高中数学实数指数幂及其运算1理解n次方根的概念及性质课件人教版必修一
合集下载
数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
（）
⋅ ； （） · .
解： (1) ⋅ = ⋅ = ；
(2) ⋅ =
⋅ =
= .
巩固练习
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8 8
（1）(2a b )(6a b ) ( 3a b )；（2）(m n ) ；
课堂检测：
3
2
1．将 5 写成根式的形式，正确的是 ( D )
5 3
3 2
3
A. 5
B.
5 C．
D. 53
2
4
2．计算 （－5）4的结果是 ( A )
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
1
3．若 a< ，则化简 （4a－1）2的结果是 ( B )
4
A．4a－1
B．1－4a
C．－ 4a－1
D底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
⟹幂的乘方，底数不变，指数相乘
⟹积的乘方，等于积的每一个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘
5.分数指数幂的运算性质
注意：①法则的逆用： ①+ = > , , ∈
② =
③ =
=
= ；
=
法二：
−
法三：
−
−
n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人必修第一册
计算： (4^4)^(1/4)
计算： (5^5)^(1/5)
05
n次方根与分数指数幂的应用
n次方根在解决实际问题中的应用
计算器：利用n 次方根进行数值 计算
工程设计：利用 n次方根进行尺 寸和比例的计算
物理学：利用n 次方根进行能量 和功率的计算
化学：利用n次 方根进行浓度和 反应速率的计算
分数指数幂在解决实际问题中的应用
n次方根的运算性质
n次方根的定义：如果一个数x的n次方等于a，那么x就是a的n次方根。 n次方根的性质：n次方根具有封闭性、结合性和分配性。 封闭性：n次方根的结果是一个实数，且满足a^n=b^n，则a=b。 结合性：n次方根的结果可以参与四则运算，且满足a^(m+n)=a^ma^n。 分配性：n次方根的结果可以参与乘除运算，且满足a^(m/n)=a^m/a^n。
应用场景：解 方程、化简表 达式、求值域
等
示例：a^2 + b^2 = (a^2 + b^2)^(1/2)
= (a^2 + b^2)^(1/2)
注意事项：指 数为分数时， 底数不能为0， 否则公式不成
立
04
n次方根与分数指数幂的运算
n次方根与分数指数幂的运算顺序
先进行n次方根的运算，再计算 分数指数幂
遵循先算括号内，再算括号外 的原则
遵循先乘除，后加减的原则
遵循先算指数，再算底数的原 则
运算的优先级
如果有括号，先计算括号内 的运算
同级运算，从左到右进行计 算
先进行分数指数幂的运算， 再计算n次方根
如果有负指数幂，先计算负 指数幂的运算
运算的实例
计算： (2^2)^(1/3)
计算： (3^3)^(1/2)
4.1.1n次方根与分数指数幂课件2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
课后作业
课本P109页 习题4.1 1、4、5
谢谢！
例2、用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）
方法小结
1.把根式化成分数指数幂的形式 2.当有多重根式时，要由里向外用分数指数幂写出，再用性质
3.对于有分母的可以先把分母化成负分数指数幂
例3、计算
立方和、 差公式 方法小结 1.首先观察、分析，发现已知条件与所求表达式之间的联系
4.1 指数
4.1.1 次方根与分数指数幂
温故知新
整数指数幂
底数
指数 读作：”
“
或“
”
幂
温故知新
乘方运算
互逆运算
开方运算
新知定义 一、n次方根
2.性质：
当 是奇数时， 正数的 次方根是一个正数； 负数的 次方根是一个负数。
当 是偶数时， 正数的 次方根有两个，它们 互为相反数； 负数没有偶次方根。
2.根据指数幂的运算法则，通过配方的方式进行化简或计算
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方 数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的
整数指数幂
分数指数幂
正整数指数幂
负整数指数幂、零次幂
新知推广
实 数 指 数 幂 的 运 算 性 质
课堂小结
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
4．实数指数幂的运算性质
人教版高中数学必修第一册 4.1指数【课件】
4.1
指数
1.掌握有理数指数幂 (a>0,且a≠1,m,n为整数,
课标定位
素养阐释
且n>0)的概念,理解有理数指数幂的运算性质.
2.掌握根式的概念,能进行分数指数幂与根式的
互化.
3.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性
质.
4.感受数学抽象与逻辑推理的过程,提升数学运
算素养.
自主预习·新知导学
式.
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为
(-)( -)
=
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
- ≤ ,
(-) =3.
4.根式的性质
根据 n 次方根的意义,可得( )n=a.
