高等数学上模拟试卷和答案

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江苏省专转本(高等数学)模拟试卷57(题后含答案及解析)

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷57(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．=1，则常数k等于( )。

A．1B．2C．4D．任意实数正确答案：B解析：由题意可知，x=2时，x2—3x+k=0k=2。

2．下列命题中正确的是( )A．若x0是f(x)的极值点，则必有f′(x0)=0B．若f(x)在(a，b)内有极大值也有极小值，则极大值必大于极小值C．若f′(x0)=0，则x0必是f(x)的极值点D．若f(x)在点x0处可导，且点x0是f(x)的极值点，则必有f′(x0)=0正确答案：D解析：根据极值存在的必要条件与充分条件。

3．若x=2是函数y=x—ln的可导极值点，则常数a值为( )。

A．一1B．C．D．1正确答案：C解析：y=x—=0由题意得f′(2)=0，可知a=。

4．若y=arctanex，则dy=( )。

A．B．C．D．正确答案：B解析：5．=0是级数收敛的( )条件。

A．充分B．必要C．充分必要D．既非充分又非必要正确答案：B解析：由级数收敛定义、性质可知答案为B项。

6．设函数f(x)=x(x—1)(x—2)(x—3)，则方程f′(x)=0的实根个数为( )。

A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由于f(x)是四次多项式，故f′(x)=0是三次方程，有3个实根。

填空题7．如果f(x)=在x=0处连续，那么a=__________。

正确答案：0解析：=f(0)，那么a=0。

8．设，则=___________。

正确答案：tant解析：===tant。

9．点M(2，一3，4)到平面3x+2y+z+3=0的距离d=__________。

正确答案：解析：根据点M(x1，y1，z1)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=。

10．设函数y=y(x)是由方程ex—ey一sin(xy)确定，则=__________。

完整)高等数学考试题库(附答案)

完整)高等数学考试题库(附答案)高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）。

1.下列各组函数中，是相同的函数的是（）。

A）f(x)=ln(x^2)和g(x)=2lnxB）f(x)=|x|和g(x)=x^2C）f(x)=x和g(x)=x^2/xD）f(x)=2|x|和g(x)=1/x答案：A2.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处连续，则a=（）。

A）1B）0C）-1D）2答案：A3.曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程为（）。

A）y=x-1B）y=-(x+1)C）y=(lnx-1)(x-1)D）y=x答案：C4.设函数f(x)=|x|，则函数在点x=0处（）。

A）连续且可导B）连续且可微C）连续不可导D）不连续不可微答案：A5.点x=0是函数y=x的（）。

A）驻点但非极值点B）拐点C）驻点且是拐点D）驻点且是极值点答案：A6.曲线y=4|x|/x的渐近线情况是（）。

A）只有水平渐近线B）只有垂直渐近线C）既有水平渐近线又有垂直渐近线D）既无水平渐近线又无垂直渐近线答案：B7.∫f'(1/x^2)dx的结果是（）。

A）f(1/x)+CB）-f(x)+CC）f(-1/x)+CD）-f(-x)+C答案：C8.∫ex+e^(-x)dx的结果是（）。

A）arctan(e^x)+CB）arctan(e^(-x))+CC）ex-e^(-x)+CD）ln(ex+e^(-x))+C答案：D9.下列定积分为零的是（）。

A）∫π/4^π/2 sinxdxB）∫0^π/2 xarcsinxdxC）∫-2^1 (4x+1)/(x^2+x+1)dxD）∫0^π (x^2+x)/(e^x+e^(-x))dx答案：A10.设f(x)为连续函数，则∫f'(2x)dx等于（）。

A）f(1)-f(0)B）f(2)-f(0)C）f(1)-f(2)D）f(2)-f(1)答案：B二．填空题（每题4分，共20分）。

高等数学大一上学期试题(含答案)

高等数学（上）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是； 4、已知3()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)xx x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ；8、曲线x y xe =的拐点是；9、21x dx-⎰= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+，且a b ⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e = 。

二、计算下列各题（每题5分，共20分）1、11lim()ln(1)x x x →-+ 2、y =y '；3、设函数()y y x =由方程xye x y =+所确定，求0x dy =；4、已知cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩，求dy dx 。

三、求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +⎰2、2sec x xdx ⎰ 3、40⎰ 4、2201dx a x +⎰ 四、求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>-（本题8分） 2、求由,,0xy e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数24lg(1)y x x =-+-的定义域是； 2、设函数sin 0()20xx f x xa x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩在点0x =连续，则a = ；3、曲线34y x =-在(1,5)--处的切线方程是； 4、已知2()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、31lim(1)xx x →∞+= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是； 7、设()(1)(2)1000)f x x x x x =---……(，则'(0)f = ；8、曲线xy xe =的拐点是； 9、32x dx-⎰= ；10、设2,22a i j k b i j k λ=--=-++，且a b ，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()(2)f x d = 。

考研数学一(高等数学)模拟试卷322(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷322(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />正确答案：解析：知识模块：高等数学2．级数正确答案：2解析：令S(x)=显然该级数的收敛半径为R=1；当x=±1时，级数发散，故该幂级数的收敛域为(一1，1)．知识模块：高等数学3．级数正确答案：2ln2解析：因为ln(1+x)=其中一1＜x≤1，知识模块：高等数学4．级数收敛，则P的范围为_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学5．将函数f(x)=展开为(x+1)的幂级数为_______，收敛域为________．正确答案：收敛域为（-2，0）解析：知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6．计算，其中L为x2+y2=1从点A(1，0)经过B(0，1)到C(一1，0)的曲线段．正确答案：作上半椭圆C0：x2+4y2=1，方向取逆时针，L与C0-围成的区域为D1，C0与x轴围成的区域为D2，由格林公式得涉及知识点：高等数学7．计算，其中S是平面在第一卦限的部分．正确答案：而S：及x轴，y轴围成的部分，涉及知识点：高等数学8．计算其中∑为锥面位于z=2下方的部分．正确答案：曲面∑在xOy平面上的投影区域为Dx：x2+y2≤4，涉及知识点：高等数学9．求，其中∑为x2+y2+z2=1被所截的顶部．正确答案：由得曲面∑在xOy平面上的投影区域为Dx：x2+y2≤由曲面∑：得涉及知识点：高等数学10．计算其中S是圆锥面介于z=0与z=1之间的部分．正确答案：曲面S：在xOy平面上的投影为D：x2+y2≤1，涉及知识点：高等数学11．计算，其中S：x2+y2+z2=2z．正确答案：涉及知识点：高等数学12．设∑：(z≥0)，点P(x，y，z)∈∑，π为曲面∑在点P处的切平面，d(x，y，z)为点O(0，0，0)到平面π的距离，计算[*594]正确答案：涉及知识点：高等数学13．计算+(x2y—z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy，其中∑为和z=0围成区域的表面外侧．正确答案：由高斯公式得xz2dydz+(x2y—z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy= 涉及知识点：高等数学14．计算(x3cosα+y3cosβ+z3cosγ)dS，其中S：x2+y2+z2=R2，取外侧．正确答案：由两类曲面积分之间的关系得涉及知识点：高等数学15．设f(u)连续可导，计算，其中曲面∑为由y=x2+z2+6与y=8一x2一z2所围成立体的外侧．正确答案：设Ω是∑所围成的区域，它在xOz平面上的投影区域为x2+z2≤1，由高斯公式得涉及知识点：高等数学16．求曲面积分x2dydz+y2dzdx，其中∑是z=x2+y2被z=x所截的部分，取下侧．正确答案：曲面∑在平面yOz上的投影区域为D：涉及知识点：高等数学17．计算(x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx一3y2dxdy，其中∑为在z=0上方部分的下侧．正确答案：令∑0：z=0(x2+y2≤4)，取上侧，则由高斯公式得所以原式=8π．涉及知识点：高等数学18．计算曲面积分x3dydz+y3dzdx+(z3+1)dxdy，其中∑为x2+y2+z2=a2(z ≥0)部分的上侧．正确答案：补充∑0：z=0(x2+y2≤a2)，取下侧，涉及知识点：高等数学19．设三是球面x2+y2+z2=4(z≥0)的外侧，计算+2dx dy．正确答案：Dxz={(x，z)|0≤x≤}，Dxy={(x，y)|x2+y2≤4}，则涉及知识点：高等数学20．计算曲面积分(x2+y2)dzdx+zdxdy，其中S为锥面(0≤z≤1)第一卦限的部分，方向取下侧．正确答案：将曲面S向xOz面投影得Dxz=((x，y)|0≤x≤1，x≤z≤1}，涉及知识点：高等数学21．计算+y2dzdx+z2dxdy，其中∑：(x一1)2+(y一1)2+=1(y≥1)，取外侧．正确答案：涉及知识点：高等数学22．设f(x，y，z)是连续函数，∑是平面x—y+z一1=0在第四卦限部分的上侧，计算[f(x，y，z)+x]dydz+[2f(x，y，z)+y]dzdx+[f(x，y，z)+z]dxdy．正确答案：∑的法向量为n={1，一1，1}，方向余弦为根据两类曲面积分之间的关系有涉及知识点：高等数学23．计算+ydzdx+zdxdy，其中∑是z=x2+4y2(0≤z≤4)的上侧．正确答案：补充曲面∑0：z=4(x2+4y2≤4)，取该曲面的下侧，由高斯公式得所以原式=一12π+8π=一4π．涉及知识点：高等数学24．计算其中∑是曲面被z=1和z=2截得部分的下侧．正确答案：令∑1：z=1(x2+y2≤1)取下侧，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上侧，涉及知识点：高等数学25．计算(x—y)xdy dz+(x—y)dxdy，其中∑为位于z=0与z=3之间的部分的外侧．正确答案：所以原式=9π．涉及知识点：高等数学26．计算其中f(u)连续可导，曲面∑为z=的上侧．正确答案：令∑0：z=0(x2+y2≤1)取下侧，涉及知识点：高等数学27．计算y(x—z)dydz+x(z—y)dxdy，其中∑为位于平面z=1及z=2之间部分的外侧．正确答案：∑1：z=1(x2+y2≤1)取下侧，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上侧，所以原式=0．涉及知识点：高等数学28．计算，取上侧(a＞0)．正确答案：补充曲面∑0：z=0(x2+y2≤a2)，取下侧，则由高斯公式得涉及知识点：高等数学29．对右半空间x＞0内的任意光滑有侧封闭曲面∑，有xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e2xzdx dy=0，其中f(x)在(0，+∞)内具有一阶连续的偏导数，且f(0+0)=1，求f(x)．正确答案：由高斯公式得当曲面∑法向量指向外侧时取正号，当曲面∑的法向量指向内侧时取负号．由∑的任意性得xf’(x)+(1一x)f(x)一e2x=0(x＞0)，或者则涉及知识点：高等数学30．设向量场A={xz2+y2，x2y+z2，y2z+x2)，求rot A及div A．正确答案：rot A=={2yz一2z，2xz一2x，2xy一2y}，涉及知识点：高等数学。

