D1_1二阶与三阶行列式
二阶与三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式 二、三阶行列式
一、二元线性方程组与二阶行列式
a11x1+a12x2=b1 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
得
b1a22 - a12b2 a11b2 - b1a21 x2 = x1 = a11a22 - a12a21 a11a22 - a12a21
2 2
下页
a11 a1 =a11a22 -a12a21 a2 2 1 a2 2 例1 求解二元线性方程组 3x1 - 2x2 =12 2x + x =1 1 2 解 由于
D = 3 - 2 = 3- (-4) = 7 0 2 1 D1 = 12 - 2 =12 - (-2) =14 1 1 D2 = 3 12 = 3- 24 = -21 2 1 因此 D1 14 D2 - 21 x1 = = = 2 x2 = = = -3 D 7 D 7
a11 a12 a13 为了便于记忆和计算 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31
下页
二、三阶行列式
a11 a12 a13 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 并称它为三阶行列式
1 例2 计算三阶行列式 D= -2 -3 解 按对角线法则 有
2 2 4
D =12(-2)+21(-3)+(-4)(-2)4 -114 -2(-2)(-2) -(-4)2(-3)
第一节 二阶与三阶行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
n 阶行列式定义
将n2个数排成n行n列的数表，按下列规
则计算出的数，即
D ( 1) a1 p1 a 2 p2 a np n n! a n1 a nn
2 D1 ( 1) ( 1) 1 x1 , 2 D ( 1) ( 2) 2
( 1) D2 x2 2 ( 1) ( 2) D
2
1 , 2
2 2 ( 1) ( 1) D3 x3 2 D ( 1) ( 2)
ci 2 ai 1b12 ai 2b22 ainbn 2 , (i 1,2,, n)
D
a11 a 21 a n1 1
a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn 1 1
再证唯一性.假设
x j c j , j 1,2,, n 也是(1)的解.
在(2)两端同时乘以cj
a11 a1 j c j a1n cjD an1 anj c j ann
a11 (a11c1 a1 j c j a1n cn ) a1n an1 (an1c1 anj c j anncn ) ann
例6.2 问λ在什么条件下,方程组
ì λx1 + x2 = 0, ï ï í ï ï î x1 + λx2 = 0
有非零解？
解 由定理6.5知，若方程组有非零解，则其系数行列
式必为零.
D
1
1
0 2 1 0,
线性代数ppt课件
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
5
第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222代数和a11a22a12a21
解： 1 3 … （2n-1） 2 4 … 2k… （2n)
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是：四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
13
第一章 行列式 §1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数？
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
3
第一章 行列式
莱布尼茨：历史上少见的通才，被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上，他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上，莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
并称它为三阶行列式。
10
第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 （对角线法则或沙路法则 ）
矩阵论基础1.1二阶和三阶行列式
矩阵论基础1.1⼆阶和三阶⾏列式第⼀节⼆阶和三阶⾏列式在介绍⾏列式概念之前，我们先构造⼀个数学玩具：把4个数放在⼀个正⽅形的四个⾓上，在加上两条竖线，即，规定这个玩具对应于⼀个结果：两个对⾓线上的数的乘积之差。
即例如所在⽅向的对⾓线称为主对⾓线，所在⽅向的对⾓线称为副对⾓线。
定义1 4个数称为⼀个⼆阶⾏列式；所在的⾏称为第⼀⾏，记为（r来源于英⽂row），所在的列称为第⼆列，记为（c来源于英⽂column），因其共有两⾏两列，所以称为⼆阶⾏列式，是第⼆⾏第⼀列的元素。
⼀般地⽤表⽰第i⾏第j列的元素，i是⾏标，j是列标。
可叙述为：⼆阶⾏列式的对应值等于主对⾓线上两元素之积减去的副对⾓线上⼆元素之积所得的差, 这⼀计算法则称为对⾓线法则.此玩具的⽤途在于：求解⽅程组⽤消元法，先消去所在的项，⽅程(2)´a11，⽅程(1)´a21得（3）-（4），得再消去所在的项，⽅程(2)´a12，⽅程(1)´a22得（5）-（6），得我们发现其规律为：若记是⽅程组的系数⾏列式，则是⽤常数项替代D中的第⼀列所得的⾏列式；是⽤常数项替代D中的第⼆列所得的⾏列式。