(1)当 n 为奇数时, = a ;
,
≥
,
(2)当 n 为偶数时, =|a|=
-, < .
5.下列说法正确的有
① -=3;
③ =±3;
.(只填序号)
②64 的 6 次方根是±2;
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解中使用根式的性质不当导致错误,应注意根式性质
成立的条件.
正解: ( + ) +
(- )=1+ +|1- |=1+ + -1=2 .
指数
1.掌握有理数指数幂 (a>0,且a≠1,m,n为整数,
课标定位
素养阐释
且n>0)的概念,理解有理数指数幂的运算性质.
2.掌握根式的概念,能进行分数指数幂与根式的
互化.
3.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性
质.
4.感受数学抽象与逻辑推理的过程,提升数学运
算素养.
自主预习·新知导学
式.
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为
(-)( -)
=
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
- ≤ ,
(-) =3.
4.根式的性质
根据 n 次方根的意义,可得( )n=a.
(1)当 n 为奇数时, = a ;
,
≥
,
(2)当 n 为偶数时, =|a|=
-, < .
5.下列说法正确的有
① -=3;
③ =±3;
.(只填序号)
②64 的 6 次方根是±2;
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解中使用根式的性质不当导致错误,应注意根式性质
成立的条件.
正解: ( + ) +
(- )=1+ +|1- |=1+ + -1=2 .
4.1.1n次方根与分数指数幂 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
a (为无理数)
p
1
q
a
p
如 : 5 2 ,3
3
a 1
0
实数指数幂的运算性质(a>0 ; r,s∈R)：
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
a
n N
n个
其中a是底数，n是指数，an是幂
(0指数幂 ) a 0 1
(负整数指数幂 ) a
( a 0)
n
1
n
a
(a 0,n N )
2、运算性质
(1)a m a n a m n
( 2)( a m ) n a mn
( 3)( a b ) n a n b n
(3). 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
5.有理指数幂的运算性质;
作业： (1)课本P96 , 习题3.4
T 1，2
(2)做完《一线课堂》对应习题
谢谢
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得：
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
a (为无理数)
p
1
q
a
p
如 : 5 2 ,3
3
a 1
0
实数指数幂的运算性质(a>0 ; r,s∈R)：
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
a
n N
n个
其中a是底数，n是指数，an是幂
(0指数幂 ) a 0 1
(负整数指数幂 ) a
( a 0)
n
1
n
a
(a 0,n N )
2、运算性质
(1)a m a n a m n
( 2)( a m ) n a mn
( 3)( a b ) n a n b n
(3). 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
5.有理指数幂的运算性质;
作业： (1)课本P96 , 习题3.4
T 1，2
(2)做完《一线课堂》对应习题
谢谢
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得：
人教版高中数学必修第一册4.1指数 课时1n次方根与分数指数幂【课件】
(2) 先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分
数，先化成假分数．
(4) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用指数幂的形式表示，运用
指数幂的运算性质来解答．
【变式训练3】 计算下列各式：
【解】
【备选例题】
思路点拨：含字母的根式与分数指数幂的互化,从分数指数
15.5年，薇甘菊的侵害面积是多少？可否表示为S0·1.05715.5 hm2？
如果可以，数1.05715.5表示什么含义呢？
情境导学
2.初中我们已经学习过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把
正方形场地的边长c关于面积S的函数c＝ 记作c＝ ，像 这样以
分数为指数的幂，叫做分数指数幂．
3.在初中，我们学习了平方根和立方根.4的平方根是多少？8
的立方根是多少？是不是任何数的平方根都有两个、立方根都只有
一个？若x5＝32，x可以取什么值？若x4＝16，x可以取什么值？你
能发现它们的共同特点吗？
初探新知
【活动1】探究n次方根的概念,深化对根式的认识和理解
【问题1】 我们知道:若x2=2,则x=± 2 ,± 2 称为2的平方根,(2)3=-8,-2称为-8的立方根.如果xn=a(n>1,n∈N*),那么x称为a的什
