配方法应用举例
配方法解不等式陈计
配方法解不等式陈计全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：配方法解不等式是数学中常见的一种解题方法，它在解决复杂的不等式问题时具有很高的适用性。
不等式在数学中是一种比较两个量大小关系的数学式子，常见的不等式有大小关系的不等式、绝对值不等式等。
而配方法就是指通过对不等式两边进行变形，找到适当的方式使得不等式变得更易于解决的方法。
要想熟练掌握配方法解不等式的技巧，首先需要了解和掌握基本的不等式性质和变形方法。
不等式的基本性质包括加减法性质、乘除法性质、代数性质等，这些性质是配方法解不等式的基础。
在实际解题过程中，通过巧妙地运用这些性质，可以使得不等式的求解更加简单和高效。
在解不等式问题时，经常会遇到一些复杂的问题，这时就需要运用配方法来解决。
配方法在解决复杂不等式问题中具有很高的适用性，通过巧妙的变形和分析，可以将原问题化简为容易解决的形式。
在应用配方法解不等式时，需要根据具体问题的特点，灵活选取合适的变量和系数，充分利用不等式的基本性质进行变形，达到解题的目的。
在解决不等式问题时，配方法还可以结合其他方法一起使用，比如分离变量法、代入法、差分法等。
这些方法可以辅助配方法，使解题过程更加顺利。
通过灵活运用不同的解题方法，可以更好地解决各种类型的不等式问题，提高解题的效率和准确性。
在学习和应用配方法解不等式时，需要进行大量的练习和积累，通过不断的实践来提高解题能力。
同时还需要注重对不等式问题的分析和研究，探索不同类型不等式问题的解题思路和方法，提高解题的思维能力和创新能力。
第二篇示例：不等式是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
解不等式的过程在数学中被称为“配方法”，它是一种解决不等式问题的有效方法之一。
配方法在解决一元二次不等式、含绝对值不等式、多项式不等式等问题中都有着广泛的应用。
配方法的核心思想是通过变形、化简等操作，将原始不等式转化为一种更容易解决的形式。
在解决不等式问题时，我们通常会遵循一定的步骤和策略，以确保我们的解答是正确的和完整的。
配方法的应用自己备
1．配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用例1、求二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围例2、化简526-3．配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用例3、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。
例4、不管x 取什么实数，522++x x 的值一定是一个正数，你能说明理由吗？5．配方法在求最大值、最小值中的应用例5 、若x 为任意实数，求742++x x 的最小值例6、若x 为任意实数，求7422++-x x 的最大值。
6．配方法在一元二次方程根的判别式中的应用例7、证明：对于任何实数m ，关于x 的方程074)1(3222=--+++m m x m x 都有两个不相等的实数根。
例8、试判断关于x 的方程052222=+-++a a ax x 的根的情况。
4．配方法在解某些二元二次方程中的应用例9、解方程052422=+-++y x y x5、配方法用于多项式比较大小例10若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数作业： 1、用配方法解方程0362=++x x2、已知关于x 的方程022=-+-m mx x ．求证：方程有两个不相等的实数根3、已知22-+-m mx x ，求证：次方程一定有两个不相等的实数根。
4．通过配方，求 y ＝x 2－2x －4的最小值；5、关于x 的一元二次方程x 2＋(k +1)x -k -3＝0（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一根为2，求另一根的值。
6.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y 和月份n 之间函数关系式为21424y n n =-+-．（1）该企业在哪个月份获得最大利润？最大利润是多少？（2）该企业一年中应停产的是哪几个月份？（3）你还有哪些发现或者建议？（写出一条即可）7、用6 m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少。
配方法的步骤口诀举例
配方法的步骤口诀举例引言配方法是指在特定的条件下，通过一系列的操作，将不同的元素或物质按照一定比例混合在一起，达到特定的目的。
在化学实验、食品制作、药品配制等领域中，配方法被广泛应用。
本文将以口诀的形式介绍配方法的步骤，并结合具体的案例进行举例，以便读者更好地理解和运用配方法。
步骤口诀配方法可分为以下几个步骤：准备、称量、混合、均匀、保存。
下面将对每个步骤进行具体的解释，并通过案例进行说明。
一、准备准备是配方法的第一步，它包括准备所需的器材和材料，并确保其干净无杂质。
在准备过程中，要确保所用器材和材料与配制的物质相容。
案例：将一种含有两种药物A和B的药品配制成粉剂。
在准备阶段，首先要准备好称量瓶、研钵、研钵刷等器材，并确保它们干净无杂质。
同时，还要准备好药物A和药物B，确保它们的纯度和质量可靠。
二、称量称量是配方法的第二步，它是将所需的物质按照一定比例进行称量。
在称量过程中，要遵循精确称量的原则，确保所称取的物质准确无误。
案例：在制作一种食品配料的过程中，需要按照100克的比例混合盐和胡椒粉。
在称量阶段，需要使用天平将盐和胡椒粉分别称量出50克，以保证它们的比例准确。
三、混合混合是配方法的第三步，它是将称量好的物质进行充分的搅拌，以达到均匀混合的目的。
在混合过程中，可以使用搅拌器、研钵等器材，手动或机械地混合物质。
案例：在配制蛋糕时，需要将面粉、糖粉、蛋黄等原料进行混合。
在混合阶段，可以使用搅拌器将这些原料搅拌均匀，以确保蛋糕的口感和质地。
四、均匀均匀是配方法的第四步，它是在混合的基础上，进一步确保各种物质充分分散，达到均匀分布的状态。