若D≠0，⽅程组的恰好是：,此规律被称为Cramer定理。
例1 求解⼆元线性⽅程组解：,,,因此 , .同理类推，⽤对⾓线法则可以定义3阶⾏列式如下：其中来⾃三条主对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加正号；来⾃三条副对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加负号。
例2 计算3阶⾏列式解：D=1×2×2+3×1×1+3×1×（-1）-1×2×3-（-1）×1×1-2×1×3=-7D1=6×2×2+4×1×1+11×1×（-1）-1×2×11-（-1）×1×6-2×1×4=-7D2=1×4×2+3×11×1+3×6×（-1）-1×4×3-（-1）×11×1-2×6×3=-14D3=1×2×11+3×1×6+3×1×4-6×2×3-4×1×1-11×1×3=--21实际上，D，D1，D2，D3来⾃线性⽅程组。
二阶与三阶行列式
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
2
3 (4) 7 0,
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a11 a12 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶
二阶和三阶行列式
a11 D
a12
a13 a23 a33 a43
a12
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32 a41 a42
a11
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M 12 M 12
M 44 a21 a22 a31 a32
a41 a42 a43 a44
a 32 的代数余子式 A32 ( 1)32 M 32 a13 的代数余子式 A ( 1)13 M 13 13
a21 a31 a41
完
a22b1 a12 a21b1 x2 a11a22 a12a21
a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22
a12 a22
主对角线 a11 a21 称 D 为二阶行列式。 副对角线
(-)
a13 a11 a33 a31
(+)
a12 a32
(+) (+)
a23 a21 a22
(-)
(-)
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 设有三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
解 计算二阶行列式
D
2 1 3 2
7 , D1
5 11
1 2
21 , D2
2
5
3 11
7 .
由 D 7 0 知方程组有唯一解：
D1 D2 x1 3 , x2 1. D D
二阶与三阶行列式
2 3 4 1 . 3 4 1 2 4 1 2 3
解 把所有列都加到第一列上去，然后，从第一列提 取公因子，再把第二、三、四行都减去第一行.
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 10 1 10 2 10 3 10
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
1 1 10 1 1
2 3 4 1
3 4 1 2
3
4 1 2 3 4 1 0 1 1 3 10 2 0 2 2 2 3 0 1 1 1
4
1 2
2r2 r3 0 1 1 3 10 120. r1 r4 0 0 3 1 0 0 0 4
例5.5 设
a11 D am1 c11 cn1 a11
D1 am1
0 x2
x2 x1
x3 x1 x3 x3 x1 x3
n2
x3 x1
xn
xn x1
1 x2 x1 x3 x1 xn x1 x2 x2
n2
1 x3 x3
n2
1 xn
n2
( x2 x1 )( x3 x1 )
a11 ai1 D a j1 an1 a j2 an 2 a jn ann a12 ai 2 a1n ain a j1 kai1 a j 2 kai 2 an1 an 2 a jn kain ann a11 ai1 a12 ai 2 a1n ain .
例5.3 计算
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
线性代数-行列式-PPT文档资料
a 11 a 12 D a a a a . 11 22 12 21 a 21 a 22
1.二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a a . a a 12 21 11 22
a 11
a 21
a 12
a 22
a x a x b , 11 1 12 2 1 对于二元线性方程组 a x a x b . 21 1 22 2 2
若记 系数行列式
a 11 a 12 D , a 21 a 22
当D 时，则二元线性方程组的解为 0
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
a x a x b , 11 1 12 2 1 a x a x b . 21 1 22 2 2
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
说明2 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于 不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为 正,三项为负.