化成自然对数或常用对数；通过具体实例，引导学生了解对数函数的概念，
并能借助描点法、信息技术画出具体对数函数的图象， 探索并了解对数
函数的单调性与特殊点；让学生知道对数函数y＝log x与指数函数y＝ax
互为反函数(a>0，且a≠1)．
知识要点及教学要求
3. 结合指数函数与对数函数的图象，指导学生进一步了解函数的零点与方
(3) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分
数，先化成假分数．
(4) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用指数幂的形式表示，运用
指数幂的运算性质来解答．
【变式训练3】 计算下列各式：
【解】
【备选例题】
思路点拨：含字母的根式与分数指数幂的互化,从分数指数
15.5年，薇甘菊的侵害面积是多少？可否表示为S0·1.05715.5 hm2？
如果可以，数1.05715.5表示什么含义呢？
情境导学
2.初中我们已经学习过整数指数幂．在学习幂函数时，我们把
正方形场地的边长c关于面积S的函数c＝ 记作c＝ ，像 这样以
分数为指数的幂，叫做分数指数幂．
3.在初中，我们学习了平方根和立方根.4的平方根是多少？8
的立方根是多少？是不是任何数的平方根都有两个、立方根都只有
一个？若x5＝32，x可以取什么值？若x4＝16，x可以取什么值？你
能发现它们的共同特点吗？
初探新知
【活动1】探究n次方根的概念,深化对根式的认识和理解
【问题1】 我们知道:若x2=2,则x=± 2 ,± 2 称为2的平方根,(2)3=-8,-2称为-8的立方根.如果xn=a(n>1,n∈N*),那么x称为a的什
化成自然对数或常用对数；通过具体实例，引导学生了解对数函数的概念，
并能借助描点法、信息技术画出具体对数函数的图象， 探索并了解对数
函数的单调性与特殊点；让学生知道对数函数y＝log x与指数函数y＝ax
互为反函数(a>0，且a≠1)．
知识要点及教学要求
3. 结合指数函数与对数函数的图象，指导学生进一步了解函数的零点与方
新人教A版必修一 n次方根与分数指数幂 课件(54张)
)2
；
9
(2)
3 214 3 16
；(3)
－1－ 3
42
3
8 3 .
【思维·引】(1)将底数化为真分数后求值. (2)将根式化为分数指数后求值. (3)先化为同底,再利用指数运算法则求值.
【解析】(1)原式=
(16
－3
)2
( 4)－3
27 .
9
3 64
(2)原式=
11
[(214 )2 ]3
－4
2.计算 5 2 6 7 4 3 6 4 2. 【解析】 5 2 6 7 4 3 6 4 2
( 3 2)2 (2 3)2 (2 2)2
= ( 3 2) (2 3=) 0(.2 2)
【加练·固】
3 (6)3＋4 ( 5 4)4＋3 ( 5 4)3的值为 (
2 3
=2214112=13－234 .
(3)原式=
(22
－1－
)
3 2
(23)
3 3
2(－1－ 3 )
3 3
2
2 2 3
2－2－ 3 3 2－2 1 . 4
【内化·悟】 如果式子中含有多层根号,应怎样化简求值? 提示:先由内向外分别化为分数指数幂,再利用分数指 数幂的运算法则计算.
【类题·通】
(3)√.由无理数指数幂的意义可知正确.
2. (3 2 ) 2 =________. 【解析】(3 2 ) 2 3=23 22 =9. 答案:9
3.若x<0,则|x|+ x2＋ x2 =________.
|x|
【解析】因为x<0,所以原式=-x-x+1=1-2x.
答案:1-2x
类型一 n次方根概念及相关的问题
；
9
(2)
3 214 3 16
；(3)
－1－ 3
42
3
8 3 .
【思维·引】(1)将底数化为真分数后求值. (2)将根式化为分数指数后求值. (3)先化为同底,再利用指数运算法则求值.
【解析】(1)原式=
(16
－3
)2
( 4)－3
27 .
9
3 64
(2)原式=
11
[(214 )2 ]3
－4
2.计算 5 2 6 7 4 3 6 4 2. 【解析】 5 2 6 7 4 3 6 4 2
( 3 2)2 (2 3)2 (2 2)2
= ( 3 2) (2 3=) 0(.2 2)
【加练·固】
3 (6)3＋4 ( 5 4)4＋3 ( 5 4)3的值为 (
2 3
=2214112=13－234 .
(3)原式=
(22
－1－
)
3 2
(23)
3 3
2(－1－ 3 )
3 3
2
2 2 3
2－2－ 3 3 2－2 1 . 4
【内化·悟】 如果式子中含有多层根号,应怎样化简求值? 提示:先由内向外分别化为分数指数幂,再利用分数指 数幂的运算法则计算.
【类题·通】
(3)√.由无理数指数幂的意义可知正确.
2. (3 2 ) 2 =________. 【解析】(3 2 ) 2 3=23 22 =9. 答案:9
3.若x<0,则|x|+ x2＋ x2 =________.
|x|
【解析】因为x<0,所以原式=-x-x+1=1-2x.
答案:1-2x
类型一 n次方根概念及相关的问题
人教B版数学必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算 课件
m
定义：a n n a m (a 0, m, n N * , 且 n 1)
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示；
（2）根式与分式指数幂可以等价互化.
