东北大学10数值分析A(研)答案
数值分析习题答案
数值分析习题答案数值分析习题答案数值分析是一门研究利用数值方法解决数学问题的学科。
在实际应用中，我们经常会遇到各种各样的数学问题，而数值分析提供了一种有效的方法来解决这些问题。
在学习数值分析的过程中，我们经常会遇到一些习题，下面我将为大家提供一些数值分析习题的解答。
习题一：给定一个函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求解f(x) = 0的根。
解答：要求解方程f(x) = 0的根，可以使用二分法。
首先，我们需要确定一个区间[a, b]，使得f(a)和f(b)异号。
根据f(x) = x^2 - 3x + 2的图像，我们可以选择区间[0, 3]。
然后，我们可以使用二分法来逐步缩小区间，直到找到根的近似值。
具体的步骤如下：1. 计算区间中点c = (a + b) / 2。
2. 计算f(c)的值。
3. 如果f(c)接近于0，那么c就是方程的一个根。
4. 如果f(c)和f(a)异号，那么根位于[a, c]之间，令b = c。
5. 如果f(c)和f(b)异号，那么根位于[c, b]之间，令a = c。
6. 重复步骤1-5，直到找到根的近似值。
通过多次迭代，可以得到方程f(x) = 0的一个近似根为x ≈ 1。
这个方法可以用来解决更复杂的方程，并且在实际应用中有广泛的应用。
习题二：给定一个函数f(x) = sin(x)，求解f(x) = 0的根。
解答：对于这个问题，我们可以使用牛顿迭代法来求解方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是一种通过不断逼近函数的根的方法，具体步骤如下：1. 选择一个初始近似值x0。
2. 计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)。
3. 计算下一个近似值x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)。
4. 重复步骤2和步骤3，直到找到根的近似值。
对于函数f(x) = sin(x)，我们可以选择初始近似值x0 = 1。
然后，我们可以计算f'(x0) = cos(x0) = cos(1) ≈ 0.5403。
数值分析参考答案
数值分析参考答案数值分析参考答案数值分析是一门研究使用数值方法解决数学问题的学科。
它涉及到数值计算、数值逼近、数值解法等方面的内容。
在实际应用中，数值分析可以帮助我们解决各种各样的问题，如线性方程组的求解、非线性方程的根的求解、插值、数值积分等等。
本文将给出一些数值分析常见问题的参考答案。
1. 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
常见的求解方法有直接法和迭代法。
直接法包括高斯消元法、LU分解法等，迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
2. 非线性方程的根的求解非线性方程的根的求解是数值分析中的另一个重要问题。
常见的求解方法有二分法、牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种迭代法，通过不断迭代逼近方程的根。
3. 插值插值是数值分析中的一个常见问题，它可以用于构造函数的近似值。
常见的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
这些方法通过已知的数据点来构造一个多项式函数，从而近似原函数。
4. 数值积分数值积分是数值分析中的另一个重要问题，它可以用于计算函数的定积分。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
这些方法通过将定积分转化为求和的形式，从而进行数值计算。
5. 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法是数值分析中的一个重要问题。
常见的数值解法有欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过将微分方程转化为递推关系，从而逐步逼近解。
6. 线性规划问题的求解线性规划问题是数值分析中的一个重要问题，它可以用于求解最优化问题。
常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。
这些方法通过不断迭代来逼近最优解。
7. 矩阵特征值和特征向量的计算矩阵特征值和特征向量的计算是数值分析中的一个重要问题。
常见的计算方法有幂法、反幂法、QR方法等。
这些方法通过迭代来逼近矩阵的特征值和特征向量。
总结起来，数值分析是一门研究使用数值方法解决数学问题的学科。
它涉及到线性方程组的求解、非线性方程的根的求解、插值、数值积分、常微分方程的数值解法、线性规划问题的求解以及矩阵特征值和特征向量的计算等方面的内容。
东北大学10数值分析B(研)答案
为什么？ 解 由于 f ( x, y ) xye y 关于 y 满足 Lipschitz 条件， 2分 5分 的差分公式：
所以，改进 Euler 法收敛。
h y n 1 y n 4 (3k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n 2h, y n 2hk1 ) y0