在均匀过程中，可以采用适当的方法，如反复搅拌、研磨、振荡等，以加强均匀化作用。
案例：在配制一种涂料时，需要将颜料、稀释剂、固化剂等物质进行均匀混合。
为了达到更好的效果，在均匀阶段可以使用搅拌器或其他适当的装置，反复搅拌一段时间，以确保各种成分充分分散，均匀分布。
五、保存保存是配方法的最后一步，它是将配制好的物质进行储存，以免受到外界环境的影响。
“配方法”及其应用 【完整版】
“配方法”及其应用把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．例1．解方程2210x x +-=．解：方程两边都除以2，得21022x x +-=，移项，得2122x x +=， 配方，得2111216216x x ++=+，即219416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．开方，得12112x x ==-，． 通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．一、用于比较大小例2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数解：（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．说明：本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.二、用于因式分解例3．分解因式：42221x x ax a +++-．解：42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．说明：这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．三、用于求待定字母的值例4．若实数x y ，满足224250x y x y +--+=的值是（ ）Ａ．1Ｂ．32+Ｃ．3+Ｄ．3-解：对已知等式配方，得2210x y -+-=2（）（），∴21x y ==，．3====+ 说明：本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．四、用于求最值例5．多项式21x x -+的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．54 Ｃ．12 Ｄ．34解：21x x -+21324x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故选Ｄ． 说明：此例是“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．五、用于证明例6．证明方程85210x x x x -+++=没有实数根．证明：85210x x x x -+++=85221344244393x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 224132202433x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即对所有实数x ，方程左边的代数式的值均不等于0，因此，原方程没有实数根．说明：这是“配方法”在代数证明中的应用，要证明方程85210x x x x -+++=没有实数根.似乎无从下手，而用“配方法”将其变成完全平方式后，便“柳暗花明”了．以后，我们学习了函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．。
配方法的定义
配方法的定义配方法是指在实验或研究中，根据不同的目的和要求，选择合适的方法和步骤进行操作和处理的过程。
在科学研究中，配方法的选择和设计对于实验结果的准确性和可靠性起着至关重要的作用。
下面将结合实际例子，介绍一些常见的配方法及其应用。
一、稀释配方法稀释配方法是指通过将溶液与溶剂按照一定比例混合，使得溶液浓度降低或稀释的过程。
这种方法常用于化学实验中，用于调整溶液的浓度，从而符合实验要求。
例如，在制备标准曲线时，可以通过稀释高浓度溶液来获得一系列浓度递减的样品溶液，以便于测定未知样品的浓度。
二、配位配方法配位配方法是指通过配位反应，将金属离子与配体形成配合物的过程。
这种方法常用于化学分析和无机合成中，用于确定金属离子的类型和浓度，或者合成特定结构的配合物。
例如，在分析化学中，可以使用络合滴定法来测定金属离子的浓度，通过配位反应使金属离子与指示剂形成颜色变化，从而确定浓度。
三、配比配方法配比配方法是指根据不同物质之间的化学反应式和化学计量关系，按照一定的比例将物质混合的过程。
这种方法常用于化学合成和药物制备中，用于确保反应物的摩尔比例和化学反应的完整性。
例如，在有机合成中，可以根据反应物的化学反应式和摩尔比例，按照一定的配比将反应物混合，以获得所需的产物。
四、配位溶剂配方法配位溶剂配方法是指根据反应物的性质和反应条件，选择适合的溶剂进行反应的过程。
这种方法常用于有机合成和催化反应中，用于提供合适的反应环境和催化条件。
例如，在有机合成中，可以根据反应物的极性和溶解度，选择合适的溶剂来促进反应的进行，提高反应的选择性和产率。
五、配位条件配方法配位条件配方法是指根据反应物的性质和反应条件，选择适合的反应条件进行反应的过程。
这种方法常用于有机合成和催化反应中，用于提供合适的反应环境和催化条件。
例如，在有机合成中，可以根据反应物的官能团和反应条件的温度、压力等参数，选择合适的反应条件，以获得高产率和高选择性的产物。
配方法的应用
浅谈配方法的应用配方法是中学数学中的一种重要工具。
它除了在课本中用于推导一元一次方程的求根公式和抛物线的顶点坐标公式外，在数学中的其他方面都有广泛的应用，现略举例如下：一、解方程例1.解方程：x2+2mx-n2=0解：移项，得x2+2mx=n2配方，得x2+2mx+m2=n2+m2即（x+m）2=n2+m2∴x1=-m+■，x2=-m-■设计意图：将含有未知数的项移到左边，常数项移到右边，进行配方，配方时两边加上一次项系数一半的平方。