1 2 3
例2
计算三阶行列式 D 4 0 5 0 -1 2
按对角线法则，有
解
D 1 0 2 2 5 0 3 4 ( 1 )
1 2
类似地，消去 x ，得 1
（ a a a a ） x a b b a , 11 22 12 21 2 11 2 1 21
当 a a a a 0 时， 方程组的解为 11 22 12 21
b a a b 1 22 12 2 x ， 1 a a a a 11 22 12 21
3 0 0 2 4 2 1 5 ( 1 )
0 0 12 0 16 5
1-1 二阶与三阶行列式
二、三阶行列式
a11x1+a12x2+a13x3=b1 3 1 方程组 a21x1+a22x2+a23x3=b2 的解为 x1 = D , x2 = D2 , x3 = D , D D D a x +a x +a x =b 31 1 32 2 33 3 3
其中 D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31, D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32−b1a23a32−a12b2a33−a13a22b3, D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3−a11a23b3−b1a21a33−a13b2a31, D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32−a11b2a32−a12a21b3−b1a22a31. a11 a12 a13 为了便于记忆和计算, 我们用符号 a21 a22 a23 表示代数和 a31 a32 a33 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31.
Henan Agricultural University
一、二元线性方程组与二阶行列式
a11x1+a12x2=b1 , 用消元法解二元线性方程组 a21x1+a22x2=b2
得
b a22 −a12b2 a11b2 −b a21 1 1 . , x2 = x1 = a11a22 −a12a21 a11a22 −a12a21
3 1 令λ2−3λ=0, 则λ=0, λ=3. (1)当λ=0 或 λ=3时, D=0; (2)当λ≠0 且 λ≠3时, D≠0. 例3 1 2 4 0 −1 0 3 5 =1×0×6 +2×5×(−1) +3×4×0 6 −1×5×0−2×4×6−3×0×(−1) =−10−48 =−58.
行列式的求解方法
行列式的求解方法行列式是线性代数中的重要概念，它在代数学、几何学以及物理学等领域中都有广泛的应用。
行列式的求解方法有很多，接下来将介绍一些常见的求解方法。
1. 二阶和三阶行列式的求解：对于二阶行列式：$D = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$对于三阶行列式：$D = \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$这种求解方法适用于二阶和三阶行列式，其实质是按照一定的规律对行列式进行展开计算。
2. 扩展行列式法：对于n阶行列式的求解，可以利用扩展行列式法逐步缩小求解规模。
首先选择行列式中的某一行或者某一列，将其展开并作为公因子，得到n个n-1阶的代数余子式。
然后，对每个n-1阶代数余子式再次进行类似的展开操作，得到n-1个n-2阶的代数余子式。
如此循环递归，直到求得1阶行列式，即可得到n阶行列式的解。
例如，对于4阶行列式：$D = \begin{vmatrix} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{vmatrix}$，选择第一行进行展开，得到：$D = a \begin{vmatrix} f & g & h \\ j & k & l \\ n & o & p\end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} e & g & h \\ i & k & l \\ m & o& p \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} e & f & h \\ i & j & l \\ m& n & p \end{vmatrix} - d \begin{vmatrix} e & f & g \\ i & j & k\\ m & n & o \end{vmatrix}$然后，对每个3阶代数余子式再次进行展开，最终得到4阶行列式的解。
D1_1二阶与三阶行列式
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1
1 1 1 5, 0
1 1
2 1 0
1 3 10, 1
3 5, D2 2
2 2 1 1
故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D
D3 x3 1. D
机动
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D2 a21 b2 a31 b3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
机动
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11
由方程组的四个系数确定.
（3）
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定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（）所确定的二阶 4 行列式，并记作 a11 a21 a12 a22 ( 5)
即
D
a11
a12
a21 a22
记
a12 a22 a32 a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
D1 b2 b3 b1
即
D1 b2 b3
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1-1行列式定义
解 按定义
第 一 章 行 列 式
a11 0 0 0 a 22 0 0 0 a nn
a11
a11a22 ann .
