湖北省部分重点中学2013-2014学年高一下学期期中考试 数学理试题
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考数学理科及答案
由(1)知，平面POD⊥平面PAC，所以OH⊥平面PAC.
又PA⊂面PAC，所以PA⊥OH．
在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连结HG，则有PA⊥平面OGH．
从而PA⊥HG，故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角．
在Rt△ODA中，OD＝OA·sin ＝sin .
在Rt△POD中，OH＝＝ ．
在Rt△POA中，OG＝＝＝.
设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有（0，0），（2，0），（3，0），（3，1），（3，3）共5个，∴P(A)= ．
（Ⅱ）设特等奖奖金为a元，一个人参加此次活动的收益为ξ，则ξ的可能取值为-100，900，a．
P(ξ=-100)= ，P(ξ=900)= ，P(ξ=a)= ．
湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考数学理科答案
一、DBCBABBDCD
二、11．－12．13．72014． 15．7（3分） （2分）
三、16．∵数列{an}为等差数列，∴a1+a3=2a2=0,代入得：f(x+1)+f(x-1)=0,解得x=1或3．
∴a1,a2,a3依次为-2，0，2或2,0,-2．∴an=2n-4或an=-2n+4．
将f(x) =sin(2x-)+1的图象横坐标缩短为原来的一半，得到图象的函数解析式为y=sin(4x-)+1)；再将其图象纵坐标扩大到原来的2倍得到图象的函数解析式为g(x)=2sin(4x-)+1.
（2）由余弦定理， ，
当且仅当 时取等号，即 时等号成立.
湖北省部分重点中学(武汉1中、3中、6中、11中等六校)2018-2019学年高一下学期期末联考数学试题
湖北省部分重点中学2018-2019学年度下学期期末联考高一数学试卷答案命题学校：武汉六中命题教师：曹淑红审题教师：邬婕考试时间：2019年6月26日上午9：00-11：00 试卷满分：150分1-5．DBDBC 6-10. CDBAB 11-12. CB 13. 14 . 15. 16.三、解答题17．（10分）求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．【答案】表面积为68π，体积为由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．在直角梯形ABCD中，过D点作，垂足为E，如图：在中，,所以可计算出：S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为68π ；…………………… 5分由圆台的体积半球的体积,故所求几何体的体积为…………………… 10分18．（12分）数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）当时，.∵适合上式，∴.…………………… 4分（2）由（1），令，得，∵，∴，即当时，，当时，，①当时，，此时，∴的前项和.②当时，，此时，由，得数列的前项和.由①②得数列的前项和为. ……………………12分19．（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求直线C1B与平面ACC1A1所成的角的余弦值（3）设为线段上任意一点，在BC 1D 内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CEDM ，并说明理由．试题解析：（1）证明：如图，连接交于点，连接．显然点为的中点．∵是中点， ∴．∵平面，⊄1AB 平面，∴直线平面． …… …… …… …… 4分（2）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，各个侧面均是边长为的正方形，且CC 1AC ，CC 1BCCC 1ACB ， CC 1BDD 为线段AC 的中点， BDCAAC 与C 1C 相交于点CB C 1∴在面11A ACC 上的射影为D C 1即为直线C 1B 与平面ACC 1A 1所成的角中 AC=1，同理：=== …… …… …… …… 8分（3）在D BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使DM CE ⊥此时点E 是在线段D C 1上．证明如下：过C 作CE D C 1⊥交线段D C 1于E ，由（2）可知⊥BD 平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ，所以CE BD ⊥． 又1CE C D ⊥，所以CE ⊥平面D BC 1．又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ． …… …… …… …… 12分20．（12分）已知数列中，2）（1）求数列的通项公式；（2）设 ,求的通项公式及其前n 项和T n 。
【高一】湖北省武汉市部分重点中学高一上学期期末考试 数学理试题 Word版
【高一】湖北省武汉市部分重点中学高一上学期期末考试数学理试题 Word版【高一】湖北省武汉市部分重点中学高一上学期期末考试数学理试题word版试卷描述：湖北省武汉市部分重点中学上学期高一期末考试数学试卷（理）命题人：武汉四十九中唐宗保审题人：洪山高中胡仲武全卷分第ⅰ卷（选择题）和第ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合，则a．b．c．d．2、函数=,的最小正周期为a．b．c．d．如果偶函数在上是增函数且最小值是2，那么在上是a.减函数且最小值是b..减函数且最大值是c.增函数且最小值是d.增函数且最大值是．在上的图像大致为5、已知，则a．b．c．d．6、函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴方程是：a．b．c．d．7、在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是的值等于a．1b．c．d．高考8.函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为a．c.d.9．给出以下命题：①若、均为第一象限角，且，且；②若函数的最小正周期是，则；③函数是奇函数；④函数的周期是⑤函数的值域是其中正确命题的个数为：a．b．c．d．10．如图，点从点出发，分别按逆时针方向沿周长均为的正三角形、正方形运动一周，两点连线的距离与点p走过的路程的函数关系分别记为，定义函数对于函数，下列结论正确的个数是①；②函数的图象关于直线对称；③函数值域为；④函数在区间上单调递增．a．．．．的值为________.则的值为________.13、定义在r上的函数,对任意x∈r都有,当时,,则________.若初始位置为,当秒针从(注此时)正常开始走时,那么点的纵坐标与时间的函数关系为________.15、关于的方程恰有个不同的实根,则的取值范围是________.三、解答题:本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16、（本题满分12分）（ⅰ）化简;.；（ⅱ）为第二象限角，化简．17、（本题满分12分）已知全集为，函数的定义域为集合，集合，求，，求实数m的取值范围．18、（本题满分12分）已知（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值.19、（本题满分13分）已知（ⅰ）求的最小值及取最小值时的集合；（ⅱ）求在时的值域;（ⅲ）在给出的直角坐标系中，请画出在区间上的图象（要求列表,描点）．20、（本题满分13分）在边长为10的正方形内有一动点，=9，作于，于，求矩形面积的最小值和最大值，并指出取最大值时的具体位置。
湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含答案)
武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线在轴上的截距为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．现有一段底面周长为厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B320x y --=y 2-2323-1:1l y x =-(0,1)-512π2l 2l 13()3()P A P B =()P B =1613235612π2π沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（ ）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点．现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，四面体的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体的体积为，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）2πP 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭22121:10504C x x y y -+-+=(,0)T t x P T x C t 1527,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABCD αAOPQ V 'V V'1418116127A ．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B ．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则C ．若，则是锐角D ．若对空间中任意一点，有，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（ ）A ．设A ，B 是两个随机事件，且，，若，则A ，B 是相互独立事件B ．若，，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足D ．若事件A ，B 相互独立，，，则11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ）A ．点的轨迹的方程是B ．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线与点的轨迹相离D ．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C ，D ，则四边形面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，，，，，，P 为所确定的平面内一点，设的最大值是以为自变量的函数，记作．若，则{,,}a b c 23m a c =+ ,,}a b m 〈α(2,1,0)A (1,3,1)B -(2,2,1)C -(1,,)n u t =α2u t +=0a b ⋅> ,a b <>O 111362OM OA OB OC =++1()2P A =1()3P B =1()6P AB =()0P A >()0P B >()()()()P ABC P A P B P C =()0.4P A =()0.2P B =()0.44P AB AB = (1)λλ≠P (2,0)A (6,0)B P ||1||3PA PB =P τP τ2230x y x +-=(1,1)N P τ220x y -+=P τ3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭M :270l x -+=M P τECMD 1y =+y x b =+b (0,0,0)O (0,,3)A a (3,0,)B a (,3,0)C a 33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC △||PO PD -a ()f a 03a <<()f a的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C的概率分别是，，．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知的顶点，边AB 上的中线CD 所在直线方程为，边AC 上的高线BE 所在直线方程为．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC 上分别有一点和且，，其中．（1）求证：，，共面；（2）若，且，设为侧棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）点轨迹记为曲线，若曲线与轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线上的动点，直线121418ABC △(4,2)A 7250x y +-=40x y +-=BCD △111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =1AC M N AM k AC = BN k BC =01k ≤≤MN a c||||||2a b c ===13AB =160BAC BB C ∠=∠=︒P 1BB 1B 1PC 11ACC A xOy (1,0)A -(7,0)B -P ||2||PB PA =P P C C x :17l x =MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量，定义“F 变换”：，其中，，，．记，．（1）若，求及；（2）证明：对于任意，必存在，使得经过次F 变换后，有；（3）已知，，将再经过次F 变换后，最小，求的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．13．1415．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以．所以．