（3）特别的：m=1时
规定:（1）a
-
m n
1
m
(a
0, m, n
N *,且n
1)
an
（2）0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没意 义.
2有意义，则x 的取值范围是 ( （-，1）（1，+）
)
3x y
7、若10x=2，10y=3，则10 2
2
6。
3
8、a , b ，R下列各式总能成立的是（ B ）
A .( 6 a 6 b ) 6 a b B. 8 ( a 2 b 2 ) 8 a 2 b 2
C. 4 a 4 4 b 4 a b D. 10 ( a b )10 a b
(6)0的七次方根等于____0____________
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数.
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
记作 n 0 = 0.
(4) (n a )n a
5 32 _______ 4 81 _______
t
P
1 5730
2
考古学家根据上式可以知道，生物死亡t年后， 体内的碳14含量P的值。
分数指数幂：
有理数指数幂：
三.有理数指数幂的运算性质：
am an amn( m,n Q )
( am )n amn( m,n Q )
( ab )n an bn( n Q )
定义：a n n a m (a 0, m, n N * , 且 n 1)
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示；
（2）根式与分式指数幂可以等价互化.
（3）特别的：m=1时
规定:（1）a
-
m n
1
m
(a
0, m, n
N *,且n
1)
an
（2）0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没意 义.
2有意义，则x 的取值范围是 ( （-，1）（1，+）
)
3x y
7、若10x=2，10y=3，则10 2
2
6。
3
8、a , b ，R下列各式总能成立的是（ B ）
A .( 6 a 6 b ) 6 a b B. 8 ( a 2 b 2 ) 8 a 2 b 2
C. 4 a 4 4 b 4 a b D. 10 ( a b )10 a b
(6)0的七次方根等于____0____________
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数.
（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数.
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0.
记作 n 0 = 0.
(4) (n a )n a
5 32 _______ 4 81 _______
t
P
1 5730
2
考古学家根据上式可以知道，生物死亡t年后， 体内的碳14含量P的值。
分数指数幂：
有理数指数幂：
三.有理数指数幂的运算性质：
am an amn( m,n Q )
( am )n amn( m,n Q )
( ab )n an bn( n Q )
高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册《n次方根与分数指数幂》课件
本内容结束
19
课堂精讲
【例 3】 设－3<x<3，求 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9的值. 解 原式＝ （x－1）2－ （x＋3）2 ＝|x－1|－|x＋3|， ∵－3<x<3，∴当－3<x<1 时，
原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当 1≤x<3 时， 原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. ∴原式＝－ －24，x－12≤，x<－3. 3<x<1，
n 的奇偶性 a 的 n 次方根的表示符号 a 的取值范围
n 为奇数
n
a
n 为偶数
n
±a
(3)根式
R [0，＋∞)
式子n a叫做根式，这里 n 叫做__根__指__数___，a 叫做被开方数.
课堂精讲
【例 1】 求使等式 （a－3）（a2－9）＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解
（a－3）（a2－9）＝ （a－3）2（a＋3） ＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立，
课堂精讲
【迁移】 例 3 中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？ 解 原式＝ （x－1）2－ （x＋3）2 ＝|x－1|－|x＋3|. ∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0， ∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
课堂精讲
当 n 为偶数时，n an先化为|a|，再根据 a 的正负去绝对值符号.
4.1.1 n次方根与分数指数幂
数学
1
4.1.1 n次方根与分数指数幂
题型一 由根式的意义求范围
数学
2
知识梳理
1.n 次方根，n 次根式 (1)a 的 n 次方根的定义 一般地，如果____x_n＝__a____，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*. (2)a 的 n 次方根的表示 求解 a 的 n 次方根时要注意对 n 的奇偶性讨论
【课件】n次方根和分数指数幂课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(2)×.负数没有偶次方根.
(3)×.当n 为偶数，a<0 时，
【答案】(1)×(2)×(3)×
要点2分数指数幂 阅读教材，完成下列问题. 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：
(a>0,m,n∈N*, 且 n>1).
2.规定正数的负分数指数幂的意义是：
(a>0,m,n∈N*,且n>1).
3.0的正分数指数幂等于 0_,0的负分数指数幂没有意义.
根式与分数指数幂的互化
化简求值
[再练一题] 3.计算：
【导学号：97030075】
【解析】 原式
【答案】
指数式的条件求值问题
;
探究1 扎
【提示】
9
分别展开是什么?
2,
探究2
不
有什么关系?
【提示】
已知
(1)a+a-¹;(2)a²+a-².
