北师大版七年级下册数学 第四章 三角形

A

B C F E

D

A

B C

D E D

A E

B C A B

C

D

E

第四章 三角形 导学案 4.1 认识三角形

一、三角形的有关概念

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的边：组成三角形的三条线段，叫做三角形的边。 三角形的顶点：相邻两边的公共端点，叫做三角形的顶点。 三角形的内角：相邻两边的夹角，叫做三角形的内角。

例1：如图4.1-1，图中各有多少个三角形？将它们分别表示出来。

图 4.1-1 图4.1-2

例2：（1）如图4.1-2，图中共有 个三角形，它们分别是 。

（2）以AD 为边的三角形有 。 （3）∠C 分别为△AEC ，△ADC ，△ABC 中 ， ， 边的对角。

（4）∠B 是 ， ， 的内角；∠AED 是 ， 的内角。

二、三角形的内角和

1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。

2.推导过程：

1

6 2

3

4

5 A B

C D

例3：如图4.1-3，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 。

图4.1-3

三、三角形按角分类

1.锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形，是锐角三角形。

直角三角形：有一个内角是直角的三角形，是直角三角形。

钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形，是钝角三角形。

2.任何一个三角形，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。

3.判断方法：判断一个三角形是何种三角形，只需看最大内角是什么角。

例4：在△ABC中，已知∠A= 1

3∠B=

1

4∠C，则△ABC是三角形。

四、直角三角形的表示、有关概念及性质

1.表示：用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”。

2.斜边：直角所对的边，叫做直角三角形的斜边。

直角边：夹直角的两条边，叫做直角边。

3.性质：直角三角形的两个锐角互余。

例5：如图4.1-4，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD= 。

图4.1-4

五、三角形的三边关系

1.等腰三角形：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另外一边叫做底边。两条腰所对的角叫做底角，底边所对的角叫做顶角。

2.等边三角形：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫做正三角形。

A

B

D

C

E

A

B C

D

E

3.三角形三边关系：

①三角形任意两边之和大于第三边。

②三角形任意两边之差小于第三边。

依据：两点之间，线段最短。

4.判断是否能构成三角形的方法：

只需将较短的两边之和与最长边作比较，若较短的两边之和大于最长边，则就可以构成三角形。

例6：下列各组线段中，能构成三角形的是（）

A.a=6,b=8,c=15

B.a=7,b=6,c=13

C.a=4,b=5,c=6

D.a=1

2,b=

1

4c=

1

8

六、三角形的中线

1.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

2.三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。

3.三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个部分。

例7：如图4.1-5，D、E分别是△ABC、△BDC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是（）

A.DE是△BDC的中线

B.BD是△ABC的中线

C.AD=DC，BE=EC

D.DE是△ABC的中线

图 4.1-5 图 4.1-6

例8：如图4.1-6，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD=5cm，EC=2cm，

则S

△ABE = ，S

△AEC

= ，由此可猜想出

。

七、三角形的角平分线

1.在一个三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

A

B C

D

A

B C

D

A

B C

D

D

A B

C

A

B

C

D

A

B C

D

H G l 1 l 2

3

2

1

2.三角形的三条角平分线交于一点。

例9：如图4.1-7，在△ABC 中，∠B=42°，∠C=52°，AD 平分∠BAC ，求∠DAC 的度数。

图 4.1-7 八、三角形的高

1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

2.三角形的三条高所在直线交于一点。

例10：如图，画△ABC 一边上的高，正确的画法是（ ）

A

B C D

例11：如图4.1-8，已知AD 是△ABC 的中线，DH ⊥AB 与点H ，DG 垂直AC 于点G ，AB=7cm ，AC=6cm ，DH=3cm ，则DG 的长是 。

图 4.1-8

九、题型解析

题型一：三角形内角和定理的应用

练习1：如图4.1-9，直线l 1∥l 2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3= . 图 4.1-9