南京市金陵中学高三数学调研测试卷
江苏省南京市金陵中学2023-2024学 年高三下学期期初学情调研测试数学试卷(含解析)
高三年级期初学情调研测试数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设向量，，则“”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.若函数由下表给出，则函数的解析式可能是（）012352.3 1.10.7 1.1 2.3 5.949.1A. B.C. D.3.已知集合，则中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.44.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1901年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到520这520个数中，能被3除余1且被4除余1的数从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（）4.43 B.44 C.45 D.465.已知双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，如图所示，一镜面的轴截面是双曲线的一部分，是它的一条对称轴，是它的左焦点，光线从焦点发出，经过镜面上点，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.6.某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（）A.192种 B.252种 C.268种 D.360种7.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知空间中13个不同的点构成的集合，满足时，均为正四面体，则集合中最多可以有（）个点在同一平面内.A.9B.10C.11D.12二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下图为某商家1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是（）A.这10个月的月销售量的极差为15B.这10个月的月销售量的第65位百分位数为33C.这10个月的月销售量的中位数为30D.前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差10.设函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中正确的是（）A.有且仅有两个零点B.有一个或两个零点C.在区间上单调递减D.的取值范围是11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的有（）A.若平面是面积为的等边三角形，则B.若，则C.若，则球面的体积D.若平面为直角三角形，且，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________.13.数学月考出了这样一道题：设，为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围.小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆.小峰顿悟，于是写出了答案：________.14.已知函数，若，且，恒有，则正实数的取值范围为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.（本小题满分13分）如图，一个质点在随即外力的作用下，从原点出发，随机移动次，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度.次移动结束后，质点到达的位置的数字记为.（1）若，求质点又回到原点的概率；（2）若，求的分布列和的值.16.（本小题满分15分）如图，在中，，为外一点，，记，.（1）求的值；（2）若的面积为，的面积为，求的最大值.17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，.（1）证明：平面；（2）已知，，，平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，求.18.（本小题满分17分）已知椭圆：的上顶点为，离心率为.抛物线：截轴所得的线段长为的长半轴长.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与相较于，两点，直线，分别与交于，两点.①证明：直线与直线的斜率之积为定值；②记和的面积分别是，，求的最小值.19.（本小题满分17分）设函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”.（1）判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由；（2）若函数为上的“一阶有界函数”，且在上单调递增，设，为函数图像上相异的两点，直线的斜率为，试判断“”是否正确，并说明理由；（3）若函数为区间上的“一阶有界函数”，求的取值范围.参考答案1.【答案】B【解析】，则，，“”是“”的充分不必要条件，故选B.2.【答案】A【解析】由表格得出，，，为偶函数；，，，增长幅度变动较大，可知为指数型增长，故选A.3.【答案】C【解析】，，为奇数时，，，，，，，，…，故选C. 4.【答案】B【解析】由题意知，，，，故选B.5.【答案】C【解析】由双曲线光学性质得，反向延长线交于点，且点为右焦点，则，，，，故为等腰直角三角形，，，，，故选C.6.【答案】B【解析】若甲乙不值班，值班安排有种；若甲乙只有一人不值班，值班安排有种；若甲乙都值班，值班安排有种；共有252种，故选B.7.【答案】C【解析】若，，恒成立；若，，，即，，解得；综上，故选C.8.【答案】C【解析】已知，，，为正四面体，设最多可以有个点在平面内，其中在平面内，必然不在平面内，可在平面内，若在平面内，则必然不在平面内，可在平面内，故最多有11个点在平面内，故选C.9.【答案】AB【解析】由图知，月销售量最大值为40，最小值15，极差为15，故A正确；月销售量由小到大排：25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，第65位百分位数为第7位33，故B正确；中位数为，故C错误；前5个月的月销售量比后5个月的月销售量波动更小，因此前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，故D错误；故选AB.10.【答案】ABD【解析】，，若有且仅有三个零点，则，则图像向上平移一个单位，有且仅有两个零点，故A正确；图像向下平移一个单位，有一个或两个零点，故B正确；，，故D正确；，，因为，则，，故C错误；故选ABD.11.【答案】BC【解析】对于A，若平面是面积为的等边三角形，则，则，则，故错误；对于B，若，则，，故正确；对于C，若，则，，点到平面的距离为，三棱锥的体积为，则球面的体积，故正确；对于D，若平面为直角三角形，且，则，由余弦定理得：取，，，，，故错误；故选BC.12.【答案】【解析】，，，，；故答案为.13.【答案】【解析】由题知，因为椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆，所以，直线围成的矩形外接圆即为该定圆：.若直线上存在点使为直角，即，为椭圆切线时，该直线与该圆有交点，，解得，故答案为.14.【答案】【解析】若，且，恒有，令，则，，令，即在上单调递减，，，令，恒成立，在上单调递增，故，，令，，，，，，，即，故.15.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由题知，2次移动后质点又回到原点，即其中有1次向左移动，有1次向右移动，故质点又回到原点的概率为；（2）由题知，可取，，，0，2，4，6，由对称性知，，，，即的分布列为0246.6.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，，在中，，因此；（2），，，当时，取到最大值. 17.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）如图，连接交于点，连接；∵面是直角梯形∴，∵∴∵∴平面平面∴平面；（2）已知，，，在中，，∴∵平面平面平面平面∴平面如图，过点作面的垂线，垂线在平面内，以点为坐标原点，，，直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，，∵，，∴，设平面法向量为，，取，；设平面法向量为，，取，，则平面与平面的夹角的余弦值为解得，，因为，故.18.【答案】（1）；（2）①见解析；②【解析】（1）抛物线：截轴所得的线段长为的长半轴长，令，，，椭圆离心率为，，，故椭圆的方程；（2）①由题知，直线的斜率必然存在，设方程，，，与联立方程：，，，，故直线与直线的斜率之积为定值；②由①得，显然直线，斜率存在且不为0，设：，联立：，，联立：，，，同理：，，；则，故当且仅当时等号成立，即最小值为.19.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1），在上恒成立，故是上的“一阶有界函数”；，，，，故不是上的“一阶有界函数”；（2）若函数为上的“一阶有界函数”，则，在上单调递增，，，令，，在上单调递减，设，，其中，故；在上单调递增，，，故；（3）函数，若为区间上的“一阶有界函数”，则，其中，，，，，，则.令，，其中，，在区间上单调递增，故在区间上单调递增，，，所以存在，使，，，，，在区间单调递增，在区间单调递减，即，对称轴为，在区间上单调递减，恒成立，，故.。
2021届江苏省南京市金陵中学高三上学期学情调研测试(一)数学试题含答案
金陵中学2021届高三年级学情调研测试（一）数学试卷命题人：审核：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝ ( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列命题中正确的是 ( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝ ( )A ．3132B ．3116C ．318D ．3145. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为 ( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．51206. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．4007. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为 ( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为 ( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π1210. 下列说法中正确的是 ( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大11. 下列四个命题中，是真命题的是 ( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞)12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是 ( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________．14. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)．15. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________．16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf '(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．金陵中学高三年级学情调研测试（一）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |ln x ＞0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．B ．(0，4]C ．(1，4]D ．(4，＋∞)答案：C2. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C3. 下列命题中正确的是( )A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －dC ．若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bD ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bd答案：C4. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝( )A ．3132B ．3116C ．318D ．314答案：B5. (x －1)(2x ＋1)10的展开式中x 10的系数为( )A ．－512B ．1024C ．4096D ．5120答案：C6. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N (105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A ．150B ．200C ．300D ．400答案：C7. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案：B8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0，59]B ．(0，32]C ．(0，53]D ．(13，32]答案：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 若函数f (x )＝sin(2x －π3)与g (x )＝cos(x ＋π4)都在区间(a ，b )(0＜a ＜b ＜π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12答案：AB10. 下列说法中正确的是( )A ．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)＝516B ．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ＜4)＝0.9，则P (0＜X ＜2)＝0.4C ．E (2X ＋3)＝2E (X )＋3；D (2X ＋3)＝2D (X )＋3D ．已知随机变量ξ满足P (ξ＝0)＝x ，P (ξ＝1)＝1－x ，若0＜x ＜12，则E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 答案：ABD11. 下列四个命题中，是真命题的是( )A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yC ．函数f (x )＝x ＋2－x 2值域为[－2，2]D ．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋9x ＋a －a 在区间[1，9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[－8，＋∞) 答案：BCD12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是( ) A ．a 6＝8B ．S 7＝33C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝a 2022D ．a 21＋a 22＋…＋a 22019a 2019＝a 2020 答案：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量→a ＝(2，－6)，→b ＝(3，m )，若|→a ＋→b |＝|→a －→b |，则m ＝▲________． 答案：114. 三月份抗疫期间，我校团委安排高一学生2人、高二学生2人、高三学生1人参加A 、B 、C 三个社区志愿点的活动，要求每个活动点至少1人，最多2人参与，同一个年级的学生不去同一个志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有▲________种(用数字作答)． 答案：4015. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个与各个面均相切的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，则AA 1的长度为▲________． 答案：416. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (1－2x)，x ＜0，x 2－2k ，x ≥0，若函数g (x )＝f (－x )＋f (x )有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是▲________． 答案：(27，＋∞)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17. 