管理运筹学复习资料

方程组方面：不等式约束要引入松弛变量（左端小于右端）或剩余变量（左端 大于右端）来化为等式约束（左端加上松弛变量或减去剩余变量） ； （3）非负条 ， 件方面：若有 xK≤0，则令 x'K=-xK，就有 x'K≥0；若有 xK 为无限制（自由变量） 则令 xK=x'K-x''K，且 x'K，x''K≥0，并以 x'K、x''K 代替 xK 出现在整个式子中。 令有 x3，x4，x5≥0（作为松弛变量） Obj：max z =70x1+120x2+0x3+0x4+0x5 s.t 9x1+4x2+x3 =360（引入松弛变量，化小于为等于） 4x1+5x2 +x4 =200（引入松弛变量，化小于为等于） 3x1+10x2 +x5=300（引入松弛变量，化小于为等于） x1，x2，x3，x4，x5≥0（非负条件） 步骤五：化约束方程组为系数矩阵
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考试日期：2010-11-29 考试时间： : - : 考场安排：本部教学楼 A1104 考试方式：闭卷，随堂考试 题型：5道计算题各占20%
第一部分 扫盲篇
要点 1：建立模型、化为标准型与求解
范例： 产品 A 产品 B 资源限制 360 工时 200 台时 300 千克
劳动力 9 4 设备 4 5 原材料 3 10 单位产品利润 70 120 （元） 问如何安排产品 A、B 的生产使获利最大？ 步骤一：确定决策变量 令 x1、x2 分别为产品 A、B 的产量。
a 11 a 12 a 13 1、行列式 a 21 a 22 a 23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32 a 31 a 32 a 33
2、求非基可行解只要凑个数能满足约束条件即可，非基非可行解只要凑个数能 不满足约束条件即可。
故取 x4 为入基变量。使用 θ 规则：
12 27 θ=min , =6（用 x4 列的正元素去除各自对应的右端项，取出最小比值） 2 3
由于最小值在第一个方程达到，故取第一个方程对应的基变量 x1 为出基变量。
步骤四：旋转变换 理论： （1）以入基变量 xK 取代出基变量 xl，建立新的一组基变量， （2）把 xK 相
要点 3：单纯形表
理论：单纯形表的内容 Cj→ CB XB b'
基变量 的 目标函数 系数 基 变 量 典式 的 右端项 目标函数 的值
目标函数系数
x1
x2
x3
x4
x 5 …（所有变量） θi
θ 比值
典式的方程组系数
基变量的检验数
范例： Obj：max z=3x1-3x2+5x4-x5 s.t x1 -2x3+2x4 =12 x2-2x3 =1 -4x3+3x4+x5=27 x1，x2，x3，x4，x5≥0 步骤一： 理论： （1）化原式为（ SLP） ， （2）再化（SLP）为典式（典式的系数矩阵含有 一个某阶的单位矩，且右端项非负） 。 （3）令非基变量为 0，得出初始基可行解 (0) X ，及其相应的目标值 Z0。 填表：建立初始单纯形表，填上所有数字，除了 σ 与 θ 相应的数字。 本题已为标准型，且约束方程组已为典式。 取 x 1，x 2，x 5 基变量 令非基变量 x 3， x 4=0，可得初始 bfsX(0)=（12，1，0，0，27）T，相应目标值 z0=6。 填表：填上所有数字，除了 σ 与 θ 相应的数字。 3 -3 0 5 Cj→ x2 x3 x4 CB XB b' x 1 3 -3 -1 x1 x2 x5 12 1 27 6 1 0 0 0 1 0 -2 -2 -4 2 0 3
4 0 0 B2= 5 1 0 =（P2 ，P4 ，P5）≠0，故为一个基。 10 0 1