因此其得分低于4分的概率为；（2）设事件，，，表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．（2）设事件，，，表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．则“两次射击得分之和为8分”为事件，且事件，，互斥，，，所以两次射击得分之和为8分的概率．()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ()1F k k a a +=1k k k x x y +=-1k k k y y z +=-1k k k z z x +=-k k k k a x y z = k k k k a x y z =++0(2,3,1)a =2a 2a 0a *k ∈N 0a k 0k a = 1(,2,)()a p q q p =≥ 12024a = 1am m a m 5361)+1111()12488P D =---=111()()()884P C D P C P D =+=+= 14i A i B i C i D i 1,2=i A i B i C i D i 1,2=()()()121221B B AC A C 12B B 12AC21A C ()121114416P B B =⨯=()()12211112816P AC P A C ==⨯=()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦16．解：（1）因为，所以设直线AC 的方程为：，将代入得，所以直线AC 的方程为：，联立AC ，CD 所在直线方程：，解得，设，因为为AB 的中点，所以，因为在直线BE 上，在CD 上，所以，，解得，，所以，，所以BC 所在直线的方程为：，即．（2）由（1）知点到直线BC 的距离为：，又，所以．17．（1）证明：因为，，所以．由共面向量定理可知，，，共面．（2）取BC 的中点为，在中，，由余弦定理可得，所以，依题意，均为正三角形，所以，，又，平面，平面，AC BE ⊥0x y m -+=(4,2)A 2m =-20x y --=207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩(1,1)C -()00,B x y D 0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭()00,B x y D 0040x y +-=0042725022x y ++⨯+⨯-=06x =-010y =(6,10)B -10(1)11617BC k --==---111(1)7y x +=--11740x y +-=(1,6)D -d ==||BC ==12722BCD S ==△1AM k AC kb kc ==+()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- MN a cO 1AOB △1AO B O ==13AB =11cos 2AOB ∠==-12π3AOB ∠=ABC △1B BC △BC AO ⊥1BC B O ⊥1B O AO O = 1B O ⊂1B AO AO ⊂1B AO所以平面，因为平面，所以平面平面，所以在平面内作，则平面，以OA ，OC ，Oz 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，设是平面的一个法向量，，，则，即，取得，依题意可知，则．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．18．解：（1）设动点坐标，因为动点满足，且，，化简可得，，即，BC ⊥1AOB BC ⊂ABC 1AOB ⊥ABC 1AOB Oz OA ⊥Oz ⊥ABC x y z 132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1,0)B -A (0,1,0)C 132C ⎛⎫⎪⎝⎭132A ⎫⎪⎭(,,)n x y z =11ACC A (AC =132AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 03202y x y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩1z =(3,1)n =- 123BP BB =11112323713,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎫=+=+=--+⨯=--⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭ 1PC 11ACC A θ1119sin cos ,13||n C PC P n n C Pθ⋅====⋅ 1PC 11ACC A 913(,)P x y P ||2||PB PA =(1,0)A -(7,0)B -=222150x y x +--=22(1)16x y -+=所以点的轨迹方程为．（2）曲线中，令，可得，解得或，可知，，当直线EF 为斜率为0时，即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为，，，联立消去可得：，化简可得；由韦达定理可得，因为，，，，所以EM ，FN 的斜率为，，又点在曲线上，所以，可得，所以，所以EM ，FN 的方程为，，令可得，化简可得；，又，在直线上，可得，，所以，P 22(1)16x y -+=22:(1)16C x y -+=0y =2(1)16x -=3x =-5x =(3,0)M -(5,0)N ||||EK FK +x ny t =+()11,E x y ()22,F x y 22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩x 22(1)16ny t y +-+=()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()11,E x y ()22,F x y (3,0)M -(5,0)N 113EM y k x =+225FN y k x =-()11,E x y C ()2211116x y -+=()()()22111116135y x x x =--=+-111153EM y x k x y -==+115(3)x y x y -=+22(5)5yy x x =--17x =()1212205125Q x y y y x -==-()()121235550y y x x +--=()11,E x y ()22,F x y x ny t =+11x ny t =+22x ny t =+()()121235550y y ny t ny t ++-+-=化简可得；，又，代入可得，化简可得，，，所以或，当时EF 为，必过，不合题意，当时EF 为，必过，又为圆的弦长，所以当直径MN 时弦长最小，此时半径，圆心到直线EF 的距离为，综上，的最小值．19．解：（1）因为，，，所以，，（2）设假设对，，则，，均不为0；所以，即，因为，，所以，与矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意，经过若干次F 变换后，必存在，使得．