专升本(高等数学一)综合模拟试卷1(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）综合模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．极限等于( )A．eB．ebC．eabD．eab+b正确答案：C解析：由于，故选C。

知识模块：极限和连续2．在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示( )A．两个平面B．双曲柱面C．椭圆柱面D．圆柱面正确答案：A解析：由于所给曲面方程x2-4(y-1)2=0中不含z，可知所给曲面为柱面，但是由于所给方程可化为x2=4(y-1)2，进而可以化为x=2(y-1)与-z=2(y-1)，即x-2y+2=0，x+2y-2=0，为两个平面，故选A。

知识模块：空间解析几何3．级数是( )A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．收敛性不能判定正确答案：A解析：依前述判定级数绝对收敛与条件收敛的一般原则，常常先判定的收敛性，由于的p级数，知其为收敛级数，因此所给级数绝对收敛，故选A。

知识模块：无穷级数填空题4．若函数在x=0处连续，则a=________。

正确答案：-2解析：由于(无穷小量乘有界变量)，而f(0)=a+2，由于f(x)在x=0处连续，应有a+2=0，即a=-2。

知识模块：极限和连续5．若f’(x0)=1，f(x0)=0，则=________。

正确答案：-1解析：由于f’(x0)存在，且f(x0)=0，由导数的定义有知识模块：一元函数微分学6．设y=xe+ex+lnx+ee，则y’=________。

正确答案：y’=ee-1+ex+解析：由导数的基本公式及四则运算规则，有y’=ee-1+ex+。

知识模块：一元函数微分学7．曲线y=ex+x上点(0，1)处的切线方程为________。

正确答案：由曲线y=f(x)在其上点(x0，f(x0))的切线公式y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)，可知y-1=2(x-0)，即所求切线方程为y=2x+1。

解析：注意点(0，1)在曲线y=ex+x上，又y’=ex+1，因此y’|x=0=2。

高等数学上册试题及参考答案3篇

高等数学上册试题及参考答案高等数学上册试题及参考答案第一篇：微积分1.已知函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$，求$f'(x)$和$f''(x)$。

参考答案：首先，根据对数函数的导数公式$[\lnf(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}$，我们可以得到$f'(x)$的计算式为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\cdot\frac{\fra c{1}{2}\cdot2x}{\sqrt{(1+x^2)}}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$ 将上式整理化简，得到：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$接下来，我们需要求$f''(x)$。

由于$f'(x)$是由$f(x)$求导得到的，因此$f''(x)$可以通过对$f'(x)$求导得到，即：$$f''(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\sqrt{(1+x^2) }\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}\r ight]$$通过链式法则和乘法法则，我们得到：$$f''(x)=\frac{-(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)-\frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{2x}{\sqrt{(1+x^2)}}\cdot(\sqrt{ (1+x^2)}+x)^2}{(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$$将上式整理化简，得到：$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $因此，函数$f(x)=\ln{(\sqrt{(1+x^2)}+x)}$的导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$分别为：$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}\cdot(\sqrt{(1+x^2 )}+x)}+\frac{1}{\sqrt{(1+x^2)}+x}$$$$f''(x)=\frac{-1-2x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}\cdot(\sqrt{(1+x^2)}+x)^2}$ $2.计算二重积分$\iint_D(x^2+y^2)*e^{-x^2-y^2}d\sigma$，其中$D$是圆域$x^2+y^2\leqslant 1$。

