立体几何题型与方法(理科)

立体几何题型与方法

2.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且

1

3

BM BD

=，1

3

AN AE

=．求证：//

MN平面CDE．

解析：要证明//

MN平面CDE，只要证明向量NM可以用平面CDE内的两个不共线的向量DE和DC线性表示．

例题：已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,,,

OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD

====，

（1）求证：四点,,,

E F G H共面；（2）平面AC//平面EG．

例题：已知正方体

1111

ABCD A B C D

-中，E，F分别为

11

D C，

11

C B的中点，AC B

D P

=，

11

AC EF Q

=．求

证：（１）D，B，F，E四点共面；（２）若

1

A C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．

例题：如图，O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，G是对角线A1C和截面B1D1A的交点，求证：O1、G、A三点共线。

O

A B

C

D

H

F

E

1

A

A

D

E

1

C

Q

1

B

R

P

B

C

F

考点二 证明空间线面平行与垂直

3. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1；

解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.

4. （2007武汉3月）如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。

(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ；(3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。 解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来

例题：如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点

（1）求证：MN //平面PAD ；（2）若4M N BC ==，PA =PA 与MN 所成的角的大小

例题：如右图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是C 1C 、B 1C 1、C 1D 1的中点，求证：平面MNP ∥平面A 1BD

.

例题：已知四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为平行四边形. 点M 、N 、Q 分别在PA 、BD 、PD 上, 且PM ：MA =BN ：ND =PQ ：QD . 求证：平面MNQ ∥平面PBC .

例题：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是AC ,BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．

G

F

E D

C

B A

D 1

C 1

B 1

A 1

例题：如图, 在空间四边形ABCD 中，,,AB BC CD DA == ,,E F G 分别是,,CD DA AC 的中点，求证：平面BEF ⊥平面BGD .

异面直线夹角

3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2

π，M 、N 分别是AB

和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．

B

M A

N C

S

5 ，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1BC=CA=CC 1，求BD 1与

AF 1所成角的余弦值是

9.如图，四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，

且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E 是AD 中点，求BE 与CD 所成角的余弦值

5

7

点到平面的距离

例1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC, ∠ABC ＝90°,AB ＝BC ＝1∕3AD ＝a,PA ⊥平面ABCD,且PA ＝a,点F 在AD 上，且

CF ⊥PC.求点A 到平面PCF 的距离；求AD 与平面PBC 间的距离。

2、(2009重庆卷)如图所示，在四棱锥S –ABCD 中，AD ∥BC,且AD ⊥CD,平面CSD ⊥平面ABCD,CS ⊥DS,CS ＝2AD ＝2，

E 为BS 的中点，CE=2，AS=3.求：（1）点A 到平面BCS 的距离； （2）二面角E-CD-A 的大小。

(第5题)

F 1 A B

D 1 C 1

A 1

B 1

A

B

C

D

(第9题) E

6

6

8