[最新版]高考理科数学《二项式定理》题型归纳与训练

合集下载

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练专题13《二项式定理》

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练专题13《二项式定理》【题型一】、求特定项和特定项的系数【题型二】、二项式系数的性质【题型三】、多项式转化为二项式的问题【题型四】、赋值法的应用【题型五】、二项式定理的综合应用【题型一】、求特定项和特定项的系数【例1】已知在n xx )21(33-的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含x 2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【思路点拨】利用展开式的通项公式求解。

【解析】：（1）根据题意，可得n xx )21(33-的展开式的通项为3231311)21()21()(rn r n r r rn r nr xC x x C T ---+-=-⋅=，又由第6项为常数项，则当r =5时，032=-rn 即0310=-n ，解可得n =10，（2）由（1）可得，3210101)21(r rr r xC T -+-=令03210=-r，可得r =2，所以含x 2项的系数为，445)21(2102=-C （3）由（1）可得，3210101)21(r r r r xC T -+-=若T r +1为有理项，则有Z r∈-3210，且0≤r≤10，分析可得当r =2，5，8时，3210r-为整数，则展开式中的有理项分别为2445x 、863-、225645-x 【总结升华】解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。

二者在特殊情况下方为同一数值。

【例2】371(2)x x-的展开式中常数项是（） A.14 B.－14 C.42 D.－42【思路点拨】利用二项式定理展开式通项公式进行求解。

【解析】展开式的通项3(7)37721771(2)()2(1)rr r rr r r r r T C x C x x-+---+=-=⋅-⋅，当3(7)02rr -+-=，即r=6时，它为常数项，∴常数项为66772(1)14T C =⋅⋅-=. 【总结升华】利用二项式定理展开式通项公式求特定项问题是高考常见题型，要注意掌握和应用。

《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一二项式定理例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二二项展开式通项公式例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。

高中数学二项式定理知识点与常见题型解法

《二项式定理》知识点与常见题型解法一．知识梳理1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数．式中的r rn r n b a C -叫二项展开式的通项，用1r +T 表示，即通项1r +T =r rn rn b aC -.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数0n C ，C 1n ，...，C n －1n ，nn C .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项2121+-=n nn nCC取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝12-n （奇数项与偶数项的二项式系数和相等）.一个防范运用二项式定理一定要牢记通项1r +T =r rn rn b aC -，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；二．常见题型【题型一】求展开特定项例1：(1＋3x)n(其中n∈N*且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A.6B.7C.8D.9例2：(2014·大纲)8⎪⎪⎭⎫⎝⎛-xyyx的展开式中x2y2的系数为________.(用数字作答)【题型二】求展开特定项例3：在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121 C．－74 D．－121【题型三】求展开特定项例4：已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A.－4B.－3C.－2D.－1例5：在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60 C．120 D．210例6：已知数列是等差数列，且，则在的展开式中，的系数为_______.【题型四】求展开特定项例7：求5212⎪⎭⎫⎝⎛++xx(x>0)的展开式经整理后的常数项.例8：若将展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）．A．11B．33C．55D．66 例9：(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20 C．30 D．60【题型五】二项式展开逆向问题例10：若C1n＋3C2n＋32C3n＋…＋3n－2C n－1n＋3n－1＝85，则n的值为()A.3B.4C.5D.6【题型六】赋值法求系数（和）问题例11：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)||a 0＋||a 1＋||a 2＋…＋||a 7.例12：设nx 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________.例13：已知(x ＋1)2(x ＋2)2014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2016(x ＋2)2016，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 201622016的值为______.【题型七】平移后系数问题例14：若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5, 其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____________.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例15：nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________．例16：把(1－x )9的展开式按x 的升幂排列，系数最大的项是第________项A ．4B ．5C ．6D ．7例17：(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例18：若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________．【题型十】整除问题例19：设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12例20：已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod 4).若22015≡r (mod 7)，则r 可能等于( )A.2013B.2014C.2015D.2016答案解析例1：解析由条件得C 5n 35＝C 6n 36，∴n ！5！（n －5）！＝n ！6！（n －6）！×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B.例2：解析 8⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8rrx y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-8＝()42323881---r r r r y xC ，令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 48＝70.故填70. 例3：解析展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 例4：解析 (1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.∵x 2的系数为5， ∴10＋5a ＝5，a ＝－1.故选D.例5：解析在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120，故选C. 例6：解析的系数为。

高考数学复习考点知识专题讲解与训练52---二项式定理

高考数学复习考点知识专题讲解与训练专题52 二项式定理【考纲要求】1.了解“杨辉三角”的特征，掌握二项式系数的性质及其简单应用.2．掌握二项式定理，会用二项式定理解决有关的简单问题.【知识清单】知识点1. 二项式定理1. 二项式定理()()011*nn n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数r n C (0,1,2,3,,r n =)叫做二项式系数．式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r rr n T C a b -+=.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，n n C .知识点2. 二项式系数的性质1. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，11n n n C C -=，，m n m n n C C -=.(2)增减性与最大值：二项式系数r n C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项2n nC 取得最大值．当n 是奇数时，中间两项12n nC+ 和12n nC-相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和()na b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即012rnn n n n n C C C C +++++=，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=，2.注意:（1）．分清r n r r n C a b -是第1r +项，而不是第r 项.(2)．在通项公式1r n r r r n T C a b -+=中，含有1r T +、r n C 、a 、b 、n 、r 这六个参数，只有a 、b 、n 、r 是独立的，在未知n 、r 的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出n 、r ,然后代入通项公式求解.(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出r ，再求所需的某项；有时则需先求n ,计算时要注意n 和r 的取值范围以及它们之间的大小关系.(4) 在1r n r r r n T C a b -+=中，r n C 就是该项的二项式系数，它与a ，b 的值无关；而1r T +项的系数是指化简后字母外的数．知识点3. 二项式定理的应用二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①()11n x nx +≈+；②()()21112nn n x nx x -+≈++；（5）证明不等式.【考点梳理】考点一：二项式定理【典例1】（2020·北京高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（）．A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】C【解析】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【典例2】（2020·全国高考真题（理））25()()x x y xy ++的展开式中x 3y3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515r r rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155rrrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615r r r r xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C【典例3】（2020·天津高考真题）在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rrrr r rr T C xC x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．故答案为：10．【典例4】（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是________.【答案】1560【解析】由题意，()()2555(32)12x x x x =++++，因为()51x +的展开式的通项公式为15rrr T C x +=，()52x +的展开式的通项公式为5152k k k k T C x -+=，所以25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是305214123032555555552222C C C C C C C C +++320800*********=+++=.故答案为：1560.【规律方法】1.二项展开式问题的常见类型及解法(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k ＋1项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．2．求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2；(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．3．求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的方法逐层展开法的求解步骤：【变式探究】1.（2018·全国高考真题（理））522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（） A.10 B.20 C.40 D.80【答案】C【解析】由题可得()5210315522rrr r r rr T C xC xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C =⨯=故选C.2.（2017·全国高考真题（理））(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为（）A.-80B.-40C.40D.80【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2r rrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.3.（2019·天津高考真题（理））83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________.【答案】28【解析】8848418831(2)()(1)28r r rr r r r r T C x C x x---+=-=-，由840r -=，得2r ，所以的常数项为228(1)28C -=.4.（2017·山东高考真题（理））已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.【答案】4【解析】（1+3x ）n的展开式中通项公式：T r +1rn =（3x ）r ＝3rrn x r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =54，可得2n =6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为：4．【特别提醒】在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定；②1r T +是展开式中的第1r +项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置；④对二项式()n a b -展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．考点二：二项式系数的性质及各项系数和【典例5】（2020·浙江高三月考）二项式6的展开式中，所有有理项．．．（系数为有理数，x 的次数为整数的项）的系数之和为________；把展开式中的项重新排列，则有理项．．．互不相邻的排法共有____种．（用数字作答）【答案】32. 144.【解析】因为二项式6的展开式的通项为6126321666---+==r rr r r r T C C x x x ，因为2122-=-∈r rZ ，所以0,2,4,6r =，故所有有理项的系数为0246666611515132+++=+++=C C C C ；把展开式中的项重新排列，则有理项．．．互不相邻的排法共有3434144A A =种. 【典例6】（2019·全国高三月考）5(12)x -的展开式的各个二项式系数的和为________，含x x 的项的系数是________.【答案】32 80-【解析】根据题意，(512x -的展开式的各个二项式系数的和为52=32，当=3r 时，3533451(2)T C x -=⋅⋅- ，所以含x x 80-.【典例7】（2020·浙江省高考真题）设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 + a 3=________．【答案】80；122 .【解析】5(12)x +的通项为155(2)2r r r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；113355135555222122a a a C C C ++=++=.故答案为：80；122【总结提升】1.赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)．①奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-.②偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --.2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n 2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数，则中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．3．展开式系数最大值的两种求解思路(1)由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1即可求得答案．(2)由于二项展开式中的系数是关于正整数n 的式子，可以看作关于n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．【变式探究】1.（2019·内蒙古高二期中（理））已知2012(1)n nn x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，01216n a a a a +++⋅⋅⋅+=，则自然数n 等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C由题意，令1x =，则01212(1)nn n a a a a +=++⋅⋅+=+⋅，因为01216n a a a a +++⋅⋅⋅+=，所以216n =，解得4n =. 故选：C.2. (2019·石家庄模拟)在(1－2x )n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为 .【答案】1120x 4【解析】由二项式系数的性质知，2n －1＝128，解得n ＝8，(1－2x )8的展开式共有9项，中间项，即第5项的二项式系数最大，T 4＋1＝C 4814(－2x )4＝1120x 4. 3.（2020·湖南师大附中高三月考）若1721701217(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++⋯++，则012316a a a a a ++++⋯+=______.【答案】1721-由题意，由1717(2)[1(1)]x x +=++，17171(1)T x +=+，17令0x =，则17012172a a a a ++++=⋯，所以1701231621a a a a a ++++⋯+=－.故答案为：1721-. 【特别提醒】1.对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；[来源:学_科_网]③证明不等式时，应注意运用放缩法.2.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.3.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.考点三：二项式定理的应用【典例8】（2012·湖北高考真题（理））设，且，若能被13整除，则（）A．0 B．1C．11 D．12【答案】D【解析】本题考察二项展开式的系数.由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12选D.【典例9】（2019·湖北高二期末（理））71.95的计算结果精确到个位的近似值为（）A.106B.107C.108D.109【答案】B【解析】∵()77716252771.9520.05220.0520.05C C =-=-⨯⨯+⨯⨯-⋅⋅⋅107.28≈， ∴71.95107≈. 故选：B【典例10】（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（）A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：m n mn n C C -= B ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：11r r rn n n C C C -+=+C ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：0122n n n n n n C C C C ++++=D ．由“11111=，211121=，3111331=”猜想51115101051= 【答案】ABC【解析】由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A 、B 、C 正确；550514*******555555111011010101010161051C C C C C C ，故D 错误.故选：ABC.【典例11】（2019·浙江杭十四中高三月考）7(ax的展开式中，3x 项的系数为14，则a =_____，展开式各项系数之和为______．【答案】2 1【解析】由题，7a x⎛ ⎝的展开式通项为()72577331771rrr r r r rr a T C x a C x x ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令57363r r -=∴=，此时67142C a a =∴=所以原式为72x ⎛- ⎝，令1x =，得各项系数之和为()7211-=故答案为2、1【总结提升】二项式定理应用的常见题型及求解策略1．逆用二项式定理的关键是根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．2．利用二项式定理解决整除问题的思路：①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式；③结合二项式定理得出结论．3. 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.【特别提醒】用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.【变式探究】1．（多选题）（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）设6260126(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，下列结论正确的是（）A ．6012563a a a a a -+-+= B ．23100a a += C ．1236,,,,a a a a 中最大的是2a D ．当999x =时，6(21)x +除以2000的余数是1【答案】ABD【解析】将原二项展开式转化为()[]666260126(21)(211)12(1)(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +=+-=-+=+++++++，再逐一判断.详解：由()[]666260126(21)(211)12(1)(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +=+-=-+=+++++++，得40123562356666666601234564,2,2,2,2,2,2a a a a a a a C C C C C C C =======，所以6012563a a a a a -+-+=，故A 正确；223323662+2=100a a C C +=，故B 正确；1236,,,,a a a a 中最大的是4a ，故C 错误；当999x =时，11000x +=，1256,,,a a a a 能被2000整除，所以6(21)x +除以2000的余数是1，故D 正确；故选：ABD2.（2019·浙江高考模拟）已知7280128(2)(12)x x a a x a x a x +-=+++，则128...a a a +++=_____，3a =_____．【答案】5- 476-【解析】因为7280128(2)(12)x x a a x a x a x +-=+++，令1x =得0128...(21)(121)3a a a a ++++=+-⨯=-，令0x =得02a =，所以128...5a a a +++=-，由7(12)x -展开式的通项为17(2)r r r r T C x +=-，则33223772(2)(2)476a C C =⨯-+-=-，故答案为：5- ，476-.3.若n 是正整数，则7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n－1n 除以9的余数是 .【答案】0或7【解析】根据二项式定理可知，7n ＋7n －1C 1n ＋7n －2C 2n ＋…＋7C n －1n ＝(7＋1)n －1＝8n －1，又因为8n －1＝(9－1)n －1＝9n ＋C 1n 9n －1·(－1)＋C 2n 9n －2·(－1)2＋…＋C n －1n 9·(－1)n －1＋(－1)n －1，所以当n 为偶数时，除以9的余数为0，当n 为奇数时，除以9的余数为7. 4.以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第9行第8个数是______.【答案】36【解析】由题意，第0行的数为1，第1行的数为0111,C C ，第2行的数为012222,,C C C ，第3行的数为01233333,,,C C C C ，第4行的数为0123444444,,,,C C C C C ，因此，第n 行第m 个数为：1m n C -，所以第9行第8个数是817299998362C C C -⨯====. 故答案为：36.。

