材料力学第九章强度理论

第九章 强度设计理论
本章重点
1. 强度理论的概念 2. 四种主要强度理论及其应用 3. 杆件强度的合理设计
§9-1 强度理论
一、强度理论的概念
轴向拉压、弯曲正应力 扭转、弯曲剪应力
m ax [ ]
m ax [ ]
材料破坏的形式主要有两类：
1、脆性断裂（断裂破坏） 2、塑性屈服（剪切破坏）
论没有考虑中间主应力σ2的影响，其带来的最大误 差不超过15％，而在大多数情况下远比此为小。 对三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性断裂 破坏的事实无法解释。
2、形状改变能密度理论(第四强度理论) （畸变能密度） 假定：复杂应力状态下材料的形状改变能 密度达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变 能密度时，材料即会发生屈服。 屈服破坏条件是：
相应地，强度理论也可分为两类： 一类是关于脆性断裂的强度理论； 一类是关于塑性屈服的强度理论。
（一）、关于脆断的强度理论
1、最大拉应力理论（第一强度理论）
假定：无论材料内各点的应力状态如何， 只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时的 极限应力σu，材料即破坏。 在单向拉伸时，极应变片贴于与母线成45°角的外表面上
1 ,
1

1 E 1
2
0,
3


1 ( 2 3 )

1 E m
m ax

m in
E
d
16
3

0
3
m
d E0
1 6 (1 )
杆件强度设计
关键：如何确定危险截面、危险点的位置 以及危险点的应力状态
材料失效的原因是应力、应变和变形能 等诸因素中的某一因素引起的。 无论是简单或复杂应力状态，引起失效 的因素是相同的。且应具有相同的失效基 准。 利用强度理论可由简单的应力状态的实 验结果，建立复杂应力状态的强度条件。
强度理论在不断发展!!!
二、常用的四种强度理论
材料破坏的基本形式：脆断、屈服，
11 10
脆性断裂，最大拉应力理论
max= 1 []
（单位MPa）
其次确定主应力
1＝29.28MPa, 2＝3.72MPa, 3＝0
max= 1< [] = 30MPa
结论：强度是安全的。
23 11 10
（单位MPa）
课本例题9.3 已知： 和，试写出最大剪应力理论 和形状改变能密度理论的表达式。 解：首先确定主应力

r3


2 x 2 x
4 3
2 x 2 x
(1 1 6 )
r4
例1、已知 铸铁构件上危险点的应力 状态。铸铁 拉伸许用应力[] =30MPa。试校核该点的强度。
23
解：首先根据材料和应力
状态确定破坏形式，选择强 度理论。
危险点接近于三向均匀受拉的塑性材
料，应选用
第一
。
强度理论进
行计算，因为此时材料的破坏形式
为
脆性断裂
例8、圆轴直径为d，材料的弹性模量为E，泊松比为 ，为了测得轴端的力偶m之值，但只有一枚电阻片。 （1）试设计电阻片粘贴的位置和方向； （2） 若按照你所定的位置和方向，已测得线应变 为 0，则外力偶m＝？

m ax

s
最大剪应力理论
2 3
max 1 3
2
=s 1
1 3
o o
max
o

s
2
2
破坏条件
强度条件
1 3
s
ns

第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证
实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较
简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理
按第三强度理论可求得： [ ]
第四强度理论的强度条件为：
( 2
1
1
2)
2
(
2
3)
2
(
3
1)
2

3 [ ]
由此得：

[ ] 3
剪切强度条件为：
[ ]
[ ] 3
按第四强度理论可求得： [ ]
总结：在纯剪切应力状态下：
形状改变比能理论
2 1
3
=s
1 6E
2
Uu
2 s
2
U
2
f
Uu
1)
2
2
1
( 1 2 ) (
2
3 ) (
3
[ ]
四个强度理论的强度条件可写成统一形式：
r [ ]
r1 1
r 称为相当应力
r 2 1 ( 2 3 ) r3 1 3 r4
由于钢梁为塑性材料，K3点处的强度可由第三或第四强 度理论进行校核。
3 r4
k 3 4 k 3 1 7 6 M p a
2 2 2 2
150 M pa 150 M pa
k 3 3 k 3 1 6 4 M p a
说明钢梁在K3点处的相当应力超过许用应力，不能满足 强度要求。必须增大工字钢的型号，才能满足钢梁在K3点处 的强度。
150 M pa
b．剪应力强度校核(K2)点
C截面
m ax k 2
FS hb 100 10 ( 2 0 0 2 2 .8 ) 1 0
3 3 3
7 10
8 0 .1 M p a 9 5 M p a
正应力和切应力强度条件均满足。
c．校核腹板和翼板交接处（K3）点的强度。
K3点处的复杂应力状态，绘出K3点的应力状态图。
C截面
k3
MC IZ yk 3 32 10 88 . 6 10
3 3
23 . 7 10
6
120 Mpa
k3
QC S
* Z
IZb
11 . 4 3 9 100 10 11 . 4 100 88 . 6 10 2 64 . 8 Mpa 6 3 23 . 7 10 7 10
按照此理论，铸铁在二向拉伸时应比单向拉伸时 更安全，这与试验结果不符。同样此理论也不能解释 三向均匀受压时，材料不易破坏这一现象。
1 ( 2 3 ) [ ]
(二)、关于屈服的强度理论
1、最大剪应力理论（第三强度理论） 假定：无论材料内各点的应力状态如何， 只要有一点的最大剪应力τmax达到单向拉伸 屈服剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑 性变形或屈服。 屈服破坏条件是：
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）
假定：无论材料内各点的应变状态如何，只要有一
点的最大伸长线应变ε1达到单向拉伸断裂时应变的极限
值 εu，材料即破坏。
发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu 若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工作，则
1
1 E （ 1 2 3） ,
失效条件可写为 σ1 ≥ σb
第一强度理论强度条件：
1 [ ]
[ ]

b
n
第一强度理论—最大拉应力理论
2
3
max 1 ( 1 0)

=b
1
max b
1 [ ]
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、陶瓷、玻璃 等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向 拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。 脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发 生断裂，这些都与最大拉应力理论相符。 实践证明，该理论适合脆性材料在单向、二向 或三向受拉的情况。此理论不足之处是没有考虑其 它二个主应力对材料破坏的影响。
温能提高脆性，高温一般能提高塑性； 在高速动载
荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。
必须指出，即使是同一材料，在不同的应力状态下 也可以有不同的破坏形式。 无论是塑性材料或脆性材料： 在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的
形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；
在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑 性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。 如何选用强度理论，并不单纯是个力学问题。 在不同的工程技术部门中，对于在不同情况下如何 选用强度理论的问题，在看法上并不完全一致。

1

2

1 2

2
4
2
2 0
3
2 1 2
4
2
2
最大剪应力理论
r3 1 3
2
4
2
形状改变能密度理论
r4
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2
一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料
多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；
塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度
理论。 影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低
解：（一）画梁的剪力图和弯矩图
危险截面发生在C、D截面
MC=32KN· m QC=100KN
（二）强度校核
先绘出C截面正应力分布图和剪应力分布图。
C截面 a．正应力强度校核（K1）点
m ax k 1
MC WZ 32 10 237 10
3 6
1 3 5 M p a
U
f
U
f
Uu

1