考研数学一高等数学模拟试卷249_真题(含答案与解析)-交互

考研数学一（高等数学）模拟试卷249(总分60, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.把当x→0 +时的无穷小量α=tanx－x，β=∫x (1－cos )dt，γ=( ) x－1排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是SSS_SINGLE_SELA α，β，γ．B γ，β，α．C β；α，γ．D γ，α，β．分值: 2答案:C解析：即当x→0 +时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除(A)与(D)．即当x→0 +时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除(B)，即应选(C)．2.设f'(a)＞0，则ヨδ＞0，有SSS_SINGLE_SELA f(x)≥f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．B f(x)≤f(a)(x∈(a－δ，a+δ))．C f(x)＞f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a)(x∈(a－δ，a))．D f(x)＜f(a)(x∈(a，a+δ))，f(x)＞f(a)(x∈(a－δ，a))．分值: 2答案:C解析：直接由定义出发f'(a)=＞0．由极限的保序性ヨδ＞0，当x∈(a－δ，a+δ)，x≠a时＞0．f(x)＞f(a) (x∈(a，a+δ))，f(x)＜f(a) (x∈(a－δ，a))．因此选(C)．3.设常数α＞0，I1=∫π／2dx，I2=∫π／2dx，则SSS_SINGLE_SEL AI1＞I2．BI1＜I2．CI1 =I2．DI1与I2的大小与α的取值有关．分值: 2答案:A解析：I1－I2当0＜x＜π／4时cosx＞sinx，又0＜x＜－x，所以I1－I2＞0．故选(A)．4.下列函数在点(0，0)处不连续的是SSS_SINGLE_SELABCD分值: 2答案:C解析：直接证(C)中f(x，y)在点(0，0)处不连续．当(x，y)沿直线y=x趋于点(0，0)时因此f(x，y)在点(0，0)处不连续．故选(C)．5.SSS_SINGLE_SELA 绝对收敛．B 条件收敛．C 发散．D 敛散性与a有关．分值: 2答案:B解析：由莱布尼兹法则知原级数收敛．因此是条件收敛．选(B)．2. 填空题1.设y=sinx 2．则dy／d(x 3 )=_______.SSS_FILL答案:正确答案：2cosx 2／3x解析：用微分之商来求．2.∫a arctan dx(a＞0)=_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：a／2解析：利用分部积分法．3.已知方程y"+ y=0的两个特解y1 =e x，y2=x，则该方程满足初值y(0)=1，y'(0)=2的解y=_______．SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：e x +x解析：因y1，y2线性无关，该方程的通解y=C1e x +C2x．由初始条件得C1 =1，C1+C2=2 C1=1，C2=1 y=e x +x．4.曲线在M(1，1，2)处的切线方程为_______，法平面方程为_______.SSS_FILL分值: 2答案:正确答案：；y－x=0解析：M0在曲线上，M处的切向量=－4i+4j=4{－1，1，0}． M处切线方程法平面方程－(x－1)+(y－1)=0，即y－x=0．5.设D为圆域x 2 +y 2≤x，则I= dσ=_______．SSS_FILL答案:正确答案：4╱9解析：D如图9．3．用极坐标变换，D的极坐标表示：－π／2≤0≤π／2，0≤r≤cosθ，于是I=∫－π／2π／2dθ∫cosθ r．rdr1／3cos 3θdθ3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷213(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷213(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设直线L：及平面π：4x一2y+z一6=0，则直线L( )．A．平行于平面πB．在平面π上C．垂直于平面πD．与平面π斜交正确答案：C解析：直线L的方向向量为s=｛1，3，2｝×｛2，－1，－10｝=｛一28，14，一7｝，因为s／／n，所以直线L与平面π垂直，正确答案为(C)．知识模块：高等数学2．设an＞0(n=1，2，…)且收敛，又0＜k＜( )．A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．敛散性与k有关正确答案：A解析：令μn=收敛，所以绝对收敛，选(A)．知识模块：高等数学填空题3．当x→0时，ex一为x的3阶无穷小，则a=_______，b=________．正确答案：解析：由ex=1+x++ο(x3)，=1一bx+b2x2一b3x3+ο(x)3，得=(1+ax)[1一bx+b2x2一b3x3+ο(x3)]=1+(a一b)x+(b2一ab)x2+(ab2一b3)x3+ο(x3)，知识模块：高等数学4．设f(x)一阶可导，且f(0)=f’(0)=1，则=________．正确答案：2解析：知识模块：高等数学5．=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学6．设f(x)是以T为周期的连续函数，且F(x)=∫0xf(t)dt+bx也是以T为周期的连续函数，则b=________．正确答案：∫0Tf(t)dt解析：F(x+T)=∫0x＋Tf(t)dt+b(x+T)=∫0xf(t)dt+bx+∫xx＋Tf(t)dt+bT=F(x)+∫xx＋Tf(t)dt+bT=F(x)+∫0Tf(t)dt+bT，由F(x+T)=F(x)，得b=∫0Tf(t)dt．知识模块：高等数学7．由x=zey＋z确定z=z(x，y)，则dz｜(e，0)=________．正确答案：dz(e，0)=解析：x=e，y=0时，z=1．x=zey＋z两边关于x求偏导得1=；x=zey＋z两边关于y求偏导得，故dz(e，0)=．知识模块：高等数学8．计算∫01dxdy=________．正确答案：1一sin1解析：改变积分次序得∫01=∫01(1－y)sinydy=∫01(y一1)d(cosy)=(y—1)(cosy)=(y－1)cosy｜01一∫01cosydy=1一sin1．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)模拟试卷283(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷283(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x)与g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：①若f(x)＞g(x)，则f’(x)＞g’(x)；②若f’(x)＞g’(x)，则f(x)＞g(x)．则( )A．①，②都正确B．①，②都不正确C．①正确，但②不正确D．②正确，但①不正确正确答案：B解析：考虑f(x)=e－x与g(x)=－e－x，显然f(x)＞g(x)，但f’(x)=－e－x，g’(x)=e －x，f’(x)＜g’(x)，①不正确．将f(x)与g(x)交换可说明②不正确．知识模块：一元函数微分学2．已知a≠0，b≠0，c≠0，且a，b，c互相垂直，则向量r=xa+yb+zc的模为( )A．｜r｜=x｜av+y ｜b｜+z｜c｜B．｜r｜=｜xa｜+｜yb｜+｜zc｜C．｜r｜=(x2+y2+z2)1／2D．｜r｜=(x2｜a｜2+y2｜b ｜2+z2｜c｜2)1／2正确答案：D解析：｜r｜2=r.r=(xa+yb+zc).(xa+yb+zc) =x2｜a｜2+y2｜ b ｜2+z2｜c｜2，所以应选D．知识模块：向量代数与空间解析几何3．设有直线L1：则L1与L2的夹角为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：L1的方向向量s1=(1，－2，1)，L2的方向向量S2==－i－j+2k，所以L1与L2之间夹角θ的余弦知识模块：向量代数与空间解析几何4．设曲线L是区域D的正向边界，那么D的面积为( )A．∮Lxdy－ydxB．∮Lxdy+ydxC．∮Lxdy－ydxD．∮Lxdy+ydx正确答案：A解析：本题考查用第二型曲线积分求平面面积，是一种比较新颖的提法，但是内容是经典的，主要看考生能否抓住数学知识之间的联系．①令P=－y，Q=x，则由格林公式得②令p=－y，Q=0，则由格林公式得③令P=0，Q=x，则由格林公式得由上述三个面积的表达式知，答案选A．知识模块：多元函数积分学5．对于级数(－1)n－1un，其中un＞0(n=1，2，3，…)，则下列命题中正确的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因｜(－1)n－1un｜=｜un｜J=un，由绝对收敛，命题B正确．命题A 错误：如知识模块：无穷级数6．微分方程的通解(其中C为任意常数)是A．2e3x+3ey2=CB．2e3x+3e－y2=CC．2e3x－3e－y2=CD．e3x－e－y22=C正确答案：C解析：原方程写成yy’+ey2+3x=0，分离变量有ye－y2dy+e3xdx=0，积分得2e3x－3e－y2=C，其中C为任意常数．知识模块：常微分方程填空题7．设则y’｜x=0=______．正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学8．设则∫－20f(x+1)dx=_______．正确答案：解析：作定积分换元x+1=t，原积分=∫－11f(t)dt=∫－10(t+1)dt+∫01t2dt= 知识模块：一元函数积分学9．=______．正确答案：其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学10．设z=esin xy，则dz=______．正确答案：esinxycos xy(ydx+xdy)解析：由于zx’=esinxycosxy，zy’=esinxycosxy.x，所以dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．知识模块：多元函数微分学11．设y(x)是微分方程y’’+(x+1)y’+x2y=ex的满足y(0)=0，y’(0)=1的解，并设存在且不为零，则正整数k=______，该极限值=______．正确答案：解析：由y(0)=0知，所求极限为型．由初始条件y’(0)=1，若k=1，则上述极限为0，不符，故k≥2．但y’’(0)=[ex－(x+1)y’－x2y]｜x=0=0，若k=2，则上式极限为0，不符．故k≥3．但y’’(0)=[(ex－(x+1)y’－x2y)’]｜x=0=[ex－y’－(x+1)y’’－2xy－x2y’]｜x=0=0，若k=3，则上式极限为0，不符，故k≥4．又y(4)(0)=[ex－y’’－y’’－(x+1)y’’’－2y－4xy’－x2y’’]｜x=0=1，故知当k=4时，知识模块：常微分方程12．设x＞0，微分方程的特解是y=______．正确答案：解析：此为齐次方程．令y=ux，原方程化为分离变量，积分得arcsinu=lnx+C，即y=xsin(ln x+C)．再由知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高等数学模拟试题及答案