例2.在实数范围内解方程：2（■+■+■）=x+y+z解：将原方程变形得：（x-2■+1）+（y-1-2■+1）+（z-2-2■+1）=0即（■-1）+（■-1）+（■-1）=0由非负数和的性质：■-1=0，■-1=0，■-1=0解得：x=2，y=2，z=3经检验x=1，y=2，z=3是原方程的解。
设计意图：配方法常与非负数的性质结合起来使用，若a，b，c 为常数，由配方得a2+b2+c2=0则a=b=c=0，从而求出问题的解。
二、求代数式的值例1.已知a2-4a+b2-■+■=0，求a2-4■的值。
解：将原式进行配方，得：（a2-4a+4）+（b2-■+■）=0∴（a-2）2+（b-■）2=0∴a-2=0，且b-■=0即a=2，b=■∴a2-4■=22-4■=2设计意图：通过配方，利用非负数和为0的性质，进而求出问题的解。
例2.已知■=a（a≠0），求■的值。
解：∵■=a∴■=■，即x+■+1=■∴x+■=■-1∴■=x2+■+1=（x+■）2-1=（■-1）2-1=■故■=■设计意图：本例综合运用了倒数法和配方法，从而使问题简化。
三、分解因式例：分解因式a4+4。
解：原式=a4+4a2+4-4a2=（a2+2）2-（2a）2=（a2+2a+2）（a2-2a+2）设计意图：由配方法知a4+4中差一项，而这个项正好是某式的平方，从而将原式配方后再利用平方差公式，进而可进行因式分解。
配方法及其应用(题目)
配方法及其应用(题目)配方法及其应用一、配方法配方法是恒等变形的重要手段，也是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。
它是对数学式子进行一种定向变形的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时需要使用配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
二、基本配方配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²。
将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab；a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+3b)/2+(b+3a)/2；a²+b²+c²+ab+bc+ca=[(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²]。
三、应用实例1.求字母的值已知a，b满足a+2b-2ab-2b+1=0，求a+2b的值。
分析：可将含a,b的方程化为两个非负数和为0的形式，从而求出两个未知数的值。
解：a+2b-2ab-2b+1=0，整理得到(a-b)+(b-1)=0.因为(a-b)≥0，(b-1)≥0，所以a-b=0，b-1=0.解得a=1，b=1，因此a+2b=3.变式练：1.已知x²y²+x²+4xy+13=6x，求x和y的值。
解：将方程变形为(x²+4x+4)(y²+1)=25，整理得到(x+2)²(y²+1)=25.因为x，y为实数，所以(x+2)²和(y²+1)都是非负数，所以(x+2)²=1或25，(y²+1)=1或25.当(x+2)²=1时，解得x=-3或-1；当(x+2)²=25时，解得x=-7或3.将x的四个解代入原方程，可得y的四个解为-3，-1，1/2，3/2.因此，方程的解为(-3,-3)，(-1,-1)，(3/2,-1/2)，(1/2,3/2)。
配方法在初中数学解题中的运用研究-最新教育资料
配方法在初中数学解题中的运用研究配方法是把一个算式或者一个算式中的某一个部分以恒等变形的方式变成完全平方或者几个完全平方式的和.在初中数学解题过程中，适当运用配方法解答相应的问题，有利于提升解题的正确率与解题速度.笔者在践行高效课堂的过程中，注重配方法在初中数学解题中的灵活运用，教学效果显著.一、配方法应用在因式分解初中数学学习中，因式分解是一项重要的内容，能不能在繁多的数学问题中成功实现因式分解，是决定此项问题能否成功求解的基础，因式分解过程中合理的使用配方法，必然能够获得事半功倍的效果.例1 因式分解：4c2x2-4cdxy-3d2y2+8dy-4分析要想对这个式子做因式分解，在分析的基础上联合已经学过的知识，可以得出只要先加一个d2y2，就能够将上式中的4c2x2-4cdxy配成完全平方，把之前的多项式转化成平方差之后，再使用平方差公式就能够求解了.解原式=4c2x2-4cdxy+d2y2-4d2y2+8dy-4=（2cx-dy）2-（2dy-2）2=（2cx+dy-2）（2cx-3dy+2）二、配方法应用在解一元二次方程一元二次方程是整式方程，它不仅是初中数学教学中的重头戏，而且是学生今后学习数学的基础，采用配方法解一元二次方程效果事半功倍.例2 使用配方法解方程：x2+4x+3=0解移项得到x2+4x=-3，配方可得x2+4x+22=-3+22，（x+2）2=1.两边开平方，可以得到x+2=±1，因此可求解出x1=-3，x2=-1.这个方程的解答最关键的核心在于一元二次方程两边都加上了一次项系4的一半的二次方，这种一元二次方程左边能够简化成一个完全平方式（x+2）2，一元二次方程右边是非负数1，将其转化成直接开平方法就能够得出方程的解.二次项不是1的需要先把二次项系数转化成1，之后再借助配方法进行答案求解.一元二次方程解题过程中使用配方法，其本质就是对一元二次方程进行变形，将其转化成开方所需要的形式.三、配方法应用在根式化简根式化简是初中代数中的重要内容，假如采用配方法解题，往往起到令人满意的效果.例3 化简3-8.分析形如A+2B的根式，使用配方法化简十分容易，但是在化解过程中有一项需要重点注意的是如果把原式配方做成（1-2）2的形式，在将根号去除时不可忽视算术根的概念.解原式=2-22+1=（2-1）2=2-1.四、配方法应用在二次三项式例4 证明代数式-3x2-x+1的值不大于1312.解答这个题目的关键在于把二次三项式用配方的方式表达成含有完全平方的式子，二次三项式配方不比一元二次方程的配方，各项除以二次项系数即可，而是需要将二次项系数中的-3提取，重点关注提取系数之后多项式中的“x2+13x”完成配方，之后使用“平方是非负数”的定义特点与不等式自身的性质要求，将这个二次三项式的取值范围求解，也就是代数式的求解范围.