固体物理习题3

其中求和遍及链上的所有原子。 其中求和遍及链上的所有原子。
1 E = T
∫
T
0
⋅ 1 1 2 2 ∑ 2 m x n + ∑ 2 β ( x n − x n + 1 ) dt n n T ⋅ 1 1 2 m x n dt + 2 T T
1 = ∑ T
∫
0
∫
0
1 2 β ( x n − x n + 1 ) dt 2
)
2 β cos aq A = = 声学支： 声学支： 2 2β − m ω − B −
cos aq (1 − m M
)
因为 1 − M < 0,1 − m > 0 ,
m M
而且 当 q = ± 由上式得到
1 4a
时，cosaq=0
A = −∞ , 即 B = 0 B +
m
M
2n-3 2n-
2n-2 2n-1 2n- 2n-
2n
2n+1
2n+2
2n+3
表示原子间的恢复力系数， 令 β 表示原子间的恢复力系数，运动方程写为
m x 2 n = β ( x 2 n + 1 − x 2 n ) − β ( x 2 n − x 2 n −1 )
⋅⋅
= β ( x 2 n +1 + x 2 n −1 − 2 x 2 n )
m x n = β ( xn+1 − xn ) − β ( xn − xn−1 )
= β ( x n + 1 + x n −1 − 2 x n )
(1)
⋅⋅
β x 式中， n (n = 1,2,3,⋅ ⋅ ⋅ ) 为原子位移； 为恢复力常数。 式中， 为原子位移； 为恢复力常数。
依题设， 依题设，原子的振动位移可表示为
12 ( β1 + β2 ) 1 ± 1 − 4β1 β2 sin 2 qa = 2 m 2 ( β1 + β 2 )
由上式可知，存在两种独立的格波。 由上式可知，存在两种独立的格波。
声学格波的色散关系为
12 ( β1 + β2 ) 1 − 1 − 4β1 β2 sin 2 qa 2 ωA = 2 m 2 ( β1 + β 2 )
m x 2n +1 = β (x 2n+ 2 − x 2n+1 ) − β (x 2n+1 − x 2n )
⋅⋅
= β ( x 2 n+ 2 + x 2n − 2 x 2 n+1 )
设试探解为
x2n+1 = Aei[ωt −(2n+1)aq] 和 x2n = Ae i[ωt −(2n)aq]
式中， 为轻原子的振幅 为轻原子的振幅； 为重原子的振幅 ω 为角频率； 为重原子的振幅； 式中，A为轻原子的振幅；B为重原子的振幅； 为角频率； 为波矢。 q = 2π λ 为波矢。
整理得
(
)
(
)
(β + β − mω )A − (β + β e )B = 0 − (β + β e )A + (β + β − mω )B = 0
2 − iqa 1 2 2 1 iqa 2 2 1 1 2
由于A和 不可能同时为零 因此其系数行列式必定为零， 不可能同时为零， 由于 和B不可能同时为零，因此其系数行列式必定为零，即
n i q a + qb − ωt 2
= Be
1 i qna − ωt 2
代入运动方程， 代入运动方程，得
− mω 2 A = β 2 (B − A) − β1 A − Be − iqa
− mω 2 B = β1 Ae iqa − B − β 2 (B − A)
光学格波的色散关系为
12 ( β1 + β2 ) 1 + 1 − 4β1 β2 sin 2 qa 2 ωO = 2 m 2 ( β1 + β 2 )
3.4 由原子质量分别为 m, M 两种原子相间排列组成的一维复 式格子， 式格子，晶格常数为 a ，任一个原子与最近邻原子的间距 为 b ，恢复力常数为 β1 ，与次近邻原子间的恢复力常数 β 2 ， 试求 （1）格波的色散关系； ）格波的色散关系； （2）求出光学波和声学波的频率最大值和最小值。 ）求出光学波和声学波的频率最大值和最小值。 解：（1）只考虑最近邻原子的相互作用 ）
1 1 2 2 2 E = ∑ mω A + βA (1 − cosaq ) n 4 2
1 1 2 2 ε= = mω A + βA 2 (1 − cosaq ) N 4 2
又因为一维单原子链的色散关系为
E
β 2 aq ω = 4 sin m 2
2
2β (1 − cosaq ) 或者 ω = m
ω+ =
2β m 2β ,ω− = , M
12 12
将 ω + 和 ω − 依次代入 式，得到两种原子的振幅比分别为 依次代入(1)式
2 2β − Mω + (1 − M m A = 光学支： 光学支： = 2 β cos aq cos aq B +
2
(mω
)
(
)
有不全为零的解， 的系数行列式必须等于零， 要A、B有不全为零的解，方程 的系数行列式必须等于零， 、 有不全为零的解 方程(1)的系数行列式必须等于零 从中解得
ω =
2 ±
[(m + M ) ± (m mM
β
2
+ M + 2mM cos 4aq
2
)
12
]
(2)
式中的“+”“－”分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支 式中的“ － 分别给出两种频率， 格波。上式表明， 格波。上式表明， 是q的周期函数 − 1 4a < q ≤ 1 4a 。当q取 ω 的周期函数， 的周期函数 取 边界值， 边界值，即 q = ± 1 4a 时，从(2)式得 式得
x n (t ) = A cos(ωt − naq )
x n+ 1 (t ) = Acos[ωt − (n + 1)aq ]
1 T
∫
T
0
⋅ 1 1 2 m x n dt = mω 2 A 2 2 4
1 T
∫
T
0
1 1 2 2 β ( x n − x n + 1 ) dt = βA (1 − cosaq ) 2 2