,求下列各式的值：
【精彩点拨】 寻找要求值的式子与条件 代入求值.
把下列根式化为分数指数幂，分数指数幂化为根式：
(1) √3⁵=
; (3
【答案】 (1)
(2) (3)2 (4) √3³ (5
要点3有理数指数幂的运算性质和无理数指数幂
阅读教材，完成下列问题.
1.有理数指数幂的运算性质
(1)a'a³=d+(a>0 , r,s∈Q) (2)(a)⁸=d*(a>0, r,s∈Q)
(3)(ab)= db(a>0,b>0
, r∈Q.
2.无理数指数幂
无理数指数幂a(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运
算性质对于无理数指数幂同样适用.
化简： 【解析】
(3)×.当n 为偶数，a<0 时，
【答案】(1)×(2)×(3)×
要点2分数指数幂 阅读教材，完成下列问题. 1.规定正数的正分数指数幂的意义是：
(a>0,m,n∈N*, 且 n>1).
2.规定正数的负分数指数幂的意义是：
(a>0,m,n∈N*,且n>1).
3.0的正分数指数幂等于 0_,0的负分数指数幂没有意义.
根式与分数指数幂的互化
化简求值
[再练一题] 3.计算：
【导学号：97030075】
【解析】 原式
【答案】
指数式的条件求值问题
;
探究1 扎
【提示】
9
分别展开是什么?
2,
探究2
不
有什么关系?
【提示】
已知
(1)a+a-¹;(2)a²+a-².
,求下列各式的值：
【精彩点拨】 寻找要求值的式子与条件 代入求值.
把下列根式化为分数指数幂，分数指数幂化为根式：
(1) √3⁵=
; (3
【答案】 (1)
(2) (3)2 (4) √3³ (5
要点3有理数指数幂的运算性质和无理数指数幂
阅读教材，完成下列问题.
1.有理数指数幂的运算性质
(1)a'a³=d+(a>0 , r,s∈Q) (2)(a)⁸=d*(a>0, r,s∈Q)
(3)(ab)= db(a>0,b>0
, r∈Q.
2.无理数指数幂
无理数指数幂a(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运
算性质对于无理数指数幂同样适用.
化简： 【解析】
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.1.1 实数指数幂及其运算课件 新人教B版必修1.pptx
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 3－π2＝π－3.( )
(2)分数指数幂 amn可能理解为mn 个 a 相乘．(
)
(3)0 的任何指数幂都等于 0.( )
【解析】 ∵ 3－π2＝|3－π|＝π－3.
∴(1)正确．由分数指数幂的意义知(2)、(3)均错． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×
下列运算中，正确的是( ) A．a2·a3＝a6 C．( a－1)0＝0
B．(－a2)5＝(－a5)2 D．(－a2)5＝－a10
【解析】 a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；当 a＝1 时，( a－1)0 无意义；当 a≠1
时，( a－1)0＝－1. 【答案】 D
教材整理 2 根式 阅读教材 P86～P87“第 6 行”以上内容，完成下列问题． 1．a 的 n 次方根的意义 如果存在实数 x，使得 xn＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则 x 叫做___a_的__n_次__方__根___．求 a 的 n 次方根，叫做把 a 开 n 次方，称作开方运算．
1．an＝
.an 叫做 a 的__n_次__幂__，a 叫做幂的_底__数__，n 叫做幂的
_指__数__，并规定 a1＝a.
2．零指数幂与负整数指数幂 规定：a0＝1(a≠0)， a－n＝___a1_n_(a_≠__0_，__n_∈__N__＋_) ___． 3．整数指数幂的运算法则 正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然成立．
[再练一题]
1．求值： 3－2 2＋3 1－ 23＝________.