但是，不少学生往往把方程配方与代数式的配方混为一谈，因此，我们必须在教学过程中正确引导学生正确区分两者之间的关系.解 -3x2-x+1=-3（x2+ x）+1=-3[x2+13x+（16）2-（16）2]+1=-3（x+16）2+3（16）2+1=-3（x+16）2+1312.因为3（x+16）2≥0，所以-3（x+16）2≤0，所以-3（x+16）2+1312≤1312.也就是代数式代数式-3x2-x+1的值不大于1312.五、配方法应用在几何题例5 △ABC三条边分别是a、b、c，且满足等式（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），判断这个三角形的形状.这类题型的特征，都是将三角形中边或者角的数量关系使用代数式的方式表达，从这里就可以看出，要准确判断一个三角形的形状，除了常用的几何方式外，还可以借助配方法的方式求解.解原式可化为2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0.使用配方法可以化成（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0.由上式可以得出a-b=0，b-c=0，c-a=0.所以可以得到a=b，b=c，c=a.也就是三边a、b、c相等，因此这个三角形是等边三角形.六、配方法应用在二次函数最值的求解例6 有研究结果显示，学生对于概念问题的掌握能力y和提出概念所需要使用的时间x（单位：分）之间满足着如下函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43（013时，y的取值会随着x的增大而变小.那么这个函数式的取值范围应该是：0。
配方法例题20道及答案
配方法例题20道及答案本文列举了20道配方法例题，并提供了详细答案解析，旨在帮助读者加强配方法的理解和应用能力。
题目1：背景介绍某餐厅每天供应12种不同口味的冰淇淋，每种口味的冰淇淋都是相同的价格，每份冰淇淋的标价为\$3。
某天，小明去餐厅买了6份冰淇淋，他共花费了\$14。
请问，小明买了多少种不同口味的冰淇淋？解答1：假设小明买了X种不同口味的冰淇淋，则小明总共花费的金额为：X * 3。
根据题目中的信息，得到方程：X * 3 = 14。
带入数值求解： X * 3 = 14 X = 14 / 3 X ≈ 4.67根据题目背景可知，小明不能购买4.67种口味的冰淇淋，所以我们需要向上取整，即小明购买了5种不同口味的冰淇淋。
题目2：背景介绍某班级有10名男生和15名女生，老师需要选择一位男生和一位女生作为班级代表。
请问，老师有多少种不同选择的方式？解答2：老师选择男生的方式有10种，选择女生的方式有15种。
因此，老师选择班级代表的方式总共有10 * 15 = 150种。
题目3：背景介绍一家图书馆共有8本科学类书籍、6本文学类书籍和10本历史类书籍。
如果要选择一本科学类书籍和一本文学类书籍，问有多少种不同的选择方式？解答3：选择科学类书籍的方式有8种，选择文学类书籍的方式有6种。
因此，选择一本科学类书籍和一本文学类书籍的方式总共有8 * 6 = 48种。
题目4：背景介绍给定一个集合A，其中包含5个元素，即A = {1, 2, 3, 4, 5}。
从集合A中任意选择2个元素，问有多少种不同的选择方式？解答4：从集合A选择2个元素的方式数量可以通过计算组合数来求解。
组合数C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的方式数量。
利用组合数公式C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，可以得到： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 120 / (2 * 6) = 120 / 12 = 10因此，从集合A中选择2个元素的方式总共有10种。
配方法的六种常见应用(专题)
第2讲：配方法的六种常见应用--专题一【基础知识】用配方法解一元二次方程的一般步骤是：化二次项系数为1，把方程化为的形式；把常数项移到方程右边即方程两边同时加上，整理得到 ；当时，，当时，原方程 。
类型一：配方法在证明一元二次方程中的应用求证：无论m 取何值，关于x 的方程072)54(22=-++-x x m m 都是一元二次方程。
练1. 已知关于x 的一元二次方程02)2(2=-++-m x m x ．（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根之积等于1192-+m m ，求6+m 的值．类型二：配方法在解方程中的应用阅读下面材料：把方程0342=+-x x 写成034442=+-+-x x 。
则01)2(2=--x 。
因式分解，得0)12)(12(=--+-x x ，即0)3)(1(=--x x发现：-（1+3）= -4 , 1 × 3 = 3结论：方程0)(2=++-pq x q p x 可变形为0)()(=-•-q x p x20x mx n ++=2m 24m n =-204m n -≥(2m x +=204m n -<应用上面的方法，解下列方程：（1）0652=-+x x （2）01072=+-x x（3）0652=--x x （4）0432=-+x x练2. 用配方法解下列方程：（1）982=+x x （2）015122=-+x x（3）2532=-x x （4）04412=--x x类型三：配方法在求二次三项式的待定系数中的应用已知关于x 的二次三项式1)2(2+--x k x 是完全平方式，求k 的值。
练3. 已知关于x 的二次三项式x2+（k+1）x+k2-2k+1是完全平方式，求k 的值．类型四：配方法在求二次三项式的最大（小）值中的应用我们可以利用配方法求一些多项式的最值。
如：2)1(2)12(32222++=+++=++x x x x x ，当x=-1时322++x x 有最小值2； 再如：1)1(1)12(22222---=-+--=-+-x x x x x ，当x = 1时，222-+-x x 有最大值-1。
配方法在解题中的应用