专题10-2 二项式定理-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)

【详解】 x 2 10 的展开式中,通项公式： Tr1 C1r0 x10r 2 r ，
令 10−r=7，解得 r=3.
∴x7 的系数为 C130 2 3 = 8C170 ,
故选：C.
2.．
1 2
x
2
y
5
的展开式中
x2
y3
的系数为_____．
【答案】-20 分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幂指数与题中所给的项的
k
1 项 Tk1
Ckn
x3 nk
x3 k Ckn x3n6k
令 3n 6k 0 则 n 2k （ k Z ）
所以 n 为偶数。故选：A
【题型四】给通项求参数
【典例分析】
已知
ax
b x
6
的展开式中
x
3 2
项的系数为
160，则当
a
0
，
b
0
时，
a
b
的最小值为（
）
A．4
B． 2 2
C．2
D． 2
当 r 3 时， T4 253C53x53 y 3 40x2 y3 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 x 即可，得到 40x3 y3 ；
当 r 2 时，T3 252 C52 x52 y 2 80x3 y2 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 2 y 即可，得到 160x3 y3 ；
故选：D．
3. x 2 y 2x y 5 的展开式中的 x3 y3 系数为（
）
A． 200
B． 120
C．120
D．200
【答案】A
【分析】由题意首先确定 (2x y)5 展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定 x3 y3 的系数.

(完整版)二项式定理知识点和各种题型归纳带答案

二项式定理1．二项式定理：(a b)n C n0a n C1n a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n (n N )，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数C n r (r 0,1,2, ,n) .③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。

用T r 1 C n r a n r b r表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1) 项。

②顺序：注意正确选择a, b ,其顺序不能更改。

(a b)n与(b a)n是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是数是a与b 的系数(包括二项式系数) 。

4．常用的结论：令a 1,b x, (1 x)n C n0C n1x C n2x2L C n r x r L C n n x n(n N )5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离” 的两个二项式系数相等，即C n0 C n n，···C n k C n k 1②二项式系数和：令a b 1, 则二项式系数的和为C n0C n1C n2L C n r L C n n2n，变形式C1n C n2 L C n r L C n n2n 1 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b 1 ，则C n0 C n1 C n2C n3 L ( 1)n C n n (1 1)n 0 ，从而得到：C n0 C n2C n4C n2r C n1 C n3 L 2r 1Cn12n2n 1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：C n,C n,C n , ,C n, ,C n .项的系令a 1,b x, (1 x)n C n0 C1n x C n2x2 L C n r x r L ( 1)n C n n x n (n N )n 2 2解：由条件知 C n n 2 45 ，即 C n 2 45 ， 2n 2 n 90 0 ，解得 n9(舍去 )或n 10 ，由(a x)nC n 0a n0xC n 1a n 1xC n 2a n 22 x L n 0 n 1 C n a x a 0 a 1x 2na 2x La n x(x a)nC n 0a0nx 1C n axn1C n 2a 2 n2xLn n 0 nC n a x a n x L21 a 2x a 1x a令x 1, 则 a 0 a 1 a 2a 3Lan(a 1)n①令x 1,则a 0a1a2a3L a n (a 1)n②① ②得,a 0 a2a 4L an(a1)n (a 2 1)(奇数项的系数和 )①②得,a 1a3a 5La n(a 1)n (a21)(偶数项的系数和)n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 n 是偶数时，则中间一项的二项式系数 C n 2 取得最大值。

(完整版)高中数学二项式定理题型总结

二项式定理知识点归纳1．二项式定理及其特例：（1）01()()nn n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ，（2）1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++L L2．二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1210(n r ，，，Λ=3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n L ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（mn m nn C C -=）直线2nr =是图象的对称轴（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++L L ，令1x =，则0122nr nn n n n n C C C C C =++++++L L题型讲解例1 如果在（x +421x）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ，由题意得2×2n=1+8)1(-n n ，得n =8设第r +1项为有理项，T 1+r =C r8·r 21·x4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8，有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 921点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r例2 求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项解法一：（｜x ｜+||1x －2）3=（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）（｜x ｜+||1x －2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取||1x ，一个括号取－2，得C 13C 12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+（－12）=－20解法二：（|x |+||1x －2）3=（||x －||1x ）6设第r +1项为常数项，则T 1+r =C r 6·（－1）r ·（||1x ）r ·|x |r -6=（－1）6·C r 6·|x |r26-，得6－2r =0，r =3∴T 3+1=（－1）3·C 36=－20例3 ⑴求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数；⑵求（x +x4－4）4的展开式中的常数项； ⑶求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数解：⑴原式=x x --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 46－1=14⑵（x +x4－4）4=442)44(x x x +-=48)2(xx -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120⑶方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x xx x 351)1()1(+-+展开式中x 3的系数为C 451方法二：原展开式中x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 4点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键例4 求9221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中9x 的系数解：()r rr r rr r rrr r x C x x C x xC T318921899291212121----+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=令22121C :,3,93183399＝－的系数为故则⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-x r r 点评：①r rn rn b a-C 是()nb a +展开式中的第1+r 项，n rΛ,2,1,0=②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，第4项的二项式系数是39C ，第4项9x 的系数为33921⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，二者并不相同例5 求()100323+x 展开所得x 的多项式中，系数为有理数的项数解：()()32100100100310010012323r rr r rrr r x C x C T ⋅⋅=⋅=---+依题意：Z rr ∈-3,2100，r ∴为3和2的倍数，即为6的倍数，又1000≤≤r Θ，N r ∈，96,,6,0Λ=∴r ，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由6)1(096⨯-+=n 得17=n ，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6 求()5223++x x展开式中x 的系数解法一：()()()55523212xx x x ++=+⋅+()()0514450514445555555555222C x C x C x C C x C x C x C =++++⋅+++⋅+L L 故展开式中含x的项为x x C C C x C 240224455555545=⋅⋅+⋅⋅，故展开式中x 的系数为240，解法二：()()[]52523223xx x x ++=++()()()N r r x x C T rrrr ∈≤≤⋅+=-+,50325251，要使x 指数为1，只有1=r 才有可能，即()()424684215228446241532+⋅+⋅+⋅+=⋅+=x x x x x x x C T ，故x 的系数为2402154=⋅，解法三：()5232x x ++()()()()()222223232323232x x x x x x x x x x =++++++++++，由多项式的乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现x ，其它四个括号出现常数项，则积为x 的一次项，此时系数为2402344415=⋅⋅C C点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用例7 设a n =1+q +q 2+…+q1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C nn a n（1）用q 和n 表示A n ；（2）（理）当－3<q <1时，求lim∞→n nn解：（1）因为q ≠1，所以a n =1+q +q 2+…+q 1-n q q n --11于是A n =qq --11 C 1n +q q --112 C 2n +…+q q n --11C n n =q -11［（C 1n +C 2n +…+C n n ）－（C 1n q +C 2n q 2+…+C nn q n ）］=q -11{（2n －1）－［（1+q ）n －1］}=q -11［2n －（1+q ）n ］（2）n n A 2=q -11［1－（21q +）n ］因为－3<q <1，且q ≠－1，所以0<|21q + |<1所以lim∞→n n n A 2=q-11例8 已知729222221=++++n n n n n n C C C C Λ，求n n n n C C C +++Λ21分析：在已知等式的左边隐含一个二项式，设法先求出n解：在()nn n n n n n n n n bC b a C b a C a C b a ++++=+--Λ222110中，令2,1==b a 得()72921=+n67293=∴=∴n n 12126666n n n n C C C C C C ∴+++=+++L L ()012606666662163C C C C C =++++-=-=L点评：①记住课本结论：n n n n n nC C C C 2210=++++Λ，15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ②注意所求式中缺少一项，不能直接等于62例9 已知()4433221432x a x a x a x a a x ++++=+，求()()2312420a a a a a +-++解：令1=x 时，有()43210432a a a a a ++++=+，令1-=x 时，有()43210432a a aa a +-+-=+-∵()()2202413a a a a a ++-+()()0123401234a a a a a a a a a a =++++-+-+∴ ()()()()()1132324442312420=-=+-⋅+=+-++a a a a a点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三例10 求()72y x +展开式中系数最大的项解：设第1+r 项系数最大，则有⎩⎨⎧≥≥+++项系数项系数项系数项系数2r 1r 1T T T T r r ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--117711772222r r r r r r r r C C C C()()()()()()117!7!22!7!1!71!7!7!22!7!1!71!r r r r r r r r r r r r -+⎧≥⎪---+⎪⇒⎨⎪≥⎪-+--⎩2181271r r r r ⎧≥⎪⎪-⇒⎨⎪≥⎪-+⎩163133r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩又5,,70=∴∈≤≤r N r r Θ故系数最大项为525525766722y x y x C T =⋅=点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n 为偶数时中间项12+nT 的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项121+-n T ，121++n T 的二项式系数相等且为最大小结：1在使用通项公式T 1+r =C rnr n a -b r 时，要注意：①通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项②展开式中第r +1项的二项式系数C rn 与第r +1项的系数不同③通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T 1+r 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n2证明组合恒等式常用赋值法学生练习1已知（1－3x ）9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于 A 29 B 49 C 39 D 1解析：x 的奇数次方的系数都是负值，∴｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜=a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 9∴已知条件中只需赋值x =－1即可答案：B2 2x +x ）4的展开式中x 3的系数是A 6B 12C 24D 48解析：（2x +x ）4=x 2（1+2x ）4，在（1+2x ）4中，x 的系数为C 24·22=24答案：C3（2x 3－x1）7的展开式中常数项是 A 14B －14C 42D －42解析：设（2x 3－x1）7的展开式中的第r +1项是T 1+r =C r7（2x 3）r-7（－x1）r =C r 72r-7·（－1）r ·x )7(32x r-+-，当－2r +3（7－r ）=0，即r =6时，它为常数项，∴C 67（－1）6·21=14答案：A 4一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A 20B 219C 220D 220－1解析：C 120+C 220+…+C 2020=220－1答案：D5已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 A 28B 38C 1或38D 1或28解析：T 1+r =C r8·x 8－r ·（－ax －1）r =（－a ）r C r8·x 8－2r，令8－2r =0，∴r =4，∴（－a ）4C 48=1120∴a =±2当a =2时，令x =1，则（1－2）8=1，当a =－2时，令x =－1，则（－1－2）8=38答案：C6已知（x23+x 31-）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________（以数字作答）解析：∵（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数和为128，∴令x =1，即得所有项系数和为2n =128，∴n =7设该二项展开式中的r +1项为T 1+r =C r7（x23）r-7·（x31-）r =C r7·x61163r -，令61163r -=5即r =3时，x 5项的系数为C 37=35答案：35 7若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =________解析：a ∶b =C 3n ∶C 2n =3∶1，n =11 答案：118（x －x1）8展开式中x 5的系数为_____________解析：设展开式的第r +1项为T 1+r =C r 8x 8－r ·（－x1）r =（－1）r C r 8x238r-令8－23r =5得r =2时，x 5的系数为（－1）2·C 28=28答案：289若（x 3+xx 1）n 的展开式中的常数项为84，则n =_____________解析：T 1+r =C rn（x 3）n －r·（x23-）r =Cr n·xrn 293-，令3n －29r =0，∴2n =3r ∴n 必为3的倍数，r 为偶数试验可知n =9，r =6时，C rn =C 69=84答案：910已知（xxlg +1）n 展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值解：由题意C 2-n n＋C 1-n n ＋C n n =22，即C 2n ＋C 1n ＋C 0n =22，∴n =6∴第4项的二项式系数最大∴C 36（xxlg ）3=20000，即x 3lg x =1000∴x =10或x 101 11若（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11 求：（1）a 1+a 2+a 3+…+a 11；（2）a 0+a 2+a 4+…+a 10 解：（1）（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11令x =1，得 a 0+a 1+a 2+…+a 11=－26， ① 又a 0=1，所以a 1+a 2+…+a 11=－26－1=－65 （2）再令x =－1，得a 0－a 1+a 2－a 3+…－a 11=0 ②①+②得a 0+a 2+…+a 10=21（－26+0）=－32 点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112在二项式（ax m +bx n ）12（a ＞0，b ＞0，m 、n ≠0）中有2m +n =0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（1）求它是第几项；（2）求ba的范围解：（1）设T 1+r =C r12（ax m ）12－r ·（bx n ）r =C r12a 12－r b r x m（12－r ）+nr为常数项，则有m （12－r ）+nr =0，即m （12－r ）－2mr =0，∴r =4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，∴有C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3 ① C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5 ② 由①得2349101112⨯⨯⨯⨯⨯a 8b 4≥23101112⨯⨯⨯a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴49b ≥a ，即b a 9 由②得b a ≥58，∴58≤b a 4913在二项式（x +421x）n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n ，再分别求出相应的有理项解：前三项系数为C 0n ，21C 1n ，41C 2n ，由已知C 1n =C 0n +41C 2n ，即n 2－9n +8=0，解得n =8或n =1（舍去）T 1+r =C r8（x ）8－r（24x ）－r=C r 8·r 21·x 434r-∵4－43r∈Z 且0≤r ≤8，r ∈Z ， ∴r =0，r =4，r =8∴展开式中x 的有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=2561 x －2 点评：展开式中有理项的特点是字母x 的指数4－43r ∈Z 即可，而不需要指数4－43r∈N14求证：2<（1+n1）n <3（n ≥2，n ∈N *）证明：（1+n 1）n =C 0n +C 1n ×n 1 +C 2n （n 1）2+…+C nn （n 1）n=1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n+…+C nn ×n n 1=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×n nn n 12)1(⨯⨯⨯-⨯Λ <2+!21+!31+!41+…+!1n <2+21+221+321+…+121-n=2+211])21(1[211---n =3－（21）1-n <3显然（1+n 1）n =1+1+C 2n ×21n +C 3n ×31n +…+C nn ×n n 1>2所以2<（1+n1）n<3。

