人教版A版高中数学选修4-5基本不等式

＝ 2cos2θ1＋2sin2θ·12
≤
12·2cos2θ＋21＋2sin2θ2＝3 4 2.
当 2cos2θ＝1＋2sin2θ，即 θ＝π6时，
x＝ 23，y＝ 22时，
x
1＋y2取得最大值3
4
2 .
答案：3 4 2
已知 a，b 是正数，求证：
(1)
a2＋2 b2≥a＋2 b；
பைடு நூலகம்
(2) ab≥1a＋2 1b.
13．某种汽车购买时费用为10万元，每年的保险、汽油 费用共9 000元，汽车的年维修费以等差数列递增，第一年为 2 000元，第二年为4 000元，…，如果把汽车的所有费用(包 括购车款)平摊到运行后的每一年，叫做年平均消耗．问这种 汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均消耗最低)?
解析：设这种汽车使用 n 年报废，这 n 年中的年平均消 耗为 y 万元，则
为( D )
A．10
B．6 3
C．4 6
D．18 3
5．函数 y＝x2＋3xx＋1(x＜0)的值域是( B )
A．(－1,0)
B．[－3,0)
C．[－3，－1] D．(－∞，0)
6．已知 0＜a＜b＜1，P＝log12a＋2 b，Q＝12(log12a＋log12b)，
M＝12log12(a＋b)，则 P，Q，M 的大小关系是( B )
不等式
基本不等式
1．会用基本不等式证明一些简单问题． 2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的极值，
从而学会解决简单的应用问题．
1．定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅 当a＝b时取“＝”)．
练习1：利用定理1有：x2＋32≥____6_x___其中符号成 立的条件是：x＝______3__.
年平均
x 2
件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要
使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应是多少？
分析：应用基本不等式或函数y＝x＋k 解决实际问 x
题的一般步骤：
①设变量，定函数；②建立函数关系式；③在定义 域内求最值；④写出正确答案．
解析：设一年的运费和库存费共 y 元， 由题意知：y＝50x000×50＋x2×20 ＝25×x105＋10x≥2 25×106＝104， 此时25×x 105＝10x⇒x＝500，ymin＝10000， 答：每次进货 500 件，一年的运费和库存费最省．
①当a＝b时，a2＋b2＝2ab；
②当a2＋b2＝2ab时，a＝b；
③当 a≠b 时，a2＋b2＞2ab； ④当 a2＋b2＞2ab 时，a≠b. 对基本不等式：a，b 为正数，则a＋2 b≥ ab当且仅当 a＝b 时等号成立，作类似理解． 2．解题时要注意考察“三要素”：①函数中的相关项 必须都是正数；②变形后各项的和或积有一个必须是常数； ③当且仅当各项相等时，“＝”号才能取到，可简化为“一 正二定三相等”．求函数最值时，常将不满足上述条件的函 数式进行“拆”、“配”等变形，使其满足条件，进而求出
y＝10＋0.9n＋12nnn＋1×0.2＝1n0＋1n0＋1≥3. 当且仅当1n0＝1n0，即 n＝10 时，取“＝”，所以，这种 汽车使用 10 年后报废最合算．
1．在公式 a2＋b2≥2ab，及a＋2 b≥ ab的教学中， 应强调以下几点：
(1)a2＋b2≥2ab 和a＋2 b≥ ab成立的条件是不同的， 前者只要求 a，b 都是实数，而后者要求 a，b 都为正数， 例如，(－1)2＋(－3)2≥2(－1)×(－3)成立，而－1＋2 －4 ≥ －1×－4不成立．
中项， ab看做是 a、b 的等比中项，那么定理又可叙述为： 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
现给出这一定理的一种几何解释．
以 a＋b 长的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C， 使 AC＝a，CB＝b.过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD′， 连结 AD，DB，易证 Rt△ACD∽Rt△DCB，则
证明：(1)左边＝ a2＋b2＋4 a2＋b2≥
a2＋b2＋2ab 4
＝
a＋4b2＝a＋2 b＝右边，即原不等式成立．
(2)右边＝1a＋2 1b≤2
2＝ 1 ab
ab＝左边，
即原不等式成立．
一商店经销某种货物，根据销售情况，年进
货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x件)，每进
一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以
跟踪训练
设 x≥0，y≥0，x2＋y22＝1，则 x 1＋y2的最大值为__________．
分析：∵x2＋y22＝1 是常数， ∴x2 与y22的积可能有最大值． ∴可把 x 放到根号里面去考虑，即化为 x21＋y2， 注意到 x2 与 1＋y2 的积，应处理成 2x2·1＋2y2.