杨建新
第一节 行列式定义
例5 计算 下三角行列式
a11 a 21 a n1
0
0 0
a 22
第 一 章 行 列 式
a n 2 a nn
杨建新
第一节 行列式定义
(2)对角线法则
a11 a21
第 一 章 行 列 式
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a31
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明：1)对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 2)三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项 为负.
第一节 行列式定义
第一节 行列式定义
第 一 章 行 列 式
杨建新
第一节 行列式定义
一、 二阶和三阶行列式 1、二阶行列式
定义 设有四个数 a11 , a12 , a21 , a22 ,
第 一 章 行 列 式
a11 记号 a 21
a12 a22
称为二阶行列式，它的值定义为
a11 a12 a11a22 a12a21 . a21 a22
j 1
n
1 j
D1 j ,
第 一 章 行 列 式
所在的行和所在的列后，剩下 (n 1)2 元素按照相对位置构成的n-1阶行列式，称为
其中 D1 j
第一节二阶与三阶行列式-PPT精品文档
a a a 0 当a 时,方程组有唯一解： 11 22 12 21
b a b a 1 22 2 12 x 1 a a a a 11 22 12 21 b a b a 2 11 1 21 x 2 a a a a 11 22 12 21
当 D
a 11 a 21
a 12 a 22
D 30 D 1 2 15 于是方程组的解为：x 2 , x 1 1 2 D 15 D 15
2、三阶行列式
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a 13 22 31 12 21 33 11 23 32
0 时，
x1 方程组的解是：
D1 D2 , x2 D D
上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。 为便于记忆，引进如下记号： 称其为二阶行列式 据此，解中的分子可分别记为：
a 11 a 12 a 21 a 22
a a a a 11 22 12 21
b a 1 a 12 11 b 1 D , D 1 2 b a a 2 22 21 b 2
称为三阶行列式. “
( i , j 1 , 2 , 3 ) 称为它的元素。 数a ij
”三元素乘积取正号；
“
”三元素乘积取负号。
1 2 4 例2 计算行列式 D 2 2 1 3 4 2
解：由对角线法，有D=1.2.(-2)+2.1.(-3)+(-4).(-2).41.1.4-2.(-2).(-2)-(-4).2.(-3) =-4-6+32-4-8-24=-14 例3 解线性方程组
二阶、三阶、n阶行列式
三,二阶行列式
a11 x1 + a12 x2 = b1 (1) 1,用消元法解二元线性 一次 方程组 一次)方程组 ,用消元法解二元线性(一次 a21 x1 + a22 x2 = b2 (2)
( a11 a 22 a12 a 21 ) x1 = b1a 22 b2 a12 ( a11 a 22 a12 a 21 ) x2 = b2 a11 b1a 21
b1 b2
a 12 a 22
a 12 a 22
主对角线 副对角线
主对角线的乘积- 主对角线的乘积-副对角线的乘积
行,列
两行两列故为二阶行列式
D1 = b1a 22 b2 a12 =
D2 = b2 a11 b1a 21 =
系数行列式
a 11 a 21
b1 b2
∵ D ≠ 0 ∴ 二元一次方程组有唯一解 x1 =
a11
-
a12 a22 a32
a13 a23 a33
+
a21 a31
对角线法则
沙路法则: 沙路法则:
a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33
a11 a21 a31
- -
a12 a22 a32
2,几种特殊的行列式 , (1),对角行列式—非主对角线上元素全为 的行列式. ,对角行列式 非主对角线上元素全为0的行列式 非主对角线上元素全为 的行列式.
λ1
D= 0 0 D= 0
λ2
= (1) N (12n ) λ1λ2 λn = λ1λ2 λn
λn
λ1 λ2
= ( 1) N ( n ( n 1)21) λ1λ2 λn = ( 1)
二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念
( ji ) (ij ) 1
(2)不相邻对换
ik1 ks j jk1 ksi
需要进行 2s+1 次相邻对换. 所以对换改变排列的奇偶性.