2023年高考数学(理科)一轮复习——二项式定理

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布
考试要求 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
知识诊断基础夯实
考点突破题型剖析
分层训练巩固提升
知识诊断基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理 1.二项式定理
＋…＋a9＝___－__5_0_9_.
解析令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝2；令 x＝0，得 a0＝29＝512；又展开式的 x10 的项为 C99(－x)9x＝－x10，所以 x10 的系数为－1，故 a1＋a2＋… ＋a9＝2－512－(－1)＝－509.
索引
感悟提升
1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2 ＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2.若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋2f（－1），偶数项系数之和为 a1＋ a3＋a5＋…＝f（1）－2f（－1）.
中x3的系数为__－__1_6_0__.
解析因为(2－x)n 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，所以 n 为偶数，且n2＋1＝4，所以 n＝6，即(2－x)n＝(2－x)6，其通项 Tk＋1＝Ck626－k(－x)k，k＝0， 1，2，…，6，令 k＝3，则 T4＝－C3623x3＝－160x3，所以 x3 的系数为－160.
索引
诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Cknan－kbk 是二项展开式的第 k 项.(× ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( × ) (3)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关.( √ )

高中数学《二项式定理》复习小结与训练

§6.3 二项式定理（第一课时二项式定理）【学习目标】1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【知识梳理】知识点一二项式定理(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b)n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点二二项展开式的通项(a ＋b)n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 思考二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？答案一般不同．前者仅为C k n ，而后者是字母前的系数，故可能不同．【判断正误】1．(a ＋b)n 展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × )3．C k n an －k b k 是(a ＋b)n 展开式中的第k 项．( × ) 4．(a －b)n 与(a ＋b)n 的二项展开式的二项式系数相同．( √ ) 5．二项式(a ＋b)n 与(b ＋a)n 的展开式中第k ＋1项相同．( × ) 【题型探究】一、二项式定理的正用、逆用例1 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．解方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x)4＋C 14(3x)3·1x＋C 24(3x)2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x)4＝1x 2·[1＋C 14·3x＋C 24(3x)2＋C 34(3x)3＋C 44(3x)4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C n n .解原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .延伸探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________. 答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a＝28，b ＝16，∴a＋b ＝28＋16＝44. 反思感悟 (1)(a ＋b)n 的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x 5－1. 二、二项展开式的通项的应用例2 若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含x 的一次项； (2)展开式中所有的有理项．解 (1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)． T k ＋1＝C k 8(x)8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x k ＝C k 8·2－k ·344k x -，令4－34k ＝1，解得k ＝4.所以含x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x. (2)令4－34k∈Z ，且0≤k≤8，则k ＝0,4,8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.反思感悟求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练2 在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．解 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x)4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝240x ，所以第3项的系数为240. (2)T k ＋1＝C k 6(2x)6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C k 6x3－k，令3－k ＝2，解得k ＝1，所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2. 三、求两个多项式积的特定项例3 (1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于( )A．－4 B．－3 C．－2 D．－1(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为( )A．10 B．－10 C．2 D．－2答案(1)D (2)C解析(1)由二项式定理得(1＋x)5的展开式的通项为Tk＋1＝C k5·x k，所以(1＋ax)(1＋x)5的展开式中含x2的项的系数为C25＋C15·a＝5，所以a＝－1，故选D.(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C0 3·(2x)0·C14·(－x)1＋C13·(2x)1·C04·14·(－x)0，其系数为C03×C14×(－1)＋C1 3×2×C04＝－4＋6＝2.反思感悟求多项式积的特定项的方法——“双通法”所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝C kna n－k(bx)k·C rms m－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况．跟踪训练3 (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字作答) 答案－20解析由二项展开式的通项公式可知，含x2y7的项可表示为x·C78xy7－y·C68x2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C78－C68＝8－28＝－20.四、二项式定理的应用例4 (1)试求2 01910除以8的余数；(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．(1)解 2 01910＝(8×252＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.(2)证明32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋(n ＋1)×8＋1－8n －9 ＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182.①①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．反思感悟利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．跟踪训练4 (1)已知n∈N *，求证：1＋2＋22＋…＋25n －1能被31整除．证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n －1＝1－25n1－2＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝31n ＋C 1n×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋1－1＝31×(31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除． (2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解 0.9986＝(1－0.002)6＝1＋C 16·(－0.002)＋C 26·(－0.002)2＋…＋C 66·(－0.002)6.由题意知T 3＝C 26(－0.002)2＝15×0.0022＝0.000 06<0.001，且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001，故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988. 【跟踪训练】1.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 5的展开式中含x 3项的二项式系数为( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5 答案 D2.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35的展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40 答案 C3．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．x 3 B ．－x 3 C ．(1－x)3 D ．(x －1)3 答案 A4．若(x ＋2)n 的展开式共有12项，则n ＝________. 答案 115．C 0n ·2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C k n ·2n －k＋…＋C n n ＝________.答案 3n解析原式＝(2＋1)n ＝3n . 【课堂小结】 1．知识清单： (1)二项式定理．(2)二项展开式的通项公式． 2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：二项式系数与系数的区别，C k n a n －kb k是展开式的第k ＋1项．【同步练习】1．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n 等于( )A ．1B ．－1C ．(－1)nD ．3n 答案 C解析原式＝(1－2)n ＝(－1)n .2.⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．60B ．－60C ．250D ．－250 答案 A解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为C 26(x)4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝60. 3.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 9的展开式中的第4项是( )A ．56x 3B ．84x 3C ．56x 4D ．84x 4 答案 B解析由通项知T 4＝C 39x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＝84x 3.4．(x －2y)10的展开式中x 6y 4的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210 答案 A解析在通项T k ＋1＝C k 10(－2y)k x 10－k 中，令k ＝4，即得(x －2y)10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410×(－2)4＝840. 5．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10 答案 D解析 (1－x)5中x 3的系数为－C 35＝－10，－(1－x)6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6的展开式中x 3的系数为10.6．若(x ＋a)10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案12解析二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 10x 10－k a k，当10－k ＝7时，k ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12.7．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 的展开式中，x 2项为第3项，则自然数n ＝________，其x 2项的系数为________．答案 8 28 解析 T k ＋1＝C k n(3x 2)n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C kn 253n kx -，由题意知，k ＝2时，2n －5k 3＝2，∴n＝8，此时该项的系数为C 28＝28.8．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1(x ＋1)5的展开式中常数项等于________．答案 9解析二项式(x ＋1)5的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5(x)5－k＝C k 552k x -(k ＝0,1,2，…，5)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1(x ＋1)5展开式中的常数项为C 35＋(－1)×C 55＝10－1＝9. 9．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．解 (1)因为T 3＝C 2n(x)n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n 62n x -， T 2＝C 1n(x)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n 32n x -，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81，所以n 2＝81，又n∈N *，故n ＝9. (2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k9(x)9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k9932kx -，所以9－3k 2＝3，k ＝1，所以含x 3的项为T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3.二项式系数为C 19＝9.10．已知m ，n∈N *，f(x)＝(1＋x)m ＋(1＋x)n 的展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解由题设知，m ＋n ＝19，又m ，n∈N *，∴1≤m≤18. x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m)＋12(n 2－n)＝m 2－19m ＋171.∴当m ＝9或10时，x 2的系数有最小值为81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.11．(多选)对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n (n∈N *)，下列判断正确的有( )A ．存在n∈N *，展开式中有常数项B ．对任意n∈N *，展开式中没有常数项C ．对任意n∈N *，展开式中没有x 的一次项D ．存在n∈N *，展开式中有一次项答案 AD解析二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k(k∈N *)和n ＝4k －1(k∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.12．已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，则实数a 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 C解析由于2×1010＋a ＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根据二项展开式可知，2×(11－1)10被11除的余数为2，从而可知2＋a 能被11整除，可知a ＝9.13．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－k ·(－1)k ＝(－1)k C k51x 10－2k .令10－2k ＝2或10－2k ＝0，解得k ＝4或k ＝5. 故(x 2＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是(－1)4×C 45＋2×(－1)5×C 55＝3.14．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项，则：(1)n 的值为________；(2)含x 的整数次幂的项有________个．答案 (1)10 (2)6解析二项展开式的通项为T k ＋1＝C kn⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C kn 522n k x -.(1)因为第9项为常数项，所以当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)要使20－52k 为整数，需k 为偶数，由于k ＝0，1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．15．(a ＋b ＋c)n (n∈N *)的展开式中的项数为________．答案n ＋2n ＋12解析(a＋b＋c)n＝C0n (a＋b)n＋C1n(a＋b)n－1c＋…＋C nnc n，所以，其展开式中的项数为(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋2＋1＝n＋2n＋12.16．已知数列{an }(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．(1)求和：a1C02－a2C12＋a3C22，a1C03－a2C13＋a3C23－a4C33；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．解(1)a1C02－a2C12＋a3C22＝a1－2a1q＋a1q2＝a1(1－q)2，a 1C03－a2C13＋a3C23－a4C33＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1(1－q)3.(2)归纳概括的结论为：若数列{an }是首项为a1，公比为q的等比数列，则a 1C0n－a2C1n＋a3C2n－a4C3n＋…＋(－1)n an＋1·C nn＝a1(1－q)n，n为正整数．证明：a1C0n－a2C1n＋a3C2n－a4C3n＋…＋(－1)n an＋1·C nn＝a1C0n－a1qC1n＋a1q2C2n－a1q3C3n＋…＋(－1)n a1q n C nn＝a1[C0n－qC1n＋q2C2n－q3C3n＋…＋(－1)n q n C nn]＝a1(1－q)n.§6.3二项式定理（第二课时二项式系数的性质）【学习目标】1.理解二项式系数的性质.2.会用赋值法求展开式系数的和．【知识梳理】知识点二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C mn＝C n－mn增减性与最增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k>n＋12思考若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？答案n＝7或8或9.【判断正误】1．令f(r)＝C rn (0≤r≤n，且r∈N)，则f(r)的图象关于直线r＝n2对称．( √)2．二项展开式中各项系数和等于二项式系数和．( ×)3．二项展开式的二项式系数和为C1n ＋C2n＋…＋C nn.( ×)4．二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ×) 【题型探究】一、二项展开式的系数和问题例1 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.解(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C k5(－1)k·25－k·x5－k，知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，所以a1＋a3＋a5＝1－352＝－121.延伸探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.解(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.所以a0＋a2＋a4＝1＋352＝122.(2)因为a是(2x－1)5的展开式中x5的系数，所以a＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.反思感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anx n，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.跟踪训练1 已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.(1)求a2的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．解∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.(1)a2＝C910(－4)9＝－49×10.(2)令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.(3)由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.二、二项式系数性质的应用例2 已知f(x)＝(3x2＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C25(23x)3·(3x2)2＝90x6，T 4＝C35(23x)2·(3x2)3＝223270x.(2)展开式的通项公式为Tk＋1＝C k5·3k·2(52)3kx+，假设Tk＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C k53k≥C k－153k－1，C k53k≥C k＋153k＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！5－k ！k ！×3≥5！6－k ！k －1！，5！5－k ！k ！≥5！4－k！k ＋1！×3，即⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k ，15－k ≥3k ＋1，∴72≤k≤92， ∵k∈N ，∴k＝4，∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝263405x . 反思感悟 (1)二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b)n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx)n (a ，b∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项．跟踪训练2 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含32x 的项；(3)求展开式中系数的绝对值最大的项．解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n 的展开式的通项是T k ＋1＝C k n (x)n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2k ＝(－2)k C kn 52n kx -(0≤k≤n，k∈N )， ∴T 5＝T 4＋1＝24C 4n102n x-，T 3＝T 2＋1＝22C 2n52n x-.∵24C 4n22C 2n ＝101， ∴n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)． (1)令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28＝(1－2)8＝1，即所求各项系数的和为1. (2)展开式的通项为T k ＋1＝(－2)k C k 8852k x -(0≤k≤8，k∈N )．令8－5k 2＝32，解得k ＝1，∴展开式中含32x 的项为 T 2＝T 1＋1＝(－2)1C 1832x ＝3216x -.(3)展开式的第k 项、第k ＋1项、第k ＋2项的系数的绝对值分别为C k －182k －1，C k 82k ，C k ＋182k ＋1. 若第k ＋1项的系数绝对值最大，则有⎩⎨⎧C k －182k －1≤C k 82k ，C k 82k≥C k ＋182k ＋1，解得5≤k≤6，故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，即T 6＝－1 792172x -，T 7＝1 792x －11.【跟踪训练】1．已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数的和为32，则n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 A2．(多选)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项答案 BC解析由于n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．3．设(2－x)6＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 6(1＋x)6，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．4B ．－71C ．64D ．199 答案 C解析 ∵(2－x)6＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 6(1＋x)6，令x ＝0，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝26＝64.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式的各项系数的和为________．答案 05．(2x －1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数的和为________．答案 1 64解析令x ＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64. 【课堂小结】 1．知识清单：(1)二项式系数的性质． (2)赋值法求各项系数的和．2．方法归纳：一般与特殊、函数与方程．3．常见误区：赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项．【同步练习】1．在(a ＋b)n 的二项展开式中，与第k 项的二项式系数相同的项是( ) A ．第n －k 项 B ．第n －k －1项 C ．第n －k ＋1项 D ．第n －k ＋2项答案 D解析第k 项的二项式系数是C k －1n ，由于C k －1n ＝C n －k ＋1n，故第n －k ＋2项的二项式系数与第k 项的二项式系数相同．2．已知(1＋x)n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为( ) A ．212 B ．211 C ．210 D ．29答案 D解析 ∵展开式中只有第6项的二项式系数最大， ∴n＝10，∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和， ∴展开式中奇数项的二项式系数之和为2102＝29.3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n 的展开式中各项系数之和为( ) A ．2n ＋1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋1－2答案 D解析令x ＝1，则2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2.4．(x －1)11的展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．1 024 D ．－1 024 答案 D解析 (x －1)11＝C 011x 11＋C 111x 10·(－1)＋C 211x 9·(－1)2＋…＋C 1111(－1)11，x 的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024. 5．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋51x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( )A ．330B ．462C ．682D ．792 答案 B解析 ∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n ，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C 511＝C 611＝462.6．若(x ＋3y)n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．答案 5解析 (7a ＋b)10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y)n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.7．(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为______．答案1－310 2解析设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝1－3102.8．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．答案－256解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，两式相减可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.9．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)令x＝1，y＝－1，可得a 0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，即n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项， ∵T 4＝C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫124(2x)3＝352x 3，T 5＝C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫123(2x)4＝70x 4，∴第4项的系数是352，第5项的系数是70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，它的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3 432.(2)由已知得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0. 解得n ＝－13(舍去)或n ＝12. 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x)12，由⎩⎨⎧C k 12·4k ≥C k －112·4k －1，C k12·4k ≥C k ＋112·4k ＋1，解得9.4≤k≤10.4.又∵0≤k≤n，k∈N ，∴k＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项，即T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·410·x 10＝16 896x 10.11．(1＋3x)n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则含x 4项的二项式系数为( )A ．21B ．35C ．45D ．28 答案 B解析 ∵T k ＋1＝C k n (3x)k ＝3k C k n x k ，又由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n＝7，因此，含x 4项的二项式系数为C 47＝35，故选B.12．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x 4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( ) A ．第11项 B ．第13项 C ．第18项 D ．第20项答案 D解析 (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x 4的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，解得n ＝20.13．(多选)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n的展开式中第5项是含x 的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是( ) A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项答案 CD解析因为展开式的第5项为T 5＝C 4n443n x--，所以令n －43－4＝1，解得n ＝19.所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项．故选CD.14．设m 为正整数，(x ＋y)2m 的展开式中二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1的展开式中二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________. 答案 6解析 (x ＋y)2m 的展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1. ∵13a＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.∴13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ＋1！m ！.∴m＝6.15．(多选)(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为( )A．a＝1，b＝2，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝－1，b＝－2，n＝5答案AD解析只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意得，(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选AD.16．已知(1＋m x)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.(1)求m，n的值；(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；(3)求(1＋m x)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．解(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8，∴展开式的通项为Tk＋1＝C k8m k2kx，∴含x项的系数为C28m2＝112，解得m＝2或m＝－2(舍去)．故m，n的值分别为2,8.(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为C18＋C38＋C58＋C78＝28－1＝128.(3)∵(1＋2x)8(1－x)＝(1＋2x)8－x(1＋2x)8，∴含x2项的系数为C4824－C2822＝1 008.。