1 3 1 3 ， x2 2 6 2 6
4分
1 1 1 3 1 3 ) f( )] 积分公式为： f ( x)dx [ f ( 0 2 2 6 2 6
6分
解得： a 1 / 3, b 13 / 18 0.7222 ， 拟合曲线为: y
13 2 1 x 18 3
y ( x n 1 ) y ( x n ) y ( x n )h
y n hf n
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6
5分
h 2 f n f n ( fn ) 2 x y
2 fn 2 f n 2 f n f n f h3 2 f n [ 2 2 fn fn ( n ) 2 f h ] O(h 4 ) 2 6 x xy x y y y
。
解
3 2 4.(6 分)设 xk 1 xk axk bxk c, k 0,1,2,... 是求方程根 1 的迭代法，试确定
1/ 3 1/ 3 0 0 1 / 3 ,所以 B 由于 B 13 1/ 2 1/ 4 0
1 1 9 所以， H 3 ( x) ( x 2)( x 2 4 x 1) x 3 3x 2 x 1 2 2 2 9． 分）给定离散数据 （7
2012数值分析试题及答案
aii
(bi
n
aij
x
(k j
)
)
,
j 1
i 1,2,, n
(1) 求此迭代法的迭代矩阵 M ；
(2) 证明：当 A 是严格对角占优矩阵， 0.5 时，此迭代格式收敛.
解：迭代法的矩阵形式为：
x(k1) x(k) D 1 (b Ax (k) ) D 1 (D A)x(k) D 1b
x2 3/5
）.
线 …
8．对离散数据 xi yi
1 0 1 2 的拟合曲线 y 5 x 2 的均方差为( 2.5 1.58 ).
2 1 1 3
6
…
…
…
9．设求积公式
2
f (x)dx
1
A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1) 是插值型求积公式，则积分系
… 数 A0 3/ 4 , A1 0 , A2 9 / 4 .
2
2
2
2
2
2
R[ f ] 0 f (x)dx 0 p1 (x)dx 0 f (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 H 3 (x)dx 0 p1(x)dx
2 f (4) ( x ) (x 1 )2 (x 1 )2 dx f (4) () 2 (x2 1)2 dx
…
四、(10 分)利用复化 Simpson 公式 S2 计算定积分 I
2
cos
xdx
的近似值，并估
0
… 计误差。
… …
解：
I
S2
1 [cos0 6
cos2
东北大学 数值分析 08数值分析(研)答案
y n1 y n
f 1 h 2 f n hfn ( n fn ) 3 3 x y ( 2
2 2 fn 2 fn 2 fn 2 f f n2 ) O(h 4 ) n xy x 2 y 2
问应取 n 为多少？并求此近似值。 2 2 1．由 A0 A1 A2 , A0 A1 x1 A2 0, A0 A1 x12 A2 , 3 5 1 4 3 A0 A1 x1 A2 0, 可得： A0 A2 , A1 , x1 0 ，具有 3 次代数精度。 5 15 2． n 4
五、 （12 分）已知求解常微分方程初值问题：
y f ( x, y) , x [a, b] y ( a)
的差分公式：
h y n 1 y n 3 (k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n h, y n hk1 ) y0
( A)
5 33 ， Cond( A)1 21。 2
6．求区间[0，1]上权函数为 ( x) 1 的二次正交多项式 P2 ( x) 。
P0 ( x) 1， P1 ( x) x
9 x 3 3． x 为何值时，矩阵 A x 8 4 可分解为 GG T ，并求 x 6 时的分解式，其中 3 4 3
由 A 正定可得， 0 x 8 ， x 6 时有：
9 6 3 3 3 2 1 A 6 8 4 ＝ 2 2 2 1 3 4 3 1 1 1 1
试求形如 y a bx2 的拟合曲线。 由于 0 ( x) 1,1 ( x) x 2 ，所以 0 (1,1,1,1)T ,1 (1,0,1,4)T , f (2,1,3,2)T
东北大学数值分析答案
第一周解答：π=0.31415926×10M=1|π-3.141|=0.0005926<1/2 ×10m−n=0.5 ×101−n≤0.5×10−2所以n=3|π-3.142|=0.0004074<1/2 ×10m−n=0.5 ×101−n≤0.5×10−3所以n=4即3.141作为π的近似值具有3位有效数字3.142 有4位解答：√3=1.73205081…=0.173205081…M=1|√3−x|≤0.5×101−n|n=2时0.5×101−n=0.051.73205-x≤0.05x≥1.68205x=1.68205|√3−x|≤0.5×101−n|n=3时0.5×101−n=0.0051.73205-x≤0.005x≥1.72705x=1.72705解答：2256=2128×2128=264×264×2128=232×232×264×2128=216×216×232×264×2128=2×2×22×24×28×216×232×264×2128共计算8次乘法第二周解答：因为在n取一定位数时，1/n过于小导致系统计算为0.