配方法在解题中的应用配方是数学中的一个重要方法，在解题中有广泛的应用．本文通过例题谈谈它的一些应用．一、应用于因式分解例1 分解因式x4＋4．解配方，得原式=x4＋4x2＋4－4x2＝（x2＋2）2－（2x）2=（x2＋2x＋2）（x2－2x＋2）．例2 分解因式a2－4ab＋3b2－2bc－c2．解原式=（a2－4ab＋4b2）－（b2+2bc＋c2）＝（a－2b）2－（b＋c）2＝（a－b＋c）（a－3b－c）．二、应用于解方程例3 解方程3x2＋4y2－12x－8y＋16=0．解分别对x、y配方，得3（x2－4x＋4）＋4（y2－2y＋1）=0，3（x－2）2＋4（y－1）2＝0．由非负数的性质，得例4 解方程（x2＋2）（y2＋4）（z2＋8）=64xyz（x、y、z均是正实数）．解原方程变形，得x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64－64xyz=0各自配方，得（xyz－8）2＋2（4x－yz）2＋4（2y－xz）2＋8（z－xy）2=0由非负数的性质，得解得运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握．三、应用于求二次函数的最值例5 已知x是实数，求y＝x2－4x+5的最小值解由配方，得y＝x2－4x＋4－4＋5=（x－2）2＋1∵ x是实数，∴（x－2）2≥0，当x－2=0，即x=2时，y最小，y最小=1．例6 已知二次函数y=x2－6x＋c的图象的顶点与坐标原点的距离等于5，求c的值．解因为y＝x2－6x＋c＝x2－6x＋9－9＋c=（x－3）2＋c－9，所以这个二次函数的顶点坐标为（3，c－9），它与坐标原点的距离是．由此解得c=5或c=13四、应用于求代数式的值例7 已知求的值．解因为所以即x++1=，∴x+=－1，∵，∴故本题联合应用了倒数法和配方法使问题得解．倒数法是一种解题技巧，解题时注意应用．例8 如果求的值．解由已知条件，分别对a、b配方，得（a2－4a＋4）＋（b2－2b＋1）＝0，（a－2）2＋（b－1）2＝0．由非负数的性质，得a－2＝0，b－1＝0．∴a＝2，b＝1．∴=五、判定几何图形的形状例9 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，判定△ABC是正三角形．证明由已知等式两边乘以2，得2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca=0，拆项、配方，得（a2－2ab＋b2）＋（b2－2bc＋c2）＋（c2－2ca＋a2）＝0，（a－b）2＋（b－c）2+（c－a）2＝0．由实数的性质，得a－b=0，b－c=0，c－a=0，∴a＝b，b＝c，c＝a，a=b=c．故△ABC是等边三角形．。
配方法及其应用归纳总结
配方法及其应用归纳总结配方法及其应用归纳总结一、配方法配方法是一种重要的数学方法，可以将一个多项式进行恒等变形，使之出现完全平方式，并化成平方的形式。
它是完全平方公式的逆用。
配方时主要用到以下两个公式：1）a²+2ab+b²=(a+b)²2）a²-2ab+b²=(a-b)²重要结论：1）x²±2x+1=(x±1)²2）a²+b²+c²-ab-bc-ca=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²二、配方法的应用配方法有着广泛的应用，常用于：1）求字母的值2）证明字母相等3）解一元二次方程4）证明代数式的值非负5）比较大小6）求函数的最值三、配方法用于求字母的值例2.已知a²+b²+4a-2b+5=0，则a=-2，b=1.说明：配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值，注意过程书写的规范。
例3.已知a²+b²+1=ab+a+b，求3a-4b的值。
解：将等式两边移项得：a²-2ab+b²+a-2a+1+b-2b+1=0.化简得：(a-b)²+(a-1)²+(b-1)²=4.由非负数的性质得：a-b=±2，a-1≥0，b-1≥2.因此，a=1，b=1，3a-4b=-1.题1.已知x2y2+x2+4xy+13=6x，则x=2，y=1.题2.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=2.题3.已知a、b、c满足a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17，求a+b+c的值为-2.四、配方法用于证明字母相等例4.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判断这个三角形的形状，并说明理由。
解：△ABC是等边三角形。
配方法及其应用归纳总结
配方法及其应用归纳总结资料编号:20190729一、配方法对一个多项式进行恒等变形,使之出现完全平方式,并化成平方的形式,叫做配方,它是完全平方公式的逆用.配方时主要用到下面两个公式:（1）()2222b a b ab a +=++; （2）()2222b a b ab a -=+-. 重要结论:（1）222112⎪⎭⎫ ⎝⎛±=+±x x x x ; （2）()()()[]22222221a c c b b a ca bc ab c b a +++++=+++++; （3）()()()[]22222221a c c b b a ca bc ab c b a -+-+-=---++. 例1.证明结论（2）.证明:[]ca bc ab c b a ca bc ab c b a 22222221222222+++++=+++++ ()()()[]22222222221a ca c c bc b b ab a ++++++++= ()()()[]22221a c c b b a +++++=. 二、配方法的应用配方法是一种很重要的数学方法,有着广泛的应用.常用于:（1）求字母的值;（2）证明字母相等;（3）解一元二次方程;（4）证明代数式的值非负;（5）比较大小;（6）求函数的最值.三、配方法用于求字母的值例2. 已知052422=+-++b a b a ,则=a _________,=b _________.