2024年高考数学复习培优讲义专题40---二项式定理(含解析)

专题8-2 二项式定理16类常考问题汇总题型1 求展开式中的指定项题型2 求指定项的系数题型3 二项式系数最大的项题型4 展开式所有项系数和题型5 展开式二项式系数和题型6 三项展开式问题题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题题型8 由项的系数或系数和确定参数题型9 奇次项与偶次项的系数和题型10 等式两边求导后求和题型11 展开式系数最大的项题型12 等式两边不一致时需要换元或配凑题型13 赋值求系数和题型14 整除和余数问题题型15 二项式定理与杨辉三角题型16 二项式定理与数列1、定义一般地，对于任意正整数n ，都有：()011*()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N −−+=+++++∈这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式．式中的r n r r n C a b −做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b −+=，其中的系数(0,1,2,,)rnC r n =⋯叫做二项式系数 2、二项式()n a b +的展开式的特点：（1）项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；（2）二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；（3）次数：a ，b 次数和均为n（4）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即r n rn nC C −= （5）增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nn C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数1122,n n nnCC−+相等，且最大3、二项展开式的通项：1(0,1,2,,)r n r rr n T C a b r n −+==公式特点：（1）它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是r n C ；（2）字母b 的次数和组合数的上标相同；4、二顶式系数和与所有项系数和，以及奇数项项与偶数项例：对于()n x a +（1）二项式系数之和为2n ，即012342n n nn n n n n C C C C C C ++++++=；（2）所有展开式系数和为(1)n b +，展开式为：()011*()n n n r n r rn nn n n n x b C x C x b C x b C b n N −−+=+++++∈，可以表示为：()1*01()n n n x b a a x a x n N +=+++∈，令1x =即可得出所有项系数和（3）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即02413512n n n n n n n C C C C C C −+++=+++=．知识点诠释：（1）二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第1r +项r n r r n C a b −的二项式系数是组合数r n C ，展开式的系数是单项式r n r r n C a b −的系数，二者不一定相等．（2）()n a b c ++展开式中p q r a b c 的系数求法(,,0p q r ≥的整数且)p q r n ++=()[()]()n n r n r r r q n r q q r n n n r a b c a b c C a b c C C a b c −−−−++=++=+=（3）求解二项展开式中系数的最值策略①求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二项式系数的性质求解．②求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1即得结果．题型1 求展开式中的指定项1．式子12(1)x −二项式定理展开中的第6项为．2．二项式5312x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的第3项为（）A ．160B ．80x −C ．380x D ．740x −3．533x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，有理项是第项．4．6232x x −⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中有理项的个数为 .题型2 求指定项的系数5．二项式5(2)x y −的展开式中，含2y 项的系数为 .6．在7(3)x −的展开式中，3x 的系数为（） A ．21− B ．21C ．189D ．189−7．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．－150 B.150 C.－240 D.240重点题型·归类精练8．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．题型3 二项式系数最大的项9．已知二项式()21nx −的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n = . 10．()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（） A ．8B ．7C ．6D ．511．1nx x ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .12．在()1nx +的展开式中，若第7项系数最大，则n 的值可能等于 .题型4 展开式所有项系数和13．若32nx x 的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为（）A ．112B ．124C ．116D ．13214．在54(1)(12)x x ++−的展开式中，所有项的系数和等于，含3x 的项的系数是．15．若8231x a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中所有项的系数和为 256 ，其中a 为常数，则该展开式中4x −项的系数为16．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为（用数字作答）题型5 展开式二项式系数和17．（多选）已知3241nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中的第三项的系数为45，则（）A ．9n =B ．展开式中所有系数和为1024C ．二项式系数最大的项为中间项D ．含3x 的项是第7项18．在32nx x ⎛ ⎝的二项展开式中，各项的二项式系数之和为128，则展开式中7x 的系数为（用数字填写答案）；19．若31nx x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中41x 的系数为 .20．（多选）在()521x −的展开式中，则（） A ．二项式系数最大的项为第3项和第4项 B ．所有项的系数和为0 C ．常数项为1−D ．所有项的二项式系数和为6421．若2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的第一项为532x ，最后一项为51x −，则下列结论正确的是（）A ．5n =B ．展开式的第四项的二项式系数等于40−C ．展开式中不含常数项D ．展开式中所有项的系数之和等于3222．若()*31N nx n x ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（） A ．6B ．8C ．28D ．5623．在322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，各二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，若1056n n a b +=，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．7题型6 三项展开式问题24．若0m ≠，且()622312112312x x m a a x a x a x a x −+=++++⋅⋅⋅+，则m 的值为 .25．6(21)x y −+展开式中含2x y 项的系数为． 26．()()6211x xx ++−的展开式中2x 的系数为（） A ．9B ．10C ．24D ．2527．3212x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭中常数项是．（写出数字）28．()52x y z −+的展开式中，3x yz 的系数为．29．已知()22121nx x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为27，则4x 项的系数为（）A ．3B ．6C ．9D ．1530．若()522100121022x x a a x a x a x −+=++++，则5a = ．2x 2x − 2题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题31．()()4212x x −+的展开式中2x 的系数为（用数字作答）．32．81()y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．33．712(1)x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（）A ．7−B ．7C ．77D ．77−34．6211(2)2x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．270B ．240C ．210D ．18035．6(2)(2)x y x y −+的展开式中25x y 的系数是．（用数字填写答案）36．()3532()x x a −+的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中4x 的系数为（）A ．130−B ．46C ．61D ．19037．将多项式26576510a x a x a x a x a +++++分解因式得25(2)(1)x x −+，则5a =（）A ．16B ．14C ．6−D ．10−题型8 由项的系数或系数和确定参数 38．设()2340123412nn n x a a x a x a x a x a x −=++++++，若0417a a +=.则n = .39．()5223x x a −+的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含7x 项的系数是（） A ．600−B ．840−C ．1080−D ．2040−40．已知()12nx +的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则3123nx x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中1x 的系数为（） A ．294−B ．826−C ．840−D ．854−41．若()421ax x −+的展开式中5x 的系数为56−，则实数=a ．42．42x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭−的展开式中的常数项与321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项相等，则a 的值为（）A ．3−B ．2−C ．2D ．343．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为（用数字作答）44．5122a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为3，则该展开式中常数项为（）A ．40B ．160C ．0D ．32045．（多选）在()()5312x x a −−的展开式中，各项系数的和为1，则（）A ．3a =B ．展开式中的常数项为32−C ．展开式中4x 的系数为160D ．展开式中无理项的系数之和为242−46．已知()2nx y −的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的52x y 项的系数为（） A ．―4 B ．84C ．―280D ．56047．（多选）已知()31nx n x *⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项，则n 的可能取值为（）A ．4B ．6C ．8D ．10题型9 奇次项与偶次项的系数和48．若()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x −=++++++，则246a a a ++=（） A ．64B ．33C ．32D ．3149．若()()522701273321x x x a a x a x a x −−−=++++，则0246a a a a +++= ．50．()()41a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则=a （） A ．2− B ．2C ．3−D ．3 51．若()()()()20232202301220231111x m a a x a x a x ++=+++++++，且()()2220230220221320233a a a a a a +++−+++=，则实数m 的值为 .题型10 等式两边求导后求和52．（多选）若()()()()102100121021111x a a x a x a x −=+−+−++−，x ∈R ，则（）A ．01a =B ．1012103a a a +++=C ．2180a =D ．9123102310103a a a a ++++=⨯53．（多选）已知多项式220121(12)(13),19m nn x x a a x a x a x a −−=+++⋅⋅⋅+=−，则（）A ．12m n +=B ．12324n a a a a +++⋅⋅⋅+=C ．24a =−D ．12323368n a a a na +++⋅⋅⋅+=−题型11 展开式系数最大的项54．在822x x ⎫⎪⎭的展开式中，①求二项式系数最大的项； ②系数的绝对值最大的项是第几项；55．212n x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则212nx x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项的系数为 .题型12 等式两边不一致时需要换元或配凑56．已知()()()()21001210101111a a a x x x a x =+−+−+⋅⋅⋅+−+，则8a =________． 57．已知多项式()()()()10210012101111x a a x a x a x −=+++++++，则7a =（）A ．－960B ．960C ．－480D ．48058．(多选)已知923901239(25)(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x −=+−+−+−++− ，则下列结论成立的是A ．0191a a a +++=B ．876012382226256a a a a a +++++=C ．9012393a a a a a −+−+−= D ．123923918a a a a ++++=题型13 赋值求系数和59．若()42340123421x a a x a x a x a x −=++++，1234a a a a +++=________.60．若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x −=+−+−+−+−+−，则下列结论中正确的是（）A ．01a =B ．480a =C ．50123453a a a a a a +++++= D ．()()10024135134a a a a a a −++++=61．（多选）若202123202101232021(12)(R)x a a x a x a x a x x −=+++++∈，则（）A ．01220211a a a a ++++=−B ．20211352021312a a a a +++++=C ．20210242020132a a a a −++++= D ．123202123202112222a a a a ++++=− 62．已知5250125())(1)(1)(1)(x m a a x a x a x m R +=+−+−++−∈，若225024135()()3a a a a a a ++−++=则m ＝_________或_________.63．已知2323122202222312a a a a a x x x x x⎛⎫−=+++++ ⎪⎝⎭，则0121222221222a a a a ++++= A ．－1B ．0C ．1D ．2广东省二模T7改 64．已知2023220230122023(1)x a a x a x a x −=++++，（1）展开式中的二项式系数为________，（2）122023a a a =+++________，（3）2023202220210122023222a a a a =++++________，（赋值）（4）122023111a a a +++=________.（对称性）题型14 整除和余数问题 65．20233被8除的余数为（）A ．1B ．3C ．5D ．766．二项式()20235x +展开式的各项系数之和被7除所得余数为．67．108除以49所得的余数是 . 68．20242023被4除的余数为 .69．若2022n =，则1122155C 5C 5C n n n n n n n −−−++++除以7的余数是 .70．()2023678−除以17所得的余数为 .71．（多选）若()54325101051f x x x x x x =−+−+−，则（）A ．()f x 可以被()31x −整除B ．()1f x y ++可以被()4x y +整除C ．()30f 被27除的余数为6D ．()29f 的个位数为6题型15 二项式定理与杨辉三角72．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为（用最简分数表示）.73．如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则此数列的前30项的和为（）A ．680B ．679C ．816D ．81574．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（）A ．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数B ．第2023行中第1012个数和第1013个数相等C ．记“杨辉三角”第n 行的第i 个数为i a ，则()11123n i ni i a +−==∑D ．第34行中第15个数与第16个数之比为2:3题型16 二项式定理与数列75．