因此计算机求和在一定位数以后其余的数字都是0，结果为一常数解答：由于y0=28没有误差，可见误差是由√783引起的，设x=27.982σ=x-√783利用已知的递推算法，y n=y n−1−√783100和实际计算中的递推公式Y n=Y n−1−x/100(Y0=y0)两公式相减，e(Y n)=Y n−y n=Y n−1−y n−1−x−√783100e(Y n)= e(Y n−1)- σ/100此为绝对误差因为σ=x-√783数值恒定不变，因此该递推过程稳定解答：(1)原式=2x2(1−2x)(1−x)(2)e x 在x=0处的泰勒展开式可得： e x =1+x +12!x 2+⋯1n!x 2+R n (x) 所以1−e x x=x+12!x 2+⋯1n!x2x=1+12!x 2+⋯1n!x n−1第三周解答：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡61-12001-101-1131-11-301-101-11101112-2-211-11消元消元回代得解，;3,2,2321===x x x解答：1. 使用条件：当系数矩阵 A 的各阶顺序主子式非零时，顺序高斯消去法可以顺利进行；而一般只要系数矩阵 A 的行列式非零，列主元高斯消去法就可以顺利进行。
数值分析课后习题与解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析书本标准答案
习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
解：14.31=x312110211021--⨯=⨯≤-x π所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e 绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε 21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e 绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε31222105.0105.01012645.00012645.0722722---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε1133551=x7166105.0105.01032.000000032.0113355---⨯=⨯≤⨯==-π 所以，4x 有七位有效数字绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
5000,50.31,3015.0,0315.04321====x x x x解：0315.01=x m=-13141*10211021---⨯=⨯≤-x x 所以，n=3，1x 有三位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r a ε3015.02=x m=04042*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50.313=x m=24223*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50004=x m=44404*10211021-⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：5.010210=⨯=ε，相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。
(完美版)第10章习题解答数值分析
第十章习题解答1、用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题y 二 x - y x [0,1]I y(0) = 2取h = 0.1，并将计算结果与精确值相比较。
解：f(x, y) = X- y ,由Euler 公式及改进的Euler 方法，代入 h = 0.1，有果如下n =0 1 23 4 5 67 89 10xn=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.6 0.70.8 0.91.0Y n =2 1.8000 1.6300 1.4870 1.3683 1.2715 1.1944 1.1350 1.0915 1.0623 1.0461 Y n =2 1.8150 1.65711.5237 1.4124 1.3212 1.2482 1.1916 1.1499 1.1217 1.1056y2 1.81451.6562 1.5225 1.4110 1.3 佃6 1.2464 1.1898 1.1480 1.1197 1.1036y n 为Euler 方法的结果，y n 为改进的Euler 方法的结果，y 为精确解。
2、用梯形公式求解初值问题t 23、试用Euler 公式计算积分f e t dt 在点x=0.5, 1, 1.5, 2的近似值。
x 2x 2解: f (x,y)二 2xe 由 Euler 公式得 y “y n 2* 0.5x “e n ，计算可得Euler 方法 改进的Euler 方法y n 1 二 0.9 y n 0.1X依次计算结y n1 = 0.905 y n 0.095x n 0.005y =「y y(0p 1x- 0证明其近似解为y n=(G )n。