武汉高校网络教化入学考试专升本高等数学模拟试题一、单项选择题1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( b )A.x y e =B.1sin y x =+C.ln y x =D.tan y x =2、函数23()32x f x x x -=-+的间断点是( c )A.1,2,3x x x ===B.3x =C.1,2x x ==D.无间断点3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( b )A. 肯定可导B. 必不行导C. 可能可导D. 无极限4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ D ）A.sin x xB.2x -C.sin xxD. 1sin xx+ 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d )A.1B.1-C.0D.不存在.6、设0a >，则2(2)d aa f a x x -=⎰( a )A.0()d af x x -⎰ B.0()d af x x ⎰ C.02()d af x x ⎰ D.02()d af x x -⎰7、曲线23x xy e--=的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在8、设()f x 为可导函数，且()()000lim22h f x h f x h→+-=，则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.09、微分方程''4'0y y -=的通解是( d )A. 4x y e =B. 4x y e -=C. 4x y Ce =D.412x y C C e =+10、级数1(1)34nn nn ∞=--∑的收敛性结论是（ a ）A. 发散B. 条件收敛C. 肯定收敛D. 无法判定11、函数()f x =( d )A. [1,)+∞B.(,0]-∞C. (,0][1,)-∞⋃+∞D.[0,1] 12、函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处( d )A.极限不肯定存在B.不肯定连续C.可微D.不肯定可微13、极限1lim(1)sin nn e n →∞-=( c)A.0B.1C.不存在D. ∞ 14、下列变量中，当x →0时与ln(12)x +等价的无穷小量是（）A.sin xB.sin 2xC.2sin xD. 2sin x 15、设函数()f x 可导，则0(2)()limh f x h f x h →+-=( c )A.'()f x -B.1'()2f x C.2'()f x D.016、函数32ln 3x y x +=-的水平渐近线方程是( c )A.2y =B.1y =C.3y =-D.0y =17、定积分0sin d x x π=⎰( c )A.0B.1C.πD.218、已知x y sin =，则高阶导数(100)y 在0x =处的值为( a )A. 0B. 1C. 1-D. 100．19、设()y f x =为连续的偶函数，则定积分()d aa f x x -⎰等于( c )A. )(2x afB.⎰adxx f 0)(2 C.0 D.)()(a f a f --20、微分方程d 1sin d yx x =+满意初始条件(0)2y =的特解是( c )A. cos 1y x x =++B. cos 2y x x =++C. cos 2y x x =-+D. cos 3y x x =-+ 21、当x →∞时，下列函数中有极限的是( C )A.sin xB.1xe C.211x x +- D.arctan x22、设函数2()45f x x kx =++，若(1)()83f x f x x --=+，则常数k 等于 ( a )A.1B.1-C.2D.2-23、若0lim ()x x f x →=∞，lim ()x x g x →=∞，则下列极限成立的是( b )A. lim[()()]ox x f x g x →+=∞B.lim[()()]0x x f x g x →-=C.1lim()()x x f x g x →=∞+ D. 0lim ()()x x f x g x →=∞24、当x →∞时，若21sin x 与1k x 是等价无穷小，则k =（ b ） A.2 B.12 C.1 D. 325、函数()f x =[0,3]上满意罗尔定理的ξ是( a )A.0B.3C. 32 D.2 26、设函数()y f x =-, 则'y =( c )A. '()f xB.'()f x -C. '()f x -D.'()f x --27、定积分()d ba f x x⎰是( a )A.一个常数B.()f x 的一个原函数C.一个函数族D.一个非负常数28、已知n axy x e =+，则高阶导数()n y =( c ) A. n ax a e B. !n C. !ax n e + D. !n axn a e +29、若()()f x dx F x c=+⎰，则sin (cos )d xf x x⎰等于( b )A. (sin )F x c +B. (sin )F x c -+C. (cos )F x c +D. (cos )F x c -+ 30、微分方程'3xy y +=的通解是( b )A. 3c y x =- B. 3y c x =+ C. 3c y x =-- D. 3c y x =+31、函数21,y x =+(,0]x ∈-∞的反函数是( c )A. 1,[1,)y x =∈+∞B. 1,[0,)y x =∈+∞C. [1,)y =∈+∞D. [1,)y =∈+∞32、当0x →时，下列函数中为x 的高阶无穷小的是( a )A. 1cos x -B. 2x x + C. sin x33、若函数()f x 在点0x 处可导，则|()|f x 在点0x 处( c )A. 可导B. 不行导C. 连续但未必可导D. 不连续34、当0x x →时, α和(0)β≠都是无穷小. 当0x x →时下列可能不是无穷小的是（ d ）A. αβ+B. αβ-C. αβ⋅D. αβ35、下列函数中不具有极值点的是( c )A. y x =B. 2y x = C. 3y x = D. 23y x=36、已知()f x 在3x =处的导数值为'(3)2f =, 则0(3)(3)lim2h f h f h →--=( b )A.32B.32-C.1D.1-37、设()f x 是可导函数，则(())f x dx '⎰为( d )A.()f xB. ()f x c +C.()f x 'D.()f x c '+38、若函数()f x 和()g x 在区间(,)a b 内各点的导数相等，则这两个函数在该区间内( d )A.()()f x g x x -=B.相等C.仅相差一个常数D.均为常数二、填空题1、极限20cos d limxx t tx →⎰ =2、已知 102lim()2ax x x e -→-=，则常数 =a . 3、不定积分2d x x e x -⎰= .4、设()y f x =的一个原函数为x ，则微分d(()cos )f x x = .5、设2()d f x x x C x =+⎰，则()f x = . 6、导数12d cos d d x t t x-=⎰ .7、曲线3(1)y x =-的拐点是 .8、由曲线2y x =,24y x =与直线1y =所围成的图形的面积是 . 9、已知曲线()y f x =上任一点切线的斜率为2x 并且曲线经过点(1,2)- 则此曲线的方程为 . 10、已知22(,)f xy x y x y xy +=++，则f f x y∂∂+=∂∂ . 11、设(1)cos f x x x +=+，则(1)f = .12、已知 112lim(1)x x a e x --→∞-=，则常数 =a .13、不定积分2ln d xx x =⎰.14、设()y f x =的一个原函数为sin 2x ，则微分d y = .15、极限022arcsin d limxx t t x →⎰ = .16、导数2d sin d d x a t t x =⎰ .17、设0d xt e t e=⎰，则x = .18、在区间[0,]2π上由曲线cos y x =与直线2x π=,1y =所围成的图形的面是.19、曲线sin y x =在点23x π=处的切线方程为 .20、已知22(,)f x y x y x y -+=-，则f f x y ∂∂-=∂∂ .21、极限01lim ln(1)sinx x x →+⋅ =22、已知 21lim()1axx x e x -→∞-=+，则常数 =a .23、不定积分d x e x =⎰ .24、设()y f x =的一个原函数为tan x ，则微分d y = . 25、若()f x 在[,]a b 上连续，且()d 0baf x x =⎰, 则[()1]d baf x x +=⎰ .26、导数2d sin d d xxt t x =⎰ .27、函数224(1)24x y x x +=++的水平渐近线方程是 . 28、由曲线1y x =与直线y x=2x =所围成的图形的面积是 .29、已知(31)x f x e '-=，则()f x = .30、已知两向量(),2,3a λ→=,()2,4,b μ→=平行，则数量积a b ⋅= .31、极限20lim(1sin )xx x →-=32、已知973250(1)(1)lim 8(1)x x ax x →∞++=+，则常数=a .33、不定积分sin d x x x =⎰.34、设函数sin 2xy e =, 则微分d y = .35、设函数()f x 在实数域内连续, 则0()d ()d xf x x f t t -=⎰⎰ .36、导数2d d d x ta te t x =⎰ .37、曲线22345(3)x x y x -+=+的铅直渐近线的方程为 .38、曲线2y x =与22y x =-所围成的图形的面积是 .三、计算题1、求极限：22lim(11)x x x x x →+∞++--+. 解：22lim (11)x x x x x →+∞++--+=22lim (11)x x x x x →+∞++--+/2x=2、计算不定积分：2sin 2d 1sin xx x+⎰ 解：3、计算二重积分sin d d Dxx y x⎰⎰D 是由直线y x =与抛物线2y x =围成的区域解：4、设2ln z u v = 而x u y=32v x y =-. 求z x∂∂z y∂∂解：5、求由方程221x y xy +-=确定的隐函数的导数d d y x. 解：6、计算定积分: 20|sin | d x x π⎰. 解：7、求极限：xx x e x 20)(lim +→.解：8、计算不定积分：212d 1x xx++.解：9、计算二重积分22()Dx y d σ+⎰⎰其中D 是由y x =,y x a =+,y a=3y a =(0a >)所围成的区域解：10、设2u v z e -=, 其中3sin ,u x v x ==，求dzd t .解：11、求由方程ln y x y =+所确定的隐函数的导数d d yx .解：，12、设2,01,(),1 2.x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩. 求0()()d x x f t t ϕ=⎰在[0, 2]上的表达式.解：13、求极限：22lim11xxx→-+.解：14、计算不定积分：dln ln lnxx x x⋅⋅⎰.解：15、计算二重积分(4)dDx yσ--⎰⎰D是圆域222x y y+≤解：16、设2x yzx y-=+，其中23y x=-，求dzd t.解：17、求由方程1yy xe =+所确定的隐函数的导数d d yx .解：18、设1sin ,0,2()0,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 求0()()d xx f t t ϕ=⎰在(),-∞+∞内的表达式.解：19、求极限：4x →解：20、计算不定积分：arctan1d1xxxx⋅+⎰解：21、计算二重积分2Dxy dσ⎰⎰D是由抛物线22y px=和直线2px=(0p>)围成的区域解：22、设yzx=而tx e=,21ty e=-求dzd t.解：四、综合题与证明题1、函数21sin , 0,()0, 0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处是否连续？是否可导？2、求函数32(1)y x x =-的极值.解：3、证明：当0x >时 221)1ln(1x x x x +>+++.证明：4、要造一圆柱形油罐体积为V问底半径r和高h 等于多少时才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解：5、设ln(1),10,()11,01x xf xx x x+-<≤⎧⎪=⎨+--<<⎪⎩探讨()f x在0x=处的连续性与可导性解：，6、求函数32(1)xyx=-的极值.解：7、证明: 当20π<<x 时 sin tan 2x x x +>.证明：8、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图) 截面的面积为5m 2 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小从而使建立时所用的材料最省？解：9、探讨21, 0,21, 01,()2, 12,, 2x x x f x x x x x ≤⎧⎪+<≤⎪=⎨+<≤⎪⎪>⎩在0x =,1x =,2x =处的连续性与可导性解：10、确定函数23(2)()y x a a x =--(其中0a >)的单调区间.解：；11、证明：当20π<<x 时331tan x x x +>. 证明：12、一房地产公司有50套公寓要出租当月租金定为1000元时公寓会全部租出去当月租金每增加50元时就会多一套公寓租不出去而租出去的公寓每月需花费100元的修理费试问房租定为多少可获最大收入？解：13、函数21, 01,()31, 1x x f x x x ⎧+≤<=⎨-≤⎩在点x 1处是否可导？为什么？解：14、确定函数x x x y 6941023+-=的单调区间.解：。

高等数学模拟试题及答案[1]