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*21N n n S a n =−∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)解关于n 的不等式：012312341C C C C C 2023nn n n n n n a a a a a +++++⋅⋅⋅+<.76．已知数列{}n a 的通项公式为121n n a −=+．求0121231C C C C nn n n n n a a a a +++++的值．77．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=−，514a =，426S =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知011221C 3C 3C 3C 3C n n n n n n n n n n n b −−−=⋅+⋅+⋅++⋅+，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .78．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足()231n n S b =−，等差数列{}n c 中1123,5,27c c c c =++=. (1)求{}n b 和{}n c 的通项公式；(2)数列{}n b 与{}n c 的共同项由小到大排列组成新数列{}n a ，求数列}{n a 的前20的积20T . 79．已知数列{}n a 前n 项和232n n n S +=，{}n b 的前n 项之积()(1)*22N n n n T n +=∈. (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式.(2)把数列{}n a 和{}n b 的公共项由小到大排成的数列为{}n c ，求1220c c c ++⋅⋅⋅+的值. 80．（多选）已知当0x >时，111ln 11x x x ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，则（） A ．188e 7>B ．1111ln8237++++> C ．111ln8238+++< D ．018888018C C C e 888+++<81．已知()20032001C 62nnnn a −⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭（1n =，2，⋯，95），则数列{}n a 中整数项的个数为（） A ．13 B ．14C ．15D ．16专题8-2 二项式定理16类常考问题汇总题型1 求展开式中的指定项题型2 求指定项的系数题型3 二项式系数最大的项题型4 展开式所有项系数和题型5 展开式二项式系数和题型6 三项展开式问题题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题题型8 由项的系数或系数和确定参数题型9 奇次项与偶次项的系数和题型10 等式两边求导后求和题型11 展开式系数最大的项题型12 等式两边不一致时需要换元或配凑题型13 赋值求系数和题型14 整除和余数问题题型15 二项式定理与杨辉三角题型16 二项式定理与数列1、定义一般地，对于任意正整数n ，都有：()011*()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N −−+=+++++∈这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式．式中的r n r r n C a b −做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b −+=，其中的系数(0,1,2,,)rnC r n =⋯叫做二项式系数 2、二项式()n a b +的展开式的特点：（1）项数：共有1n +项，比二项式的次数大1；（2）二项式系数：第1r +项的二项式系数为r n C ，最大二项式系数项居中；（3）次数：a ，b 次数和均为n（4）对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即r n rn nC C −= （5）增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nn C 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数1122,n n nnCC−+相等，且最大3、二项展开式的通项：1(0,1,2,,)r n r rr n T C a br n −+==公式特点：（1）它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是r n C ；（2）字母b 的次数和组合数的上标相同；4、二顶式系数和与所有项系数和，以及奇数项项与偶数项例：对于()n x a +（1）二项式系数之和为2n ，即012342n n nn n n n n C C C C C C ++++++=；（2）所有展开式系数和为(1)n b +，展开式为：()011*()n n n r n r rn nn n n n x b C x C x b C x b C b n N −−+=+++++∈，可以表示为：()1*01()n n n x b a a x a x n N +=+++∈，令1x =即可得出所有项系数和（3）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即02413512n n n n n n n C C C C C C −+++=+++=．知识点诠释：（1）二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第1r +项r n r r n C a b −的二项式系数是组合数r n C ，展开式的系数是单项式r n r r n C a b −的系数，二者不一定相等．（2）()n a b c ++展开式中p q r a b c 的系数求法(,,0p q r ≥的整数且)p q r n ++=()[()]()n n r n r r r qn r q q r n n n r a b c a b c C a b c C C a b c −−−−++=++=+=（3）求解二项展开式中系数的最值策略①求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二项式系数的性质求解．②求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1即得结果．题型1 求展开式中的指定项1．式子12(1)x −二项式定理展开中的第6项为．【答案】7792x −【解析】由()121x −，所以二项展开式的通项公式()121211C rr rr T x −+=⋅−⋅，012r ≤≤，r ∈Z ，令=5r ，可得展开式的第六项为()5775121792C x x ⋅−⋅=−. 2．二项式5312x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的第3项为（）A ．160B ．80x −C ．380x D ．740x −【解析】【答案】C 【分析】根据二项式展开式公式即可求解. 【详解】因为()51531C 2kkkk T x x −+⎛⎫=⋅− ⎪⎝⎭，所以()2323533180C 2T x x x ⎛⎫=⋅−=⎪⎝⎭，故C 项正确. 3．533x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，有理项是第项．【解析】【答案】3 【分析】求出二项式展开式的通项公式，根据有理项的含义，确定参数的值，即可得答案.【详解】533x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项511051362155C 3C 3kkkk k k k T x x x−−−+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅，其中0,1,2,3,4,5k =，当1k T +为有理项时，1056k−为整数，结合0,1,2,3,4,5k =，所以2k =，即有理项是展开式中的第3项4．6232x x −⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中有理项的个数为 .重点题型·归类精练【答案】3【解析】展开式的通项为()2566633166C (2)(1)2C 0,1,2,,6rrr r r r rr T x x x r −−−−+⎛⎫=−=−= ⎪⎝⎭，要为有理项，则563r −为整数，故r 可取03,6,，共有3项有理项.题型2 求指定项的系数5．二项式5(2)x y −的展开式中，含2y 项的系数为 . 【答案】40【解析】二项展开式的通项为515C (2)r rr r T x y −+=−，令2r =，则2323235C (2)40T x y x y =−=.故答案为：40.6．在7(3)x −的展开式中，3x 的系数为（） A ．21− B ．21 C ．189 D ．189−【解析】【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式可得解.【详解】由二项展开式的通项公式得11772277C 3()C 3(1)r r r r r r r x x −−−=−，令132r =得6r =，所以3x 的系数为667C 3(1)21−=.7．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中的常数项为( )A ．－150B.150C.－240D.240【答案】D【解析】 (1)⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 6x 6－k ·(－2)k ·x －k2＝(－2)k C k 6x 6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，故所求的常数项为T 5＝(－2)4·C 46＝240.8．在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【答案】162 5【解析】该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 【答案】162 5题型3 二项式系数最大的项9．已知二项式()21nx −的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n = . 【答案】6【解析】因为二项式()21nx −的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项，所以n 为偶数且32n=，可得6n =. 10．()32+nx 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n 的值为（） A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】【答案】C【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n 为偶数，故142n+=，得6n =.故选：C11．1nx x ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .【答案】12120x【解析】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即162n+=，所以10n =，所以317324101C 120T x x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.12．在()1nx +的展开式中，若第7项系数最大，则n 的值可能等于 . 【答案】11、12、13【解析】在()1nx +的展开式中，每项的系数等于其二项式系数， ①当只有第7项系数最大时，即只有6C n 最大时，则n ＝12；②当第6项和第7项的系数相等且最大时，即56n n C C =最大时，则n ＝11；③当第7项和第8项的系数相等且最大时，即67C C n n =最大时则n ＝13，综合①②③可得n 的值可能等于11、12、13，故答案为：11、12、13.题型4 展开式所有项系数和13．若32nx x 的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为（）A ．112B ．124C ．116D ．132【答案】D【解析】32nx x 的第4项为：())3353133223111C C 22n n n nT x x x −−−+⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因其为常数项，则5n =.令1x =，可得展开式的各项系数的和为5111232⎛⎫−=⎪⎝⎭. 14．在54(1)(12)x x ++−的展开式中，所有项的系数和等于，含3x 的项的系数是．【分析】用赋值法，令1x =求所有项的系数和；分析含3x 的项的构成，直接求得.【详解】解：423450123455(1)(12)a a x a x a x a x a x x x =+++++++−所以令1x =代入得：401235554(11)(12)2133a a a a a a =++++−+++=+=；而333333354(2)22a C x C x x x =+−=−故答案为：33；22−.15．若8231x a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中所有项的系数和为 256 ，其中a 为常数，则该展开式中4x −项的系数为【分析】由1x =结合所有项的系数和得出1a =，再由二项展开式的通项求解即可.【详解】因为 8231x a x ⎫⎪⎭展开式中所有项的系数和为 256 ，所以)81256a =，解得1a =，由题意得 82311x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x −项的系数与8311x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的6x −项的系数相同.8311x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项()318C 0,1,2,,8r r r T x r −+==，令36r −=−，得2r =，所以展开式中 4x −项的系数为28C 28=. 16．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为（用数字作答）【分析】令1x =，则()()3112a +−即为展开式中所有项的系数和，可计算出a 的值，结合二项展开式的通项公式计算即可得.【详解】令1x =，则()()31120a +−=，即1a =−，则对31x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，有()()33321331C C 1kk k k kk k T x x x −−−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，令321k −=，即1k =，有()21123C 13T x x =−=，即有223T x x ⨯=，令322k −=，则12k =，舍去；故展开式中2x 的系数为3.题型5 展开式二项式系数和17．（多选）已知3241nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中的第三项的系数为45，则（） A ．9n =B ．展开式中所有系数和为1024C ．二项式系数最大的项为中间项D ．含3x 的项是第7项【解析】【答案】BCD 【分析】由二项式定理相关知识逐项判断即可.【详解】3241n x x 展开式的第三项为：2422232232223412431C C C n n n n nnT x xx xx −−−==⋅=，所以第三项的系数为：2C 45n =，所以10n =，故A 错误；所以103241x x ，所以令1x =得展开式中所有系数和为1021024=，故B 正确；展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C 正确；通项公式为(102101130323412411010101C CC rr r r rr rr r T x xxxx −−−+==⋅=，令1130312r −=，解得6r =，所以含3x 的项是第7项.故D 正确；故选：BCD.18．在32nx x ⎛ ⎝的二项展开式中，各项的二项式系数之和为128，则展开式中7x 的系数为（用数字填写答案）；【答案】280【解析】依题意可得2128n =，则7n =，所以732x x ⎛ ⎝展开式的通项为()()()7217732177C 2C 21rr r r r r r r T x xx −−−+⎛==− ⎝（07r ≤≤且N r ∈），令72172r −=，解得4r =，所以()4437757C 21280T x x =⨯⨯−=，所以展开式中7x 的系数为280.19．若31nx x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中41x 的系数为 .【答案】56 【分析】通过二项式系数和求出4n =，然后求出831x x ⎫⎪⎭展开式的通项公式，最后求出指定项的系数即可.【详解】由31nx x ⎫⎪⎭的展开式的二项式系数之和为16，得216n =，所以4n =，则831x x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为848331881C C rr rrrr T x x x −−+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令8443r −=−，解得=5r ，故231nx x ⎫⎪⎭的展开式中41x 的系数为58C 56=. 故答案为：5620．（多选）在()521x −的展开式中，则（） A ．二项式系数最大的项为第3项和第4项 B ．所有项的系数和为0 C ．常数项为1−D ．所有项的二项式系数和为64 【分析】根据二项式系数015555C ,C ,,C 的性质即可判断AD ；根据项的系数之和为(1)f 即可判断B ；根据二项式展开式的通项公式即可判断C.【详解】A ：所有项的二项式系数为015555C ,C ,,C ，最大的为25C 和35C ，对应的是第3项和第4项，故A 正确；B ：设5()(21)f x x =−，所有项的系数为015,,,a a a ，所以5015(1)(211)1a a a f +++==⨯−=，故B 错误；C ：二项式展开式的通项公式为55C (2)(1)(0,1,2,3,4,5)rr r x r −−=，令50r −=，解得=5r ，所以常数项为5055C 2(1)1⋅⋅−=−，故C 正确； D ：所有项的系数之和为0155555C +C C 232++==，所以D 错误.故选：AC21．若2na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的第一项为532x ，最后一项为51x −，则下列结论正确的是（）A ．5n =B ．展开式的第四项的二项式系数等于40−C ．展开式中不含常数项D ．