于此 x1、x3 为非基变量，x2、x4、x5 为基变量。 ，从而解出 x2=90、x4=﹣250、 令非基变量 x1，x3=0，代入方程组（原约束方程组） (0) x5=﹣600。得出 X =（0，90，0，﹣250，﹣600）T，这是基解。 由于此基解不满足（上述约束条件中的）非负条件（表现为 x4=﹣250＜0、x5= ﹣600＜0） ，所以它不是基可行解，是基非可行解。 注记：
9 4 1 0 0 A= 4 5 0 1 0 =（P1 ，P2 ，P3 ，P4 ，P5） 3 10 0 0 1
A 为 3× 5 的系数矩阵 步骤六：分别做出（SLP）的基、基变量、基解、基可行解 理论： （1）找出基：若 B 为矩阵 A（m× n）中的 m× m 非奇异子矩阵（即 B 的 ，则 B 为（SLP）的一个基。 （2）找出基变量：与基相对应的 行列式︱B︱≠0） 变量就是基变量，其他则为非基变量。 （3）求出基解：令非基变量等于 0，代入 原方程组，就可求出基解。 （4）求出基可行解：如果基解满足非负条件（xK≥0） ， 那它就是基可行解。此外： （5）判别退化性：如果基可行解存在某基变量为 0 （xK≥0） ，则它就是退化的基可行解；否则就是非退化的基可行解。 第一个基：
1 0 0 B1= 0 1 0 =（P3 ，P4 ，P5）≠0，故为一个基。 0 0 1
于此 x1、x2 为非基变量，x3、x4、x5 为基变量。 令非基变量 x1，x2=0，代入方程组（原约束方程组） ，从而解出 x3=360、x4=200、 (0) T x5=300。得出 X =（0，0，360，200，300） ，这是基解。 由于此基解满足（上述约束条件中的）非负条件（表现为 x3=360≥0、x4=200≥0、 x5=300≥0） ，所以它是基可行解。 【此外：由于此基可行解不存在取零值的基变量（表现为 x3=360≠0、x4=200≠0、 x5=300≠0） 所以它是非退化的基可行解。 由于此基有基可行解， 所以它是可行基。 】 第二个基：
检查 xK 相应的列 P'K=
a'1k a'2k 。情况 1：xK 相应的列 P'K= a'mk
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a'1k a' 2k ≤0，则（SLP） a' mk
a'1k a' 有无界解，停止运算。情况 2：xK 相应的列 P'K= 2k 有正分量， （2）则令 xK a' mk 为入基变量，使用 θ 规则（最小比值规则，用 xK 列的正元素去除的 b'列的对应
计算非基变量 x3、x4 的检验数： σ3=C3-Z2=0-[3× (-2)+(-3)× (-2)+(-1)× (-4)]=-4 σ4=C4-Z4=5-[3× 2+(-3)× 0+(-1)× 3]=2 其中有 σ4﹥0 步骤三： 理论： 若有某一非基变量 xK 的 σK＞0 （选取所有 xj 的︱σj︱中某一最大者） 。 （1）
步骤二：确定目标函数 理论：目标函数简称 Obj。求最大值为 max，求最小值为 min。 Obj：max z =70x1+120x2（单位产品乘产量，求最大故为 max） 步骤三：确定约束条件 理论：约束条件简称 s.t。除了约束方程组外还有变量的非负条件。 s.t 9x1+4x2≤360（劳动力不大于 360 工时） 4x1+5x2≤200（设备不大于 200 台时） 3x1+10x2≤300（原材料不大于 300 千克） x1，x2≥0（确定变量的非负条件，一般而言，变量会有非负限制） 步骤四：全部化为标准型 理论：标准型简称（SLP） 。化为（SLP）必须： （1）Obj 方面：将最小化转变 为最大化问题，因 min z=max (-z) ，故令 z'=-z，则有 min z=max z'； （2）约束
要点 2：单纯形法