现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．解析：若选择条件①2c －3b ＝2a cos B ．(1)由余弦定理可得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得c 2＋b 2－a 2＝3bc ，………2分可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32．…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． …………………………………………………………5分 (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·32，………6分 即4－23＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ，亦即(2＋3)bc ＝(b ＋c )2－(4－23)， 因为bc ≤(b ＋c )24，当且仅当b ＝c 时取等号， 所以(b ＋c )2－(4－23)≤(2＋3)×(b ＋c )24，解得b ＋c ≤22，…………………………………………………………8分 当且仅当b ＝c ＝2时取等号． 所以a ＋b ＋c ≤22＋3－1，即△ABC 周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分 若选择条件②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ． (1)由条件得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B ．………2分 因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． (2)同上18. 已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n (S n －12)．(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解析：(1)因为S n 2＝a n (S n －12)，当n ≥2时，S n 2＝(S n －S n －1)(S n －12)，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ．①…………2分 由题意得S n －1·S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2， 即数列{1S n }是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．…………5分所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，得S n ＝12n －1． …………………………………………7分(2)易得b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)……………………………8分 ＝12(12n －1－12n ＋1)，……………………………10分所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n2n ＋1． …………………………………12分19. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点． (1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．(1)证明：取BP 的中点T ，连接AT ，TN ．由N 为PC 的中点，知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2．又AD ∥BC ，AM ＝23AD ＝2，所以TN _∥AM ，因此四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT ． …………………………………3分因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ． …………………………………5分(2)取BC 的中点E ，连接AE ．由AB ＝AC ，得AE ⊥BC ，因为AD ∥BC ，所以AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝5．以A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．由题意知，P (0，0，4)，M (0，2，0)，C (5，2，0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0，2，－4)，PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2．…………………………………7分设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0，2，1)．……………………………………………………………………9分于是|cos ＜n ，AN →＞|＝|n ·AN →||n |·|AN →|＝8525．…………………………………11分设AN 与平面PMN 所成角为θ，则sin θ＝8525，即直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525． …………………………………12分20. 成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30，100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．拥有驾驶证 没有驾驶证 总计具有很强安全意识 不具有很强安全意识58 总计200(1)补全上面的驾驶证有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．解：(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．补全的2×2列联表如表所示：计算得K 2＝200×(22×102－18×58)240×80×160×120＝7516＝4.6875＞3.841， 所以有超过95%的把握认为“具有很强安全意识”与拥有驾驶证有关． …………………………………5分(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为15，所以X ＝0，1，2，3，4，且X ~B ⎝⎛⎭⎫4，15．于是P (X ＝k )＝C k 4·⎝⎛⎭⎫15k ·⎝⎛⎭⎫454－k(k ＝0，1，2，3，4)，X 的分布列为0分 所以E (X )＝4×15＝45．答：X 的数学期望为45． …………………………………12分 21. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，点(1，32)在椭圆C上，点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线过右焦点F 2且与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在点P (t ，0)使得PM →·PN →为定值?如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由． 解析：(1)因为点(1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1．又点A (－3c ，0)满足以AF 2为直径的圆过椭圆的上顶点B ，所以AB ⊥BF 2，即AB →·BF 2→＝(3c ，b )·(c ，－b )＝0，即b 2＝3c 2．又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1． …………………………………4分 (2)易得右焦点F 2(1，0)，假设存在点P (t ，0)满足要求．①当直线MN 的斜率不为0时，设直线MM 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝1，整理可得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1·y 2＝－94＋3m 2，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝84＋3m 2，x 1x 2＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－9m 24＋3m 2＋－6m 24＋3m 2＋1＝4－12m 24＋3m 2．…………………………………6分因为PM →·PN →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋y 1y 2＝4－12m 24＋3m 2－8t 4＋3m 2＋t 2－94＋3m 2 ＝t 2(4＋3m 2)－12m 2－8t －54＋3m 2＝3m 2(t 2－4)＋4t 2－8t －54＋3m 2．…………………………………9分 要使PM →·PN →为定值，则t 2－41＝4t 2－8t －54，解得t ＝118，此时PM →·PN →＝－13564为定值． …………………………………11分②当直线MM 的斜率为0时，则M (－2，0)，N (2，0)，P (118，0)，此时PM →·PN →＝(－2－118，0)·(2－118，0)＝－13564． …………………………………12分综上，所以存在P (118，0)，使PM →·PN →为定值．22. 已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a ＞0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )． (1)求函数f (x )的极小值；(2)若g (x )＝xf'(x )，且存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x ＞0)的零点个数．解析：(1)求导得f'(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f'(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ．…………………………………1分因为a ＞0，所以x 1＜x 2，列表如下：所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2．…………………………………3分(2)g (x )＝xf'(x )＝3ax 3－6x 2．因为存在x ∈[1，2]使h (x )＝f (x )，所以f (x )≥g (x )在x ∈[1，2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在x ∈[1，2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x 在x ∈[1，2]上有解．………………………5分设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x 3，x ∈[1，2]．因为y'＝－3x 2－3x 4＜0对x ∈[1，2]恒成立，所以y ＝1x 3＋3x 在[1，2]上递减，故当x ＝1时，y max＝4．所以2a ≤4，即a ≤2，故a 的取值范围为(－∞，2]．…………………………………7分(3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2．①当1－4a 2＞0，即a ＞2时，f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}≥f (x )＞0，因此h (x )在(0，＋∞)上无零点．…………………………………8分②当1－4a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0，又g (1)＝0，所以h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有且仅有一个零点．…………………………………9分③当1－4a 2＜0，即0＜a ＜2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－3x 2＋1－ln x ，0＜x ＜1． 因为φ'(x )＝3ax 2－6x －1x ＜6x (x －1)－1x ＜0，所以φ(x )在(0，1)上单调递减．又φ(1)＝a －2＜0，φ⎝⎛⎭⎫1e ＝a e 3＋2e 2－3e 2＞0，所以存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，使得φ(x 0)＝0． (i )当0＜x ≤x 0时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )≥φ(x 0)＝0，所以h (x )＝f (x )且h (x )为减函数． 又h (x 0)＝f (x 0)＝g (x 0)＝ln x 0＜ln1＝0，f (0)＝1＞0，所以h (x )在(0，x 0)上有一个零点． (ii )当x 0＜x ＜1时，因为φ(x )＝f (x )－g (x )＜φ(x 0)＝0，所以h (x )＝g (x )且h (x )为增函数．因为g(1)＝0，又h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＝ln x＞0在x＞1上恒成立，所以h(x)在(x0，＋∞)上有且仅有一个零点．从而h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当0＜a＜2时，h(x)有两个零点；当a＝2时，h(x)有一个零点；当a＞2时，h(x)无零点．…………………………………12分。
高三第三次调研测试数学
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三第三次调研测试数 学 试 题必试部分注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、学号用铅笔涂写在答卷纸上。
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请将答案写在答题卡对应的位置上） 1．已知集合},2{}.|{},2|{=≥=≤=B A a x x B x x A 若集合则实数a = 。
2．命题：“x x ≤∈∀sin ),2,0(π”的否定是 。
3．已知i 是虚数单位，计算：22)12()121(ii i i +---+= 。
4．在△ABC 中，AB=2，D 是AC 的中点，若BD AB AC AB ⋅=⋅则,4= 。
5．某公司招聘员工，面试人数y 拟照公式x x x x x x x y 其中确定,1005.1,10010,102,1001,4⎪⎩⎪⎨⎧>≤<+≤≤=表示拟录取人数，现已知面试人数为60人，则该公司拟录取的人数为 人。
6．已知米拉等可能地落入如图的示的四边形ABCD 内，如果通过大量的实验发现米粒△BCD 内的频率稳定在94附近，那么点A 和点C 到直线BD 的距离之比约为 。
7．一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果为54，则判断框中应填入的条 件是：a< 。
8．已知定义在R 上的函数,3)0(,)2||,0)(sin(2)(=<>+=f x x f 且最小正周期是的ππϕωϕω则ϕ= 。
9．设数列)(log 1log }{*212N n x x x n n n ∈+=+满足，且,}{,101021n n S n x x x x 项和为的前记=+++ 则S 20= 。
10．椭圆131222=+y x 的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴的正半轴上，那么点P 的坐标是 。
11．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB//平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为 。
南京市金陵中学2020届高三数学检测卷(8)
金陵中学 2020 届高三数学检测卷(8)
一､填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．) 1．5． 2．1．
3． 27． 4．16． 5．6． 6． 256． 8．[－13，23]． 8．[1π2，71π2]． 9． 52－1．
10．94 3． 11．4． 解析：∵x＞0，y＞0，x＞y，log2x＋log2y＝1＝log2xy，∴xy＝2．
17．(1)在 Rt△ABD 中，∠ADB＝，AB＝BC＝2， 所以 AD＝si2n，BD＝ta2n＝2scions． 又四边形 AECD 为平行四边形，
P
F
E
所以 AE＝DC＝2－2scions，EC＝AD＝si2n，4＜≤2．6 分
D
C
(2)设三条观光道路的总长度为 f()， 则 f()＝AD＋AE＋EC＝si4n＋2－2scions，
A1
C1
B1
P
A
C
B
(第 10
(第 13 题)
11．若实数 x，y 满足 x＞y＞0，且 log2x＋log2y＝1，则xx2＋－yy2的最小值为___▲_____．
12．已知函数 f(x)＝|x|－a(x－1)－2 只有一个零点 x0 且 x0＜0，则实数 a 的取值范围是
___▲_____．
︵ 13．如图，半径为 2 的扇形的圆心角为 120°，M，N 分别为半径 OP、OQ 的中点，A 为PQ
A
B
(第 16 题)