解析：法一：∵x≥0，y≥0，x2＋y22＝1，
最值．有些题目，尽管形式上是 x＋px型的式子，即两数之积 为常数，但由于定义域的限制，不能使等号成立，如 y＝x＋1x (x≥5)的最小值，尽管 x＋1x≥2，当 x＝1x时，即 x＝1 时取“＝” 号，而 x＝1 不在其定义域[5，＋∞)内，因此不能使用基本不等式． 这时可利用函数单调性来解：f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0)，
在0， ba，－ ba，0内是减函数，在 －∞，－ ba内是增函数．
ba，＋∞，
函数图象如下图所示．
另外，在证明或应用基本不等式解决一些较为复杂的 问题时，需要同时或连续使用基本不等式，要注意保证取 等号条件的一致性．
3．定理 2 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数．如果把a＋2 b看做是正数 a、b 的等差
11．(2011 年湖南卷)设 x，y∈R，且 xy≠0，
则x2＋y12x12＋4y2的最小值为________．
解析：∵x，y∈R 且 xy≠0，
∴x2＋y12x12＋4y2＝5＋x21y2＋4x2y2≥5＋2×2＝9，
当且仅当x21y2＝4x2y2 即 xy＝± 22时，取得最小值 9. 答案：9
一层练习
1．下列不等式中正确的是( D )
A．若 a，b∈R，则ba＋ba≥2 ba·ba＝2 B．若 x，y 都是正数，则 lg x＋lg y≥2 lg xlg y C．若 x＜0，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4 D．若 x＜0，则 2x＋2－x≥2 2x·2－x＝2
2．“a＞0 且 b＞0”是“a＋2 b≥ ab”的( A )
2．定理 2：如果 a，b 是正数，那么a＋2 b≥ ab(当且 仅当 a＝b 时取“＝”)．
练习 2：如果 x，y 是正数，那么x＋2 y___≥_____ xy(当且 仅当 x＝y 时取“＝”)．
3.a＋2 b≥ ab的几何解释 如下图所示，以 a＋b 为直径作圆，在直径 AB 上取 一点 C，过 C 作弦 DD′⊥AB 则 CD2＝CA·CB＝ab，
(2)关于不等式c≥d及c≤d的含义
不等式“c≥d” 的含义是“或者c＞d，或者c＝d”，等价 于“c不小于d”，即若c＞d或c＝d有一个正确，则c≥d正确．
不等式“c≤d”读作c小于或等于d，其含义是“c<d或者 c＝d”，等价于“c不大于d”，即若c＜d或c＝d中有一个正确， 则c≤d正确．
(3)这两个公式都是带有等号的不等式，因此，对定理 “当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab当且仅当a＝b时等号成立”的 含义要搞清楚．它的含义是：
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．下列函数中，最小值为 2 的是( D )
A．y＝2x＋2x
B．y＝
x2＋2＋
1 x2＋2
C．y＝sin x＋sec x，x∈(0,2π)
D．y＝7x＋7-x
二层练习
4．设 x，y∈R，且 x＋y＝5，则 3x＋3y 的最小值
8．若
x≠0 ，则
f(x)
＝
2
－
3x2
－
12 x2
的
最
____大____
值
是
___－__1_0__，取得最值时 x 的值是__±___2___．
9．log 2x＋log 2y＝4，则 x＋y 的最小值是____4____．
三层练习
10. (2013·广州二模) 设a>0,b>0,则以下不等式中，不恒成立的 是B
12．求下列函数的最值： (1)已知 x＜0，求 2x＋1x的最大值； (2)已知 0＜x≤14，求 x＋1x最小值．
解析：(1)由 x＜0 得－x＞0，
得－2x＋－1x≥2 －2x－1x＝2 2， 所以 2x＋1x≤－2 2， 当且仅当－2x＝－1x，
即 x＝－ 22时，2x＋1x取最大值－2 2. (2)由函数的单调性，可以证明，y＝x＋1x在0，41上是减 函数，所以 f(x)＝x＋1x≥f41＝147， 即 x＋1x的最小值是147.
∴x 1＋y2＝ x21＋y2＝
2x2·1＋2 y2
≤
2x2＋12＋2y2＝ 2x2＋y222＋12＝3 4 2，
当且仅当 x2＝1＋2y2，即 x＝ 23，y＝ 22时，
x
1＋y2取得最大值3
4
2 .
法二：令{ x＝cos θ y＝ 2sin θ 0≤θ≤π2，
则 x 1＋y2＝cos θ 1＋2sin2θ
已知x，y都是正数，和x＋y是定值3，那么当x＝y时， 积xy有最________值________．
(1)2 P
(2)14S2
练习 3：小
20
大
9 4
已知，x，y∈R＋，且 x＋4y＝1， 求1x＋1y的最小值．
解析：∵1x＋1y＝(x＋4y)(1x＋1y)＝
5＋4xy＋xy≥5＋2 4xy·xy＝9， 当且仅当4xy＝xy且 x＋4y＝1， 即 x＝13，y＝16时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 9.