M x 2n = − β1 ( x 2n − x 2n + 1 ) − β 2 ( x 2n − x 2n − 1 )
⋅⋅
m x 2n + 1 = − β 2 ( x 2n + 1 − x 2n + 2 ) − β1 ( x 2n + 1 − x 2n )
⋅⋅
得
x2n = Ae
2n −i ωt − aq 2
d 2 un + 1 m = β1 (un + 2 − un + 1 ) − β 2 (un+ 1 − un ) 2 dt
设格波的解分别为
un = Ae
n i q a − ωt 2
= Ae
1 i qna − ωt 2
un+ 1 = B′e
B = 0,即 A = 0 A −
由此可见，当波矢 取边界值时 取边界值时， 由此可见，当波矢q取边界值时，声学支中轻原子保持不动 (A=0)，光学支中重原子也保持不动(B=0)。 ，光学支中重原子也保持不动 。
3.3 一维复式格子，原子质量都为m,晶格常数为 ，任一个原 一维复式格子，原子质量都为 晶格常数为 晶格常数为a， 子与最近邻原子的间距为b,若原子与最近邻原子和次近邻原子 子与最近邻原子的间距为 若原子与最近邻原子和次近邻原子 的恢复力常数为 β 和 β ′ ，试列出原子的运动方程并求出色散 关系。 关系。
+ cos[ωt − (n − 1)aq] − 2 cos(ωt − naq )}
因为
cos[ωt − (n ± 1)aq] = cos[(ωt − naq) m aq]
= cos(ωt − naq) × cos aq ± sin(ωt − naq) sin aq
因此
− m ω 2 x n = 2 βA cos(ωt − naq )(cos aq − 1)
1
2
3
n-1
n a
n+1 n+2
N-1 N
此题为一维双原子链。设第 n − 1, n, n + 1, n + 2 个原子的 解： 此题为一维双原子链。 位移分别为 un − 1 , un , un + 1 , un + 2 。第 n − 1 与第 n + 1 个原子属 于同一原子， 个原子属于同一原子， 于同一原子，第 n 与第 n + 2 个原子属于同一原子，于是
2
1 mω 2 = β (1 − cosaq ) 所以 2 1 得平均总能量 ε = mω 2 A 2 2
3.2 证明：在由两种不同质量M、m(M>m)的原子所组成的一维 证明：在由两种不同质量 、 的原子所组成的一维 复式格子中，如果波矢 取边界值 复式格子中，如果波矢q取边界值 q = ± π 2 a(a为相邻原子间 为相邻原子间 的轻原子全部保持不动； 距)，则在声学支上，质量为 的轻原子全部保持不动；在光学 ，则在声学支上，质量为m的轻原子全部保持不动 支上，质量为 的重原子保持不动 的重原子保持不动。 支上，质量为M的重原子保持不动。 证明：如图所示，设质量为 的轻原子位于 的轻原子位于2n-1，2n+2，2n+3，... 证明：如图所示，设质量为m的轻原子位于 ， ， ， 各点；设质量为 的轻原子位于 的轻原子位于2n-2，2n，2n+2，…各点。 各点。 各点；设质量为M的轻原子位于 ， ， ， 各点 a
将试探解代入运动方程有
− m ω 2 A = β e iaq + e − iaq B − 2 A
− Mω 2 B = β e iaq + e − iaq A − 2 B
[(
)
]
[(
)
]
wenku.baidu.com(1)
经整理变成
− 2 β A + (2 β cos aq )B = 0 2 (2 β cos aq )A + Mω − 2 β B = 0
(β + β − mω ) − (β + β e ) = 0 (β + β − mω ) − (β + β e )
2 − iqa 1 2 2 1 iqa 2 2 1 1 2
解上式可得
12 2 ( β1 + β2 ) 2m ± 4m 2 − 16m β1 β2 sin 2 qa 2 ω = 2 2 2m ( β1 + β 2 ) 2
第三章 晶格振动
3.1 原子质量为 ，间距为 的一维单原子链，如果原子的振动 原子质量为m，间距为a的一维单原子链 的一维单原子链， 试求： 位移为 x n (t ) = A cos(ωt − naq ) 试求： （1）格波的色散关系； ）格波的色散关系； （2）每个原子对时间平均的总能量。 ）每个原子对时间平均的总能量。 （ ）在单原子晶格中，若只计相邻原子的互作用， 解： 1）在单原子晶格中，若只计相邻原子的互作用，第n 个原子的运动方程可写成
第 n 和第 n + 1 原子受的力分别为
f n = β 2 (un+ 1 − un ) − β1 (un − un− 1 )
f n + 1 = β1 (un+ 2 − un+ 1 ) − β2 (un + 1 − un )
其运动方程分别为
d 2 un m 2 = β 2 (un + 1 − un ) − β1 (un − un − 1 ) dt
aq = 2 β x n (cosaq − 1) = −4 β x n sin 2
2
故得格波的色散关系为
β 2 aq ω = 4 sin m 2
2
（2） ） 原子链上总能量可写为
⋅ 1 1 2 2 E = ∑ m xn + ∑ β ( xn − xn+ 1 ) n 2 n 2
x n = A cos(ωt − naq ) x n + 1 = A cos(ωt − (n + 1)aq ) x n −1 = A cos(ωt − (n − 1)aq )
将(2)式代入 式，得 式代入(1)式 式代入
(2)
− mω 2 x n = βA{cos[ωt − (n + 1)aq ]