＝2(2－sincos)＋2， ········································································8 分
金陵中学21-22高三11月学情调研卷--数学
金陵中学21-22高三11月学情调研卷--数学数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时刻为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸．．．上对应题目的答案空格内．考试终止后，交回答卷纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上） 1．已知集合A ＝{x |x 2＜3x ＋4，x ∈R}，则A ∩Z 中元素的个数为 ． 2．已知2＋3ii ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝ ． 3．为了调查都市PM2.5的值，按地域把36个都市分成甲、乙、丙三组，对应的都市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个都市，则乙组中应抽取的都市数为 ．4．有3个爱好小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个爱好小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个爱好小组的概率为 ．5．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝1，a 与b 夹角为120°，则向量b 的模为 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线y 2＝2x 上的点P 到坐标原点O 的距离为15，则线段PF 的长为 ．7．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝ ．8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝ ． 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 a ＝1，A ＝60°，c ＝33，则△ABC 的面积为 ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，且与直线x －y ＋1＝0相切，则圆C 的半径为 ．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数，则实数k的取值范畴是 ．12．已知α，β为平面，m ，n 为直线，下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若α∩β＝n ，m ∥α， m ∥β，则m ∥n ； ④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ．其中是真命题的有 ．(填写所有正确命题的序号)13．已知直线x ＝a (0＜a ＜π2)与函数f (x )＝sin x 和函数g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，若MN ＝15，则线段MN 的中点纵坐标为 ．(第8题)14．已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln|x |的图象有四个交点，则实数m 的取值范畴为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知平面向量a ＝(1，2sin θ)，b ＝(5cos θ，3)． （1）若a ∥b ，求sin2θ的值； （2）若a ⊥b ，求tan(θ＋π4)的值．16．（本小题满分14分）如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点． （1）若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，求证：AD ⊥DC 1； （2）求证：A 1B//平面ADC 1．17．（本小题满分14分）经观看，人们发觉鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E ＝kv 3t ，其中v 为鲑鱼在静水中的速度，t 为行进的时刻(单位：h)，k为大于零的常数．假如水流的速度为 3 km/h ，鲑鱼在河中逆流行进100 km ．（1）将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数；ABC DA 1B 1C(第16题)（2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，右准线为l ：x ＝4．M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若→AM ＝→MP ，判定点B 是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由； （3）连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，若直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标．19．（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，(第18题)1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值． 20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：S 2n＝3n 2a n ＋S 2n －1，a n ≠0，n ≥2，n ∈N *． （1）若数列{a n }是等差数列，求a 的值；（2）确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．【附加题】 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时刻30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试终止后，交回答题纸．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD⊥CP ，垂足为D ． 求证：∠DAP ＝∠BAP ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1． （1）求a ，b 的值； （2）求矩阵A 的逆矩阵A －1．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin(θ－π6)＝a 截得的弦长为2 3，求实数a 的值．ABD CPO· (第21A 题)D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab≥4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷．纸．指定区域内．．．．．作答．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求二面角B －PC －D 的余弦值．23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X 为摸出的3PA B C DE(第22题)个球上的数字和．（1）求概率P(X≥7)；（2）求X的概率分布列，并求其数学期望E(X)．参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．假如考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对运算题，当考生的解答在某一步显现错误时，假如后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定给分，但不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后续部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题1．4 2．－6 3．4 4．13 5．1 6．72 7．－5 8．11 9．36 10． 2 11．[12，1) 12．②③④ 13．710 14．(－∞，－12－ln2) 二、解答题15．解：（1）因为a ∥b ，因此1×3－2sin θ×5cos θ＝0， …………………3分即5sin2θ－3＝0，因此sin2θ＝35． …………………6分（2）因为a ⊥b ，因此1×5cos θ＋2sin θ×3＝0． …………………8分因此tan θ＝－56． …………………10分因此tan(θ＋π4)＝tan θ＋tan π41－tan θtan π4＝111． …………………14分16．证明：（1）因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，因此AD ⊥BC ． 因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD ⊂平面ABC ， 因此AD ⊥平面BCC 1B 1． …………………5分因为DC 1⊂平面BCC 1B 1，因此AD ⊥DC 1． …………………7分 （2）(证法一)连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结OD ， 则O 为A 1C 的中点． 因为D 为BC 的中点，因此OD//A 1B ． …………………11分 因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B /⊂平面ADC 1， 因此A 1B//平面ADC 1． …………………14分 (证法二)取B 1C 1的中点D 1，连结A 1D 1，D 1D ，D 1B ．则D 1C 1＝∥BD ． 因此四边形BDC 1D 1是平行四边形．因此D 1B// C 1D ． 因为C 1D ⊂平面ADC 1，D 1B /⊂平面ADC 1， 因此D 1B//平面ADC 1． 同理可证A 1D 1//平面ADC 1．因为A 1D 1⊂平面A 1BD 1，D 1B ⊂平面A 1BD 1，A 1D 1∩D 1B ＝D 1， 因此平面A 1BD 1//平面ADC 1． …………………11分ABC DA 1B 1C 1（第16题图）OABC DA 1B 1C 1（第16题图）D 1因为A 1B ⊂平面A 1BD 1，因此A 1B//平面ADC 1．…………………14分17．解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km 所用的时刻为t ＝100v －3．…………………2分因此E ＝kv 3t ＝kv 3100v －3＝100kv3v －3(v ∈(3，＋∞))． …………………6分（2）E '＝100k 3v 2(v －3)－v 3(v －3)2＝100k 2v 2(v －4.5)(v －3)2．…………………10分令E '＝0，解得v ＝4.5或v ＝0(舍去)．因为k ＞0，v ＞3，因此当v ∈(3，4.5)时，E '＜0，当v ∈(4.5，＋∞)时，E '＞0．故E ＝100kv3v －3在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，＋∞)上单调递增．…………13分因此，当v ＝4.5时，E 取得最小值．即v ＝4.5km/h 时，鲑鱼消耗的能量最小． …………………14分18．解：（1）由⎩⎨⎧c a ＝12，a 2c ＝4．解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1．因此b 2＝3． 因此椭圆方程为x 24＋y 23＝1． …………………4分 （2）因为→AM ＝→MP ，因此x M ＝1，代入椭圆得y M ＝32，即M (1，32)，因此直线AM 为：y ＝12(x ＋2)，得P (4，3)，因此→BM ＝(－1，32)，→BP ＝(2，3)．…………………8分 因为→BM ·→BP ＝52≠0，因此点B 不在以PM 为直径的圆上．…………………10分（3）因为MN 垂直于x 轴，由椭圆对称性可设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)． 直线AM 的方程为：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，因此y p ＝6y 1x 1＋2，直线BN 的方程为：y ＝－y 1x 1－2(x －2)，因此y p ＝－2y 1x 1－2， …………………12分因此6y 1x 1＋2＝－2y 1x 1－2．因为y 1≠0，因此6x 1＋2＝－2x 1－2．解得x 1＝1． 因此点M 的坐标为(1，32)． …………………16分 19．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，因此当x ＞2t3或x ＜0时，f ′(x )＞0，因此(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间； 当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，因此(0，2t3)为函数f (x )的单调减区间．……4分（2）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，因此2t ≤3x 0＋12x 0恒成立，………………6分因为x 0∈（0，1]，因此3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6，即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号．因此2t ≤6，即t 的最大值为62． …………………8分 （3）由（1）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t3处取得极小值－4t327．因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，因此直线l 的方程为y ＝－4t327． …………………10分令f (x )＝－4t 327，因此x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t3． 因此C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t327）． …………………12分 因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t3)2＋(－4t327)2，且AD ＝AB ＝t ，因此(－t3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482． (16)分20．（本小题满分16分）解：（1）在S 2n＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3，及a 1＝a 得 (a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2，因为a n ≠0，因此a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ． …………………2分 因为数列{a n }是等差数列，因此a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3．…………………………………………………………………………4分 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n (n ＋1)2，S n －1＝3n (n －1)2满足S 2n ＝3n 2a n＋S 2n －1． （2）由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n ，因为a n ≠0，因此S n ＋S n －1＝3n 2，(n ≥2)，① ……………6分 因此S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2，②②－①，得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3，(n ≥2)．③………………8分 因此a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9，④ ④－③，得a n ＋2－a n ＝6，(n ≥2)即数列a 2，a 4，a 6，…，及数列a 3，a 5，a 7，…差不多上公差为6的等差数列………10分因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ．因此a n ＝⎩⎨⎧a ，n ＝1，3n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，…………………12分要使数列{a n }是递增数列，须有a 1＜a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n ＜a n ＋1，且当n 为偶数时，a n ＜a n ＋1，即a ＜12－2a ，3n ＋2a －6＜3(n ＋1)－2a ＋6(n 为大于或等于3的奇数)， 3n －2a ＋6＜3(n ＋1)＋2a －6(n 为偶数)， 解得94＜a ＜154．因此M ＝(94，154)，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．