展开式中所有项的系数之和等于32【解析】【答案】AC 【分析】通过()551C 232,C nnnnna x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭计算可判断A ；直接求第四项的二项式系数可判断B ；求出展开式的通项，观察后可判断C ；令1x =，计算可判断D. 【详解】选项A ：依题意有()0551C 232,C nnnnna x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，解得5,1n a ==−，所以A 正确；选项B ：展开式的第四项的二项式系数应为35C 10=，故B 错误；选项C ：512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的通项()()55521551C 21C 2rr r r r r rr T x x x −−−+⎛⎫=⋅−=− ⎪⎝⎭，由于r ∈N ，所以520r −≠，因此展开式中不含常数项，故C 正确；选项D ：令1x =，可得展开式中所有项的系数之和等于512111⎛⎫⨯−= ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AC.22．若()*31N nx n x ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（） A ．6B ．8C ．28D ．56【解析】【答案】C 【分析】根据31nx x ⎫⎪⎭的展开式中所有项的二项式系数之和求出n 的值，从而写出231nx x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式，再令x 的指数为0，即可求解常数项．【详解】由()*31N nx n x ⎫∈⎪⎭的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得216n =，所以4n =，则二项式831x x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为(848331881C C rr rrrr T x x x −−+⎛⎫== ⎪⎝⎭（08r ≤≤且N r ∈），令8403r−=，解得2r =，所以238C 28T ==，故831x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为2823．在322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，各二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，若1056n n a b +=，则n =（） A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】【答案】B 【分析】依题意可得2n n a =，令1x =得到4n n b ，从而求出n .【详解】由32nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令1x =可得各项系数之和为4n n b ，又各二项式系数之和为2n n a =，因为1056n n a b +=，则421056n n +=，解得232n =或233n =−（舍去），所以5n =.题型6 三项展开式问题24．若0m ≠，且()622312112312x x m a a x a x a x a x −+=++++⋅⋅⋅+，则m 的值为 .【答案】6−【解析】由题意得()62x x m −+的展开式中的常数项与一次项系数相等，则()6156C 1m m =−，解得6m =−或0（舍去）.25．6(21)x y −+展开式中含2x y 项的系数为．【解析】6(21)x y −+展开式中，含2x y 的项是：()221264C C 2120x y x y −=−.故答案为：120−26．()()6211x x x ++−的展开式中2x 的系数为（）A ．9B ．10C ．24D ．25【答案】B 解析：()()()()()66662211111x xx x x x x x ++−=−+−+−，所以2x 的系数为()()22106661110C C C −+−+=；故选B27．3212x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭中常数项是．（写出数字）【答案】11【解析】3212x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中当2x ，1x −，2对应的次数分别为0，0，3和1，2，0时即为常数，所以常数项为212331C 23811x x ⎛⎫−+=+= ⎪⎝⎭．28．()52x y z −+的展开式中，3x yz 的系数为．【答案】40−【解析】()52x y z −+的展开式通项为()515C 2rr rr A x y z −+=−+， ()2ry z −+的展开式通项为()()1C 2C 2r kr kkk k r k k k rr B y z y z −−−+=⋅−=⋅−，其中05k r ≤≤≤，k 、N r ∈，所以，()52x y z −+的展开式通项为()51,15C C 2r kr kr r k k r k r T x y z −−−++=−，由题意可得5311r r k k −=⎧⎪−=⎨⎪=⎩，解得21r k =⎧⎨=⎩，因此，()52x y z −+的展开式中3x yz 的系数为()2152C C 240⨯−=−.29．已知()22121nx x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为27，则4x 项的系数为（）A ．3B ．6C ．9D ．15【分析】先由展开式中各项系数和为27，求出3n =，直接求出展开式，得到4x 项的系数.【详解】由题意可得：令x =1可得()12111271n ⎛⎫−++= ⎪⎝⎭，解得：3n =.所以原式为()()()333222221121211x x x x x x x x x x ⎛⎫−++=⨯++−++ ⎪⎝⎭.要求4x 项，只需求出()321x x ++展开式中2x 和5x 项.()()()()()()()()()312332120212223233331C 1C 1C 1C 1x x x x x x x x x x ++=+++++++()()()3224613131x x x x x x =++++++ 65432367631x x x x x x =++++++所以()322121x x x x ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项为45411239x x x x −⨯=.30．若()522100121022x x a a x a x a x −+=++++，则5a = ．【解析】【答案】592− 【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解.【详解】()5222x x −+表示5个因数()222x x −+的乘积.而5a 为展开式中5x 的系数，设这5个因数()222x x −+中分别取2x 、2x −、2这三项分别取,,i j k 个，所以5i j k ++=，若要得到含5x 的项，则由计数原理知,,i j k的取值情况如下表：2x 2x − 2i 个j 个k 个 0 5 0 1 3 1 212由上表可知)()()()()531132143315554532222232320240592C C C C C a −−=−+⋅−⋅+⋅−⋅=−+−+−=−.故答案为：592−.题型7 两个二项式乘积展开式的系数问题31．()()4212x x −+的展开式中2x 的系数为（用数字作答）．【答案】8−【解析】由题意得：()42x +展开式的通项为：414C 2rrr r T x−+=，当42r −=时，即：2r =，得：222234C 224T x x ==，当40r −=时；即：4r =，得：40454C 216T x ==，所以得：()()4212x x −+展开式中含2x 项为：22216248x x x −=−，所以2x 的系数为：8−.32．81()y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【答案】-28【分析】()81y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭可化为()()88y x y x y x +−+，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为()()()8881=y y x y x y x y x x ⎛⎫−++−+ ⎪⎝⎭，所以()81y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x −=−，()81y x y x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为-28故答案为：-2833．712(1)x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（）A ．7−B ．7C ．77D ．77−【答案】B【解析】()71x −的展开式通项为()()177C 1C rrr rr r T x x +=⋅−=−⋅，故()7121x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为()()23237721C 1C 7⨯−+−= 34．6211(2)2x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．270B ．240C ．210D ．180【解析】【答案】A 【分析】由题意可得所求的展开式中2x 的系数为6(2)x −展开式二次项系数与四次项系数的一半的和.【详解】6(2)x −展开式的通项公式为()61612C rr r rr T x −+=−，则原展开式中2x 的系数为()()24422466112C 12C 2702−⨯+⨯−⨯=.35．6(2)(2)x y x y −+的展开式中25x y 的系数是．（用数字填写答案）【答案】108−【解析】666(2)(2)(2)22()x y x y x x y y y x −++=−+，所以展开式中含25x y 的项有556C 2x xy 和()24462C 2y x y −，所以25x y 的系数为542662C 2C 212120108−⨯=−=−，故答案为：108−36．()3532()x x a −+的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中4x 的系数为（）A ．130−B ．46C ．61D ．190【答案】A【解析】令1x =，则5(1)243a +=，解得2a =.所以()3532(2)x x −+展开式中4x 的系数是：414553C 2(2)C 2130⨯⨯+−⨯⨯=−. 37．将多项式26576510a x a x a x a x a +++++分解因式得25(2)(1)x x −+，则5a =（）A ．16B ．14C ．6−D ．10−【解析】【答案】C 【分析】将()51x +展开，观察345,x x x , 的系数，对应()22x −的展开相乘，相加得到答案.【详解】解析：由题意，()()()()255221441x x x x x −+=−++，52232551a x x C x =⋅⋅14541x C x −⋅⋅055546C x x +⨯=−，所以56a =−，故选：C.题型8 由项的系数或系数和确定参数 38．设()2340123412nn n x a a x a x a x a x a x −=++++++，若0417a a +=.则n = .【答案】4【解析】()12nx −展开式的通项公式为：()C 2rr n x −，分别令0,4r r ==，01a ∴=，4416C n a =，则0417a a +=，即4116C 17n +=，解得：4n =.故答案为：4.39．()5223x x a −+的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含7x 项的系数是（） A ．600− B ．840− C ．1080− D ．2040−【答案】D【分析】利用赋值法令1x =由各项系数之和为1可求得2a =，由通项可得展开式中含7x 项的系数是2040−. 【详解】因为()5223x x a −+的展开式的各项系数之和为1，令1x =，得5(1)1a −+=，解得2a =，所以()52232x x −+的展开式中含7x 项为()()()()32332122375253C 2C 32C 2C 32040x x x x x −⨯+−=−，所以该展开式中含7x 项的系数是2040−.40．已知()12nx +的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则3123nx x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中1x 的系数为（） A ．294− B ．826− C ．840− D ．854−【答案】D【分析】第一步：根据已知求得n ，第二步：分类求展开式中1x的系数，第三步：求和即可得解. 【详解】由题知，121C C 29n n ++=，解得7n =或8n =−（舍去）．则72x x ⎫⎪⎭的展开式的通项()73721772C 2C rr r r rr r T x x x −−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，当313x +中取3时，72x x ⎫⎪⎭的展开式中取含1x 的项，令7312−=−r ，解得3r =，()37332C 840⨯−=−；当313x +中取31x 时，72x x ⎫⎪⎭的展开式中取含2x 的项，令7322r −=，解得1r =，()172C 14−=−．所以3123nx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x 的系数为84014854−−=−. 故选：D ．41．若()421ax x −+的展开式中5x 的系数为56−，则实数=a ．【答案】2【解析】()()442211ax x x ax ⎡⎤−+=+−⎣⎦,所以()421x ax ⎡⎤+−⎣⎦的展开式的通项为:()()()()2221444C C C C C rr tttrr t r t r tr r r T x ax x ax a x−−+=−=−=−，其中0,1,2,3,4;0,1,r t r ==，令25r t −=，所以1,3t r =⎧⎨=⎩或34t r =⎧⎨=⎩，当13t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()3143C C 12a a ⋅⋅−=−，当34t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()343344C C 4a a ⋅⋅−=−，因为5x 的系数为56−，所以312456a a −−=−，即33140a a +−=，即()()22270a a a −++=，所以2a =.42．42x x ⎛⎫⎪⎝⎭−的展开式中的常数项与321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项相等，则a 的值为（）A ．3−B ．2−C ．2D ．3【解析】【答案】D【分析】计算出两个二项式的常数项，从而得到关于a 的方程，解出即可. 【详解】42x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭−的展开式中的常数项为22424C ()24x x −=，321x a x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项032233321C C 3a x a x ⎛⎫+−=− ⎪⎝⎭, 所以3324a −=,即3a =43．已知31(2)ax x x ⎛⎫+− ⎪⎝⎭（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中2x 的系数为（用数字作答）【答案】3− 【分析】令1x =，则()()3112a +−即为展开式中所有项的系数和，可计算出a 的值，结合二项展开式的通项公式计算即可得.【详解】令1x =，则()()31120a +−=，即1a =−，则对31x x ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，有()()33321331C C 1kk k k kk k T x xx −−−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，令321k −=，即1k =，有()21123C 13T x x =−=−，即有223T x x ⨯=−，令322k −=，则12k =，舍去；故展开式中2x 的系数为3−.44．5122a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为3，则该展开式中常数项为（）A ．40B ．160C ．0D ．320【解析】【答案】C 【分析】取1x =代入计算得到1a =，确定512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的通项，分别取3r =和2r =计算得到答案.【详解】5122a x x x x ⎛⎫⎛⎫+− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为3，令1x =，可知23a +=，1a =，故5551111221222x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−=−+− ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的通项为()()55521551C 2C 21rr r r r rr r T x xx −−−+⎛⎫=⋅⋅−=⋅⋅− ⎪⎝⎭，分别取3r =和2r =得到常数项为：()()32353252552C 21C 210−−⨯⋅⋅−+⋅⋅−= 45．（多选）在()()5312x x a −−的展开式中，各项系数的和为1，则（）A ．3a =B ．展开式中的常数项为32−C ．展开式中4x 的系数为160D ．展开式中无理项的系数之和为242−【解析】【答案】BC【分析】先根据各项系数和结赋值法得2a =判断A ，然后结合二项式展开式的通项公式求解常数项、含4x 的系数及无理项系数之和判断BCD. 【详解】根据题意令1x =，得())5312x x a −的展开式中各项系数和为()511a −−=，则2a =，A 错误；则())()()553312122x x ax x −=−⋅，又)52x 的展开式的通项为()52152C k k k k T x −+=−，0,1,,5k =，所以展开式中的常数项为()55512C 32⨯−=−，B 正确；含4x 的项为()3334522C 160x x x −=⋅−，其系数为160，C 正确；展开式中无理项的系数之和为()()()()()024*********C 2C 2C 14080121⎡⎤−−+−+−=−++=−⎣⎦，D 错误. 故选：BC.46．已知()2nx y −的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的52x y 项的系数为（）。