解:∵052422=+-++b a b a∴()()0124422=+-+++b b a a∴()()01222=-++b a ∵()22+a ≥0,()21-b ≥0 ∴01,02=-=+b a∴1,2=-=b a .说明:配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值,注意过程书写的规范.例3. 已知b a ab b a ++=++122,求b a 43-的值.解:∵b a ab b a ++=++122∴0122=---++b a ab b a∴022222222=---++b a ab b a∴()()()0121222222=+-++-++-b b a a b ab a∴()()()011222=-+-+-b a b a ∵()2b a -≥0,()21-a ≥0,()21-b ≥0 ∴01,01,0=-=-=-b a b a∴1==b a∴14343-=-=-b a .习题1. 已知x xy x y x 6134222=+++,则=x _________,=y _________.习题2. 已知014642222=+-+-++z y x z y x ,则=++z y x _________.习题3. 已知c b a 、、满足176,12,72222-=--=-=+a c c b b a ,求c b a ++的值.四、配方法用于证明字母相等例4. 已知c b a 、、是△ABC 的三边,且满足0222=---++ca bc ab c b a ,判断这个三角形的形状,并说明理由.解:△ABC 是等边三角形.理由如下:∵0222=---++ca bc ab c b a∴022*******=---++ca bc ab c b a∴()()()022*******=+-++-++-a ca c c bc b b ab a∴()()()0222=-+-+-a c c b b a ∵()2b a -≥0,()2c b -≥0,()2a c -≥0 ∴0,0,0=-=-=-a c cb b a∴c b a ==∵c b a 、、是△ABC 的三边∴△ABC 是等边三角形.习题4. 已知()()22223c b a c b a ++=++,求证:c b a ==.五、配方法用于解一元二次方程用配方法解一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号;c bx ax -=+2（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1;ac x a b x -=+2 （3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）四开 直接开平方; aac b a b x 2422-±=+ （注意:当ac b 42-=∆≥0时方程有实数根） （5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;a acb a b x 2422-=+或aac b a b x 2422--=+ （6）解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=. 说明:由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件是ac b 42-=∆≥0,求根公式为:aac b b x 242-±-=. 例5. 用配方法解方程:01422=++x x .解:1422-=+x x()22121112112212222±=+=++-=++-=+x x x x x x ∴221=+x 或221-=+x ∴221,22121--=+-=x x .习题5. 用配方法解下列方程:（1）011242=--x x ; （2）03232=-+x x .六、配方法用于证明代数式的值例6. 已知代数式752+-x x ,用配方法说明,不论x 取何值,这个代数式的值总是正数.证明:43257425425575222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+-=+-x x x x x ∵225⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≥0 ∴043252>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ,即0752>+-x x ∴不论x 取何值,这个代数式的值总是正数.例7. 求证:代数式4281022++-+y x y x 的值总是正数.证明:()()()()1451168251042810222222+++-=+++++-=++-+y x y y x x y x y x ∵()25-x ≥0,()24+y ≥0 ∴()()014522>+++-y x ,即04281022>++-+y x y x ∴不论y x ,取何值,代数式4281022++-+y x y x 的值总是正数.习题6. 用配方法证明:不论x 取任何实数,代数式2942+-x x 的值总是正数.习题7. 求证:不论y x ,取何值,代数式25222++-+-y x y xy x 的值总是非负数. 提示:()524222212522222++-+-=++-+-y x y xy x y x y xy x .七、配方法用于比较大小 例8. 若代数式871022+-+=a b a M ,1522+++=a b a N ,则N M -的值 【 】（A ）一定是负数 （B ）一定是正数（C ）一定不是负数 （D ）一定不是正数思路:作差比较大小法:作差N M -,然后用配方法说明差的符号,从而也可以说明N M ,的大小关系.解:∵871022+-+=a b a M ,1522+++=a b a N∴1587102222----+-+=-a b a a b a N M()323341297129222+-=++-=+-=a a a a a∵()223-a ≥0 ∴()03232>+-a ,即N M N M >>-,0 ∴N M -的值一定是正数,选择【 B 】.习题8. 用配方法说明代数式1422--x x 的值总大于422--x x 的值.