………………16分 【附加题】21． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为CP 与圆O 相切，因此∠DPA ＝∠PBA ． ………………2分因为AB 为圆O 直径，因此∠APB ＝90°，因此∠BAP ＝90°－∠PBA ． ………………6分 因为AD ⊥CP ，因此∠DAP ＝90°－∠DPA ， 因此∠DAP ＝∠BAP ． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解（1）：设点P （x ，y ）为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点， 通过矩阵A 变换后对应点为P ′（x ′，y ′）则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，因此⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝by ．． ………………2分ABD CPO·(第21A 题)因为点P ′（x ′，y ′）在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，因此a 2x 24＋b 2y 23＝1，那个方程即为圆C 方程． ………………6分因此⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝3．，因为a ＞0，b ＞0，因此a ＝2，b ＝3．………………8分（2）由（1）得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 3，因此A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 33．………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为圆C 的直角坐标方程为(x －2) 2＋y 2＝4，直线l 的直角坐标方程为x － 3y ＋2a ＝0．………………4分 因此圆心C 到直线l 的距离d ＝|2＋2a |2＝|1＋a |． ………………6分因为圆C 被直线l 截得的弦长为2 3，因此r 2－d 2＝3．即4－(1＋a )2＝3．解得a ＝0，或a ＝－2． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 是正数，求证：a 2＋4b 2＋1—ab≥4．证明：因为a ，b 是正数，因此a 2＋4b 2≥4ab ．………………2分因此a 2＋4b 2＋1—ab ≥4ab ＋1—ab≥24ab ×1—ab＝4．即a 2＋4b 2＋1—ab≥4． ………………10分22．解（1）依照题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)， D (0，3，0)，P (0，0，1)，E (12，0，12)，→AE ＝(12，0，12)，→BC ＝(0，1，0)，→BP ＝(－1，0，因为→AE ·→BC ＝0，→AE ·→BP ＝0， 因此→AE ⊥→BC ，→AE ⊥→BP ． 因此AE ⊥BC ，AE ⊥BP ．因为BC ，BP 平面PBC ，且BC ∩BP ＝B ， 因此AE ⊥平面PBC ． ………………4分（2）设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·→CD ＝0，n ·→PD ＝0． 因为→CD ＝(－1，2，0)，→PD ＝(0，3，－1)，因此－x ＋2y ＝0，3y －z ＝0．令x ＝2，则y ＝1，z ＝3．因此n ＝(2，1，3)是平面PCD 的一个法向量．………………8分 因为AE ⊥平面PBC ，因此→AE 是平面PBC 的法向量． 因此cos<→AE ，n >＝→AE ·n |→AE |·|n |＝5714．由此可知，→AE 与n 的夹角的余弦值为5714．依照图形可知，二面角B －PC －D 的余弦值为－5714． ………………10分23．解（1）P (X ＝7)＝C 23C 12 + C 22C 12C 37＝835，P (X ＝8)＝C 22C 13C 37＝335． 因此P （X ≥7）＝1135. ………………………4分（2）P (X ＝6)＝C 12C 13C 12 + C 33C 37＝1335，P (X ＝5)＝C 22C 12 + C 23C 12C 37＝835，P (X ＝4)＝C 22C 13C 37＝335． 因此随机变量X 的概率分布列为X 4 5 6 7 8P335 835 1335 835 335…………………………………………8分因此E (X )＝4×335＋5×835＋6×1335＋7×835＋8×335＝6． ………………………10分。
金陵中学2020届高三数学检测卷(2)
金陵中学2020届高三数学检测卷（2）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{－1，0，2，3}，集合A ＝{－1，2，3}，则∁U A ＝▲________．2．若复数z ＝(1＋3i)2，其中i 为虚数单位，则z 的模为▲________．3．执行如图所示的算法流程图，则输出的b 的值为▲________．4．如图，这是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图， 则平均成绩较小的那一位同学的平均成绩为▲________．5．将黑、白两个小球随机放入编号分别为1，2，3的三个盒子 中，则黑、白两个小球在同一个盒子里的概率为▲________．6．关于x 的不等式lg(2x －4)＜1的解集为▲________．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲________．8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则f (2φ)的值为▲________．9．在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则a1d 的值为▲________．10．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 满足→DC ＝2→BD ，则→AD ·→DC 的值为▲_____．11．已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于▲________．12．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，则x ＋2xy 的最小值为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：kx －y ＋5k ＝0与圆C ：x 2＋y 2－10x ＝0交于点A ，B ，M 为弦AB 的中点，则点M 的横坐标的取值范围是▲________．14．已知函数f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝a x ．若对任意的x 1∈R ，存在x 2＞x 1，使得f (x 1)＝g (x 2)，且x 2－x 1的最小值为ln22，则实数a 的值为▲________．(第4题)(第3题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，且AF ⊥CD ． (1)求证：平面ADF ⊥平面ABCD ； (2)求证：CD ∥EF ．16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个钝角α，β，它们的终边分别与单位圆交于点A ，B ．已知点A ，B 的横坐标分别为－31010，－210．(1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值．17．(本小题满分14分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a －3x500)万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %． (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？18．(本小题满分16分)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)的离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－12，求k 的值；(3)记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝32，求M 的坐标．(第15题)(第18题)19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1－2S n ＝1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1＝b n 2＋1a n ＋1．①求证：数列{2n －1b n }为等差数列，并求出{b n }的通项公式；②是否存在正整数n ，使得i ＝1n ∑b i ＝4－n 成立?若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x －a (x ＋1)，其中e 自然对数的底数，a ∈R ． (1)讨论函数f (x )的单调性，并写出相应的单调区间；(2)已知a ＞0，b ∈R ，若f (x )≥b 对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； (3)设g (x )＝(a ＋e )x ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．数学Ⅱ(附加题)21．本题包括A 、B 两小题，请在相应的答题区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，若点P (0，3)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 3y 对应的变换作用下得到点Q (6，12)，求M －1．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．若点P 在椭圆C 上，求点P 到直线l ：x ＋y －8＝0的距离d 的最大值．[必做题]第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)某高校的综合评价面试中，考生都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录取．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是12． (1)求甲恰好通过两个项目测试的概率；(2)设甲、乙、丙三人中被录取的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．23．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＝2，BA ＝1，AD ＝3，PB ＝3．(1)求二面角P －CD －A 的平面角的余弦值； (2)若点E 在棱P A 上，且BE ⊥平面P AD ，求直线BE 和平面PCD 所成角的正弦值．(第23题)。
江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2023届高三三模数学试题
一、单选题二、多选题1. 设全集，，，则（ ）A．B．C．D．2. 函数（实数为常数，且）的图象大致是（ ）A．B．C．D．3. 设曲线在点处的切线为l ，P 为l 上一点，Q 为圆上一点，则的最小值为（ ）A．B．C．D．4. 某班从包括名男生和名女生的名候选人中随机选人加入校学生会，则名女生均被选中的概率是（ ）．A．B．C．D．5. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（）A．B．C．D．6. 复数（，是虚数单位）是纯虚数，则m 等于（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．27. 对于下表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是（ ）12335.9912.01A．B．C．D．8. 某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（ ）A．B．C．D．9. 已知三棱锥，过顶点B 的平面分别交棱，于M ，N（均不与棱端点重合）．设，，，江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2023届高三三模数学试题江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2023届高三三模数学试题三、填空题四、解答题，其中和分别表示和的面积，和分别表示三棱锥和三棱锥的体积．下列关系式一定成立的是（ ）A．B．C．D．10. 关于函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）A．是函数的一条对称轴B ．是函数的一个对称中心C ．将曲线向左平移个单位可得到曲线D ．函数在的值域为11. 如图，已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，底面圆的直径为，是圆上异于，的一点，为弦的中点，为线段上异于，的点，以下正确的结论有（）A ．直线平面B．与一定为异面直线C．直线可能平行于平面D ．若，则的最小值为12.已知函数，则下列说法中正确的有（ ）A．是周期函数B ．在上单调递增C ．的值域为D ．在上有无数个零点13. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，若外接圆面积为，则面积的最大值为______．14.中的系数为__________（用数字作答）.15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为______.16. “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商为分析近8年“双十一”期间的宣传费用（单位：万元）和利润（单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：（1）请用相关系数说明与之间是否存在线性相关关系（当时，说明与之间具有线性相关关系）；（2）建立关于的线性回归方程（系数精确到），预测当宣传费用为万元时的利润，附参考公式：回归方程中和最小二乘估计公式分别为，，相关系数参考数据：，，，17. 面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为（单位：）．（1）现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于的有3个．若从中随机抽取4个，记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的概率分布及数学期望；（2）若新机床生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于的概率．参考数据：若，则，，，，．18. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.40 3.9并计算得．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数．19. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.（1）求角C的大小；（2）设，，当四边形ABCD的面积最大时，求AD的值.20. 已知．（1）当时求的极值点个数；（2）当时，，求a的取值范围；（3）求证：，其中．21. 已知函数，，．(1)讨论函数的单调性；(2)若，证明：对任意的，恒成立．。
【数学】江苏省南京市金陵中学2021届高三上学期学情调研测试(10月)数学试题+PDF版含答案
19.如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的{倍，p为侧棱SD上的点•(L )求证：A C上SD;(2)若SD 上平而PAC,求二而角P -AC -S 的大小；s20.某公司开发了一种产品，有一项质蜇指标为＇长度”（记为I'单位:cm),先从中随机抽取100件，测噩发现全部介于?Scm和155c�之间，得到如下频数分布表·分组I (85.95)I [95. 105) I (105. 115) I (115. 125) I (125. 135) 频数 2 9 22 33 24已知该批产品的该项质霆指标值服从正态分布N(µ,a 2), 其中µ近似为样本平均数了，a 2近似为样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．(l)求P (l 32.2<!< 144.4);(2)公司规定：当l 匀15时，产品为正品；当/<115时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记:为生产一件这种产品的利润，求随机变痲:的分布列和数学期望．参考数据：寸丽：：：：：：：：12.2.若X -N(µ,a 2), 则P(µ一a<X::s;;µ+a)::::::::0.6827,P(µ 一2a<x::s;;µ+2a)：：：：：：：： 0.9545, P (µ-3a <X ::s;;µ+3a)::::::::0.9973.1. 2. 3. 4.5. 6.7. 8. 9.10.11.12.13.14.15.16.17..18.19.20.21.22.。
