高中数学实数指数幂及其运算1理解n次方根的概念及性质课件人教版必修一

a
m n
（2）（a ） a am mn （3） n a （m n，a 0） a
m n
nm
（4）（ab）
m
a b
m m
由
am an
=
a
mn
（m n，a 0）
a0
a a 3 3 a3
3
3
a
0
1
a 35 1 2 a a a2 5 a
将正整数指数幂推广到整数指数幂
an
和
1.5 ， ， ，（ 2的过剩近似值）； 1.42 1.415 .....
来近似地计算无理指数幂 3 2的不足或过剩近似值。如果 ２ 的任何一个有理数 不足近似值记为 a ，其相应的有理数过剩近似值为 b ， 那么当 n 无限增大
3 ， ， 3 3
1.5 1.42
n
1.415
时，
数
an , bn 就逼近于一个实数
a a 2b 2c 1 2 bc
2
2 分数指数
若x a，则x叫a的平方根（或二次方根）
2
a 0时，两个平方根： ， a a a 0时，有一个平方根： 0 a 0时，无实根
若x a，则x叫a的立方根（或三次方根）
3
a只有一个立方根
方根
若存在实数x，使x n = a a ? R ，n （ 则x叫a的n 次方根。 1，n N + ），
求a 的 n 次方根，叫做把 a 开 n 次方 ,称作开方运算
偶次方根 奇次方根
n
实 a0 n a 数 a a 0 不存在
n
a 0 a 0
a 根式
n 根指数
n
正数a的正n 次方根叫做a的n 次算术方根
根式性质
(1)( a ) a(n 1, n N )
a
2
a 3 a
1 3
a a
3
分数指数幂
2
分数指数幂
a a (a 0)
n
1 n
a
n
1 n a
a ( a) a
n m n
m n
m
a
m n
m (a 0, n、m N ， 为既约分数） n

1 a
m n
=
1
n
a
m
（a > 0，n 、m
m N + ， 为既约分数） n
有理数指数幂
a 0, b 0, 、为有理数
运算法则:
（ ）a a 1


a


（2）（a ） a


（3 ）（ab） a b
转


练习2
①8 8 8
2 3
1 3 2
3 5
2 5
3 2 5 5
8
②8 （8 ） 22 4 ③3 3 3 3
n n
a
(2) a
n n
当n为奇数时
|a|
当n为偶数时
练习1
①( 5 )
4 4
5
3
②（ 5）
3 3
5
③（ 2 ） 2 8
5 3 5
④
2

⑤ （ 3）
4 4
| 3 | 3
(a ) a
1 3 3
1 3 3
a
(a ) a
2 3
2 3 3
2 3 3
规定： a 1 （a 0） 1 n a n （a 0，n N） a
0
运算法则: （m ，n Î Ｚ）
（ ）a a 1
m n
m n
a
m n
（2）（a ） a am mn （3） n a a
（4）（ab）
m
nm
a b
m m
练习:
8 1
0
0
（ 8） 1
实数分类:
有理数 整数 分数
正整数 0 负整数
实 数 无理数
在初中学过整数指数幂概念及运算，这节我们将其推广到实数 指数幂及运算。
1 整数指数幂
正整数指数幂:
a2 a a
指数
n
a3 a a a
１
幂
a a a ......a
底数
规定： a
＝a
n个
运算法则:（ ）a m a n 10（a b） 1210
3
1 10 3 0.001
1 6 1 1 1 3 3 3 （ ） 1 6 1 64 （2 x） 2 x 3 2 ( ) 8x
x 2 x 6 （ 2 ） 4 r r
3
64 1 6 r4 x 6 1 x r4
0.0001 10 4
n
（a 0）
（a 0，n N ）
b
- n
• 3
a ,b Î Ｒ
（ ）a a 1
a?

= a

a
b
（2）（a ） a
（ ）（ab） a b 3
• 作业： • 课本P90
练习B 1、 2
2
+ m2
(m ) + 2m ?m
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
解：（２） 原式＝
(m
-
1 2 2
)
=
(m + m
1 2
1 2
-
1 2 2
)
m +m = m +m
-
m +m
-
1 2
• 总结： n • 1 a a a ......a
• 2
a a
0
= 1 = 1 a
练习３：化简下列各式 5x y
1 - 1 2 2 3 1 2 1 3 1 6
（1）
1 5 （ - x y ）（ - x y ） 4 6
2４ 解：（１） 原式＝ 创 x ５ ５
２ １ － ＋１－ ３ ３
?y
1 1 1 - + 2 2 6
24x 0y = 24y
1 6
1 6
m + m- 1 + 2 （2） 1 1 m
。
b ,3 2 ，因而 3 n 也就逼近于一个实
n
3 数 3
2 ，这就是说， 2
两个有理指数幂的序列
3 n n ,3
a
a
b
无限逼近一个实
无限逼近的思想
a ， b
一般地，当
a > 0 ，为任意实数值时，实数指数幂 a
都是有意义的.
可以证明，对任意的实数
即 ，上述有理指数幂的运算法则仍然成立。
3 6 2 3 1 4 3
2 3 3
3 3 3 3 3
1 1 1 1 2 3 6
1 2
1 3
1 6
3 9
2
④（a b ） （a ） b ） a 2b （
1 4 3
3 4
（ ⑤（a b ）（a b ） （a ） b ） a b
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 2
1 2 2
⑥（a b ）
1 2
1 2 2
a b 2a b
1 2
1 2
无理数指数幂
例： 3 2 是一个什么样的数？
用 1.4 ， ， 1.41 1.414 ，（ 2的不足近似值）； .....
3 ， ， 3 3
1.4 1.41
1.414
， ... ， ....