证明：采用梯形公式得近似解为y n1(1y n (1一 ~),y n 12 - h齐y n ，因此2 - h 可得y n y n —12 h证毕。
珂”)2% 二 2 h n 咒)ny 。
2+ hn = 012 3 4X ； = 00.511.52y n = 0 0.6420 2.0011 6.7450 34.0441 4、定初值问题r •y 工 sinyX - X 。
习题10(答案)《数值分析》(第二版)第10章_习题参考答案
习题参考答案习题一1．(1) 0.05ε=，0.0185r ε=，有2位有效数字 (2) 0.0005ε=，0.000184r ε=，有4位有效数字 (3) 0.000005ε=，0.000184r ε=，有4位有效数字 (4) 0.0000005ε=，0.000184r ε=，有4位有效数字 2．0.0005ε=，0.00016r ε≈；有4位有效数字 3．|d | 1.210.005 3.650.0050.0050.02930.03a ≤⨯+⨯+≈≤4．*1x 有5位有效数字，*2x 有2位有效数字，*3x 有4位有效数字，*4x 有5位有效数字5．(1) ***124()x x x ε++31.0510−=⨯ (2) ***123()x x x ε=0.21479 (3) *2*4()x x ε50.8865410−=⨯6．略。
7．最小刻度x 满足0.002cm x ≤ 8．*3()10000 mm V επ=，*()0.02r V ε= 9．设正方形边长为a ，*2()0.510a ε−≤⨯10．*1()1%0.00333r R ε=⨯≈11．1||||14x =，2||||9.89949x ≈，||||9x ∞= 12．1|||||1.25||0.02|| 5.15||0| 6.42x =++−+=22221/22||||[(1.25)(0.02)( 5.15)(0)] 5.2996x =++−+=||||| 5.15| 5.15x ∞=−=13．||||10A ∞=，1||||9A =，2||||82.05125A ≈14．||||16A ∞=，1||||16A =，2||||12A =15．(1) ||()||1f x ∞=，1||()||8f x =，2||()||f x π=(2) ||()||23f x ∞=，1||()||17f x =，2||()||10.6427f x ≈ 16．略。
东北大学数值分析 总复习+习题
(2)构造迭代格式:
xk1 1 sin xk
由于|(x)|=|
cos x|/<12,故1此迭si代n法x收敛.
k 0,1,2,...
取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.0035<10-2 , 故可取 根的近似值x2=1.40983.
容易验证公式对(x)=x5仍精确成立，故其代数精度为5，是Gauss公式。
六、(12分)设初值问题
y f (x, y)
y(a)
(1)试证单步法
a xb
K1 f (xn , yn ),
K2
f
(xn
2 3
h,
yn
2 3
hK1
)
y
n
1
yn
h 4
(
K
1
3K 2 )
2.了解数值计算中应注意的一些问题.
二、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围
顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.
主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
2.掌握矩阵的直接三角分解法。
会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。
(3)因为0<</2,所以() 故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).
0
cos / 2 1 sin
三、(14分)设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3
东北大学-数值分析-课后习题详细解析
2-6(1).给定方程组
10 2 x y 1
x
y
2
a.用Cramer法则求其精确解. b.用Gauss消元法和列主元
Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算).
解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899
b.用Gauss消元法
7
10 2 x y 1
1.01
1.01
1.01
1
0.66
0.995
0.66
1.17
2
0.67
1.17
0.553333
1.223333
3
0.553333
1.165
0.517778
1.241111
4
0.556667
1.223333
0.505926
1.247037
5
0.517778
1.221667
0.501975
1.249012
解 有效数位分别为: 3位,1位,0位.
1
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效
数字?
