南京市金陵中学高三数学调研测试卷

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.（不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）. 1、若

2{|228},{|log 1}x A x B x x =≤≤=>，则A B =I _____.

2、存在实数x ，使得0342

<+-b bx x 成立，则b 的取值范围是______.

3、已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π

++=，则2

12tan()a a += ______.

4、已知向量(1

)(1)a n b n ==-r r

，，，，若2a b -r r 与b r 垂直，则a =r ______. 5、△

ABC 中，三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知60B =︒，

不等式2

680x x -+->的解集为{|}x a x c <<，则b =_____________

6、已知函数()3sin()6

f x x π

ω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心

完全相同，若[0,]2

x π

∈，则()f x 的取值范围是__ ___.

7. 若实数m 、∈n {1-，1，2，3}，且n m ≠，则曲线12

2=+n

y m x 表示焦点在y 轴上的双曲线的概率是 ．

8.已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的函数3211()||32

f x x a x a bx =++⋅r r r

在R 上有极值，

则a r 与b r

的夹角范围为___ __.

9．在△ABC 中，π

6

A ∠=

，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合）， 且22||||AB AD BD DC =+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r

，则B ∠等于 ．

10．不等式1

|

|40x a x

+

-+>对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 。 11．已知向量1

(1,1),(0,)5

m n ==，设向量(cos ,sin )([0,]),()OA m OA n αααπ=∈⊥-u u u r u u u r 且，则

tan α= 。

12．设1a >，若函数2

()log ()a f x ax x =-在区间1[,4]2

上是增函数，则a 的取值范围

是 。 13．对于函数

()1||

x

f x x =

+，下列结论正确的是 。

①,()()0;x R f x f x ∀∈-+=②(0,1),()m f x m ∃∈=使得方程有两个不等的实数解；

③(1,),()()k x f x kx ∃∈+∞=-使得函数g 在R 上有三个零点；

④12

1212,,,()().x x R x x f x f x ∀∈≠≠若则

14、设P 是椭圆

116

252

2=+y x 上任意一点，A 和F 分别是椭圆的左顶点和右焦点， 则AF PA PF PA ⋅+

⋅4

1

的最小值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答

题纸的指定区域内. 15、（本小题满分14分）

已知向量(sin ,3cos )p x x =u r

，(cos ,cos )q x x =r ，定义函数

()f x p q =⋅u r r . （1）求()f x 的最小正周期T ；

（2）若△ABC 的三边长,,a b c 成等比数列，且22

c ac a bc +-=，求边a 所对角A

以及()f A 的大小．

16、（本小题满分14分）

如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥CD ． （Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；

（Ⅱ）若AD ＝2，BC ＝3，F 为PD 中点， BE ＝BC 3

1

， 求证：EF ∥平面PAB ．

17、（本小题满分15分）某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．

（1）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用

y （万元）

； （2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

P

A

B

C

D

·F

·

E

18、（本小题满分15分）如图，已知圆心坐标为的圆M 与x 轴及直线x y 3=分别相切于A 、

B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x 轴及直线x y 3=分别相切于

C 、

D 两点．

（1）求圆M 和圆N 的方程；

（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．

19、（本小题满分16分）设n T 为数列

{}n a 的前n 项之积，满足

)(1*∈-=N n a T n n ．

(1)设n

n

T b 1

=

，证明数列

{}n b 是等差数列，并求n b 和n a ；

(2)设2

2

22

1n

n T T T S +++=Λ求证：4

1211

-≤<-

+n n n a S a ．

20、（本小题满分16分） 函数

(1)

()ln (0,)a x f x x x a R x

-=-

>∈． （1）试求()f x 的单调区间；

（2）当0a

>时，求证：函数()f x 的图像存在唯一零点的充要条件是1a =；

（3）求证：不等式111ln 12

x x -<-对于(1,2)x ∈恒成立．