定理2 全部 n(2)阶排列中奇偶排列 各占一半. 证 设 n !个 n 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列
s t n!
D3 D1 D2 x1 , x2 , x2 D D D
3 0 4 1 1 2 4 1 1 4 1 2 3 2 1 2 1 0 10
问题：4 阶行列式应如何定义?
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 a12 a a a a 0 D 11 22 12 21 a21 a22
b1 a12 D1 b1a22 a12b2 b2 a22
a11 b1 D2 a11b2 b1a21 a21 b2
当系数行列式 D 0时,则方程组有 唯一解,其解可表示为: D1 D2 x1 , x2 D D
为 3！项代数和; 每项为取自不同行列的3个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.
n阶行列式定义: 定义
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
此行列式可简记为 de t (aij )nn 或 det(aij ).
归纳如下：
为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定. 注 用定义只能计算一些简单的行列式.
§1 二阶与三阶行列式
说明: 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 说明 (1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． (2) 三阶行列式包括 项,每一项都是位于不同行 三阶行列式包括3!项 每一项都是位于不同行 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正 三项为负 不同列的三个元素的乘积 其中三项为正,三项为负 其中三项为正 三项为负.
3. 利用三阶行列式求解三元线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , 三元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , a x + a x + a x = b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 a12 a13 a23 a33
2. 二阶行列式的计算 二阶行列式的计算——对角线法则 对角线法则 主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
= a 1 1a 2 2 − a 1 2 a 2 1 .
a11 x1 + a12 x2 = b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 + a22 x2 = b2 . a11 a12 D= , 称为其系数行列式 称为其系数行列式 a21 a22
称为其系数行列式 称为其系数行列式
D = a21 a22 a31 a32
例1 解
x1 − 2 x2 + x3 = −2, 解线性方程组 2 x1 + x2 − 3 x3 = 1, − x + x − x = 0. 1 2 3
1
−2 1 D= 2 1 − 3 = −1 − 6 + 2 − ( −1) − 4 − ( −3) = −5 ≠ 0 , −1 1 −1
01 第一节 二阶与三阶行列式
第一章 行列式历史上，行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的.如今，它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是一种常用的计算工具.特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具.第一节 二阶与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式的内容在中学课程中已经涉及到,本节主要对这些知识进行复习与总结,它们是我们学习和讨论更高阶行列式计算的基础.分布图示★引言★ 二阶行列式 ★ 简例 ★ 二元线性方程组 ★ 例1★ 三阶行列式★ 例2 ★ 例3 ★ 三元线性方程组 ★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-1内容要点一、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=二、二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a三、三阶行列式 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++三阶行列式有6项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠于正负号，其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。
四、三元线性方程组类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111,bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 记D =,333231232221131211a a a a a a a a a 1D =,333232322213121a a b a a b a a b2D =,333312322113111a b a a b a a b a 3D =,332312222111211b a a b a a b a a 若系数行列式D 0≠，则该方程组有唯一解：.,,332211DD x DD x DD x ===例题选讲例1 (E01) 解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D故所给方程组有唯一解1x DD 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=例2 (E02) 计算三阶行列式61504321- 解 =-61504321601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯- 4810--=.58-=例3 (E03) 求解方程.094321112==xx D 解 方程左端 =D 23x x 4+18+12-x 9-22x -,652+-=x x由0652=+-x x 解得2=x 或.3=x例4 (E04) 解三元线性方程组.013222321321321⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-x x x x x x x x x解 由于方程组的系数行列式=D 111312121---- =)1(11-⨯⨯)1()3()2(-⨯-⨯-+121⨯⨯+11)1(⨯⨯--1)3(1⨯-⨯-)1(2)2(-⨯⨯--5-=,0≠1D =11311122----,5-=2D =11312121----,10-=3D =011112221---,5-=故所求方程组的解为:,111==DD x ,222==DD x.133==DD x课堂练习1.设,14011a aD = 试给出0>D 的充分必要条件. 2.求一个二次多项式)(x f ，使 .28)3(,3)2(,0)1(=-==f f f。
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对于二元线性方程组
若记
D
,
系数行列式
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D a11 a21 a12 a22
,
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a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
注意
分母都为原方程组的系数行列式.