解 因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效数字,
则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
解 (1)J迭代法和G-S迭代法的迭代格式分别为
x(k 1
x(k 2
1) 1)
3
2
x
(k 2
)
2 1.5x1(k)
计算结果如下:
k
数值分析课后题答案
数值分析 第二章2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 6．设,0,1,,j x j n =为互异节点，求证：（1）0()nkkj j j x l x x=≡∑ (0,1,,);k n =（2）0()()0nk jj j xx l x =-≡∑ (0,1,,);k n =证明（1） 令()kf x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()nk n j j j L x x l x ==∑。
插值余项为(1)1()()()()()(1)!n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+又,k n ≤(1)()0()0n n f R x ξ+∴=∴=0()nk kj j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =000(2)()()(())()()(())nk j j j n nj i k i k j j j i nnik ii kj j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑0i n ≤≤又 由上题结论可知()nk ij jj x l x x ==∑()()0ni k i ik i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式∴得证。
数值分析参考答案
数值分析参考答案1.4 习题解答或提示1、解：（1）>> a=[1 2 3 ;4 5 6 ]'a =1 42 53 6（2）>> b=[9;7;5;3;1]b =97531（3）>> c=b(2:4)c =753（4）>> d=b(4:-1:1)d =3579（5）>> e=sort(b)e =13579（6）>> f=[3:b']f =3 4 5 6 7 8 92、解：>> x=[7 4 3 ];y=[-1 -2 -3];（1）>> u=[y,x]u =-1 -2 -3 7 4 3 （2）>> u=[x,y]u =7 4 3 -1 -2 -33、解：sum=0;a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]; for i=1 : length(a)if a(i)>0, sum=sum+a(i); endendsumsum =214、解：m=input('input an array:')input an array:[1 2 5;3 1 2;4 1 3]m =1 2 53 1 24 1 35、解：sum(m)ans =8 4 10>> max(m)ans =4 2 5>> min(m)ans =1 1 26、解：function y=fun_es(x)y=0.5.*exp(x./3)-x.^2.*sin(x);>> fun_es(3)ans =0.0891>> fun_es([1 2 3])ans =-0.1437 -2.6633 0.08917、提示：本题主要考查的是随机数生成函数rand的使用方法，以及选取种子数的方法之一：使用clock命令。
可以参照课本的例1.5来编写函数。
8、解：function y=fun_xa()x=input('input the value of x：');n=input('input the value of n：');y=1;for i=1:1:ny=y+x^i/factorial(i); end>> fun_xa()input the value of x ：1 input the value of n ：4ans =2.70832.4 习题解答1 解：E(lnx)=(ln ’E(x)=)(1x E x =xδ=Er(x) 2. 解 Er(x 2)＝)(22x Er x xx ⨯=4% 3. 解：123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0x x x x x *****=====⨯分别有5 位，2位，4位，5位，2位有效数字4 解 4*1105.0)(-⨯=x E3*2105.0)(-⨯=x E1*3105.0)(-⨯=x E3*4105.0)(-⨯=x E=++)(*4*2*1x x x E +)(*1x E +)(*2x E )(*4x E =0.00105))()((*4*2x E x E E =)()()(*42*4*2*4*2x E x x x x E -5. 解 V=334r π Er(v)=)(//x Er V x dx dV ⨯⨯=3Er(x)%1)(3≤x Er%33.0)(≤x Er6. 解 7830100-=Y Y)783()(100E Y E =＝0.00057．解 x 1，2＝24561122-±＝56783±21,2105.0)x (-⨯=E 2105.0)783(-⨯=E98.27783≈x 1，2＝83.98 或 28.02 8．略。
(汇总)东北大学-数值分析--考试题解析.ppt
构造函数(t)=(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2) 于是,存在x,使(4)(x)=0,即(4)(x)-4!C(x)=0
R(x) f (4) ( x ) x(x 1)2 (x 2)
4!
五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式
2
2
f
(x)dx
Af
( )
Bf
(0)
Cf
( )
有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是
Gauss公式?