八、配方法用于求函数的最值对于二次函数c bx ax y ++=2()0≠a ,通过配方法可将其化为顶点式()k h x a y +-=2,然后结合a 的符号得到函数的最大值或最小值.在顶点式中,ab ac k a b h 44,22-=-=. （1）当0>a ,且ab x 2-=时,函数有最小值,最小值为a b ac y 442min -=; （2）当0<a ,且ab x 2-=时,函数有最大值,最大值为a b ac y 442max -=. 例9. 求函数x x y 92+-=的最大值.解:481294814819481481992222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+-=x x x x x x x y ∵01<-=a∴函数x x y 92+-=有最大值,最大值为481max =y . 例10. 分别在下列范围内求函数322--=x x y 的最大值与最小值.（1）20<<x ; （2）2≤x ≤3.解:()()4141232222--=-+-=--=x x x x x y （1）∵20<<x∴当1=x 时,函数322--=x x y 有最小值,最小值为4min -=y ,无最大值;（2）∵()412--=x y ∴当x ≥1时,y 随x 的增大而增大∵2≤x ≤3∴当2=x 时,y 有最小值,最小值为()34122min -=--=y ; 当3=x 时,y 有最大值,最大值为()04132max =--=y . 习题9. 函数x x y 23212-=的最小值为_________. 习题10. 函数x x y 322--=的最大值为_________.。
8 例析利用配方法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习
【学生版】例析利用配方法解题题型配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，其作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、化简根式、解方程、解函数最值和解析式、证明等式和不等式问题等方面有广泛的应用。
所谓配方法：是把代数式通过“凑”、“配”等手段，善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法；配方法主要适用于含“二次项”的函数、方程、等式、不等式的讨论、求解与证明及二次曲线的讨论。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式222)b a (b ab 2a ±=+±；将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式；如：ab 2)b a (ab 2)b a (b a 2222+-=-+=+；222222)b 23()2b a (ab 3)b a (ab )b a (b ab a ++=+-=-+=++；])a c ()c b ()b a [(21ca bc ab c b a 222222+++++=+++++； 2)x cos x (sin x cos x sin 21x 2sin 1+=+=+；2)x1x (2)x 1x (x 1x 2222+-=-+=+。
一、运用配方法解方程对有一类方程的求解，可运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，则就需要配方。
例1、求方程05y 4x 2y x 22=+-++的解x ，y 。
【提示】 【解析】 【评注】例2、证明：无论m 取何值，关于x 的方程05m x 4x )10m 6m (22=-++-都是一个一元二次方程。
二、运用配方法解（证明）不等式根据完全平方的非负性，结合配方，可解决不等式的证明与建立不等量关系，解决不等式问题。
例3、设方程2x kx 20++=的两实根为p 、q ，若22p q ()()7qp+≤成立，求：实数k 的取值范围。
配方法求解一元二次方程
配方法求解一元二次方程（原创实用版4篇）目录（篇1）1.一元二次方程的一般形式2.配方法的原理3.配方法的步骤4.配方法的应用举例5.结论正文（篇1）一元二次方程的一般形式为 ax + bx + c = 0，其中 a、b、c 为常数，且 a ≠ 0。
一元二次方程的求解方法有很多，其中配方法是一种比较常见的方法。
配方法的原理是将一元二次方程的二次项与一次项通过配方转化成完全平方的形式，从而将一元二次方程转化为一元一次方程，进而求解。
配方法的步骤如下：1.将常数项移到等式右边，得到 ax + bx = -c。
2.计算一次项系数 b 的一半，即 b/2，然后将其平方加到等式两边，得到 ax + bx + (b/2) = -c + (b/2)。
3.将等式左边化简成完全平方的形式，即 (x + b/2) = c - (b/2)。
接下来，我们可以通过开平方的方法求解 x 的值。
如果 c - (b/2) 是一个完全平方数，那么方程有实数解；如果 c - (b/2) 不是完全平方数，那么方程无实数解。
配方法的应用举例：求解方程 x - 3x + 2 = 0。
1.将常数项移到等式右边，得到 x - 3x = -2。
2.计算一次项系数 -3 的一半，即 -3/2，然后将其平方加到等式两边，得到 x - 3x + ( -3/2 ) = -2 + ( -3/2 )。
3.将等式左边化简成完全平方的形式，即 (x - 3/2) = 1/4。
对方程两边开平方，得到 x - 3/2 = ±1/2，解得 x1 = 2，x2 = 1。
因此，方程 x - 3x + 2 = 0 的解为 x1 = 2，x2 = 1。
总之，配方法是一种有效的求解一元二次方程的方法，适用于各种形式的一元二次方程。
目录（篇2）1.配方法求解一元二次方程的概述2.一元二次方程的标准形式3.配方法的具体步骤4.配方法求解一元二次方程的实例5.结论正文（篇2）一、配方法求解一元二次方程的概述配方法是一种求解一元二次方程的数值方法。
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配方法应用举例