南京市金陵中学2020届高三数学检测卷(14)
金陵中学2020届高三数学检测卷（14）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合A ＝{－1，0，1}，集合B ＝{x |x ＞0}，则A ∩B ＝ ▲ ．2．若复数z 1＝2＋i ，z 2＝a －2i (i 为虚数单位)，且z 1z 2为实数，则实数a ＝ ▲．3．一组数据1，2，3，4，a 的平均数为2，则该组数据的方差等于 ▲ ．4．如图是某一算法的伪代码，则输出值n 等于 ▲ ．5．一只口袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出 2只球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ▲ ．6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0－x 2＋ax ，x ＜0为奇函数，则实数a 的值等于 ▲ ．7．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ) (0≤φ＜π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝ ▲ ．8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2，S 6，S 4成等差数列，则a 2＋a 4a 6的值为 ▲ ．9．已知△ABC 的三边上高．的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于 ▲ ．10．将一张半径为3＋1 (cm)的圆形纸片按如图所示的实线裁剪，并按虚线 折叠为各棱长均相等的四棱锥，则折叠所成的四棱锥的体积为 ▲ cm 3．11．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则b a ＋1b 的最小值为 ▲ ．12．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝2，A ＝2B ，则a ＝ ▲ ．13．已知菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，→BE ＝λ→BC ，→DF ＝μ→DC ．若→AE ·→AF ＝1，→CE ·→CF ＝－34，则λ＋μ＝ ▲ ．14．对于函数f (x )，若对任意的a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“三角形函数”，已知函数f (x )＝2x ＋t2x ＋1是“三角形函数”，则实数t 的取值范围是 ▲ ．(第4题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，且△ABC 的面积为9．(1)求AC 的长度；(2)当△ABC 为锐角三角形时，求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．16．如图，已知矩形CDEF 和直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， DE ＝DA ，M 为AE 的中点．(1)求证：AC ∥平面DMF ； (2)求证：BE ⊥DM ．17．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东 方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土 地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要 在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM ＝R ， ∠MOP ＝45°，OB 与OM 之间的夹角为θ．(1)将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数；(2)求当θ为何值时，矩形ABCD 面积S 有最大值?其最大值是多少? (用含R 的式子表示)18．已知椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)是坐标平面内一点，且x 02＋y 02＝74．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点S (0，－13)且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ､B 两点，问:在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点?若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．19．已知函数f (x )＝ae 2x ＋(a －2)e x －x ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．20．设等比数列{a n }的首项a 1＝2020，公比q ＝－12，前n 项和为S n ，前n 项积为T (n )．(1)求数列{S n }的最大项和最小项；(2)判断|T (n )|与|T (n ＋1)|的大小，并求n 为何值时，T (n )取得最大值；(3)证明{a n }中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d 1，d 2，d 3，…，d n ，证明：数列{d n }为等比数列．(参考数据210＝1024)(第16题)BAAB CDM OPQ F(第17题)金陵中学2020届高三数学检测卷（14）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合A ＝{－1，0，1}，集合B ＝{x |x ＞0}，则A ∩B ＝ ▲ ．{1}2．若复数z 1＝2＋i ，z 2＝a －2i (i 为虚数单位)，且z 1z 2为实数，则实数a ＝ ▲．43．一组数据1，2，3，4，a 的平均数为2，则该组数据的方差等于 ▲ ．24．如图是某一算法的伪代码，则输出值n 等于 ▲ ．4 5．一只口袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出 2只球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ▲ ． 356．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0－x 2＋ax ，x ＜0为奇函数，则实数a 的值等于 ▲ ．－27．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ) (0≤φ＜π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝ ▲ ．π38．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2，S 6，S 4成等差数列，则a 2＋a 4a 6的值为 ▲ ．2解析：若q ＝1，则2S 6＝12a 1≠S 2＋S 4＝6a 1，不符合；若q ≠1，则2×a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 2)1－q ＋a 1(1－q 4)1－q ，2q 4－q 2－1＝0，q 2＝1或－12(舍)，得q ＝－1．此时，a 2＋a 4a 6＝a 2(1＋q 2)a 2q 4＝2．9．已知△ABC 的三边上高．的长度分别为2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于 ▲ ． －1124解析：由等面积法可知，三边长比为6：4：3，则cos θ＝16＋9－362×4×3＝－1124．10．将一张半径为3＋1 (cm)的圆形纸片按如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长均相等的四棱锥，则折叠所成的四棱锥的体积为 ▲ cm 3． 答案：432解析：设四棱锥的棱长为a ，则a ＋2×32a ＝2(3＋1)，得a ＝2．∴V ＝13Sh ＝13a 2×(32a )2－(a 2)2＝26a 3＝432． (第4题)11．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则b a ＋1b 的最小值为 ▲ ．3解析：b a ＋1b ＝b a ＋a ＋b b ＝b a ＋a b ＋1≥2b a ·a b ＋1＝3，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号． 12．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝2，A ＝2B ，则a ＝ ▲ ．15 解析：a sin A ＝bsin B，且sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a ＝2b cos B ． 由余弦定理a ＝2b a 2＋c 2－b 22ac，且b ＝3，c ＝2，得a 2＝15．13．已知菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，→BE ＝λ→BC ，→DF ＝μ→DC ．若→AE ·→AF ＝1，→CE ·→CF ＝－34，则λ＋μ＝ ▲ ．732解析：如图，|→AB |＝|→AD |＝4，→AB ·→AD ＝－8，∵→AE ＝→AB ＋λ→AD ，→AF ＝→AD ＋μ→AB ，且→AE ·→AF ＝1， ∴16λ＋16μ－8λμ＝9．∵→CE ＝(λ－1)→AD ，→CF ＝(μ－1)→AB ，且→CE ·→CF ＝－34，∴32λ＋32μ－32λμ＝29． 解方程组得λ＋μ＝732．14．对于函数f (x )，若对任意的a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“三角形函数”，已知函数f (x )＝2x ＋t2x ＋1是“三角形函数”，则实数t 的取值范围是 ▲ ．[12，2] 解析：f (x )＝1＋t －12x ＋1． ①当t －1＝0，即t ＝1时，f (x )＝1，则f (a )＝f (b )＝f (c )＝1，可构成三角形． ②当t －1＞0，即t ＞1时，1＜f (x )＜t ，即1＜f (a )＜t ，1＜f (b )＜t ，1＜f (c )＜t ，∴2＜f (a )＋f (b )＜2t ，∵f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，∴f (a )＋f (b )＞f (c )，则2≥t ，故1＜t ≤2． ③当t －1＜0，即t ＜1时，t ＜f (x )＜1，即t ＜f (a )＜1，t ＜f (b )＜1，t ＜f (c )＜1，∴2t ＜f (a )＋f (b )＜2，∵f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，∴f (a )＋f (b )＞f (c )，则2t ≥1，故12≤t ＜1．综上所述，12≤t ≤2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，且△ABC 的面积为9．(1)求AC 的长度；(2)当△ABC 为锐角三角形时，求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值． 解：(1)∵S △ABC ＝12AB ×BC ×sin B ＝9，又AB ＝6，BC ＝5，∴sin B ＝35．……2分 又B ∈(0，π)，∴cos B ＝±1－sin 2B ＝±45．……3分当cos B ＝45时，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝36＋25－2×6×5×45＝13．……5分当cos B ＝－45时，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝36＋25＋2×6×5×45＝109．∴AC ＝13或109． ……7分(2)由△ABC 为锐角三角形得B 为锐角，∴AB ＝6，AC ＝13，BC ＝5，∴cos A ＝36＋13－252×6×13＝213．又A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝313，……9分 ∴sin2A ＝2×313×213＝1213，cos2A ＝⎝⎛⎭⎫2132－⎝⎛⎭⎫3132＝－513，……12分 ∴cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝cos2A cos π6－sin2A sin π6＝－53－1226．……14分16．如图，已知矩形CDEF 和直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， DE ＝DA ，M 为AE 的中点．(1)求证：AC ∥平面DMF ； (2)求证：BE ⊥DM ．证明：(1)连结CE 交DF 于点G ，连结MG ．矩形CDEF 中，∵CE 与DF 相交于点G，∴G 为CE 的中点． ∵M 为AE 的中点，∴MG ∥AC ，且MG ⊂面DMF ，AC ⊄面DMF ， ∴AC ∥平面DMF ． (2)矩形CDEF 中，CD ⊥ED ，∵CD ⊥AD ，ED ⊂面ADE ，AD ⊂面ADE ，ED ∩AD ＝D ，∴CD ⊥面ADE ∵DM ⊂面ADE ，∴CD ⊥DM ．∵AB ∥CD ，∴AB ⊥DM ． ∵DE ＝DA ，M 为AE 的中点，∴AE ⊥DM ，∵AB ⊂面ABE ，AE ⊂面ABE ，AB ∩AE ＝A ，∴DM ⊥面ABE ． ∵BE ⊂面ABE ，∴DM ⊥BE ．MFEDCBA17．如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正 东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这 块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个 顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM ＝R ，∠MOP ＝45°，OB 与OM 之间的夹角为θ．(1)将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数； (2)求当θ为何值时，矩形ABCD 面积S 有最大值?其最大值是多少?(用含R 的式子表示)解：(1)由题意知M 为PQ ⌒的中点，∴OM ⊥AD ．设OM 交BC 于点F ，则BC ＝2R sin θ，OF ＝R cos θ． 于是AB ＝OF －12AD ＝R cos θ－R sin θ．∴S ＝AB ·BC ＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ)＝R 2(2sin θcos θ－2sin 2θ) ＝R 2(sin2θ－1＋cos2θ)＝2R 2sin(2θ＋π4)－R 2，θ∈(0，π4)．……8分(2)∵θ∈(0，π4)，∴2θ＋π4∈(π4，3π4)，∴当且仅当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取最大值(2－1)R 2．答：当θ＝π8时，矩形ABCD 的面积S 有最大值(2－1)R 2．……14分A BCDM OPQ F18．已知椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)是坐标平面内一点，且x 02＋y 02＝74．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点S (0，－13)且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ､B 两点，问:在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点?若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由PF 1→•PF 2→＝34，即为(－c －x 0，－y 0)•(c －x 0，－y 0)＝34，即有x 02＋y 02－c 2＝34，又x 02＋y 02＝74，解得c ＝1，又e ＝c a ＝22，则a ＝2，b ＝1，因此所求椭圆的方程为：x 22＋y 2＝1．(2)动直线l 的方程为y ＝kx －13，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 2)x 2－43kx －169＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 3(1＋2k 2)，x 1x 2＝－169(1＋2k 2)， 假设在y 轴上存在定点M (0，m )，满足题设，则MA →＝(x 1，y 1－m )，MB →＝(x 2，y 2－m )， MA →•MB →＝x 1x 2＋(y 1－m )(y 2－m )， 方法一：＝x 1x 2＋y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋m 2＝x 1x 2＋(kx 1－13)(kx 2－13)－m (kx 1－13＋kx 2－13)＋m 2＝(1＋k 2)x 1x 2－k (13＋m )(x 1＋x 2)＋m 2＋23m ＋19＝－16(1＋k 2)9(1＋2k 2)－k (13＋m )•4k 3(1＋2k 2)＋m 2＋23m ＋19＝18(m 2－1)k 2＋(9m 2＋6m －15)9(2k 2＋1)，方法法二：由x 2＋2(kx －13)2－2＝(1＋2k 2)(x －x 1)(x －x 2) ，得(x －x 1)(x －x 2)＝11＋2k 2[x 2＋2(kx －13)2－2] （*）． (y 1−m )(y 2−m )＝(kx 1－13－m )( kx 2－13－m )＝k 2(3m ＋13k －x 1) (3m ＋13k －x 2) ，在（*）式中令x ＝3m ＋13k ，得(3m ＋13k －x 1) (3m ＋13k －x 2)＝11＋2k 2·[(3m ＋13k )2＋2(3m 3)2－2]，∴(y 1−m )(y 2−m )＝11＋2k 2·[(3m ＋13)2＋2k 2m 2－2k 2]． 