真值表写出逻辑表达式为：G ⇔P∧Q∧R∨P∧Q∧⌝R∨P∧⌝Q∧⌝R∨⌝P∧Q∧⌝R⇔P∧Q∨(P∧⌝Q∨⌝P∧Q)∧⌝R⇔P∧Q∨((P∨Q)∧(⌝P∨⌝Q))∧⌝R⇔(P∧Q∨P∨Q)∧(P∧Q∨(⌝P∨⌝Q))∧(P∧Q∨⌝R)⇔(P∨Q)∧(P∧Q∨⌝R)⇔P∧Q∨(P∨Q)∧⌝R⇔P∧Q∨P∧⌝R∨Q∧⌝R故保密锁的控制电路如图所示：例10 图。