【解析】
3－2
2＋3
1－
23＝
பைடு நூலகம்
2－12＋1－
2＝
n次方根与分数指数幂课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
5
4
4
n
a
10
a
12
(a ) a a
2
(a ) a a
3 4
4
a a
3
a a
m
2 5
5
3
4
m
n
3
10
5
12
4
( a 0)
( a 0)
( a 0)
( a 0)
思考：当被开方
数的指数不能被
根指数整除时，
根式是否也可以
表示为分数指数
幂？
新知讲解——分数指数幂
思考1.(1)16的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数
的平方根有几个？
(±4)2 = 16
±4是16的平方根
(2) -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个
数的立方根有几个？
(-3) 3 = -27
-3是-27的立方根
(3)如果 x3＝a，x4＝b，x5＝m，参照上面的说法，这里的x分
别叫什么名称？
x是a的立方根, x是b的4次方根, x是m的5次方根
n次方根与根式
根指数
n
a
被开方数
若x a, a的n次方根是x. (n 1且n N ) 根式
n
①n为奇数 : a ( a R )的n次方根有1个, 记为n a ;
②n为偶数 : a ( a 0)的n次方根有2个, 记为 n a ;
2 m n
3
8
1
4
3
3
8
a a a
2
4
4
n
a
10
a
12
(a ) a a
2
(a ) a a
3 4
4
a a
3
a a
m
2 5
5
3
4
m
n
3
10
5
12
4
( a 0)
( a 0)
( a 0)
( a 0)
思考：当被开方
数的指数不能被
根指数整除时，
根式是否也可以
表示为分数指数
幂？
新知讲解——分数指数幂
思考1.(1)16的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数
的平方根有几个？
(±4)2 = 16
±4是16的平方根
(2) -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个
数的立方根有几个？
(-3) 3 = -27
-3是-27的立方根
(3)如果 x3＝a，x4＝b，x5＝m，参照上面的说法，这里的x分
别叫什么名称？
x是a的立方根, x是b的4次方根, x是m的5次方根
n次方根与根式
根指数
n
a
被开方数
若x a, a的n次方根是x. (n 1且n N ) 根式
n
①n为奇数 : a ( a R )的n次方根有1个, 记为n a ;
②n为偶数 : a ( a 0)的n次方根有2个, 记为 n a ;
2 m n
3
8
1
4
3
3
8
a a a
2
新课标人教版必修一指数与指数幂运算课件(共16张PPT)
(1)n为奇数时，a的n次方根用符号n a 表示
正数的n次方根为一个正数 负数的n次方根为一个负数
如：
3
8 2,
3
8 2
(2)n为偶数时，
正数a的n次方根有两个，正的n次方根用 n a 表示， n 负的n次方根用 a表示， 负数没有偶次方根 规定：零的任何次方根都是0.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
指数与指数幂运算
骨干教师：代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
知识要点：
1:根式的概念: n n次方根：一般地，若 x (其中n ＞1，且n∈Ｎ*) a的n次方根用符号
a ,则x叫做a的n次方根，
n
a
表示，其中n称为根指数，a为被开方数.
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
r
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
典型例题：
例1：化简： （1 ）
3 2 2 3 2 2
(1 2) 2 (1 2) 2
(1 2) ( 2 1) 2
（2）a
a
a a 1
3 2 1 a2
(((a 2 ) a) )
(a ) a
1 a
变式：
2 x a , b 已知 是方程 6 x 4 0的两个根，且 a b 0
求：
a b a b
的值。
高中数学必修1同步辅导课程——指数与指数幂运算
课堂总结：
1:根式的概念与相关的结论
2：指数幂运算的推广：
整数
有理数
实数
3：指数的运算性质： 求值与化简（整体思想）
(3) a a a a
4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
网络上盛极一时的数学恒等式“ <
1.0130 ≈ 1.35<
>
m
>
/m
， 1
m
<
>.01365 ≈ 37.8<
>， <
/m
1.01730 ≈ 1427.6<
>
m
>”
/m
形象地向我们展示了通过努力每天进步 <
1%<
>
m
>，就会在一
/m
个月、一年以及两年后产生巨大差异.虽然这是一种理想
化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和
的值，视察变化趋势；
x
1
（2）x 取正实数，使得 x 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 ( x R )
的值，视察变化趋势.
2
解:（1）
由此可以看出，x 取负实数，使得 |x| 的值逐渐增大并趋向于无穷大时, 2 x趋向于0.
课堂练习
解：（2）
由此可以看出，x
取正实数，使得 x 的值逐渐增大，当 x 的值趋向于无穷
9.738 517 862
1.414 213 562
9.738 517 736
1.414 213 563
9.738 517 752
…
…
…
…
探究新知
通过视察，可以发现：
⟶ 2⟵
5 ⟶ ⟵ 5
A是一个确定的数，就是5 2
可以发现，当 2 的不足近似值 x 和过剩近似值 y 逐渐逼近 2 时，5 x 和5 y 都
时间累积的力量”.
上面我们将 a x (a 0) 中指数x的取值范围从整数拓
1.0130 ≈ 1.35<
>
m
>
/m
， 1
m
<
>.01365 ≈ 37.8<
>， <
/m
1.01730 ≈ 1427.6<
>
m
>”
/m
形象地向我们展示了通过努力每天进步 <
1%<
>
m
>，就会在一
/m
个月、一年以及两年后产生巨大差异.虽然这是一种理想
化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和
的值，视察变化趋势；
x
1
（2）x 取正实数，使得 x 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 ( x R )
的值，视察变化趋势.