在（*）式中令x ＝0，则x 1x 2＝−1618k 2＋9，∴DA →•DB →＝x 1x 2＋(y 1−m )(y 2−m )＝−1618k 2＋9＋11＋2k 2·[(3m ＋13)2＋2k 2m 2－2k 2] ＝19＋18k 2[(3m ＋1)2－16＋18(m 2－1)k 2]，由假设得对于任意的k ∈R ，MA →•MB →＝0恒成立，即⎩⎨⎧m 2－1＝09m 2＋m －15＝0，解得m ＝1．因此，在y 轴上存在定点M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点，点M 的坐标为(0，1)．19．已知函数f (x )＝ae 2x ＋(a －2)e x －x ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝ae 2x ＋(a －2)e x －x ，∴f’(x )＝2ae 2x ＋(a －2)e x －1＝(ae x －1)(2e x ＋1)．①若a ≤0，则f ’(x )＜0，从而f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． ②若a ＞0，则由f’(x )＝0得x ＝ln 1a．当x ∈(－∞，ln 1a )时，f’(x )＜0，从而f (x )单调递减；当x ∈(ln 1a，＋∞)时，f’(x )＞0，从而f (x )单调递增．综上，若a ≤0，则f (x )在(－∞，＋∞)上单调减．若a ＞0，则f (x )在(－∞，ln 1a )上单调减，在(ln 1a ，＋∞)上单调增．(2)①若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点，不合题意．②若a ＞0，由(1)知，f (x )最小值为f (ln 1a )＝1－1a ＋ln 1a ．若f (x )有两个零点，则f (ln 1a )＜0，即1－1a －ln 1a ＜0，∵y ＝1－x －ln x 单调减，∴1a ＞1，解得0＜a ＜1．此时，1)由于e x ＜1a ，∴f (x )＝ae 2x ＋(a －2)e x －x ＞(a －2)e x －x ＞a －2a －x ，取x 1＜a －2a ＜ln 1a ，则f (x 1)＞a －2a －x 1＞0，且f (x )图象不间断，故f (x )在(－∞，ln 1a)有一个零点．2)由于e x ＞x ，得f (x )＝ae 2x ＋(a －2)e x －x ＞e x (ae x ＋a －3)，取x 2＞ln(3a－1)＞ln 1a ，则f (x 2)＞e x 2(ae x2＋a －3)＞0,且f (x )图象不间断,故f (x )在(ln 1a ,＋∞)有一个零点．综上,a 的取值范围为(0,1)．20．设等比数列{a n }的首项a 1＝2020，公比q ＝－12，前n 项和为S n ，前n 项积为T (n )．(1)求数列{S n }的最大项和最小项；(2)判断|T (n )|与|T (n ＋1)|的大小，并求n 为何值时，T (n )取得最大值；(3)证明{a n }中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d 1，d 2，d 3，…，d n ，证明：数列{d n }为等比数列．(参考数据210＝1024)解：(1)S n ＝a 1[1－(－12)n ]1－(－12)＝23a 1[1－(－12)n ]．①当n 是奇数时，S n ＝23a 1[1＋(12)n ]，单调递减，∴S 1＞S 3＞S 5＞···＞S 2n －1＞23a 1，②当n 是偶数时，S n ＝23a 1[1－(12)n ]，单调递增，∴S 2＜S 4＜S 6＜···＜S 2n ＜23a 1；综上，当n ＝1时，S n 的最大值为S 1＝2020；当n ＝2时，S n 的最小值为S 2＝1010． ……4分(2)∵|T (n )|＝|a 1a 2a 3…a n |，∴|T (n ＋1)||T (n )|＝|a n ＋1|＝2020×(12)n ，∵2020211＜1＜2020210， ∴当n ≤10时，|T (n ＋1)|＞|T (n )|；当n ≥11时，|T (n ＋1)|＜|T (n )|， ……6分 又T (10)＜0，T (11)＜0，T (9)＞0，T (12)＞0， ∴|T (n )|的最大值是T (9)，T (12)中的较大者． ∵T (12)T (9)＝a 10a 11a 12＝a 113＝[2020(－12)10]3＞1，∴T (12)＞T (9)， 因此，当n ＝12时，T (n )最大． ……8分 (3)|a n |随n 增大而减小，数列{a n }的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增．①当n 是奇数时，调整为a n ＋1，a n ＋2，a n ，则a n ＋1＋a n ＝a 1(－12)n ＋a 1(－12)n －1＝a 12n ，2a n ＋2＝2a 1(－12)n ＋1＝a 12n ，∴a n ＋1＋a n ＝2a n ＋2，a n ＋1，a n ＋2，a n 成等差数列； ②当n 是偶数时，调整为a n ，a n ＋2，a n ＋1，则a n ＋1＋a n ＝a 1(－12)n ＋a 1(－12)n －1＝－a 12n ，2a n ＋2＝2a 1(－12)n ＋1＝－a12n， ∴a n ＋1＋a n ＝2a n ＋2，a n ，a n ＋2，a n ＋1成等差数列；综上可知，数列{a n }中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列． ……12分①n 是奇数时，公差d n ＝a n ＋2－a n ＋1＝a 1[(－12)n ＋1－(－12)n ]＝3a 12n ＋1；②n 是偶数时，公差d n ＝a n ＋2－a n ＝a 1[(－12)n ＋1－(－12)n －1]＝3a12n ＋1．无论n 是奇数还是偶数，都有d n ＝3a 12n ＋1，则d n d n －1＝12．因此，数列{d n }是首项为34a 1，公比为12的等比数列．……16分。
江苏省南京市金陵中学2022届高三下学期复习检测(二)数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知a 为实数,复数为纯虚数,则A．B ．1C．D ．22. 若某群体中的成员不用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则只用现金支付的概率为（ ）A．B．C．D．3.已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ）条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．5. 若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（ ）A ．0B ．2C ．4D ．-26. 已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）A ．当时，曲线为椭圆，其焦距为B ．当时，曲线为双曲线，其离心率为C ．存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线D ．当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切7.函数，则的图象在内的零点之和为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88.已知中，，，，点是边的中点，则等于A ．1B ．2C ．3D ．49. 如图所示，边长为的等边从起始位置（与轴重合）绕着点顺时针旋转至与轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）A ．边所在直线的斜率的取值范围是B．边所在直线在轴上截距的取值范围是C ．边与边所在直线的交点为D ．当的中垂线为时，江苏省南京市金陵中学2022届高三下学期复习检测(二)数学试题(1)江苏省南京市金陵中学2022届高三下学期复习检测(二)数学试题(1)三、填空题四、解答题10.已知抛物线与直线有公共点，则的值可以是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511.已知点为圆：上的动点，点的坐标为，，设点的轨迹为曲线，为坐标原点，则下列结论正确的有（ ）A ．的最大值为2B．曲线的方程为C．圆与曲线有两个交点D．若，分别为圆和曲线上任一点，则的最大值为12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ，点M ，N 在C 上，且，则（ ）A．B ．直线MN的斜率为C．D．13.在正方体中，已知点在直线上运动，则下列四个命题中：①三棱锥的体积不变；②；③当为中点时，二面角的余弦值为；④若正方体的棱长为2，则的最小值为；其中说法正确的是____________（写出所有说法正确的编号）14. 在中．若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________．15. 欧拉公式把自然对数的底数e ､虚数单位i ､三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被兴为“数学中的天桥”，若复数z满足，则z 的虚部是___________，___________.16.如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．（1）证明：；（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．17.已知椭圆:的左、右焦点分别是，，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，点在椭圆上，且，（为坐标原点）(1)求椭圆的离心率；(2)椭圆过点，且经过点的直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于，两点，证明：．18. 已知，，为椭圆上三个不同的点，满足，其中.记中点的轨迹为.(1)求的方程；(2)若直线交于，两点，交于，两点，求证：.19. 从①，，②，，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，.(1)若且，求的值；(2)若D 是线段AC 上的一点，，___________，求BD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 如图，在三棱台中，，，．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．21. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，△ABC 的面积．(1)若，求的值；(2)求的取值范围．。
2021-2022学年南京市金陵中学高三12月调研数学试题【含答案】
2021-2022学年南京市金陵中学高三12月调研数学一、单项选择题1．已知集合{lg 0},{0 4}M x x N x x =>=∣∣, 则MN =（ ）.A (0,1).B [0,4] .C (1,4].D {1,4}2．已知1tan 3α=，则sin 2α=（ ）.A 45.B 35.C310.D1103．1"0,"3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是“函数(31)4,1,(),1m x m x f x mx x -+<⎧=⎨-≥⎩是定义在R 上的减函数”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件4．己知直线:0(0)l x y m m +-=>与圆224x y +=交于,A B 两点，O 为原点，且2OA OB ⋅=，则实数m 等于（ ）.A.B .C 2 .D5．已知数列{}n a 满足1,3, n n n n a n +⎧=⎨⎩为偶数为奇数，若11(2)m m m a a a m -+⋅=， 则m =（ ）.A 3 .B 6 .C 8 .D 106．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱1113,60AA A AD A AB ︒=∠=∠=，则1AC =（ ）.A .B.C.D7．设函数24(),()sin ,()f x x g x x h x ax x=+==，若对于任意的(0,),()()()x g x h x f x ∈+∞≤≤都成立，则实数a 的取值范围为（ ）.A []1,3.B 1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C []1,8.D 1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设椭圆2222:1x y C a b+=的左右两个焦点分别为12,F F ，右顶点为,A M 为椭圆上一点，且2212MF A MAF MF A ∠=∠=∠，则椭圆C 的离心率为（ ）.A312- .B3352- .C514- .D1744-二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．对于实数,,a b c ，下列结论正确的是（ ）.A 若a b >，则ac bc <.B 若22ac bc >，则a b >.C 若0a b <<，则||||a b >.D 若0c a b >>>，则11c a c b>-- 10．已知()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则（ ）.A ()y f x =的最小正周期为π .B 1212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.C ()y f x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.D 6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数11．在平面直角坐标系xOy 中，已知12(1,1),(1,0),(1,0)A F F -，若动点P 满足124PF PF +=，则（ ）.A 存在点P ，使得21PF =.B 12PF F 面积的最大值为3.C 对任意的点P ，都有2||3PA PF +>.D 有且仅有3个点P ，使得1PAF 的面积为3212．已知正方体''''ABCD A B C D -的边长为2，Q 为棱'AA 的中点，点,M N 分别为线段'',C D CD 上两动点（包括端点），记直线,QM QN 与平面''ABB A 所成角分别为,αβ，且22tan 4tan αβ+=，则（ ）.A 存在点,M N 使得//'MN AA.B DM DN ⋅为定值32x O -3πy 第10题.C 存在点,M N 使得52MN =.D 存在点,M N 使得MN CQ ⊥三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）．13．甲乙丙丁四人站成一排，其中甲不站排头和排尾，共有 种不同的站法（用数字作答）. 14．若复数z 满足1z z ⋅=，则|2|z i -的最大值是 .15. 已知,,,A B C D 在球O 的球面上，ABC 为等边三角形且其面积为334，AD ⊥平面,2ABC AD =，则球O 的表面积为 .16．若存在正数,x y ，使得2(3)(ln ln )0e y x x y ay ---=，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为 .四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． ·17．在ABC 中, 设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，532,sinsin 22B C a b a B +== (1) 求sin A ;(2) 如图, 点M 为边AC 上一点, ,2MC MB ABM π=∠=, 求ABC 的面积.18．已知数列{}n a 满足123,5a a ==, 且*2123,n n n a a a n ++=-∈N(1)设1n n n b a a +=-, 求证:数列{}n b 是等比数列;(2)若数列{}n a 满足()*n a m n ∈N , 求实数m 的取值范围.19．一个盒子里有8个大小相同的小球，其中有6个白球，2个黑球，现依次从盒中随机摸出一个第17题球且不放回，直至8个球都被摸出，以X 表示6个白球被两个黑球隔成的段数， 例如，摸出的顺序为“黑白白白白白白黑”，则此时1X =，摸出的顺序为“白黑白白黑白白白”，则此时3X =. (1) 求两个黑球连在一起被摸出的概率； (2) 求X 的分布列和期望.20．如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为2的等边三角形，,22PA AB BD CD ===，22PC PB ==，点E 是BC 中点，平面ABC ⊥平面BCD .