武汉大学网络教育入学考试专升本高等数学模拟试题一、单项选择题1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( b )A.xy e = B.1sin y x =+ C.ln y x =D.tan y x =2、函数23()32x f x x x -=-+的间断点是( c ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( b )A. 一定可导B. 必不可导C. 可能可导D. 无极限 4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ D ） A.sin x x B.2x-C.sin x x D. 1sin xx+ 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d )A.1B.1-C.0D.不存在. 6、设0a >，则2(2)d aaf a x x -=⎰( a )A.0()d af x x -⎰B.0()d af x x ⎰ C.02()d af x x ⎰ D.02()d af x x -⎰7、曲线23x xy e--=的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在8、设()f x 为可导函数，且()()000lim22h f x h f x h→+-=，则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( d )A. 4x y e =B. 4x y e -=C. 4xy Ce = D. 412x y C C e =+10、级数1(1)34nn nn ∞=--∑的收敛性结论是（ a ）A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 无法判定 11、函数()f x =( d )A. [1,)+∞B.(,0]-∞C. (,0][1,)-∞⋃+∞D.[0,1]12、函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处( d )A.极限不一定存在B.不一定连续C.可微D.不一定可微 13、极限1lim(1)sin nn e n →∞-=( c)A.0B.1C.不存在D. ∞ 14、下列变量中，当x →0时与ln(12)x +等价的无穷小量是（）A.sin xB.sin 2xC.2sin xD. 2sin x15、设函数()f x 可导，则0(2)()limh f x h f x h →+-=( c )A.'()f x -B.1'()2f x C.2'()f x D.016、函数32ln 3x y x +=-的水平渐近线方程是( c )A.2y =B.1y =C.3y =-D.0y =17、定积分sin d x x π=⎰( c )A.0B.1C.πD.218、已知x y sin =，则高阶导数(100)y 在0x =处的值为( a )A. 0B. 1C. 1-D. 100． 19、设()y f x =为连续的偶函数，则定积分()d aaf x x-⎰等于( c )A. )(2x afB.⎰adxx f 0)(2C.0D. )()(a f a f --20、微分方程d 1sin d yx x =+满足初始条件(0)2y =的特解是( c )A. cos 1y x x =++B. cos 2y x x =++C. cos 2y x x =-+D. cos 3y x x =-+ 21、当x →∞时，下列函数中有极限的是( C )A.sin xB.1x eC.211x x +- D.arctan x22、设函数2()45f x x kx =++，若(1)()83f x f x x --=+，则常数k 等于 ( a ) A.1 B.1- C.2 D.2- 23、若0lim ()x x f x →=∞，lim ()x x g x →=∞，则下列极限成立的是( b )A. lim[()()]ox x f x g x →+=∞B.lim[()()]0x x f x g x →-=C.1lim()()x x f x g x →=∞+ D. 0lim ()()x x f x g x →=∞24、当x →∞时，若21sin x 与1k x 是等价无穷小，则k =（ b ）A.2B.12C.1D. 325、函数()f x =[0,3]上满足罗尔定理的ξ是( a )A.0B.3C. 32 D.2 26、设函数()y f x =-, 则'y =( c )A. '()f xB.'()f x -C. '()f x -D.'()f x --27、定积分()d baf x x⎰是( a )A.一个常数B.()f x 的一个原函数C.一个函数族D.一个非负常数 28、已知naxy x e =+，则高阶导数()n y=( c )A. n axa e B. !n C. !axn e + D. !n axn a e + 29、若()()f x dx F x c =+⎰，则sin (cos )d xf x x ⎰等于( b )A. (sin )F x c +B. (sin )F x c -+C. (cos )F x c +D. (cos )F x c -+ 30、微分方程'3xy y +=的通解是( b )A. 3c y x =- B. 3y c x =+ C. 3c y x =-- D. 3c y x =+31、函数21,y x =+(,0]x ∈-∞的反函数是( c )A. 1,[1,)y x =∈+∞B. 1,[0,)y x =∈+∞C. [1,)y =∈+∞D. [1,)y =∈+∞ 32、当0x →时，下列函数中为x 的高阶无穷小的是( a )A. 1cos x -B. 2x x + C. sin xD.33、若函数()f x 在点0x 处可导，则|()|f x 在点0x处( c )A. 可导B. 不可导C. 连续但未必可导D. 不连续 34、当x x →时,α和(0)β≠都是无穷小. 当0x x →时下列可能不是无穷小的是（ d ）A. αβ+B. αβ-C. αβ⋅D. αβ35、下列函数中不具有极值点的是( c ) A.y x= B. 2y x = C. 3y x = D. 23y x =36、已知()f x 在3x =处的导数值为'(3)2f =, 则0(3)(3)lim2h f h f h →--=( b )A.32B.32-C.1D.1-37、设()f x 是可导函数，则(())f x dx '⎰为( d )A.()f xB. ()f x c +C.()f x 'D.()f x c '+38、若函数()f x 和()g x 在区间(,)a b 内各点的导数相等，则这两个函数在该区间内( d ) A.()()f x g x x -= B.相等 C.仅相差一个常数 D.均为常数二、填空题 1、极限20cos d limxx t tx →⎰=2、已知 102lim()2ax x x e -→-=，则常数 =a .3、不定积分2d xx ex -⎰= .4、设()y f x =的一个原函数为x ，则微分d(()cos )f x x = .5、设2()d f x x x C x=+⎰，则()f x = . 6、导数12d cos d d x t t x-=⎰ . 7、曲线3(1)y x =-的拐点是 .8、由曲线2y x =,24y x =及直线1y =所围成的图形的面积是 .9、已知曲线()y f x =上任一点切线的斜率为2x , 并且曲线经过点(1,2)-, 则此曲线的方程为 .10、已知22(,)f xy x y x y xy +=++，则f f x y∂∂+=∂∂ . 11、设(1)cos f x x x +=+，则(1)f = .12、已知 112lim(1)x x a e x --→∞-=，则常数 =a .13、不定积分2ln d x x x =⎰.14、设()y f x =的一个原函数为sin 2x ，则微分d y = .15、极限22arcsin d limxx t t x →⎰ =.16、导数2d sin d d x a t t x =⎰ .17、设d xt e t e=⎰，则x = .18、在区间[0,]2π上, 由曲线cos y x =与直线2x π=,1y =所围成的图形的面是 .19、曲线sin y x =在点23x π=处的切线方程为 . 20、已知22(,)f x y x y x y -+=-，则f fx y ∂∂-=∂∂ .21、极限01limln(1)sinx x x →+⋅ =22、已知21lim()1axxxex-→∞-=+，则常数=a.23、不定积分x=⎰.24、设()y f x=的一个原函数为tan x，则微分d y=.25、若()f x在[,]a b上连续，且()d0baf x x=⎰, 则[()1]dbaf x x+=⎰.26、导数2dsin ddxxt tx=⎰.27、函数224(1)24xyx x+=++的水平渐近线方程是.28、由曲线1yx=与直线y x=2x=所围成的图形的面积是.29、已知(31)xf x e'-=，则()f x= .30、已知两向量(),2,3aλ→=,()2,4,bμ→=平行，则数量积a b⋅=.31、极限2lim(1sin)x xx→-=32、已知973250(1)(1)lim8(1)xx axx→∞++=+，则常数=a.33、不定积分sin dx x x=⎰.34、设函数y=则微分d y=.35、设函数()f x在实数域内连续, 则()d()dxf x x f t t-=⎰⎰.36、导数2dddx tate tx=⎰.37、曲线22345(3)x xyx-+=+的铅直渐近线的方程为.38、曲线2y x=与22y x=-所围成的图形的面积是.三、计算题1、求极限：lim x →+∞.解：lim x →+∞=lim x →+∞/2x=2、计算不定积分：2sin 2d 1sin xx x +⎰解：3、计算二重积分sin d d Dx x y x ⎰⎰, D 是由直线y x =及抛物线2y x =围成的区域. 解：4、设2ln z u v =, 而x u y =, 32v x y =-. 求z x ∂∂, zy∂∂. 解：5、求由方程221x y xy +-=确定的隐函数的导数d d yx. 解：6、计算定积分: 20|sin | d x x π⎰.解：7、求极限：xxx e x 20)(lim +→.解：8、计算不定积分：x.解：9、计算二重积分22()Dx y d σ+⎰⎰, 其中D 是由y x =,y x a =+,y a =, 3y a =(0a >)所围成的区域. 解：10、设2u vz e -=, 其中3sin ,u x v x ==，求dz d t .解：11、求由方程lny x y=+所确定的隐函数的导数ddyx.解：，12、设2,01,(),1 2.x xf xx x⎧≤≤=⎨<≤⎩. 求0()()dxx f t tϕ=⎰在[0, 2]上的表达式.解：13、求极限：2 0x→解：14、计算不定积分：dln ln lnxx x x⋅⋅⎰.解：15、计算二重积分(4)dDx yσ--⎰⎰,D是圆域222x y y+≤.解：16、设2x yzx y-=+，其中23y x=-，求dzd t.解：17、求由方程1yy xe=+所确定的隐函数的导数ddyx.解：18、设1sin,0,2()0,x xf xπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.求0()()dxx f t tϕ=⎰在(),-∞+∞内的表达式.解：19、求极限：x→解：20、计算不定积分：1d 1xx +解：21、计算二重积分2Dxy dσ⎰⎰,D是由抛物线22y px=和直线2px=(p>)围成的区域.解：22、设yzx=,而tx e=,21ty e=-,求dzd t.解：四、综合题与证明题1、函数21sin,0,()0,0x xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x=处是否连续？是否可导？2、求函数(y x=-.解：3、证明：当0x >时, 221)1ln(1x x x x +>+++.证明：4、要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解：5、设ln(1),10,()01x x f x x +-<≤⎧⎪=<<, 讨论()f x 在0x =处的连续性与可导性. 解：，6、求函数32(1)x y x =-的极值.解：7、证明: 当20π<<x 时, sin tan 2x x x +>. 证明：8、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解：9、讨论21, 0,21, 01,()2, 12,, 2x x x f x x x x x ≤⎧⎪+<≤⎪=⎨+<≤⎪⎪>⎩在0x =,1x =,2x =处的连续性与可导性.解：10、确定函数y =(其中0a >)的单调区间.解：；11、证明：当20π<<x 时, 331tan x x x +>. 证明：12、一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解：13、函数21, 01,()31, 1x x f x x x ⎧+≤<=⎨-≤⎩在点x =1处是否可导？为什么？解：14、确定函数x x x y 6941023+-=的单调区间. 解：。