1021二项式定理(题型战法)-2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)(原卷版)

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列10.2.1二项式定理（题型战法）知识梳理一二项式定理的基本概念011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅（1）二项式展开式有1n +项（2）二项式系数：k n C （3）项的系数：包括符号和前面的常数（4）通项：1r n r r r n T C a b -+=二二项式定理的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等。

即m n m n n C C -= （2）当12n k +<时，二项式系数逐渐增大；当12n k +>时，二项式系数逐渐减小。

（3）二项式系数的最大值当n 是偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大，最大值2nn C ；当n 是奇数时，中间两项（第112n -+项和第112n ++项）的二项式系数相等，且同时取到最大值，最大值为12n nC-或12n nC+。

（4）各二项式系数的和()n a b +的展开式的各二项式系数的和等于2n ，即0122k nn n n n n n C C C C C +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=；二项展开式中奇数项和偶数项的二项系数的和相等，为12n -。

（5）各项系数的问题2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅，则各项系数之和为(1)f 。

奇数项系数之和024(1)(1)2f f a a a +-+++⋅⋅⋅=；偶数项系数之和135(1)(1)2f f a a a --+++⋅⋅⋅=。

题型战法题型战法一求指定项的二项式系数与系数典例1．在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A ．20B ．20-C ．15D ．15-变式11．51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的二项式系数为（）A ．10-B ．10C ．5-D ．5变式12．522()x x+的展开式中1x -的系数为（） A ．10 B ．20 C ．40 D ．80变式13．62x ⎫⎪⎭展开式的常数项为（）A ．120B ．60C ．30D ．15变式14．8x ⎛⎝的展开式中所有有理项的系数和为（）A ．85B ．29C ．27-D ．84-题型战法二已知二项式系数与系数求参数典例2．已知()12nx +的展开式中2x 的系数为60，则正整数n ＝（） A ．4 B ．5C ．6D ．7变式21．若6mx⎛ ⎝展开式中6x 项的系数是8，则实数m 的值是（）A ．2 BC ．2±D ．变式22．若二项式52ax⎛ ⎝的展开式中5x 的系数是80，则实数=a ( )A ．80B ．80C ．2D ．2变式23．621ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()a ∈R 的展开式的常数项为154，则展开式中含3x 项的系数为（）A ．52- B ．52C ．52-或52D ．158-或158变式24．若二项式()*nx n⎛∈ ⎝N 的展开式中第5项与第6项的系数相同，则n =（）A ．9B ．10C ．11D ．12题型战法三二项式系数与系数的增减性与最值典例3．在()1nx +（*n ∈N ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n 值不可能是（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10变式31．()71+展开式中二项式系数最大的项是（） A．3 B ．4140xC．3和4140x D ．5和4140x变式32．若2nx ⎫⎪⎭展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（）A ．160B ．60C ．160-D ．60-变式33．5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数等于其二项式系数的最大值，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．2-变式34．二项式1121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项题型战法四二项式系数之和、各项系数之和典例4．已知1nx ⎫⎪⎭展开式各项的二项式系数之和为512，则展开式中的常数项是（） A ．84 B ．－84C ．126D ．－126变式41．在23nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（）A ．16B ．32C ．1D ．32-变式42．若7767610(31)x a x a x a x a -=+++，则761a a a ++的值是（）A ．1-B ．127C ．128D ．129变式43．若()()()()828012823111x a a x a x a x +=+++++++，则02468a a a a a ++++=（）A ．6562B ．3281C ．3280D ．6560变式44．对任意实数x ，有()()()()()923901239231111x a a x a x a x a x -=+-+-+-++-，则（）A ．01a =B ．2144a =-C ．1291a a a +++=D ．099123a a a a -+-=-题型战法五三项展开式的系数问题典例5．在()522x x +-的展开式中，含4x 的项的系数为（）A ．120B ．40C ．30D ．200变式51．()521x x -+的展开式中，5x 的系数为（） A ．51 B ．50 C ．－51 D ．－50变式52．6221x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A ．61-B ．59-C ．57-D ．55-变式53．在()5223x x --的展开式中含10x 和含2x 的项的系数之和为（）A ．674-B ．675-C ．1080-D ．1485变式54．在611x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的二项展开式中含4x 项的系数为（）A ．20B ．21C ．18D ．16题型战法六两个二项式乘积展开式的系数问题典例6．()()5212x x x ++-的展开式中3x 的系数为（）A ．40B ．80C ．40-D ．80-变式61．6211(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（） A ．15 B ．20 C ．30 D ．0变式62．24)((12)x x ++的展开式中4x 项的系数为A ．30B ．35C ．20D ．25变式63．()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则=a （） A ．2 B ．4 C ．2- D ．-变式64．()621121x xx ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（） A ．11 B ．19 C ．23 D ．11-题型战法七整除与余数问题、近似值问题典例7．2424被5除的余数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4变式71．已知0m >，且202215m +恰能被14整除，则m 的取值可以是（） A ．1 B ．12 C ．7 D ．27变式72．设0122191919191919C C 7C 7C 7a =+⋅+⋅++⋅，则a 除以9所得的余数为（）A ．1B ．2C ．-1D ．8变式73．61.02的近似值（精确到0.01）为（） A ．1.12 B ．1.13 C ．l.14 D ．1.20变式74．估算12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++的结果，精确到0.01的近似值为（）A ．30.84B ．31.84C ．30.40D ．32.16题型战法八杨辉三角典例8．下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第10行第7个数是（）A ．120B ．210C ．84D ．36变式81．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a 所表示的数是（）A ．2B ．4C ．6D ．8变式82．杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是()()n a b n *+∈N ，当1,2,3,4,5,6n =时展开式的二项式系数表示形式．借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是（）A．5,9B．5,10C．6,9D．6,10变式83．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化，“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望，如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行中从左至右第5与第6个数的比值为（）A．56B．65C．23D．1变式84．如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第m行中从左至右第14个数与第15个数的比为2:3，则m=（）A．40B．50C．34D．32。

高中数学二项式定理知识点+练习

要求层次重难点二项式定理用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题B二项式定理①能用计数原理证明二项式定理．②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C*n n n r n r r n nn n n na b a a b a b b n--+=+++++∈N，．2．通项公式：展开式的第1r+项1C0r n r rr nT a b r n-+=，≤≤．3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12nk+<时，二项式系数C kn是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n是偶数时，中间项最大；n是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C2n nn n n+++=．（二）典例分析【例1】1003(23)+的展开式中共有_______项是有理项．【例2】64(1)(1)x x-+的展开式中x的系数是_______（用数字作答）．【例3】610341(1)(1)xx++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】在25(42)x x++的展开式中，x的系数为_______（用数字作答）．【例5】在25(42)x x++的展开式中，2x的系数为_______（用数字作答）．例题精讲高考要求二项式定理板块一：二项式展开的通项与系数【例6】在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例7】求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例8】 51(2)2x x++的展开式中整理后的常数项为（用数字作答）．【例9】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【例10】若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例11】在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是．（用数字作答）【例12】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例13】若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例14】若31(2)n x x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于．【例15】在2()n x x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（用数字作答）【例16】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例17】已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例18】 291()2x x -展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例19】 1231()x x-展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（）．A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例21】已知2()n i x x-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是（用数字作答）【例22】在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（）【例23】在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是（用数字作答）【例24】已知5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等cos θ= ．【例25】若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例26】设常数0a >，241()ax x+展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例27】已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．【例28】已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例29】求26(1)x x +-展开式中5x 的系数．【例30】1003(23)+的展开式中共有_______项是有理项．【例31】 64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例32】 610341(1)(1)x x++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例33】在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）．【变式】在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．【变式】在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例34】求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例35】 51(2)2x x++的展开式中整理后的常数项为（用数字作答）．【例36】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为（用数字作答）【例38】在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是．（用数字作答）【例39】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例40】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求ab的取值范围．【例41】若31(2)n x x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于．【例42】在2()n x x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（用数字作答）【例43】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例44】已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例45】 291()2x x -展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例46】 1231()x x-展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例47】在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（）．A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例48】已知2()n i x x-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是（用数字作答）【例49】在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（）（A ）15- （B ）85 （C ）120- （D ）274【例50】在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是（用数字作答）【例51】若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例52】设常数0a >，241()ax x+展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例54】已知10()n n ∈N ≤，若nx x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例55】（2009浙江4）在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（）A ．10-B ．10C ．5-D ．5【例56】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例57】34(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是______，2x 的系数为______．【例58】关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例59】若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开中含2x 的项的系数为（） A ．4B ．6C ．10D ．12【例61】求二项式1532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【例62】 1231x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）【例63】若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_________，其展开式中的常数项为___________．（用数字作答）【例64】已知()π0sin cos a x x dx =+⎰，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 展开式中含2x 项的系数是．【例65】设()5nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中3x 的系数为（）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例66】 ()()6411xx -+的展开式中x 的系数是（）A ．4-B ．3-C ．3D ． 4【例67】若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）．【例68】6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【例69】若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_____．【例70】在261(2)x x-的展开式中常数项是______，中间项是________．【例71】在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1a >，那么_______a =．【例72】令n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1{}na 的前2009项和为______．【例73】已知lg lg 2(21)x n x ++展开式中最后三项的系数的和是方程2lg(7272)0y y --=的正数解，它的中间项是42lg 210+，求x 的值．【例74】二项式1532()x x-的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【例75】在()11332x x⋅-⋅的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则1p x dx =⎰A ．1B ．67 C ．76 D ．1113【例76】若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为．【例77】已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k =______．【例78】若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x 项的系数为_______．【例79】在二项式412nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例80】求()()31011x x -+展开式中5x 的系数；【例81】求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【例82】在312nx x ⎛⎫⎪⎝⎭+的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为．（用数字作答）【例83】在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（）A ．10-B ．10C ．5-D ．5【例84】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（用数字作答）【例85】6(2)x +的展开式中3x 的系数是（） A ．20B ．40C ．80D ．160【例86】4()x y y x -的展开式中33x y 的系数为．【例87】已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第二项与第三项的系数比是1:2，则n =________．【例88】若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是．【例89】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例90】在2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【例91】已知a 为实数，10()x a +展开式中7x 的系数是15-，则a =_______．【例92】求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 的项的二项式系数与系数．【例93】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是．【例94】二项式41nx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．【例95】10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于__________．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab a b b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr n T ab r n -+=，≤≤． 3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．板块二：二项式系数与最值（二）典例分析展开式【例1】求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例2】若()5122a b +=+（a ，b 为有理数），则a b +=（） A ．45B ．55C ．70D ．80二项式系数的和【例3】若()10023100012310023xa a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例4】若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例5】若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例6】若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例7】已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【例8】若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例9】若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（）．【例10】设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（）A ．51x +B ．512x --C ．512x +-D ．51x -【例11】若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例12】已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例13】若()10023100012310023xa a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例14】若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例15】若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例16】若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（） A ．0B ．2C ．1-D ．2-最值问题【例17】如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例18】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例19】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求a的取值范围．【例20】如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例21】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例22】二项式(1sin )n x +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0,2π)内的值为___________．【例23】已知1()2n x x+的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例24】已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【例25】在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【例26】 (12)n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【例27】已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ．【例28】求10312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例29】已知3241nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【例30】设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab a b b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr n T ab r n -+=，≤≤． 3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C 2nn n n n +++=．（二）典例分析【例1】计算()50.997的近似值（精确到0.001）．()()550.99710.003=-2150.003100.003=-⨯+⨯-【例2】利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．【例3】若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．【例4】证明：22(13)(13)(*)n n n ++-∈N 能被12n +整除．【例5】证明：2121(13)(13)(*)n n n ++++-∈N 能被12n +整除．板块三：二项式定理的应用【例6】求证：021222()()()C C C C n nn n n n +++=【例7】证明：mm k 0C C 2C n m k mn k n n --==∑【例8】求证：121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅【例9】证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例10】证明：220C (1)2nk n n k k nn -==+∑．【例11】 n ∈N 且3n ≥，求证：()323238.n n n n ->++【例12】求证：()()()21sin 1sin *nnn n θθ++-∈N ≥【例13】求证：()()()()21221*nnnn n n n ++-∈N ≥【例14】已知：1x y x y +=∈R ，，，求证：112n n n x y -+≥，(*)n ∈N【例15】 0*a b a b n ∈+∈R N 、，，≥，求证：()22n n na b a b ++≥11n n n n na ab ab b a b --++⋯+++【例17】设数列{}n a 是等比数列，311232C mm m a +-=Α，公比q 是421()4x x +的展开式的第二项． ⑴用n x ，表示通项n a 与前n 项和n S ；⑵若1212C C C nn n n n n A S S S =+++用n x ，表示n A【例18】已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，，求证：对于任意正整数n ，【例19】 ⑴3023-除以7的余数________；⑵555515+除以8的余数是__________； ⑶20001991除以310的余数是．【例20】求证：()2223n n n n +∈N ，≥≥【例21】对于*n ∈N ，111(1)(1)1n n n n ++<++．【例22】求证：12(1)3*n n n+<∈N ，≤【例23】若()5122a b +=+（a ，b 为有理数），则a b +=（）A ．45B ．55C ．70D ．80【例24】若0()C ni i n i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（）1【例25】请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin22sin cos x x x =．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例26】已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值； ⑵设22343,2n n n n a b T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】已知函数()f x 满足()()ax f x b f x ⋅=+（0ab ≠），(1)2f =，并且使()2f x x =成立的实数x 有且只有一个．⑴求()f x 的解析式；⑵若数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 满足132a =，当2n ≥时，2()n nS n f a -=，求数列{}n a 的通项公式．⑶在⑵的条件下，令112log (1)n n d a +=-（d ∈N ），求证：当3n ≥时，有1210121C C C C 3C 41n n nn n n n n n d d d d n --+++++>-+．【例28】已知,,i m n 是正整数，且1i m n <<≤，⑴证明A A i i i i n m m n >；⑵证明(1)(1)n m m n +>+．【例29】在二项式()1nx +的展开式中，存在着系数之比为57∶的相邻两项，则指数()*n n ∈N 的最小值为．【例30】 100111-的末尾连续零的个数是（）A ．7B ．5C ．3D ．2【例31】设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【例32】设()()21*174n n ++∈N 的整数部分和小数部分分别为nM与n m ，则()n n n m M m +的值为．。