（3）设，因为，所以有或，当时，可得，三式相加得()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=(5)(816)0t t --=2t =5t =5t =5x ny =+(5,0)2t =2x ny =+(2,0)||EF EF ⊥||EF 4r =211-=||8EF ===<||EF 0(2,3,1)a = 1(1,2,1)a = 2(1,1,0)a =21100a =⨯⨯= 21102a =++={}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == N k ∀∈10k a +≠1k x +1k y +1k z +12k k M M ++>123M M M >>> *(1,2)k M k ∈=N 112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ 121M M +≤-120M M +>0aK N *∈0K a = ()0000,,a x y z = 1(,2,)()a p q q p =≥000x y z ≤≤000x y z ≥≥000x y z ≥≥0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩2q p -=又因为，可得，；当时，也可得，，所以；设的三个分量为这三个数，当时，的三个分量为，2，m 这三个数，所以；当时，的三个分量为2，2，4，则的三个分量为0，2，2，的三个分量为2，0，2，所以；所以，由，可得，；因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以的三个分量只能是2，2，4三个数，的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当时，；当时，，所以的最小值为505．12024a =1010p =1012q =000x y z ≤≤1010p =1012q =1(1010,2,1012)a =k a()*2,,2m m m +∈N 2m >1k a +2m -14k k a a +=- 2m =k a 1k a + 2k a +124k k a a ++=== 12024a = 5058a = 5064a =1(1010,2,1012)a = k a505a 506a505m <18m a +≥ 505m ≥14m a +=m。
2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学(武汉六中等)高一(下)期末数学试卷及答案
2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．﹣B．1C．﹣或﹣1D．﹣12．（5分）下列命题中正确的个数为（）①如果＝λ（λ∈R），那么与方向相同；②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；③△ABC中，若B＞90°，则•＜0；④四边形ABCD是平行四边形，则必有＝．A．0个B．1个C．2个D．3个3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若＝，b2﹣a2＝ac，则cos C等于（）A．B．C．D．4．（5分）圆心都在直线L：x+y＝0上的两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），则m+n ＝（）A．﹣1B．1C．0D．25．（5分）某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（）A．25B．35C．42D．506．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4．直线l与圆C下列关系中不可能的是（）A．相交B．相切C．过圆心D．相离7．（5分）已知两个非零向量，的夹角为，且|﹣|＝2，则•的取值范围是（）A．（﹣，0）B．[﹣2，0）C．[﹣，0）D．[﹣1，0）8．（5分）已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+29．（5分）下列说法正确有（）①若|a|＞b，则a2＞b2；②a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；③若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则＞．A．①④B．②④C．③④D．④10．（5分）已知{a n}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是（）A．4B．5C．6D．711．（5分）若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（）A．4﹣2B．2﹣C．﹣1D．12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2，则tan A的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线l：x﹣y sin+1＝0的斜率为．14．（5分）已知向量＝（﹣1+2t，2），＝（2，﹣4+4t），＝（1，λ）（其中t，λ∈R）．若⊥（2+），则λ＝．15．（5分）设等差数列{a n}满足：a4+a6＝4，a82﹣a22＝48．数列{na n}的前n项和记为S n，则S6的值为．16．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos＝b sin A，则B＝，若a≥c＝2，则a的取值范围是．三、解答题（解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率k＞0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值．18．（10分）如图，在正△ABC中，AB＝2，P，E分别是BC、CA边上一点，并且＝3，设＝t，AP与BE相交于F．（1）试用，表示；（2）求•的取值范围．19．（12分）设等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n（a n﹣n）}的前n项和S n．20．（12分）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣4＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．（1）若点P的坐标为（6，﹣2），求直线P A、PB的方程；（2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．21．（12分）设函数f（x）＝ax2+4x+b．（1）当a＞0且a+b＝4时，解关于x的不等式f（x）≥0；（2）已知a＞b，若f（x）的值域为[0，+∞），求的最小值．22．（12分）如图，有一矩形空地ABCD，AB＝2BC＝40米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是∠EOF＝60°，其中E、F分别在边BC，CD上．