专升本(高等数学一)模拟试卷83(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷83(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．= 【】A．eB．e－1C．－e－1D．－e正确答案：B解析：由于．故选B．2．设函数f(x)=sinx，则不定积分∫f?(x)dx= 【】A．sinx+CB．cosx+CC．－sinx+CD．－cosx+C正确答案：A解析：由不定积分的性质“先求导后积分，相差一个常数”可知选项A正确．3．由点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)确定向量= 【】A．B．C．D．正确答案：B解析：由A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，可知=｛x2－x1，y2－y1，z2－z1｝，则4．设z=ln(x2+y)，则= 【】A．B．C．D．正确答案：B解析：求时，将y认定为常量，则．故选B．5．已知f?(cosx)=sinx，则f(cosx)= 【】A．－cosx+CB．cosx+CC．(sinxcosx－x)+CD．(x－sinxcosx)+C正确答案：C解析：已知f?(cosx)=sinx，在此式两侧对cosx求积分，得∫f?(cosx)d(cosx)=∫sinxd(cosx)故选C．6．中心在(－1，2，－2)且与xOy平面相切的球面方程是【】A．(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=4B．(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=2C．x2+y2+z2=4D．x2+y2+z2=2正确答案：A解析：已知球心为(－1，2，－2)，则代入球面标准方程为(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=r2．又与xOy平面相切，则r=2．故选A．7．设函数f(x)在区间[0，1]上可导，且f?(x)＞0，则【】A．f(1)＞f(0)B．f(1)＜f(0)C．f(1)=f(0)D．f(1)与f(0)的值不能比较正确答案：A解析：由f?(x)＞0说明f(x)在[0，1]上是增函数，因为1＞0，所以f(1)＞f(0)．故选A．8．幂级数的收敛半径为【】A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：由于可知收敛半径R==1．故选A．9．幂级数的收敛半径R= 【】A．0B．1C．2D．+∞正确答案：B10．设幂级数在x=2处收敛，则该级数在x=－1处必定【】A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性不能确定正确答案：C填空题11．设f(x)==________．正确答案：解析：因为f(x)=，所以f?(x)=，而由导数定义有12．已知由方程x2+y2=e确定函数y=y(x)，则=________．正确答案：解析：此题是隐函数求导数的题，且同时检查了反函数的导数等于原函数导数的倒数．具体解法是：在x2+y2=e两侧关于x求导数，得2x+2yy?=0，y?=，也就是13．=________．正确答案：解析：14．已知，则f(x)=________．正确答案：(1+x)215．设y=arctan，则其在区间[0，2]上的最大值为________．正确答案：解析：由y=arctan知y?=＜0，所以y在[0，2]上单调递减．于是ymax =y｜x=0 =arctan1=16．若∫－∞0ekxdx=，则k=________．正确答案：3解析：17．直线l：的方向向量为________．正确答案：｛－2，1，2｝解析：直线l的方向向量为s=｛1，2，0｝×｛0，2，－1｝==｛－2，1，2｝18．设f(x)=在x=0处连续，则k=________．正确答案：1解析：由连续的三要素及f(0－0)=1=f(0+0)=f(0)，得k=1．19．定积分∫01(x+1)dx=________．正确答案：y解析：设．代入已知函数可得f(t)==(t+1)2．20．微分方程y??－6y?+9y=0的通解为________．正确答案：e3x(c1+c2x)解答题21．若=6，求a与b的值．正确答案：=6，又x→3，分母x－3→0．所以(x2+ax+b)=0得9+3a+b=0，b=－9－3a．则x2+ax+b=x2+ax－(9+3a)=(x－3)[x+(3+a)]所以所以a=0，b=－9－0=－9．22．求f(x)=的定义域、连续区间、间断点．正确答案：由题知，定义域为(－∞，+∞)．又因所以x=0为间断点，则连续区间为(－∞，0)∪(0，+∞)．23．已知曲线y=x3+bx2+cx通过点(－1，－4)，且在横坐标为x=1的点处切线斜率为2，求b，c及曲线方程．正确答案：由解方程得24．求曲线y=x2与直线y=x，y=2x所围成的图形．正确答案：由题作图，由图知25．求过两点M1(1，－1，－2)，M2(－1，1，1)作平面，使其与y轴平行的平面方程．正确答案：所求平面法向量同时垂直y轴及向量(如图)．即由点法式可得所求平面为3x+2z+1=0．26．判定级数(a＞0)的敛散性．正确答案：R=含有参数a＞0，要分情况讨论：(1)如果0＜a＜1，则=1≠0．由级数收敛的必要条件可知，原级数发散．(2)如果a＞1，令是收敛的．用比较法：(3)如果a=1，则un=所以≠0，由级数收敛的必要条件可知，原级数发散．所以27．在曲线y=x2(x≥0)上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为，试求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程；(3)由上述所围平面图形绕z轴旋转一周所成旋转体的体积．正确答案：(1)设点A为(a0，a02)．由y?=2x，得过点A切线斜率为2a0，则切线方程为y－a02=2a0(x－a0)即x=由题作图，由图知解得a0=1(x＞0)．所以点A的坐标为(1，1)．(2)过点A的切线方程为y－1=2(x－1)，即y=2x－1．(3)由图知绕x轴旋转的体积为28．求函数f(x)=lntdt的极值点与极值，并指出曲线的凸凹区间．正确答案：f?(x)=lnx，令f?(x)=lnx=0得驻点x0=1，又f??(x)=，f??(1)=1＞0故x0是f(x)的极小值点，极小值为：因f??(x)=＞0(x＞0)，曲线是上凹的．。

高等数学上、下册考试试卷及答案6套[1]

高等数学上册试卷A 卷一填空题（每题2分，共10分） 1． 2()d f x dx ⎰= ；２. 设f (x )=e -x ，则(ln )f x dx x'⎰= ；３．比较积分的大小：11_________(1)x e dx x dx +⎰⎰；４.函数1()2(0)x F x dtx ⎛=> ⎝⎰的单调减少区间为；５. 级数()(0)nn n a x b b ∞=->∑，当x =0时收敛，当x =2b 时发散，则该级数的收敛半径是；二、求不定积分（每小题4分，共16分）1.； 2．sin x xdx ⎰；３．；4. 已知sin xx是f (x )的一个原函数，求()xf x dx '⎰. 三、求定积分（每小题4分，共12分）１．520cos sin 2x xdx π⎰；２．121(x dx -⎰；３．设1,当0时1()1,当0时1xx xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩求20(1)f x dx -⎰四、应用题（每小题5分，共15分）1．计算由曲线y =x ２，x =y ２所围图形的面积；２.由y =x 3、x =2、y =0所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积.3. 有一矩形截面面积为20米2，深为5米的水池，盛满了水，若用抽水泵把这水池中的水全部抽到10米高的水塔上去，则要作多少功?（水的比重1000g 牛顿/米3 ）五、求下列极限（每题5分，共10分）1．222222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭；2. 设函数f (x )在(0，+∞)内可微，且f (x )满足方程11()1()xf x f t dt x=+⎰，求f (x )。

六、判断下列级数的敛散性（每题5分，共15分）1. 21sin32n n n n π∞=∑； 2. 2111n n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑； 3.()1ln 1nn nn∞=-∑；七、求解下列各题（每题5分，共10分）1. 求幂级数111n n x n +∞=+∑的收敛域及和函数；2．将函数21()32f x x x =++展开成（x +4）的幂级数。

全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷50(题后含答案及解析)