二项式定理公式、各种例题讲解及练习

二项式定理例题讲解分类计数原理分步计数原理做一件事，完成它有n 类不同的办法。

第一类办法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方法……，第n 类办法中有mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mn 种方法。

做一件事，完成它需要分成n 个步骤。

第一步中有m1种方法，第二步中有m2种方法……，第n 步中有mn 种方法，则完成这件事共有：N=m1 m2 … mn … mn 种方法。

注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。

排列组合从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n 个不同的元素中取m个元素的排列。

从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的组合。

排列数组合数从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记为Pnm 从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记为Cnm 选排列数全排列数二项式定理二项展开式的性质(1)项数：n+1项(2)指数：各项中的a 的指数由n 起依次减少1，直至0为止；b 的指出从0起依次增加1，直至n 为止。

而每项中a 与b 的指数之和均等于n 。

(3)二项式系数：各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和例1．试求：试求：（1）(x 3－22x)5的展开式中x 5的系数；的系数；（2）(2x 2－x1)6的展开式中的常数项；的展开式中的常数项；（3）(x －1)9的展开式中系数最大的项；的展开式中系数最大的项；（4）在1003)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数．的展开式中，系数为有理数的项的个数．解：（1）T r ＋1＝rr rr rrxC xx C 51552535)2()2()(---=-依题意15－5r ＝5，解得r ＝2 故(－2)2r C 5＝40为所求x 5的系数的系数（2）T r ＋1＝r C 6(2x 2)6－ rrx)1(-＝(－1)r·26－ r·rrxC 3126-依题意12－3r ＝0，解得r ＝4 故4)1(-·2226C ＝60为所求的常数项．为所求的常数项．（3）T r ＋1＝r )1(-rrxC -99∵1265949==C C ，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1 ∴ T 5＝126x 5是所求系数最大的项是所求系数最大的项（4）T r ＋1＝rr r rrr rxCx C ---××=1003250100310010023)2()3(, 要使x 的系数为有理数，指数50－2r 与3r 都必须是整数，都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ），又0≤6k ≤100，解得0≤k ≤1632（k ∈Z ） ∴x 的系数为有理数的项共有17项．项．评述评述求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．例2．试求：试求：（1）(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；的系数；（2）(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数；的系数；（3）321÷÷øöççèæ-+xx 的展开式中的常数项. 解：（1）∵）∵ (x ＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…＋…∴ (x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179 （2）∵）∵ (x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x x x x x x 65)1()1()]1([1})]1([1){1(-+-=------- ∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数36C -＝-20 （3）∵）∵ 321÷÷øöççèæ-+x x =61÷÷øöççèæ-x x ∴ 所求展开式中的常数项是-36C＝－20 评述评述这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．例3．（1）已知(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n 的值；的值；（2）已知(ax ＋1)7（a ≠0）的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值；的值； (3)已知(2x ＋gx x1)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值．的值．解：（1）依题意137nnC C =，即6)2)(1(--n n n ＝7n由于n ∈N ，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8 (2) 依题意3474372572a C a C a C =+由于a ≠0，整理得5a 2－10a ＋3＝0，解得a ＝1±510（3）依题意T 5＝4lg 448)()2(xx x C ＝1120，整理得x4(1＋lg x )＝1，两边取对数，得，两边取对数，得lg 2x ＋lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－1 ∴x ＝1或x ＝101评述评述 (a ＋b)n的展开式及其通项公式是a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个量的统一体，已知与未知相对的，运用函数与方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数．例4．（1）若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于的值等于；（2）1＋210101021011024C C C +¼++＝．解（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(32+)4，令x ＝-1，得a 0-a 1＋a 2-a 3＋a 4＝4)23(-，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)( a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝[)23)(23(-+]4＝1 （2）在(1＋x )10＝rrr x C 1010å=中，中，令x ＝2，得1＋25904932410101010210110==+¼++C C C评述评述这是一组求二项式系数组成的式子的值的问题，其理论依据是(a ＋b)n＝rrn rnnr b aC -=å10为恒等式．二项式定理练习题1．在()103x -的展开式中，6x 的系数为的系数为（）A ．610C 27-B ．410C 27C ．610C 9-D ．410C 92．已知a 4b ,0b a =>+， ()nb a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n等于等于（）A ．4 B ．9 C ．10 D ．11 3．已知（naa )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是（）A ．10 B ．11 C ．12 D ．134．5310被8除的余数是除的余数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．7 5． (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是的近似值是（）A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34 6．二项式n4x 1x 2÷øöçèæ+(n ÎN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设(3x 31+x 21)n展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是项的系数是（）A ．21B ．1 C ．2 D ．38．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为（）A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 9．n x x)(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（）A ．330 B ．462 C ．680 D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为的系数为（）A ．－40 B ．10 C ．40 D ．45 11．二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在[0，2π]内的值为值为（）A ．6p 或3p B ．6p 或65pC ．3p 或32pD ．3p 或65p12．在(1+x )5+(1+x )6+(1+x )7的展开式中,含x 4项的系数是等差数列项的系数是等差数列a n =3n －5的（）A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果. 13．92)21(x x -展开式中9x 的系数是的系数是. 14．若()44104x a x a a 3x 2+×××++=+，则()()2312420a a a a a +-++的值为__________. 15．若．若 32()nx x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是 . 16．对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；项； ④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74分. 17．（12分）若n xx )1(66+展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（１）（１）求n 的值；的值；（２）此展开式中是否有常数项，为什么？（２）此展开式中是否有常数项，为什么？18．（12分）已知(124x +)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．数．19．（12分）是否存在等差数列{}n a ，使nnn 1n 2n 31n 20n 12n C a C a C a C a ×=+×××++++对任意*N n Î都成立？若存在，求出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．的通项公式；若不存在，请说明理由．20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考数学题型归纳与训练
高考理科数学《二项式定理》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一二项式定理展开的特殊项
例在二项式5
21⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10
C ．5-
D ．5
【答案】B
【解析】对于()()r r r r
r r r x C x x
C T 3105525111--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，对于2,4310=∴=-r r ，则4x 的项的系数是()101225=-C 【易错点】公式记错，计算错误。

【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一项的系数．
题型二求参数的值
例若二项式n x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+21的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式6x 的系数为________.(用数字作答)
【答案】9
【解析】根据已知条件可得: 96363=+=⇒=n C C n n , 所以n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+21的展开式的通项为23999912121C r r r
r r x C x x T --+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,令26239=⇒=-r r ,所以所求系数为921292=⎪⎭⎫ ⎝⎛C . 【易错点】分数指数幂的计算
【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值．
题型三展开项的系数和
例已知()()()()10
102210101...111x a x a x a a x -++-+-+=+，则8a 等于( ) A ．180-
B ．180
C ．45
D ．45-
【答案】B
【解析】由于()()[]1010121x x --=+，又()[]10
12x --的展开式的通项公式为： ()[]()()r
r r r r r r r x C x C T -⋅⋅⋅-=--⋅⋅=--+12112101010101，在展开式中8a 是()81x -的系数，所以应取8=r ，
∴()1802128108
8=⋅⋅-=C a . 【易错点】对二项式的整体理解
【思维点拨】本题主要对二项式定理展开式的综合考查，学会构建模型
题型四二项式定理中的赋值
二项式()932y x -的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．
【答案】（1）9
2 （2）-1 （3）2
159- 【解析】设()9927281909...32y a y x a y x a x a y x ++++=+ (1)二项式系数之和为9992919
092...=++++C C C C . (2)各项系数之和为()132 (9)
9210-=-=++++a a a a (3)由(2)知1...9210-=++++a a a a ，令1,1-==y x ，得992105...=++++a a a a ，将两式相加，得
2
15986420-=++++a a a a a ，即为所有奇数项系数之和．【思维点拨】本题主要学会赋值法求二项式系数和、系数和，难点在于赋值
【巩固训练】
题型一二项式定理展开的特殊项
1.在 ()10
2-x 的展开式中，6x 的系数为（） A ．41016C B ．41032C C ．6108C - D ．61016C -
【答案】A
高考数学题型归纳与训练
【解析】解：()4,610,210101==-∴-=-+r r x C T r r r r ，6x 的系数为()4104
410162C C =- 2．8
22⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中4x 的系数是________ 【答案】1120
【解析】解：r r r r r r r x C x
x C T 316--88281+2=)2()(=，4=316∴r -，解得4=r ，所以4x 的系数为11202484=C
3.在()()6
321x x +-的展开式中，5x 的系数是________ ．（用数字作答）【答案】228-
【解析】解：()()6
321x x +-的展开式中，5x 的系数是2282226456-=-C C 题型二求参数的值
1.已知()n
x 31+的展开式中含有2x 的系数是54，则n =________ ．【答案】4
【解析】解：()n x 31+的展开式中通项公式：()r
r n r n r x C T 311-+= ∵含有2x 的系数是54，∴r =2． ∴ 54322=n C ，可得 62=n
C ，∴()*,621N n n n ∈=÷- ，解得4=n ． 2.在 6
⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x ()0>a 的展开式中常数项的系数是60，则a 的值为________ ．【答案】2
【解析】解：r r r r r r
r x C a x a x C T 2336661+=)()(=--，令0=2
33r -，解得r=2． ∴ 60262=C a ，a ＞0，解得a=2．
3.在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）
【答案】40
【解析】利用通项公式，,2551r r r r x C T -+=，令3=r ，得出3x 的系数为40235
2=C
题型三展开项的系数和
1.在 n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+3的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则的系数为（）
A ．135
B ．405
C ．15
D ．45
【答案】A 【解析】由题意可得6424=n n ，6=∴n 。

r r r r r r r x C x x C T 2366661+3=)3(=--，32
36=-∴r ，2=r ，则3x 的系数为1353262=C
2.若二项式n
x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中各项的系数和为32，则该展开式中含x 的系数为（） A ．1 B ．5 C ．10 D ．20
【答案】B
【解析】解：令1=x ，则5,322==n n ， ∴r r r r r r x C x
x C T 23255551+=)1()(=-- 令
1,12
325==-r r ，．∴该展开式中含x 的系数为515=C 3.n x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-2 的二项展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则各项的系数和为________ ．
【答案】-1
【解析】解：因为n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-2的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大所以n =9 令()121,19-=-=x
题型四二项式定理中的赋值
1.已知()6626
...1211x a bx x ax ++++=+，则实数b 的值为（）
高考数学题型归纳与训练
A ．15
B ．20
C ．40
D ．60
【答案】D
【解析】解：其展开式的通项为()r
r r ax C T 61=+ ，则x 的系数为12116=a C ，解得2=a ，则602226==C b
2.若()6622106
...1x a x a x a a mx ++++=+，且63...621=+++a a a ，则实数m 的值为 ( ) A ．1或3
B ．－3
C ．1
D ．1或－3
【答案】D 【解析】令x ＝0，得()10160=+=a ，令x ＝1，得()62106...1a a a a m ++++=+，又64...6210=++++a a a a ，∴()66
2641==+m ，∴m ＝1或m ＝－3. 3.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．
【答案】3
【解析】由已知得()432446411x x x x x ++++=+，故()()41x x a ++的展开式中x 的奇数次冥项分别为533,6,,4,4x x x ax ax ，其系数之和为3216144=++++a a ，解得a =3。