2
解:（1）
由此可以看出，x 取负实数，使得 |x| 的值逐渐增大并趋向于无穷大时, 2 x趋向于0.
课堂练习
解：（2）
由此可以看出，x
取正实数，使得 x 的值逐渐增大，当 x 的值趋向于无穷
9.738 517 862
1.414 213 562
9.738 517 736
1.414 213 563
9.738 517 752
…
…
…
…
探究新知
通过视察，可以发现：
⟶ 2⟵
5 ⟶ ⟵ 5
A是一个确定的数，就是5 2
可以发现，当 2 的不足近似值 x 和过剩近似值 y 逐渐逼近 2 时，5 x 和5 y 都
时间累积的力量”.
上面我们将 a x (a 0) 中指数x的取值范围从整数拓
新教材人教版高中数学必修第一册 4.1.1 n次方根与分数指数幂 教学课件
第十九页，共二十四页。
第二十页，共二十四页。
题①
第二十一页，共二十四页。
题②
第二十二页，共二十四页。
题③
由图像可知最小值为4
第二十三页，共二十四页。
第二十四页，共二十四页。
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用
表示.两者也可以合并成
.
例如
【3】 负数没有偶次方根. 【4】 0的任何次方根都是0.记作：
因为在实数的定义里，两个 数的偶次方根结果是非负数，即任 意实数的偶次方是非负数.
第六页，共二十四页。
3 什么是根式？
.在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同
【问题2】分数指数能约分吗？
不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如
约分后变成了
，而
在实数范围内无意义.
第十四页，共二十四页。
5 分数指数幂的运算性质
第十五页，共二十四页。
5 分数指数幂的运算性质
时运算
法则不一定成立. 研究的一般性要求：
3 什么是根式？
【探究】
表示 的n次方根，
【结论】 ①当n为奇数时，
一定成立吗？ ②当n为偶数时，
是实数 的n次方根，恒有意义，不受 的正负限制.
但是受n的奇偶限制.本质算法是先乘方，再开方.结果不一定
等于 ，当n为奇数时，
；当n为偶数时，
是实数 的n次方，在
有意义的前提下，实
数 的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结
【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为 分数指数幂的形式呢？
第二十页，共二十四页。
题①
第二十一页，共二十四页。
题②
第二十二页，共二十四页。
题③
由图像可知最小值为4
第二十三页，共二十四页。
第二十四页，共二十四页。
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用
表示.两者也可以合并成
.
例如
【3】 负数没有偶次方根. 【4】 0的任何次方根都是0.记作：
因为在实数的定义里，两个 数的偶次方根结果是非负数，即任 意实数的偶次方是非负数.
第六页，共二十四页。
3 什么是根式？
.在这样的规定下，根式与分数指数幂就是表示相同意义的量，只是形式不同
【问题2】分数指数能约分吗？
不能随意约分.因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如
约分后变成了
，而
在实数范围内无意义.
第十四页，共二十四页。
5 分数指数幂的运算性质
第十五页，共二十四页。
5 分数指数幂的运算性质
时运算
法则不一定成立. 研究的一般性要求：
3 什么是根式？
【探究】
表示 的n次方根，
【结论】 ①当n为奇数时，
一定成立吗？ ②当n为偶数时，
是实数 的n次方根，恒有意义，不受 的正负限制.
但是受n的奇偶限制.本质算法是先乘方，再开方.结果不一定
等于 ，当n为奇数时，
；当n为偶数时，
是实数 的n次方，在
有意义的前提下，实
数 的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结
【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为 分数指数幂的形式呢？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a
m n
（2）（a ） a am mn （3） n a （m n，a 0） a
m n
nm
（4）（ab）
m
a b
m m
由
am an
=
a
mn
（m n，a 0）
a0
a a 3 3 a3
3
3
a
0
1
a 35 1 2 a a a2 5 a
将正整数指数幂推广到整数指数幂
an
和
1.5 ， ， ，（ 2的过剩近似值）； 1.42 1.415 .....