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例1. 求解二元线性方程组
3 x1 2 x 2 12, 2 x1 x 2 1.
解
D 12 1
3 2
2 1
3 ( 4) 7 0,
3 2 12 1
D1
2 1
14, D2
14 7
21,
记
D1 b2 b3 b1
即
D1 b2 b3
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
D1 b1 b2 a12 a22 ,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D2 a11 a21 b1 b2
.
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则二元线性方程组的解为
b1 x1 D1 D b2 a11 a21 a12 a22 a12 a22 , x2 D2 D a11 a21 a11 a21 b1 b2 a12 a22 .
D1 b1 b2 a12 a22 ,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a21 a12 a22
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D
,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
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思考题
求一个二次多项式 x , 使 f
f 1 0, f 2 3, f 3 28.
下节
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1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 32 4 8 24 14.
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1
1
1 x 0. x
2
例3. 求解方程 2 3
4 9
解
方程左端
D 3 x 4 x 18 9 x 2 x 12
分析：由题意可列表如下：
原料A数量 原料B数量 利润（元） （千克） （千克）
产品 生产甲种 产品一件
3
1
30
生产乙种 产品一件
生产丙种 产品一件 限额数量
2
1 1200
2
3 800
40
35
设计划生产x件甲种产品，生产y件乙种产品， 生产z件丙种产品，则获得利润为：
f=30x+40y+35z 其中满足x, y, z下列条件： 3x+2y+z=1200
线性代数
例：某工厂计划生产甲、乙、丙三种产品，这三 种产品都需要A、B两种原料，生产一件甲产品 需要A种原料3千克，B种原料1千克，生产一件 乙产品需要A种原料2千克，B种原料2千克，生 产一件丙产品需要A种原料1千克，B种原料3千 克。现有A种原料1200千克，现有B种原料800千 克。如果生产一件甲产品的利润是30元，生产一 件乙产品的利润是40元，生产一件丙产品的利润 是35元。问甲、乙、丙三种产品各生产多少能使 利润的总额最大？
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 兰线上三元素的乘积冠以正号，黄线上三 元素的乘积冠以负号．
说明 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
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2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 如果三元线性方程组
得
D2 a21 a31
a11 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a x a x a x b ; a31 31 1 32 2 33 3 3
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a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 b1 b2 b3 a13 a23 , a33 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去x2，得
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（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
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三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 二阶与三阶行列式的计算
a11 a21
a11 a21 a31
对角线法则
a12 a22
a12 a22 a32
a11a22 a12a21 .
a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a33
得
D2 a21 a31
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33结束
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 b1 b2 b3 a13 a23 , a33 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
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a11 D a21 a31 a11 D3 a21 a31
a12 a22 a32 a12 a22 a32
a13 a23 a33 b1 b2 . b3
b1 D1 b2 b3 a11 D2 a21 a31
a12 a22 a32 b1 b2 b3
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a11a22 a12a21 .
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二阶行列式的计算
主对角线
a11
a 21
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a12 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a21 a12 a22
副对角线
则三元线性方程组的解为:
x1 D1 D , x2 D2 D , x3 D3 D .
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1
2 2 4
-4 1 -2
例2. 解
计算三阶行列式 D - 2 -3
按对角线法则，有
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
21 7
x1
D1 D
2,
x2
D2 D
3.
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二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行 3列的数表
a11 a 21 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
( 6)
( 5)
记
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a 31
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
(6) 式称为数表 (5) 所确定的三阶行列式.
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对角线法则
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
2 2
x 5 x 6,
2
由 x 5 x 6 0 解得
2
x 2 或 x 3.
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例4.
解线性方程组
x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3