等比数列的前n项和习题(含答案)

[A 基础达标]

1．等比数列1，a ，a 2，a 3，…的前n 项和为( )

A ．1＋a （1－a n －1）1－11a

B ．1－a n 1－a

C.a n ＋

1－1a －1 D ．以上皆错 解析：选D.当a ＝1时，S n ＝n ，故选D.

2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( )

A ．7

B ．8

C ．15

D ．16

解析：选C.设{a n }的公比为q ，

因为4a 1，2a 2，a 3成等差数列，

所以4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，

即q 2－4q ＋4＝0，所以q ＝2，

又a 1＝1，所以S 4＝1－24

1－2

＝15，故选C. 3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝( )

A ．－2

B ．2

C ．3

D ．－3 解析：选A.因为S 3＋3S 2＝0，

所以a 1（1－q 3）1－q ＋3a 1（1－q 2）1－q

＝0， 即(1－q )(q 2＋4q ＋4)＝0.解得q ＝－2或q ＝1(舍去)．

4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A.18

B ．－18 C.578 D ．558 解析：选A.法一：由等比数列前n 项和的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，又a 7＋a 8

＋a 9＝S 9－S 6，则S 3，S 6－S 3，a 7＋a 8＋a 9成等比数列，从而a 7＋a 8＋a 9＝（S 6－S 3）2S 3＝18

.故选A.

法二：因为S 6＝S 3＋S 3q 3，所以q 3＝S 6－S 3S 3＝－18

，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝S 3q 6＝8× ⎝⎛⎭⎫－182

＝18.故选A.

5．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )

A ．90

B ．70

C ．40

D ．30

解析：选C.因为S 30≠3S 10，所以q ≠1.

由⎩

⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 10）1－q ＝10，a 1（1－q 30）1－q ＝130，

所以q 20＋q 10－12＝0.所以q 10＝3，

所以S 20＝a 1（1－q 20）1－q

＝S 10(1＋q 10) ＝10×(1＋3)＝40.

6．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________．

解析：因为在等比数列{a n }中，前3项之和等于21，

所以a 1（1－43）1－4

＝21，所以a 1＝1. 所以a n ＝4n －

1. 答案：4n －

1 7．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．

解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n －1.

所以S n ＝a 1＋a 2＋...＋a n ＝2＋22＋ (2)

－n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 答案：2n ＋

1－n －2 8．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项和S 15＝________．

解析：设数列{a n }的公比为q ，则由已知，得q 3＝－2.

又a 1＋a 2＋a 3＝a 11－q

(1－q 3)＝1， 所以a 11－q ＝13，所以S 15＝a 11－q (1－q 15)＝a 11－q

[1－(q 3)5]＝13×[1－(－2)5]＝11. 答案：11

9．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2＝2，S 3＝－6.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．

解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得

⎩

⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6. 解得q ＝－2，a 1＝－2.

故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .

(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋

13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n ·2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n 2n ＋

13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．

10．数列{a n }是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{b n }的前三项分别是a 1，a 2，a 6.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b 1＋b 2＋…＋b k ＝85，求正整数k 的值．

解：(1)设数列{a n }的公差为d ，

因为a 1，a 2，a 6成等比数列，

所以a 22＝a 1·a 6，

所以(1＋d )2＝1×(1＋5d )，

所以d 2＝3d ，

因为d ≠0，

所以d ＝3，

所以a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.

(2)数列{b n }的首项为1，公比为q ＝a 2a 1

＝4， 故b 1＋b 2＋…＋b k ＝1－4k 1－4

＝4k －13. 令4k －13

＝85，即4k ＝256， 解得k ＝4.

故正整数k 的值为4.

[B 能力提升]

11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )

A ．13项

B ．12项

C ．11项

D ．10项