来近似地计算无理指数幂 3 2的不足或过剩近似值。如果 ２ 的任何一个有理数 不足近似值记为 a ，其相应的有理数过剩近似值为 b ， 那么当 n 无限增大
3 ， ， 3 3
1.5 1.42
n
1.415
时，
数
an , bn 就逼近于一个实数
a a 2b 2c 1 2 bc
2
2 分数指数
若x a，则x叫a的平方根（或二次方根）
2
a 0时，两个平方根： ， a a a 0时，有一个平方根： 0 a 0时，无实根
若x a，则x叫a的立方根（或三次方根）
3
a只有一个立方根
方根
若存在实数x，使x n = a a ? R ，n （ 则x叫a的n 次方根。 1，n N + ），
求a 的 n 次方根，叫做把 a 开 n 次方 ,称作开方运算
偶次方根 奇次方根
n
实 a0 n a 数 a a 0 不存在
n
a 0 a 0
a 根式
n 根指数
n
正数a的正n 次方根叫做a的n 次算术方根
根式性质
(1)( a ) a(n 1, n N )
a
2
a 3 a
1 3
a a
3
分数指数幂
2
分数指数幂
a a (a 0)
n
1 n
a
n
1 n a
a ( a) a
n m n
m n
m
a
m n
m (a 0, n、m N ， 为既约分数） n
1 a
m n
=
1
n
a
m
（a > 0，n 、m
m N + ， 为既约分数） n
有理数指数幂
a 0, b 0, 、为有理数
运算法则:
（ ）a a 1
a
（2）（a ） a
（3 ）（ab） a b
转
练习2
①8 8 8
2 3
1 3 2
3 5
2 5
3 2 5 5
8
②8 （8 ） 22 4 ③3 3 3 3
n n
a
(2) a
n n
当n为奇数时
|a|
当n为偶数时
练习1
①( 5 )
4 4
5
3
②（ 5）
3 3
5
③（ 2 ） 2 8
5 3 5
④
2
⑤ （ 3）
4 4
| 3 | 3
(a ) a
1 3 3
1 3 3
a
(a ) a
2 3
2 3 3
2 3 3
规定： a 1 （a 0） 1 n a n （a 0，n N） a
0
运算法则: （m ，n Î Ｚ）
（ ）a a 1
m n
m n
a
m n
（2）（a ） a am mn （3） n a a
（4）（ab）
m
nm
a b
m m
练习:
8 1
0
0
（ 8） 1
实数分类:
有理数 整数 分数
正整数 0 负整数
实 数 无理数
在初中学过整数指数幂概念及运算，这节我们将其推广到实数 指数幂及运算。
1 整数指数幂
正整数指数幂:
a2 a a
指数
n
a3 a a a
１
幂
a a a ......a
底数
规定： a
＝a
n个
运算法则:（ ）a m a n 10（a b） 1210
3
1 10 3 0.001
1 6 1 1 1 3 3 3 （ ） 1 6 1 64 （2 x） 2 x 3 2 ( ) 8x
x 2 x 6 （ 2 ） 4 r r
3
64 1 6 r4 x 6 1 x r4
0.0001 10 4
n
（a 0）
（a 0，n N ）
b
- n
• 3
a ,b Î Ｒ
（ ）a a 1
a?
= a
a
b
（2）（a ） a
（ ）（ab） a b 3
• 作业： • 课本P90
练习B 1、 2
2
+ m2
(m ) + 2m ?m
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
解：（２） 原式＝
(m
-
1 2 2
)
=
(m + m
1 2
1 2
-
1 2 2
)
m +m = m +m
-
m +m
-
1 2
• 总结： n • 1 a a a ......a
• 2
a a
0
= 1 = 1 a
练习３：化简下列各式 5x y
1 - 1 2 2 3 1 2 1 3 1 6
（1）
1 5 （ - x y ）（ - x y ） 4 6
2４ 解：（１） 原式＝ 创 x ５ ５
２ １ － ＋１－ ３ ３
?y
1 1 1 - + 2 2 6
24x 0y = 24y
1 6
1 6
m + m- 1 + 2 （2） 1 1 m
。
b ,3 2 ，因而 3 n 也就逼近于一个实
n
3 数 3
2 ，这就是说， 2
两个有理指数幂的序列
3 n n ,3
a
a
b
无限逼近一个实
无限逼近的思想
a ， b
一般地，当
a > 0 ，为任意实数值时，实数指数幂 a
都是有意义的.
可以证明，对任意的实数
即 ，上述有理指数幂的运算法则仍然成立。
3 6 2 3 1 4 3
2 3 3
3 3 3 3 3
1 1 1 1 2 3 6
1 2
1 3
1 6
3 9
2
④（a b ） （a ） b ） a 2b （
1 4 3
3 4
（ ⑤（a b ）（a b ） （a ） b ） a b
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 2
1 2 2
⑥（a b ）
1 2
1 2 2
a b 2a b
1 2
1 2
无理数指数幂
例： 3 2 是一个什么样的数？
用 1.4 ， ， 1.41 1.414 ，（ 2的不足近似值）； .....
3 ， ， 3 3
1.4 1.41
1.414
， ... ， ....