(1) 求证：//DE 平面PAC ；(2) F 是直线BC 上的一点，若二面角F DA B --为直二面角，求BF 的长.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>6两顶点围成的四边形面积为(1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 我们称圆心在椭圆C 上, 半径为2a的圆是椭圆C 的"卫星圆", 过原点O 作椭圆C 的"卫星圆"的两条切线, 分别交椭圆C 于,A B 两点, 试问22||||OA OB +是否为定值?若是, 求出该定值; 若不是, 请说明理由.22．设2()e ,()1x f x ax g x x =-=-, 其中e 为自然对数的底数，a ∈R .(1) 若()0f x >对任意的(0,)x ∈+∞都成立, 求实数a 的取值范围;(2) 设()()()F x f x g x =-, 当(,)a t ∈+∞时,()F x 有三个不同的零点, 求实数t 的最小值.2021-2022学年南京市金陵中学高三12月调研参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．(1) sin sin 2B C b B += sin sinsin 2sin 0,sin 2cos 2sin cos 222cos 0,sin 2224sin 2sin cos 225B C B A B B C B AA A A A A A A A A +=+≠∴==≠∴====(2)设4MC MB x ==，则cos cos si ,545n ,3BMC BMA A AMx AB x ∠=-∠=-=-==由余弦定理223218cos 3245x BMC x x -∠=-=⇒，则MC MA AC =，高sin h AB A ==12728S AC h ==18．(1) *2121123,2()n n n n n n n a a a n a a a a +++++=-∈-⇒-=N 1n n n b a a +=-，即12n n b b +=，所以数列{}n b 是等比数列(2) 由（1）数列{}n b 是等比数列，首项1212b a a =-=，公比12q =，则22n n b -= 根据累加法，12121321112(1)2,2112n n n n n b b b a a a a a a a a n ---+++=-+-++-=-=≥-， 则131123272,2,112n n n a n --⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯=-≥-，经检验1n =符合，则3727n n a -=-<，所以7m ≥19．(1) 设两个黑球连在一起被摸出为事件A ，根据捆绑法得172871()284C P A C === (2) 2811(1)28P X C === 11752288217(2)28C C P X C C ==+=2528105(3)2814C P X C ====分布列如下期望1343065()28282828E X =++=20．(1)ABC 是边长为2的等边三角形，则2PA AB AC ===，又PC PB ==,PA AB PA AC ⊥⊥，故PA⊥平面ABC ，BD CD =，点E 是BC 中点，则DE BC ⊥，由于平面ABC ⊥平面BCD 知DE ⊥平面ABC ，则//DE PA ，//DE 平面PAC(2) 以点E 为原点，EC 方向为x 轴，EA 方向为y 轴，ED 方向为z 轴建系 则(0,0,1),(1,0,0)D A B -，设(,0,0)F a平面FDA 内，(0,3,1),(,0,1)DA DF a =-=-，法向量(3,)m a = 平面BDA 内，(0,3,1),(1,0,1)DA DB =-=--，法向量(3,1,m =- 设直二面角F DA B --的平面角θ，则37cos 0,430,,44m n a a BF θ==-===21．(1)，则2213b a =，两焦点与短轴两顶点围成的四边形面积为，即2bc =，又222a bc =+，解得2,c b a ===22:1124x y C +=(2) 当,OA OB 斜率均存在时设221211221222121212:,:,(,),(,),,3131OA y k x OB y k x A x y B x y x x k k ====++ 设"卫星圆"220000()()3,(,)x x y y xy -+-=在椭圆上，直线与圆相切 222200000122031(3)2(3)0,33y x k x y k y k k x -=--+-===- 222222222121212122222222121212121212121272()48()243248()||||1631319()3()123()k k k k k k k k OA OB k k k k k k k k +++++++++===+++++++=。
江苏省南京市金陵中学2021-2022学年高三下学期3月学情调研数学试题
金陵中学2021~2022学年3月学情调研高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．复数2－i1－3i 在复平面内对应的点在第_____象限．A ． 一B ． 二C ．三D ．四2．已知sin α＝35，sin2α＜0，则cos(π＋α)的值为A ．45B ．－45C ．35D ．－353．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＝2与抛物线C :y 2＝2px (p ＞0) 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为 A ． (14，0)B ． (12，0)C ． (1，0)D ． (2，0)4．已知a ＝2log 53，b ＝12log 52，c ＝log73，则 A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a5．正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为 A ．20＋123B ．2823C ．563D ．2826．已知α＋β＝π4(α＞0，β＞0)，则tan α＋tan β的最小值为A ．22B ．－2－22C ．1D ．22－27．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ＜m ，x －1e x ，x ≥m ，g (x )＝f (x )－n ．若存在实数n ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数m 的取值范围为 A ．(1－1e2，2)B ．(1＋1e2，2)C ．(－1－1e2，2)D ．(－1＋1e2，2)8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点M ，N 在双曲线C 上．若四边形OFMN 为菱形，则双曲线C 的离心率为 A ．3－1 B ．5－1 C ．3＋1 D ．5＋1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．对于实数a ，b ，c ，下列结论正确的是 A ．若a ＞b ，则ac ＜bc B ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bC ．若a ＜b ＜0，则|a|＞|b |D ．若c ＞a ＞b ＞0，则1c －a ＞1c －b10．已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列结论正确的是A ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βB ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βC ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，1)，F 1(－1，0)，F 2(1，0)．若动点P 满足 |PF 1|＋|PF 2|＝4，则 A ．存在点P ，使得|PF 2|＝1 B ．△PF 1F 2面积的最大值为3 C ．对任意的点P ，都有|P A |＋|PF 2|＞3D ．有且仅有3个点P ，使得△P AF 1的面积为3212． 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E ，F 分别为BB 1，C 1D 1的中点，则 A ．EF ⊥EC B ．BD ∥平面AEFC ．三棱锥C 1CEF 外接球的表面积为5πD ．平面A 1BCD 1被三棱锥C 1－CEF 外接球截得的截面圆面积为9π8三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →的值为▲________．14．数列{a n }通项公式a n ＝|2n －3|．若等差数列{b n }满足:n ∈N ＋，都有a n ≤b n ≤a n ＋1，则数列{b n }的通项公式b n ＝▲________．15．袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则E (ξ)的值为▲________．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2＋(2－a )x ，其中a ≥0．若对任意的x ∈R ，都有f (x －2a )≤f (x )，则a 的取值范围为▲_______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0，求数列{b n }的前n 项和为T n ．18．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝π3，∠ADC ＝π2，BC ＝8．(1)若△ABC 的面积为123，求AC ；(2)若AD ＝63，∠ACB ＝∠ACD ＋π3，求tan ∠ACD ．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝4，AP ＝15，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD ⊥DC ，PM ⊥MD ． (1)证明:AB ⊥PM ；(2)求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．(1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求甲最终获胜的概率．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，点A ，B 分别为右顶点和上顶点，1|OF |＋1|OA |＝e |F A |，△OAB 的面积为2，其中e 为E 的离心率． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点O 异于坐标轴的直线与E 交于M ，N 两点，射线AM ，AN 分别与圆C :x 2＋y 2＝4交于P ，Q 两点，记直线MN 和直线PQ 的斜率分别为k 1，k 2，问k1k 2是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝e x －ax 2－x －1(a ＞0)．(1)当a ＝e2时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)设F (x )＝f (x )＋2，当a ∈(t ，＋∞)时，F (x )有三个不同的零点，求实数t 的最小值．。
江苏省南京市金陵中学2022届高三下学期复习检测(二)数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知平面向量满足，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．2.已知，则（ ）A．－B．C．－D．3. 已知全集，则（ ）A．B．C．D．4. 设复数满足，则A．B．C．D．5. “”是“函数在区间上为减函数”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6. 已知平面向量与的模长之比为，且夹角为，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．7. 已知：，：，，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.已知全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．9. “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将描述为“个，个，个”，则第五项为，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则的最后一个数字为6D ．若，则中没有数字10.奇函数与偶函数的定义域均为，且满足，则下列判断正确的是（ ）A．B．C ．在上单调递增D ．的值域为11. 已知不相等的实数，满足，则下列四个数，，，经过适当排序后（ ）A ．可能是等差数列B ．不可能是等差数列C ．可能是等比数列D ．不可能是等比数列12.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．在上单调递减B ．有两个零点江苏省南京市金陵中学2022届高三下学期复习检测(二)数学试题(2)江苏省南京市金陵中学2022届高三下学期复习检测(二)数学试题(2)三、填空题四、解答题C．若恒成立，则实数D．是奇函数13.已知，则_________．14. 用长度为1，4，8，9的4根细木棒围成一个三角形（允许连接，不允许折断），则其中某个三角形外接圆的直径可以是______（写出一个答案即可）．15. 已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是______.16. 若对任意实数都有函数的图像与直线相切，则称函数为“恒切函数”，设函数，其中.(1)讨论函数的单调性；(2)已知函数为“恒切函数”，①求实数的取值范围；②当取最大值时，若函数也为“恒切函数”，求证：.17. 已知集合，（Ⅰ），求；（Ⅱ）若，求实数的值.18. 网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图，这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁．（1）根据已知条件完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？网购迷非网购迷合计年龄不超过40岁年龄超过40岁合计（2）若将所抽取样本中周平均网购次数为6次的市民称为超级网购迷，且已知超级网购迷中有2名年龄超过40岁，若从超级网购迷中任意挑选2名，求至少有一名市民年龄超过40岁的概率．（附：）0.150.100.050.012.0722.7063.8416.63519. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁．这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣，为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛活动，为了解男生和女生对航天知识的掌握情况，该校随机抽取了100名男生和100名女生的竞赛成绩（满分100分）作为样本数据，并将数据分成6组：［40，50），［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，整理得到如下频率分布直方图．(1)估计该校男生和女生竞赛成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)若竞赛成绩为70分或70分以上的学生称为“太空达人”，完善2×2列联表，并判断：是否有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关？非“太空达人”“太空达人”总计男生女生总计附：，其中．0.0500.0100.0013.841 6.63510.82820. 如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，为等边三角形，.(1)求证：平面平面；(2)求二面角大小的余弦值.21. 某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有的概率出现自动运行故障，此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该人员无法对其它设备进行维护.工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立.（1）若安排1名人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率；（2）设该工厂有甲，乙两个相互独立的车间.甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2人，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2人共同负责维护.若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较两个车间稳定性的高低.。
20xx年江苏省5月海安、南外、金陵中学高三调研测试数学试题及答案(16页)
