配方法应用举例

配方法应用举例

配方法是一种非常重要的数学方法，在解决数学问题上应用非常广泛、有效。下面结合实例对配方法的应用做以简单说明，以期对同学们有所协助。

一、用配方法能够分解因式。

例1 将x 2+4x+3分解因式。

分析：在没有学过“十字相乘法”的情况下，采用配方法就非常方便了。 解：x 2+4x+3=（x 2+4x+4）-1=（x+2）2-1=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)

二、用配方法能够判定二次三项式值的正、负性。

例2 求证无论x 取何值，代数式2x 2－6x+5的值恒大于零。

分析：同学们在没有学习二次函数之前，是无法解答的。若用配方法，这类问题就迎刃而解了。

解：这是因为2x 2－6x+5=2(x 2－3x )+5=2[(x 2－3x+49)－49]+5=2(x －2

3)2－29+5=2(x －23)2+2

1＞0。 例3 求证：无论ｙ为何值，－10y 2+5y-4的值恒小于零。

解：这是因为－10y 2+5y-4=-10（ｙ2－

21ｙ）-4=-10［(ｙ2－21ｙ+161)-161)-4=-10(ｙ－41)２－8

27﹤０ 三、用配方法能够求出二次三项式的最大值（或最小值）。

例４ 求当x 取何值时，代数式2x-2x 2-1的值最大？最大值是多少？

分析：这是一道关于二次函数极值的问题，用配方法解答此题显得更浅显易懂。

解：2x-2x 2-1=-2（x 2-x ）-1=-2[(x 2-x+41)-41]-1=-2(x-2

1)2-21；因为无论x 取何值 -2(x-21)2≤0,所以 -2(x-2

1)2-21≤-21，当x=21时，代数式2x-2x 2-1的值最大,最大值是-21。 例5 代数式4y 2+8y-7有最大值还是有最小值？

解：4y 2+8y-7=4（y 2+2y ）-7=4[(y 2+2y+1)-1]-7=4(y+1)2-11；因为4(y+1)2

≥0，所以4(y+1)2-11≥-11，故当y=-1时，代数式4y 2+8y-7有最小值，最小值是-11。

四、用配方法能够求出某些等式中字母的值。

例6 已知a 2+b 2+c 2+3=2(a+b+c)，求a 3+b 3+c 3-3abc 的值。

分析：能够将已知等式通过移项、配方，再根据几个非负数的和等于零，则这几个非负数均为零，求出式子中各字母的值。

解：由a 2+b 2+c 2+3=2(a+b+c)，得(a 2-2a+1)+(b 2-2b+1)+(c 2-2c+1)=0，(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0，则(a-1)2=0，(b-1)2=0，(c-1)2=0，所以a=b=c=1；故a 3+b 3+c 3-3abc=0。

五、用配方法能够使某些求代数式的值更简便。

例7 已知a=2009，b=2010，c=2011，求a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc 的值。

分析：若直接将a 、b 、c 的值代入求值，计算非常繁琐。若将所给代数式先配方，再代入求值，则可使计算较为简便。

解：a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc =2

1( 2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2ac-2bc) = 2

1[(a 2-2ab+b 2)+(a 2-2ac+c 2)+(b 2-2bc+c 2)] = 2

1[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2] 当a=2009，b=2010，c=2011时，

原式=2

1[(2009-2010)2+(2009-2011)2+(2010-2011)2] =3

六、用配方法能够解一元二次方程。

例8 解下列方程

(1)4x 2-300x+1400=0 (2)x 2+17=8x

分析：用配方法解一元二次议程的步骤是：（1）把方程的常数项移到方程的右边去；（2）把二次项的系数化为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程变为(mx+n)2=p 的形式；（4）当p ≥0时，开平方求得方程的解；当p ＜0时，原方程无实数解。

解：（1）移项，得4x 2-300x=-1400，

二次项系数化为1，得x 2-75x=-350，

配方，得x 2-75x+

45625=4

5625-350， (x-2

75)2=44225， 由此可得x-275=±265， x 1=5，x 2=30.

(2) 移项，得x 2-8x=-17，

配方，得x 2-8x+16=16-17,

(x-4)2=-1＜0

所以原方程无实数根。

七、用配方法能够求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。

例9 已知函数y=3x 2-24x+21，

（1）该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）当x 取何值时，y 随x 增大而增大？x 取何值时,y 随x 增大而减小？

（3）当x 取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最值；

（4）该函数图象可由y=3x 2的图象怎样平移得到？

分析：可将该函数配方成y=a(x-h)2+k(a ≠0,h,k 是常数)的形式，再根据二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0,h,k 是常数)的图象和性质解答。

解：由函数y=3x 2-24x+21，得

y=3(x 2-8x)+21=3[(x 2-8x+16)-16]+21=3(x-4)2-27

（1）因为a=3＞0，所以该函数图象的开口向上，对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，-27）.(2)当x ＞4时，y 随x 的增大而增大；当x ＜4时，y 随x 的增大而减小.(3)当x=4时，函数有最小值-27。（4）该函数图象可由y=3x 2的图象先向右平移4个单位，再向下平移27个单位而得到。