理论物理导论-第一章1

U F yi y i
U Fzi z i
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设有由N个质点构成的质点系，其第i个质点的 三个直角坐标为xi,yi,zi，质量为 mi , 则N个质 点的牛顿运动方程为： i Yi ， mi i X i ， i Z i ，（1-1） mi y mi x z （i=1，2，…,N） 式中， xi , yi , zi 代表第i个质点的加速度在三 个方向上的分量， X i , Yi , Z i 则代表作用于该质 点的力的三个分量，对于每一个质点都有类似 的方程，所以含有N个质点的该力学系统应有 3N个这样的方程来描述运动。
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约束方程 设质点组各质点的位置是 有 k 个约束
，速度是
对于一个具有 n 个质点的体系，如果存在 k 个约束 (方程)，那么在确定体系位形变化的 3n 个坐标参 量中，只有 3n - k = s 个参量可以独立变化 例：水分子体系的位形？ 无约束——水蒸气，有约束——冰

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约束的种类 几何约束，微分约束 几何约束(完整约束)：限制质点的几何位置 例：Oxy 平面的曲柄连杆的约束
得到：
d T U ( ) 0 i dt x xi
d T U ( ) 0 i dt y yi d T U ( ) 0 i dt z zi
（1-4）
同样可以写出其余两个分量的式子：
（1-4）
引入拉格朗日函数（以后简称拉氏函数）L ，定 义为：
1 , y 1 , z N , y N , z 1 ,...,x N ) T U L L( x1 , y1 , z1 ,...,xN , y N , z N , x
i ) 由此得到： d ( T ) d (mi xi ) m d ( x i mi x i i dt x dt dt i ，由（1-1）式，正等于 X i ，于是： x 而 mi
U 再结合（1-3）i i dt x
同时，如果我们讨论的是所谓“保守力系”， 则可以引入一个势函数，而有：
U U U Xi , Yi , Zi , (i 1,2,...,N ) xi yi z i
（1-3）
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由（1-2）式可得：
T 1 i mi x i mi 2 x i 2 x
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例2：小环在一绕垂直轴转动直杆上的滑动。 一小环 m 套在一光滑直杆上，直杆本身以匀角 速度 绕垂直轴转动，除约束力外小环不再受 其他外力。求小环在直杆上的运动情况. 解：选环距转轴的距离r为广义坐标， 则变换方程 x r cos t
y r sin t
2 2
显含时间t，动能T为
分析力学初步
第一章 拉格朗日方程 与哈密顿方程
低速宏观运动的基本原理，除了牛顿 三定律表述外，还有拉格朗日表述方式和 哈密顿表述方式。这些表述方式实质内容 相同，只是表达形式有差别。拉氏表述和 哈氏对客观规律的本质反映得更清楚，而 且便于推广到高速和微观情况。
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§1-1 自由度 约束与广义坐标
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定义用直角坐标表示的质点系的动能T为：
1 1 2 2 2 2 2 2 T m1 ( x1 y1 z1 ) ... mN ( xN y N z N ) 2 2 1 N i 2 y i 2 z i 2 ) mi ( x 2 i 1 （1-2）
约束方程的一般形式
只存在完整约束的力学系称为完整系.
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微分约束(不完整约束，运动约束)：约束方程中含 有时间的一次微分变量(如速度)，并且不可解为坐 标之间的关系 例：大环和小盘
例：沿直线轨道作纯滚动的车轮
约束方程的一般形式
存在不完整约束的力学系称为不完整系.
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稳定约束，不稳定约束 稳定约束：约束方程中不会明显地含有时间变量 t 例：一个质点被约束在一个固定不动的球面上运动
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（1-7）式适用于完整理想约束，且主动力 为保守力的系统。其中L为拉格朗日函数，等于 力学系的动能与势能之差，是表征力学系特征的 一个重要标量函数。 用一个标量函数（代替矢量函数）就可 以完全表征出力学系的全部特征，就是拉格朗日 表述比牛顿表述的优点之一。 **书中p26-29有另外一种推导过程，可以参 看。
约束方程的一般形式

不稳定约束：约束方程中明显地含有时间变量 t 例：一个质点被约束在一个不断变化的球面上运动 约束方程的一般形式
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可解约束，不可解约束 不可解约束：约束始终不能解除 例：一个质点连结刚性的杆子 质点到连结点的距离只能是杆长，即始终不 能脱离约束

可解约束：约束在某范围内可以被解除 例：一个质点连结在不可伸长的软绳上 质点到连结点的距离不能大于绳长， 但可接近连结点，即不大于 r 的范围 内脱离了约束

约束 力学系统(力学系，力学体系，体系)：n 个相互 作用的质点构成一个力学系统 位形：力学系的位置状态，n 个质点需要 3n 个坐 标参量(x1,y1,z1),…, (xn,yn,zn)来确定，或写为 xi (i=1,…,3n) 约束：限制质点自由运动的条件 例：Oxy 平面的曲柄连杆的约束
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讨论：
①从力学规律的内容看，拉氏方程与牛顿运动 方程是等价的。 ② n个质点的体系,采用笛卡尔坐标为广义坐标 时,拉氏方程和牛顿运动方程完全一样。（作业） ③拉氏方程和牛顿方程的着眼点不同。 牛顿方程：力、加速度等矢量 拉氏方程：标量函数L。拉氏函数L是体系的 一种特性函数，由它可完全确定体系的运动。 L为体系特征量。