解 令公式对(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有 4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3 64/5=A4+C4 ,解得:A=C=1精0品/文9档,B=16/9,=(12/5)1/2 7
令2(x)=cx(x-1)2,可得2(x)=0.5x(x-1)2;
令1(x)=cx(x-1)(x-2),可得1(x)=-x(x-1)(x-2),
于是
H3(x)==-x(3x--21.)5x2(2x+-22.)5-x3+x2(精x品-2文)档+2.5x(x-1)2
–0.5x(x-1)(x-2) 6
由于,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0, 故可设 R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2)
(3)因为0<</2,所以() cos / 2 1 sin 0
故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).
三、(14分)设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3
(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);
(2)讨论这两种迭代法的收敛性.
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解
由于 P0 ( x) 1, P1 ( x) x
( P0 , x) 1 P0 x ， ( P0 , P0 ) 2
2分
P2 ( x) x 2
7分 9分
3
于是， y( xn1 ) yn1 O(h3 ) ，此差分公式是 2 阶的。
10 步的误差 x (10 ) x *
。
解
1/ 3 1/ 3 0 0 1 / 3 ,所以 B 3 / 4 , 由于 B 13 1/ 2 1/ 4 0
2分
又由于 x1 (1 / 3,2 / 3,3 / 4)T , 所以 x (1) x ( 0) 3分 所以， x 6分
4分
y( x n 1 ) y( x n ) y ( x n )h
5分
y n hfn
h 2 f n f n ( fn ) 2 x y
2 fn 2 f n 2 f n f n f h3 2 f n [ 2 2 fn fn ( n ) 2 f h ] O(h 4 ) 2 6 x xy x y y y
1
所以， xk 1 3 xk 3 , k 0,1,2,...对任意初值 x0 [1, 2] 都收敛。 3分
3 2 6.(6 分)设 xk 1 xk axk bxk c, k 0,1,2,...是求方程根 1 的迭代法，试确
定参数 a, b, c 使迭代法的收敛阶尽可能高，并指出阶是多少？ 5分 7分 解 由 1得1 1 a b c 令 (1) 3 2a b 0, (1) 6 2a 0 得 a 3, b 3, c 0 ， 此时，迭代法 3 阶收敛。 2分 5分 6分
试求形如 y a bx 的拟合曲线。 解 由于基函数为： 0 ( x) 1,1 ( x) x 2 1分 3分 4分
1 1 1 3 1 3 积分公式为： f ( x)dx [ f ( ) f( )] 0 2 2 6 2 6
6分
12.(9 分)利用复化 Simpson 公式 S 2 计算定积分 I cosxdx 的近似值，并估计误
x1 x 2 2 x3 2 3.(7 分)解线性方程组 2 x1 3 x 2 3 x3 3 的 Gauss-Seidel 迭代法是否收敛，为 4 x 6 x 7 x 1 1 2 3
又由于 1 3 4 ( x) 3 x 3 3 5 2 ，
10． （5 分）设求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk ) , (n 2) 是插值型求积公式，求
b a k 0
n
A x
k 0 k
n
2 k
. 由于插值型求积公式代数精度至少是 n， 2分 5分
解 8． 分） （7 求满足条件 f (0) 1, f (1) 2, f (2) 0, f (1) 0 的三次插值多项 式 H 3 ( x) 的表达式。 解 令 H 3 ( x) ( x 2)(ax2 bx c) 2分 4分 6分 7分
解得： a 0, b 5 / 6 ， 拟合曲线为: y
5 2 x 6
3分 5分 6分 9分
＝0.841489382
M 4 max f
( 4)
( x) max cos x 1
7分
I S 2 | R( f ) |
1 0.000021701 2880 2 4
2