全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷50(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设函数f(1／y，1／x)＝（x＋y）／（x－y），则f(x，y)＝（）A．（x＋y）／xyB．（x＋y）／x－yC．（x－y）／（x＋y）D．xy／（x＋y）正确答案：B解析：令m＝1／y，n＝1／x，即y＝1／m，x＝1／n，则有f(m，n)＝（1／n＋1／m）／1／n－1／m＝（m＋n）／m－n，即f(x，y)＝（x＋y）／x－y，故B选项正确．2．设函数f(x，y)＝x3＋y3，则点(0，0)是f(x，y)的（）A．极小值点B．间断点C．极大值点D．连续点正确答案：D3．设积分区域D：y＝1，y＝－1，x＝0，x＝2，则二重积分的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不确定正确答案：C解析：积分区域D：y＝1，y＝－1，x＝0，x＝2（如下图所示），区域D关于x轴对称，被积函数f(x，y)＝y是关于y的奇函数，故原积分为零．4．微分方程dy／dx＝（x2＋y2）／xy是（）A．齐次微分方程B．可分离变量的微分方程C．一阶线性齐次微分方程D．一阶线性非齐次微分方程正确答案：A解析：将（x2＋y2）／xy的分子分母同时除以x2，得dy／dx＝［1＋（y／x）2］／y／x，上式符合齐次微分方程的形式，故选A5．幂级数的和函数为（）A．ln(1＋x)B．arctanxC．ln(1－x)D．arctan(－x)正确答案：C解析：因为幂级数ln（1＋x）＝所以ln（1－x）＝故选C填空题请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．区域Ω是由平面z＝0，x2＋y2＋z2＝1(z≤0)所围成的闭区域，则____________正确答案：2／3π解析：．7．二重积分____________正确答案：4解析：（x＋2y）dy＝（4－2x）dx＝4．8．设D是由x2＋y2＝1(y＞0)，y＝0所围成的区域，则____________正确答案：0解析：此时积分区域D(如下图所示)关于y轴对称，被积函数xy关于x是奇函数，从而9．设L是抛物线x2＝y2上是O(0，0)与A(1，1)之间的一段弧，则____________正确答案：解析：曲线L如下图所示，y∈［0，1］10．设L是圆x2＋y2＝1，取逆时针方向，则____________正确答案：0解析：令P(x，y)＝(x＋y)2，Q(x，y)＝－(x2＋y2)，则＝－2x，＝2（x＋y）将L所围成的闭区域记为D，根据格林公式有(x＋y)2dx－(x2＋y2)dy ＝（－2x－2x－2y）dxdy＝（4x＋2y）dxdy＝（2rcosΘ＋rsinΘ）rdr＝（2cosΘ＋sinΘ）dΘ＝－2／／3（2sinΘ－cosΘ）＝0．计算题11．设平面π经过点P(5，3，－2)，且平行于平面π1：x＋4y－3z－11＝0，求平面π的方程正确答案：平面π1的法向量为{1，4，－3}，所求平面π平行于平面π1，于是其点法式方程为(x－5)＋4(y－3)－3(z＋2)＝0，即x＋4y－3z－23＝0．12．求过点P(1，0，7)且与平面x－z＝10和y＋2z＝3都平行的直线方程正确答案：两平面的法向量分别为n1＝{1，0，－1}，n2＝{0，1，2}．设所求直线的方向向量为v，由于直线与两平面都平行，所以v⊥n1且v⊥n2，v＝n1×n2＝＝{1，－2，1}，又直线过点P（1，0，7），则其对称式方程为（x－1）／1＝y／－2＝（z－7）／1．已知直线L1：和直线L2：（x－3）／4＝y／－2＝（z＋5）／113．求出直线L1的对称式方程；正确答案：直线L1的方向向量为v1＝＝{－28，14，－7}＝－7{4，－2，1}，令z＝1，则方程组变为，解之得x＝2，y＝－3．所以点（2，－3，1）在直线上．故直线L1的对称式方程为x－2／4＝y＋3／－2＝z－1／1．14．求直线L1和直线L2的夹角．正确答案：直线L2的法向量为v2＝{4，－2，1}，显然v1∥v2，从而直线L1和直线L2互相平行，即夹角Θ＝0．15．已知平行四边形的3个顶点A(3，－4，7)、C(1，2，－3)和D(9，－5，6)，求与顶点D相对的第4个顶点B正确答案：取O点为AC的中点，则O点的坐标为(1＋3／2，－4＋2／2，7－3／2)，即O(2，－1，2)．则O点也是BD的中点，设B(x，y，z)，有164解之得x＝－5，y＝3，z＝－2．故所求B点坐标为(－5，3，－2)．16．设α、β都是非零向量，且满足关系式｜α－β｜＝｜α＋β｜，证明α·β＝0正确答案：由于｜α－β｜＝｜α＋β｜，故｜α－β｜2＝｜α＋β｜2．即(α－β)(α－β)＝(α＋β)(α＋β)．α·α－α·β－β·α＋β·β＝α·α＋α·β＋β·α＋β·β．即α·α＋β·β－2(α·β)＝α·α＋β·β＋2(a·β)．又因α，β均为非零向量，要使上式成立，必有α·β＝0．17．设曲线方程为求它在三个坐标面上的投影曲线正确答案：将原方程化为消去z，联立z＝0，得曲线在Oxy平面上的投影曲线消去y，联立y＝0，得曲线在Oxz平面上的投影曲线消去x，联立x＝0，得曲线在Oyz平面上的投影曲线18．设z＝f（x＋y，exy），f是可微函数，求正确答案：设z＝f(u，v)，u＝x＋y，v＝exy，则求下列函数的定义域：19．z＝正确答案：令2x－x2－y2＞0得（x－1）2＋y2＜1．故定义域D＝{(x，y)｜(x－1)2＋y2＜1)，为一圆内部的区域(不包括边界)．20．z＝＋ln(x＋y)；正确答案：D＝{(x，y)｜x＞0且x＋y＞0)．21．z＝arcsin(x－2y)．正确答案：D＝{(x，y)｜－1≤x－2y≤1}．22．在所有周长等于6的直角三角形中，求出斜边最小的三角形正确答案：设直角三角形的两直角边为x，y，斜边为z，则有构造拉格朗日函数L(x，y)＝＋λ（x＋y＋z－6）＝（1＋λ）＋λ（x＋y－6），解方程组当λ＝－1时，方程组的前两个式子都不成立，故λ≠－1．解得x＝y＝3(2－)．由于实际情况必存在斜边最小值，故当直角三角形的两直角边长均为3(2－)时，斜边最小．23．求函数u＝[*]在点(1，2，1)处的梯度正确答案：gardu（1，2，1）＝｛e6，2e6，2e6｝．24．求函数u(x，y，z)＝x2＋2xy＋z2在点P(1，2，0)处沿方向l＝?2，－1，2?的方向导数正确答案：因为＝2x＋2y，＝2x，＝2z，cosα＝2／3，cosβ＝－1／3，cosy＝2／3．所以＝10／3．25．求空间曲线L：x＝31nΘ，y＝2sinΘ，z＝Θ，(一∞＜Θ＜＋∞)在点P(3lnπ，0，π)处的法平面方程及切线正确答案：x?(Θ)＝3／Θ，y?(Θ)＝2cosΘ，z?(Θ)＝1，于是点P（3lnπ，0，π）处的法平面方程为x?（π）（x－3lnx）＋y?（π）y＋z?（π）（z－π）＝0，即3（x－3lnx）／π－2y＋z－π＝0．点P(3lnx，0，π)处的切线方程为（x－3lnπ）／x?（π）＝y／y?（π）＝（z－π）／z?（π），即π（x－3lnπ）／3＝y／－2＝（z－π）／1．综合题26．在xy平面上求一点，使它到三直线x＝0，y＝0，2x＋y－6＝0的距离平方和最小正确答案：设所求点为(x，y)，该点到三直线的距离平方和为z＝x2＋y2（2x＋y－6）2／5由得驻点（6／5，3／5）由于Zxx＝15／8＞0，Zyy＝12／5，则△＝Z2xy－ZxxZyy＝16／5－18／5·12／5＜0，因此（6／5，3／5）是z的极小值点．由实际意义知，在点（6／5，3／5）处z 取得最小值．27．求曲面z＝xy包含在圆柱x2＋y2＝1内部分的曲面面积S正确答案：设所求曲面∑面积为S，该曲面在Oxy坐标面上的投影D：x2＋y2≤1．28．将函数f(x)＝ln(1＋x)展开成(x－1)的幂级数正确答案：对原函数求导f?(x)＝1／（1＋x）1／（1＋x）＝1／2·1／1－［－（x－1）／2］＝1／2［－（x－1）／2］n｜（x－1）／2｜＜1＝（－1）n（x－1）n／2n＋1，｜x－1｜＜2对上式等式两边积分f(x)＝ln（1＋x）＝｜x－1｜＜2．。