以后仅限于讨论完整、稳定的约束
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自由度


能完全描述一个力学系的运动所需要的、独立参量变更数 目，称为力学体系的自由度 对于一个具有 n 个质点的体系，如果存在 k 个约束方程， 那么体系的自由度是 s = 3n - k 如果 k 个约束方程都是几何约束，那么独立坐标参量 的数目等于体系的自由度 如果约束方程中存在微分约束，那么独立坐标参量的 数目大于体系的自由度 为什么？ k 个约束方程不能完全确定 k 个参量
独立坐标变量 x,y 或独立参量
都可以作为广义坐标 9
例如，对约束在空间固定曲线上运动的 质点，可用自始点计量的路程s作广义坐 标；
再例如，用细杆约束在竖直平面内摆动 的质点，可用杆与铅垂线的夹角θ作广义 坐标。
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讨论： 1）广义坐标不限于长度量纲，也可以是：角度 电量q，面积A，体积V，电位移矢量，磁化强度 2）自由度对一个系统是唯一确定的，广义坐标 则可多种选取。 例： 3）广义坐标已经体现出约束方程的要求，就不 必再列出约束方程，约束越多，广义坐标的个数 越少，原则上说，问题变得越简单，广义坐标的 这些特点具有很大的优越性。
重物
x3 q1 q2
速度
1 q 1 x 2 q 1 q 2 x 3 q 1 q 2 x
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不计滑轮和绳了的质量，那么体系的动能为： 1 1 1 2 2 1 m2 x 2 m3 x 32 T m1 x 2 2 2 1 1 1 2 2 1 m2 (q 1 q 2 ) m3 (q 1 q 2 ) 2 m1q 2 2 2 1 1 2 1 (m2 m3 )q 2 2 (m3 m2 )q 1q 2 (m1 m2 m3 )q 2 2 体系的势能为：
（1-5）
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1 ,...,z N 的函数，而U 又限 由于动能 T 只是速度x 于只是坐标 x1 ,...z N 的函数，因此在引入后，式 （1-4）可以写成： d L L 0 i xi dt x （i=1，2，…,N） d L L 0 i y i dt y （1-6） d L L 0 i z i dt z
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例1：试用拉格朗日方程来讨论单摆的运动。
g 答案： sin 0 l
作业：球面摆摆长为l,试利用拉格朗日方程，求 摆的运动微分方程。
提示：自由度为 2 ，选球坐标（ r,θ,ψ), 约束方程 为：r=l,质点动能为 1 2 2 2 2 2 T m(l l sin ) 2 势能为 U mgl cos 零势能取在悬点O的水平面上 拉格朗日函数为 L=T-U 由此可以求出拉格朗日函数，继而求出 拉格朗日运动方程。
1 1 T m( x y ) m( r r 2 2 ) 2 2
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2
由于小环不受主动力，U=0，L=T，带入 拉氏方程 d T T ( ) 0 dt r r 得到： m r mr 0
2
或者

r r
2
结果说明小环将沿直杆向外做加速运动
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④拉氏方程在处理有约束的体系时，避免了 求约束力的麻烦． ⑤拉氏方程具有普适性．由于采用能量及广义 坐标，拉氏方程的适用范围远超出力学本身．
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＊拉氏方程解题参考步骤： (1)确定所讨论的系统，分析是否保守系． (2)确定系统的自由度，选好广义坐标(选取适当 的坐标系) (3)写出动能T(广义坐标，广义速度的函数)，势 能U(广义坐标的函数) (4)求拉格朗日函数L=T-U (5)将L代入拉氏方程(s个自由度有s个拉氏方程) (6)根据题意求解微分方程组．
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拉格朗日运动方程
在以上的基本概念理解的基础上，我们来 从牛顿运动定律出发，导出用广义坐标表 示的完整保守系的动力学方程，也就是完 整保守系的拉格朗日运动方程（这里只介 绍最理想的情况），由于应用较多，以后 直接称为拉格朗日运动方程。
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首先介绍完整保守系的概念： 完整系：几何约束+可积分的微分约束 保守系：指的此力学系统中的力所做 之功，仅与起末位置有关， 而与具体的途径无关。
此即用直角坐标表示的拉氏方程。
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拉格朗日运动方程 可以证明，用广义坐标表示的一般形式的拉氏 x, y , z 方程与（1-6）式形式一样，只是把 换成 q1 , q 2 ,... ，如下式所示： d L L 0( j 1, 2,..., s) dt q q j j （1-7） （1-7）式即是描述具有s个自由度的系统的拉 氏方程。