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
班
级
学
号
姓
名
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
东 北 大 学 研 究 生 院 考 试 试 卷 2010 — 2011 课程名称： 学年第 一 学期
总分
1--3
4--6
7--9
10--12
13-15
( P0 , x 2 ) (P , x 2 ) 1 P0 1 P1 x 2 x ( P0 , P0 ) ( P1 , P1 ) 6
1 3 1 3 ， x2 2 6 2 6
9． 分）给定离散数据 （7 xi yi
2
－1 2
0 －1
1 1
2 3
Gauss 点为： x1
4分
1 1/ 3 1 3( x 3) 2 / 3
什么？
1 2 1 2 3 3 0 3 2 1 (3 2)(7 6) 解 令 0 2 4 6 7 0 0 7 6
得 (G) 6 / 7 1 , 所以，Gauss-Seidel 迭代法收敛。
n b 1 2 所以， Ak xk x 2 dx (b3 a 3 ) a 3 k 0
11.（6 分）对积分 f ( x)dx 建立两点 Gauss 公式。
0
1
则有： 2c 1, a b c 2,a c 0 解得： a c 1 / 2, b 3
(10 )
3/ 4
4分 8分
x
*
B
10
1 B
x (1) x ( 0)
311 0.1689 410
5.(9 分)说明方程 x 3 x 3 0 在区间[1, 2]内有唯一根，并建立一个收敛的迭 代格式，使对任意初值 x0 [1, 2] 都收敛，说明收敛理由。 解 由 f (1) 3 0, f (2) 3 0, f ( x) 3x 2 1 0 ，知有唯一根。 3分 7分 9分
y n1 y n hfn
2 fn 2 fn 2 h 2 f n f n h3 2 f ( f n ) ( 2n 2 fn f n ) O(h 4 ) 2 2 x y 2 x xy y
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6
的差分公式：
h y n 1 y n 4 (3k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n 2h, y n 2hk1 ) y0
求此差分公式的阶。 解 由于 2分
2 f n f n 2 fn 2 fn 2 2 fn k 2 f n 2h( f n ) 2h ( 2 2 fn f n ) O(h 3 ) 2 x y xy x y
… … … … ○ … … … … 密 … … … … ○ … … … … 封 … … … … ○ … … … 线 … … … … … … … …
7． 分）设 f ( x) 4 x 3 2 x 2 3 ，求差商 f [0,1], f [1,2,3,4], f [1,2,3,4,5] 。 （6 解 f[0,1]=(3-(-3))/1=6 f[1,2,3,4]=4 f[1,2,3,4,5]=0 2分 4分 6分
所以，x 至少具有 3 位有效数字。
2 4 2 2.(6 分)写出矩阵 A 3 5 3 的 Crout 分解式 A TM . 1 4 2 2 4 2 2 2 1 解 由于 A 3 5 3 3 1 6 1 4 2 1 2 15 2 0 0 1 2 1 所以， A 3 1 0 0 1 6 1 2 15 0 0 1
0 1 因为 ( A) 0 时，不一定有 A 0 , 例如 A 0 0 ,
2分 5分
所以，改进 Euler 法收敛。 14.（9 分）已知求解常微分方程初值问题：
所以， ( A) 不满足范数的非负性，不是范数。
y f ( x, y) , x [a, b] y ( a)
数值分析(A)
3 x1 x 2 x3 1 0 (0) 4.(8 分)用 Jacobi 法解线性方程组 x1 3 x 2 x3 2 ，取 x 0 ，估计迭代 0 2 x x 4 x 3 2 3 1
1.(5 分)设近似值 x 25.23 近似 至少具有几位有 效数字。 解 由于绝对误差限为:25.230.0003＝0.007569<0.510-1 2分 5分
y ye x 13．(5 分)求解初值问题 y (1) 2
为什么？ 解
1 x 2
的改进 Euler 方法是否收敛？ 15.（5 分）证明矩阵谱半径 ( A) 不是矩阵范数。 证明
由于 f ( x, y) ye 关于 y 满足 Lipschitz 条件，
x
2分 5分
0
1
于是： 0 (1,1,1,1),1 (1,0,1,4), f (2,1,1,3)
差。 解
I S2 1 1 1 3 [cos 0 cos 1 2 cos 4 cos 4 cos ] 12 2 4 4
4a 6b 5 正则方程组为： 6a 18b 15