配方法是一种非常重要的数学方法，在解决数学问题上应用非常广泛、有效。
下面结合实例对配方法的应用做以简单说明，以期对同学们有所协助。
一、用配方法能够分解因式。
例1 将x 2+4x+3分解因式。
分析：在没有学过“十字相乘法”的情况下，采用配方法就非常方便了。
解：x 2+4x+3=（x 2+4x+4）-1=（x+2）2-1=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)
二、用配方法能够判定二次三项式值的正、负性。
例2 求证无论x 取何值，代数式2x 2－6x+5的值恒大于零。
分析：同学们在没有学习二次函数之前，是无法解答的。
若用配方法，这类问题就迎刃而解了。
解：这是因为2x 2－6x+5=2(x 2－3x )+5=2[(x 2－3x+49)－49]+5=2(x －2
3)2－29+5=2(x －23)2+2
1＞0。
例3 求证：无论ｙ为何值，－10y 2+5y-4的值恒小于零。
解：这是因为－10y 2+5y-4=-10（ｙ2－
21ｙ）-4=-10［(ｙ2－21ｙ+161)-161)-4=-10(ｙ－41)２－8
27﹤０ 三、用配方法能够求出二次三项式的最大值（或最小值）。
例４ 求当x 取何值时，代数式2x-2x 2-1的值最大？最大值是多少？
分析：这是一道关于二次函数极值的问题，用配方法解答此题显得更浅显易懂。
解：2x-2x 2-1=-2（x 2-x ）-1=-2[(x 2-x+41)-41]-1=-2(x-2
1)2-21；因为无论x 取何值 -2(x-21)2≤0,所以 -2(x-2
1)2-21≤-21，当x=21时，代数式2x-2x 2-1的值最大,最大值是-21。
例5 代数式4y 2+8y-7有最大值还是有最小值？
解：4y 2+8y-7=4（y 2+2y ）-7=4[(y 2+2y+1)-1]-7=4(y+1)2-11；因为4(y+1)2
≥0，所以4(y+1)2-11≥-11，故当y=-1时，代数式4y 2+8y-7有最小值，最小值是-11。
四、用配方法能够求出某些等式中字母的值。
例6 已知a 2+b 2+c 2+3=2(a+b+c)，求a 3+b 3+c 3-3abc 的值。
分析：能够将已知等式通过移项、配方，再根据几个非负数的和等于零，则这几个非负数均为零，求出式子中各字母的值。
解：由a 2+b 2+c 2+3=2(a+b+c)，得(a 2-2a+1)+(b 2-2b+1)+(c 2-2c+1)=0，(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0，则(a-1)2=0，(b-1)2=0，(c-1)2=0，所以a=b=c=1；故a 3+b 3+c 3-3abc=0。
五、用配方法能够使某些求代数式的值更简便。
例7 已知a=2009，b=2010，c=2011，求a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc 的值。
分析：若直接将a 、b 、c 的值代入求值，计算非常繁琐。
若将所给代数式先配方，再代入求值，则可使计算较为简便。
解：a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc =2
1( 2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2ac-2bc) = 2
1[(a 2-2ab+b 2)+(a 2-2ac+c 2)+(b 2-2bc+c 2)] = 2
1[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2] 当a=2009，b=2010，c=2011时，
原式=2
1[(2009-2010)2+(2009-2011)2+(2010-2011)2] =3
六、用配方法能够解一元二次方程。
例8 解下列方程
(1)4x 2-300x+1400=0 (2)x 2+17=8x
分析：用配方法解一元二次议程的步骤是：（1）把方程的常数项移到方程的右边去；（2）把二次项的系数化为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程变为(mx+n)2=p 的形式；（4）当p ≥0时，开平方求得方程的解；当p ＜0时，原方程无实数解。
解：（1）移项，得4x 2-300x=-1400，
二次项系数化为1，得x 2-75x=-350，
配方，得x 2-75x+
45625=4
5625-350， (x-2
75)2=44225， 由此可得x-275=±265， x 1=5，x 2=30.
(2) 移项，得x 2-8x=-17，
配方，得x 2-8x+16=16-17,
(x-4)2=-1＜0
所以原方程无实数根。
七、用配方法能够求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
例9 已知函数y=3x 2-24x+21，
（1）该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x 取何值时，y 随x 增大而增大？x 取何值时,y 随x 增大而减小？
（3）当x 取何值时，函数有最大值或最小值？并求出最值；
（4）该函数图象可由y=3x 2的图象怎样平移得到？
分析：可将该函数配方成y=a(x-h)2+k(a ≠0,h,k 是常数)的形式，再根据二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0,h,k 是常数)的图象和性质解答。
解：由函数y=3x 2-24x+21，得
y=3(x 2-8x)+21=3[(x 2-8x+16)-16]+21=3(x-4)2-27
（1）因为a=3＞0，所以该函数图象的开口向上，对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，-27）.(2)当x ＞4时，y 随x 的增大而增大；当x ＜4时，y 随x 的增大而减小.(3)当x=4时，函数有最小值-27。
（4）该函数图象可由y=3x 2的图象先向右平移4个单位，再向下平移27个单位而得到。