考研数学一高等数学模拟试卷291_真题(含答案与解析)-交互

考研数学一（高等数学）模拟试卷291(总分50, 做题时间90分钟)选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个：(Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导，且=1；(Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导，f'(0)=0，且( 一1)f"(x)一xf'(x)=e x一1，则下列说法正确的是SSS_SINGLE_SELA f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点．B f(0)是f(x)的极小值．C (0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D f(0)是f(x)的极大值．分值: 2答案:B解析：(Ⅰ)由条件=1及f'(x)在x=0连续即知(x)=f'(0)=0．用洛必达法则得．因(x)=f"(0)，若f"(0)≠0，则J=∞，与J=1矛盾，故必有f"(0)=0．再由f"'(0)的定义得→ f"'(0)=2．因此，(0，f(0))是拐点．选C．(Ⅱ)已知f'(0)=0，现考察f"(0)．由方程得又f"(x)在x=0连续→f"(0)=3＞0．因此f(0)是f(x)的极小值．应选B．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.求曲线y= +ln(1+e x )的渐近线方程．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：只有间断点x=0，因+ln(1+e x)]=∞，故有垂直渐近线x=0．又因此，x→+∞时有斜渐近线y=x．最后，+ln(1+ex )]=0+ln1=0，于是x→一∞时有水平渐近线y=0．2.运用导数的知识作函数y=x+的图形．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：求渐近线．只有两个间断点x=±1．=±∞，则x=1为垂直渐近线．又=±∞，则x=一1也是垂盲渐沂终．又所以y=x是斜渐近线，无水平渐近线．综上所述，作函数图形如图4．7所示．3.在椭圆=1内嵌入有最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该矩形最大面积．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为M(x，y)，则矩形的面积为S(x)=4xy=(0≤x≤a)．下面求S(x)在[0，a]上的最大值．先求S'(x)：令S'(x)=0解得x=，因S(0)=S(a)=0，S()=2ab，所以S(x)在[0，a]的最大值即内接矩形最大面积为2ab．4.在半径为a的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：设外切圆锥体的底半径为r，高为h．见图4．8，记∠ABO=φ，则tanφ=，于是圆锥体体积为求V(r)的最小值点等价于求f(r)=的最小值点．由于5.设函数f(x)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0，f(a)=b，求证：∫0a f(x)dx+∫b g(x)dx=ab，其中g(x)是f(x)的反函数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：令F(a)=∫0a f(x)dx+∫f(a) g(x)dx—af(a)，对a求导得F'(a)=f(a)+g[f(a)]f'(a)一af'(a)一f(a)，由题设g(x)是f(x)的反函数知g[f(a)]=a，故F'(a)=0，从而F(a)为常数．又F(0)=0，故F(a)=0，即原等式成立．解析：即证对a有函数恒等式∫0a f(x)dx+∫f(a) g(x)dx=af(a)成立．6.设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导且满足f(0)=0，f(x)≥0，f(x)≥f'(x)(x＞0)，求证：f(x)≡0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：由f'(x)一f(x)≤0，得e -x [f'(x)一f(x)]=[e -x f(x)]'≤0．又f(x)e -x｜x=0 =0，则f(x)e -x≤f(x)e -x｜x=0=0．进而f(x)≤0(x∈[0，+∞))，因此f(x)≡0( x∈[0，+∞))．解析：因f(x)≥0，若能证f(x)≤0，则f(x)≡0．因f(0)=0，若能证f(x)单调不增或对某正函数R(x)，R(x)f(x)是单调不增的，这只需证f'(x)≤0或[R(x)f(x)]'≤0．由所给条件及积分因子法的启发，应采取后一种方法．7.证明函数f(x)=(1+2 x在(0，+∞)单调下降．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：下证2 x ln2 x一(1+2 x )ln(1+2 x )＜0( x＞0)．令t=2 x，则x＞0时t＞1， 2 x ln2 x一(1+2 x )ln(1+2 x )=tlnt一(1+t)ln(1+t) g(t)．由于g'(t)=lnt—ln(1+t)＜0( t＞0)→g(t)在(0，+∞)单调下降，又g(t)=0→ g(t)＜0 (t＞0)．8.设f(x)在(a，b)四次可导，x0∈(a，b)使得f"(x)=f"(x)=0，又设f (4) (x)＞0(x∈(a，b))，求证f(x)在(a，b)为凹函数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：由f (4) (x)＞0(x∈(a，b))，知f"(x)在(a，b)单调上升．又因f"'(x0 )=0，故 f"'(x) 从而f"(x)在[x，b)单调上升，在(a，x]单调下降．又f"(x0 )=0，故f"(x)＞0(x∈(a，b)，x≠x)，因此f(x)在(a，b)为凹函数9.设y=y(x)是由方程2y 3—2y 2 +2xy一x 2 =1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y'(x)．将方程两边对x求导得 6y 2 y'一4yy'+2xy'+2y一2x=0，整理得 y'= ．① (Ⅱ)由y'(x)=0及原方程确定驻点．由y'(x)=0得y=x代入原方程得 2x 3一2x 2 +2xx一x 2 =1，即 x 3一x 2 +x 3一1=0， (x一1)(2x 2 +x+1)=0．仅有根x=1．当y=x=1时，3y 2—2y+x≠0．因此求得驻点x=1．(Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y 2—2y+x)y'=x一y．② 将②式两边对x在x=1求导，注意y'(1)=0，y(1)=l，得 2y"(1)=1，y"(1)= ＞0．故x=1是隐函数y(x)的极小值点．10.求函数y=(x∈(0，+∞))的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：函数y=在定义域(0，+∞)上处处连续，先求y'，y"，和它们的零点及不存在的点．由y'=0得x=1；x=时y"不存在；无y"=0的点．现列下表：因此得y=单调减少区间是(0，1)，单调增加区间是(1，+∞)，x=1是极小值点，凹区间是是拐点．最后求渐近线．因y==0，所以无垂直渐近线．由于因此只有斜渐近线y=x．11.设a＞0，求f(x)=的最值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：f(x)在(一∞，+∞)上连续且可写成如下分段函数由此得x∈(一∞，0)时f'(x)＞0，故f(x)在(一∞，0]单调增加；x∈(a，+∞)时f'(x)＜0，故f(x)在[a，+∞)单调减少．从而f(x)在[0，a]上的最大值就是f(x)在(一∞，+∞)上的最大值．在(0，a)上解f'(x)=0，即(1+a一x) 2一(1+x) 2 =0，得x= ．又因此f(x)在[0，a]即在(一∞，+∞)的最大值是．由于f(x)在(一∞，0)单调增加，在(a，+∞)单调减少，又f(x)在[0，a]的最小值f(x)=0，因此f(x)在(一∞，+∞)上无最小值．12.求函数f(x)= (2一t)e -t dt的最值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：由于f(x)是偶函数，我们只需考察x∈[0，+∞)．由变限积分求导公式得 f'(x)=2x(2一x 2 ) ．解f'(x)=0得x=0与x= ，于是从而，f(x)的最大值是f( )=∫02 (2一t)e -t dt=一∫2 (2一t)de -t=(t一2)e -t｜02一∫2 e -t dt =2+e -t｜2 =1+e -2．由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与f(x)的大小．由于f(x)=∫0 +∞ (2一t)e -t dt=[(t一2)e -t +e -t ]｜｜+∞ =1＞f(0)=0，因此f(0)=0是最小值．解析：f(x)的定义域是(一∞，+∞)，由于它是偶函数，故只需考虑x∈[0，+∞)．求f'(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性．由于需要考察f(0)是否为最值，还需讨论极限值f(x)．13.在椭圆=1的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：过椭圆上任意点(x0，y)的切线的斜率y'(x)满足分别令y=0与x=0，得x，y轴上的截距：于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图4．9)为 S(x)= 问题是求：S(x)= πab(0＜x＜a)的最小值点，其中y= ，将其代入S(x)中，问题可进一步化为求函数f(x)=x 2 (a 2一x 2 )在团区间[0，a]上的最大值点．由f'(x)=2x(a 2—2x2)=0(x∈(0，a))得a 2—2x 2 =0，x=x= ．注意f(0)=f(a)=0，f(x0 )＞0，故x= 是f(x)在[0，a]的最大值点．因此为所求的点．14.设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0 且xf'(x)=f(x)+ ax 2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=x(x)，问a 为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)首先由xf'(x)=f(x)+ ax 2，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．这是求解一阶线性方程f'(x)一(取其中一个)，得ax 2 +Cx，x∈[0，1]，其中C为任意常数使得f(x)＞0 (x∈(0，1))．(Ⅱ)确定C与a 的关系使得由y=f(x)与x=1，y=0围成平面图形的面积为2．由已知条件得2=∫1，则C=4一a．因此，f(x)= ax 2 +(4一a)x，其中a为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))．．又f'(x)=3ax+4一a，由此易知一8≤a≤4时f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅲ)求旋转体的体积．V(a)=π∫1 f 2(x)dx=π∫01ax 2 +(4—a)x] 2dx =π∫1 [ x 4 +x 2—3x 3 )a2 +(12x 3—8x 2 )a+16x 2]dx=π( )．(Ⅳ)求V(a)的最小值点．由于则当a=一5时f(x)＞0(x∈(0，1))，旋转体体积取最小值．15.证明：当x＞1时0＜lnx+ (x一1) 3．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：对x≥1引入函数f(x)=lnx+ 一2，则f(x)在[1，+∞)可导，且当x＞1时从而f(x)在[1，+∞)单调增加，又f(1)=0，所以当x＞1时，f(x)＞f(1)=0，即lnx+ 一2＞0．令g(x)=lnx+ (x—1) 3，则g(x)在[1，+∞)可导，且当x＞0时故g(x)在区间[1，+∞)上单调减少，又g(1)=0，所以当x＞1时g(x)＜g(1)=0，即lnx+ (x一1) 3当x＞1时成立．16.当x≥0，证明∫x (t—t 2 )sin 2n tdt≤ ，其中n为自然数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2答案:正确答案：令f(x)=∫x (t—t 2 )sin 2n tdt，则f(x)在[0，+∞)可导，f'(x)=(x一x 2 )sin 2n x．当0＜x＜1时，f'(x)＞0；当x＞1时，除x=kπ(k=1，2，3，…)的点(f'(x)=0)外，f'(x)＜0，则f(x)在0≤x≤1单调上升，在x≥1单调减小，因此f(x)在[0，+∞)上取最大值f(1)．又当t≥0时sint≤t。