范例： Obj：max z=3x1-3x2+5x4-x5 s.t x1 -2x3+2x4 =12 x2-2x3 =1 -4x3+3x4+x5=27 x1，x2，x3，x4，x5≥0 步骤一： 理论： （1）化原式为（ SLP） ， （2）再化（SLP）为典式（典式的系数矩阵含有 一个某阶的单位矩，且右端项非负） 。 （3）令非基变量为 0，得出初始基可行解 X(0)，及其相应的目标值 Z0。 本题已为标准型，且约束方程组已为典式。 取 x 1，x 2，x 5 基变量 令非基变量 x 3， x 4=0，可得初始 bfsX(0)=（12，1，0，0，27）T，相应目标值 z0=6。 步骤二：最优性检验 理论： （1）根据最优解判别准则，以 σ 为检验数，用 σj=Cj﹣Zj 对所有的非基变 量做最优性检验（Cj 为目标函数中第 j 项的系数；Zj 为 CB 与 Pj 的内积，CB 为 基变量在目标函数中的系数， Pj 为典式中系数矩阵的第 j 列） 。 （2）判断，情况 1：若所有非基变量的 σj≤0，则 X(0)为最优可行解，停止计算。情况 2：若其中 有某一非基变量 xK 的 σK＞0，则进入下一步骤。
[2] P'4= 0 变为 3
[1] 0 0
可得新方程组： 1 x1 -x3+x4 =6 2 x2-2x3 =1 3 - x1 -x3 +x5=-9 2 进入重复： 令非基变量 x 1，x 3=0，可得新 bfsX(1)=（0，1，0，6，9）T，相应目标值 z=18。 为检验 X(1)的最优性，计算非基变量 x 1、x 3 的检验数。 3 σ1=3-[5× 1/2+(-3)× 0+(-1)× ( - )]=-1 2 σ3=0-[5× (-1)+(-3)× (-2)+(-1)× (-1)]=-2 在此 σ1﹤0、σ3﹤0 由最优解判别准则可知，X(1)为最优解，最优值 z*=18。
b b 元素，选取其中最小者，即 θ=min i = l ，其中 a'lk＞0，i=1、2、3… m） a l k a ik
得出最小比值，最小值来自哪一方程，就选取哪一方程对应的基变量 xl 为出基 变量。
2 由于 x4 的 σ4﹥0，且相应的列 P'4= 0 有正分量， 3
a'1k a' 2k 应的列 P'K= 变成单位列向量（入基变量相应的列为主元列，出基变量相 a' mk 应的行为主元行，主元列与主元行的交 a'lk 为主元，标为[a'lk]，主元化为 1，其
余化为 0） ， （3）得出新方程组的主元行（主元行各元素除以主元）以及非主元 行（原方程组的非主元行各元素－a'ik× 新方程组的主元行各元素，a'ik 是原方程 。 （4）进入步骤一的“ （3）” ，重复步骤二到步骤四， 组中第 i 行与主元列的交） 直到求出最优解。 新的基变量为 x4，x2，x5，使用初等行变换把方程组中 x4 对应的列
2 0 0 最优基变量为 x4，x2，x5，最优基 B=（P4 ，P2 ，P5）= 0 1 0 ，而最优解 3 0 1
为 x*=（0，1，0，6，9） 。 注记：对于求 min 的问题，可选用如下的一种方法处理 1、将求 min 问题转化为求 max 问题。要点：在化为（SLP）时一定会做到。 2、将原本最优解判别准则的标准改变，改为情况 1：若所有非基变量的 σj≥0， 则 X(0)为最优可行解，停止计算。情况 2：若其中有某一非基变量 xK 的 σK＜0， 则进入下一步骤。要点：与原先的差异只是大小于符号的方向相反。 3、将原本最优解判别准则的计算式改变，将 σj=Cj﹣Zj 改成 σj= Zj﹣Cj。要点： 与原先的差异只是计算式的前后相反。 如果你的人生目标是赚钱，我着实为你惋惜。如我所见，那些成功以 后仍然幸福的人都是愿意奉献的人。 取得成功的原因是他们有着与社会休 戚与共的意识。 --彼得·德鲁克，现代管理之父