20xx年江苏省5月海安、南外、金陵中学高三调研测试数学试题及答案（16页）江苏省海安高级中学20xx届南京外国语学校高三调研测试南京市金陵中学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 命题“，x2≥3”的否定是▲ ．1 82 83 0 2 84 0（第3题）2. 设复数（是虚数单位，）．若的虚部为3，则的值为▲1 82 83 0 2 84 0（第3题）3．右图是小王所做的六套数学附加题的得分的茎叶图（满分40分），则其平均得分为▲ ．S←0a←1For IS←0a←1For I From 1 to 3a←2×aS←S＋aEnd ForPrint S（第5题）若，则m取值范围是▲ ．5．右图是一个算法的伪代码，输出结果是▲ ．6．在区间[0，1]间随机取出2个数（可以相同），它们的差的绝对值大于的概率为▲ ．7．在平面直角坐标系中，过点M（1，0）的直线xyc0与圆交于A，B 两点，则= ▲ ．8．常用的复印纸的型号有，，等，它们的长宽（单位：mm）理想设计尺寸分别为，，，据此可推得，型号的复印纸的理想设计尺寸应为▲ ．9．已知，且，，则▲ .10．设函数，的图象的一个公共点为，且曲线，在点P处有相同的切线，函数的负零点在区间，则k = ▲ .11．设数列满足，当时，；当时，．则▲ ．（注：[x]为不超过实数x的最大整数，记{x}x[x]．）12．已知直角三角形ABC的三个顶点都在抛物线上，且斜边AB // x轴，则斜边上的高等于▲ ．13．已知平面向量，，满足，且与的夹角余弦为，与的夹角余弦为，，则的值为▲ ．14．设，对任意的，不等式，则的取值范围是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．(本小题满分14分)在△ABC中，，，点D在BC边上．（1）若AD为的平分线，且BD1，求△ABC的面积；（2）若AD为△ABC的中线，且AD，求证：△ABC为等边三角形．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，除棱外，其余棱均等长，为棱的中点，为线段上靠近点的三等分点．（1）若，求证：平面；（2）试在平面上确定一点，使得平面，且平面，并给出证明．（第（第16题）17．(本小题满分14分)如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，m，m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？AAEDCBFAEDCBF图1图218．(本小题满分16分)定义：如果两个椭圆，它们的离心率相同，那么称这两个椭圆相似，它们的长轴之比（大于1）叫做这两个椭圆的相似比．（1）设，试判断椭圆和椭圆能否相似？相似时求出它们的相似比；（2）如图，在平面直角坐标系中，设椭圆：和椭圆：相似，过椭圆的右焦点F且不垂直于x轴的直线l与这两个椭圆自上而下依次交于点，，，，射线，与椭圆分别交于点M，N ，连MN．求证：① MN ∥；②△ABM和△CDN的面积相等．NNF（第18题）19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的两个无穷数列、满足．（1）当数列是常数列（各项都相等的数列），且时，求数列的通项公式；（2）设、都是公差不为0的等差数列，求证：数列有无穷多个，而数列惟一确定；（3）设，，求证：．20．(本小题满分16分)设函数，其中a，x∈R，e是自然对数的底数， .（1）当a=0时，解不等式；（2）求函数的单调增区间；（3）设，讨论关于x的方程的解的个数．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（第21（第21—A题）BEFDA（本小题满分10分）如图，在△ABC中，，延长BA到D，使得ADAB，E，F分别为BC，AC的中点，求证：DFBE．B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知曲线：，对它先作矩阵对应的变换，再作矩阵对应的变换，得到曲线：，求实数的值．C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知圆C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数，），若圆C被直线l截得的弦长为，求的值．D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）对任给的实数a和b，不等式恒成立，求实数x的取值【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A A1ABAC1，AB⊥AC，M，N分别是棱CC1，BC的A1C1B1MCNBA1C1B1MCNAP（第22题）（1）求直线PN与平面ABC所成的角最大时，线段的长度；（2）试确定点P的位置，使平面PMN与平面ABC所成的二面角为，并说明理由．23．（本小题满分10分）设函数，，且，其中常数为区间（0，1）内的有理数．（1）求的表达式（用和表示）；（2）求证：对任意的正整数，为有理数．数学Ⅰ 参考答案及评分标准一、填空题：1. ，2. 5 3． 31 4． 1＜m＜9 5． 14 6． 7． 2或8．297×210 9． 10． 11． 12． 2 13．－ 14． [4,5] 15．（1）在△ABD中，，在△ACD中，，相除得：AC=2AB………………………………………3分在△ABC中，，∴AB=，AC=2………………………………………6分∴………………………………………7分（2）∵，∴∴………………………………………9分又,相减得………………11分∴∴即∶AB=AC，又∠C=60°∴三角形ABC为等边三角形．………………14分 16．由题意得：为△ABC的中心，则CM⊥AB，∵为棱的中点，PA=PB，∴PM⊥AB，…………………………2分又PM∩CM=M∴AB⊥平面PMC，………………………………………4分又PO平面PMC∴AB⊥PO又PO⊥MCMC∩AB=M∴平面………………………………………7分（2）Q为线段MP上靠近M点的三等分点． (9)分∵∴OQ//PC，又平面PAC，平面PAC，∴OQ//平面PAC………………………………………12分同理可证：OQ//平面PBC．………………………………………14分17．k （1）设钢丝绳长为ym，，则（其中，）………………………………3分当时，即时，………………………………………6分（2）设钢丝绳长为ym，，则（其中，）………………9分令得当时，即时………………………………………12分答：按方法（1），米时，钢丝绳最短；按方法（2），米时，钢丝绳最短。
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一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.（不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）. 1、若2{|228},{|log 1}x A x B x x =≤≤=>，则A B =I _____.2、存在实数x ，使得0342<+-b bx x 成立，则b 的取值范围是______.3、已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a += ______.4、已知向量(1)(1)a n b n ==-r r，，，，若2a b -r r 与b r 垂直，则a =r ______. 5、△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知60B =︒，不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<，则b =_____________6、已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是__ ___.7. 若实数m 、∈n {1-，1，2，3}，且n m ≠，则曲线122=+ny m x 表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是 ．8.已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅r r r在R 上有极值，则a r 与b r的夹角范围为___ __.9．在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合）， 且22||||AB AD BD DC =+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则B ∠等于 ．10．不等式1||40x a x+-+>对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 。
11．已知向量1(1,1),(0,)5m n ==，设向量(cos ,sin )([0,]),()OA m OA n αααπ=∈⊥-u u u r u u u r 且，则tan α= 。
12．设1a >，若函数2()log ()a f x ax x =-在区间1[,4]2上是增函数，则a 的取值范围是 。
13．对于函数()1||xf x x =+，下列结论正确的是 。
①,()()0;x R f x f x ∀∈-+=②(0,1),()m f x m ∃∈=使得方程有两个不等的实数解；③(1,),()()k x f x kx ∃∈+∞=-使得函数g 在R 上有三个零点；④121212,,,()().x x R x x f x f x ∀∈≠≠若则14、设P 是椭圆1162522=+y x 上任意一点，A 和F 分别是椭圆的左顶点和右焦点， 则AF PA PF PA ⋅+⋅41的最小值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、（本小题满分14分）已知向量(sin ,3cos )p x x =u r，(cos ,cos )q x x =r ，定义函数()f x p q =⋅u r r . （1）求()f x 的最小正周期T ；（2）若△ABC 的三边长,,a b c 成等比数列，且22c ac a bc +-=，求边a 所对角A以及()f A 的大小．16、（本小题满分14分）如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥CD ． （Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）若AD ＝2，BC ＝3，F 为PD 中点， BE ＝BC 31， 求证：EF ∥平面PAB ．17、（本小题满分15分）某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）； （2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？PABCD·F·E18、（本小题满分15分）如图，已知圆心坐标为的圆M 与x 轴及直线x y 3=分别相切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x 轴及直线x y 3=分别相切于C 、D 两点．（1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．19、（本小题满分16分）设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，满足)(1*∈-=N n a T n n ．(1)设nnT b 1=，证明数列{}n b 是等差数列，并求n b 和n a ；(2)设22221nn T T T S +++=Λ求证：41211-≤<-+n n n a S a ．20、（本小题满分16分） 函数(1)()ln (0,)a x f x x x a R x-=->∈． （1）试求()f x 的单调区间；（2）当0a>时，求证：函数()f x 的图像存在唯一零点的充要条件是1a =；（3）求证：不等式111ln 12x x -<-对于(1,2)x ∈恒成立．参考答案二、填空题 1、{}32|≤<x x 2、043<>b b 或 3、3-4、25、326、]3,23[-7、418、]3ππ，（ 9、125π 10、()6-∞-， 11、34- 12、()∞+，2 13、①②④ 14、9- 三、解答题15、解：(1)f(x)＝p·q ＝(sin x ，3cos x)·(cos x ，cos x)＝sin xcos x ＋3cos 2x ………………2分＝12sin 2x ＋3·1＋cos 2x 2＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin(2x ＋π3)＋32.………………………………………………………………………………4分∴f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.………………………………………………………………6分(2)∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，………………………………………………………7分 又c 2＋ac －a 2＝bc.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ac ＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.…………………………………………………10分又∵0<A<π，∴A ＝π3.…………………………………………………………………………12分f(A)＝sin(2×π3＋π3)＋32＝sin π＋32＝32.……………………………………………………14分16、略 17．解：（1）xx x y )2642(5.0100++++++=Λ即5.1100++=xx y （0>x ）；（不注明定义域不扣分，或将定义域写成*N x ∈也行） （2）由基本不等式得：5.215.110025.1100=+⋅≥++=xx x x y （万元） 当且仅当xx100=，即10=x 时取到等号． 答：该企业10年后需要重新更换新设备．18．解：（1）由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切，故M 到OA 及OB 的距离均为⊙M 的半径，则M 在∠BOA 的平分线上，同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA的平分线， ∵M 的坐标为)1,3(，∴M 到x 轴的距离为1，即⊙M 的半径为1，则⊙M 的方程为1)1()3(22=-+-y x ，-------------------------------4分设⊙N 的半径为r ，其与x 轴的的切点为C ，连接MA 、MC ， 由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ：ON=MA ：NC ， 即313=⇒=+r rr r ，则OC=33，则⊙N 的方程为9)3()33(22=-+-y x ；----------8分（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A 点直线MN 的平行线被⊙N 截得的弦的长度，此弦的方程是)3(33-=x y ，即：033=--y x ， 圆心N 到该直线的距离d=23，则弦长=33222=-d r ．另解：求得B （23,23），再得过B 与MN 平行的直线方程033=+-y x ， 圆心N 到该直线的距离d '=23，则弦长=33222=-d r ．（也可以直接求A 点或B 点到直线MN 的距离，进而求得弦长）19．解：(1)∵)2(,),(11≥=∈-=-*n T T a N n a T n nn n n，∴数列{}n b 是以2为首项，以1为公差的等差数列，∴1)1(2+=-+=n n b n，∴111+==n b T n n ，∴1111+-=-=n T a n n (2)22222221)1(13121++++=+++=n T T T S n nΛΛ，∵2121)2)(1(1431321)1(13121222+-=++++⨯+⨯>++++n n n n ΛΛ211-=+n a∴n n S a <-+211，当2≥n 时，)1(132121)1(131212222+++⨯+<++++n n n ΛΛ 41112141-=+-+=n a n ， 当1=n 时，41411211-===a T S ， ∴41-≤n n a S .20．（1）/221()(0)a x a f x x x x x -=-=>．当0a ≤时，/()0f x >，在(0,)+∞上单调递增；当0a>时，(0,)x a ∈时，/()0f x <，在上单调递减； (,)x a ∈+∞时，/()0f x >，在(,)a +∞上单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0a>时，()f x 的单调递增区间为(,)a +∞，单调递减区间为(0,)a ．（2）充分性：a =1时，由（1）知，在x =1处有极小值也是最小值， 即min ()(1)0f x f ==.而（0，1）在上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，在(0,)+∞上由唯一的一个零点x =1． 必要性：()f x =0在(0,)+∞上有唯一解，且a >0, 由（1）知，在x =a 处有极小值也是最小值f (a )，f (a )=0,即ln 10a a -+=． 令()ln 1g a a a =-+， /11()1ag a a a-=-=． 当01a <<时，/()0ga >，在（0，1）上单调递增；当a >1时，/()0g a <，在(1,)+∞上单调递减.max ()(1)0g a g ==，()g a =0只有唯一解a =1．。