（1）若∠BOE＝30°，求四边形OECF的面积；（2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．﹣B．1C．﹣或﹣1D．﹣1【分析】根据直线的截距相等，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：显然直线不过（0，0），截距不是0，故直线可化为：+＝1，若直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则＝，解得：a＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查对应思想，是一道常规题．2．（5分）下列命题中正确的个数为（）①如果＝λ（λ∈R），那么与方向相同；②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；③△ABC中，若B＞90°，则•＜0；④四边形ABCD是平行四边形，则必有＝．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据向量的相等以向量的平行和向量的共线即可判断．【解答】解：对于①，＝λ（λ∈R），那么与方向相同或相反，故①错误，对于②，非零向量与共线，则A，B，C，D四点共线或AB与CD平行，故②错误，对于③，△ABC中，若B＞90°，则•＜0，故③正确，对于④，四边形ABCD是平行四边形，则必有＝，故④正确．故选：C．【点评】本题考查向量的相等，向量的平行，关键是掌握共线的条件，属于基础题．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若＝，b2﹣a2＝ac，则cos C等于（）A．B．C．D．【分析】解：由已知利用正弦定理可得c＝a，结合已知b2﹣a2＝ac，可求得b＝2a，进而根据余弦定理可求cos C的值．【解答】解：∵＝，∴由正弦定理可得：＝，即c＝a，又∵b2﹣a2＝ac，∴b2﹣a2＝3a2，可得b＝2a，∴cos C＝＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．（5分）圆心都在直线L：x+y＝0上的两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），则m+n ＝（）A．﹣1B．1C．0D．2【分析】由两圆的公共弦垂直于两圆圆心的连线，再由两直线斜率的关系列式可得m+n 的值．【解答】解：∵两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），且两圆的圆心都在直线x+y ＝0上，∴MN垂直直线x+y＝0，则MN的斜率k＝，得m+n＝0．故选：C．【点评】本题主要考查圆与圆相交的性质，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．5．（5分）某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（）A．25B．35C．42D．50【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，则a（1+x）2＝a．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点．【解答】解：设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，则a（1+x）2＝a．解得x＝≈0.414≈42%．∴该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．故选：C．【点评】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4．直线l与圆C下列关系中不可能的是（）A．相交B．相切C．过圆心D．相离【分析】由直线系方程可得直线过圆上的定点，由此可得直线l与圆C不可能相离．【解答】解：由直线l：mx﹣y﹣m+＝0，得m（x﹣1）﹣y+＝0，由，得，可得直线l过定点A（1，）．圆C：（x﹣2）2+y2＝4的圆心C（2，0），半径r＝2．∵|CA|＝，∴A在圆C上，∴直线l与圆C不可能相离，故选：D．【点评】本题考查直线与圆位置关系，训练了直线系方程的应用，是基础题．7．（5分）已知两个非零向量，的夹角为，且|﹣|＝2，则•的取值范围是（）A．（﹣，0）B．[﹣2，0）C．[﹣，0）D．[﹣1，0）【分析】对|﹣|＝2两边平方后，结合•＝||•||cos进行化简可得+||•||+＝4；由基本不等式的性质知，+≥2||•||，于是推出0＜||•||，再结合平面向量数量积即可得解．【解答】解：∵|﹣|＝2，∴﹣2•+＝4，∴﹣2||•||cos+＝4，即+||•||+＝4，由基本不等式的性质可知，+≥2||•||，∴0＜||•||，∴•＝||•||cos＝||•||∈[，0）．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积运算，还涉及利用基本不等式的性质求最值，对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．（5分）已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，又y＞0，且+＝1，∴x+2y＝（x﹣1）+2y+1＝[（x﹣1）+2y]（+）+1＝6++≥6+2＝10，当且仅当＝，即x＝4，y＝3时等号成立，故x+2y的最小值为10．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．9．（5分）下列说法正确有（）①若|a|＞b，则a2＞b2；②a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；③若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则＞．A．①④B．②④C．③④D．④【分析】对于①②，可根据条件取特殊值判断；对于③④，可直接利用不等式的基本性质判断．【解答】解：①由|a|＞b，取a＝0，b＝﹣2，则a2＞b2不成立，故①错误；②由a＞b，c＞d，取a＝c＝0，b＝d＝﹣1，则a﹣c＞b﹣d不成立，故②错误；③∵a＜b＜0，c＜d＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，∴ac＞bd，故③正确；④由a＞b＞0，得，∵c＜0，∴，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．10．（5分）已知{a n}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是（）A．4B．5C．6D．7【分析】先求出首项和公比，得出{a n}是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论．【解答】解：∵{a n}为等比数列，a1a3a5＝27＝，a2a4a6＝＝，∴a3＝3，a4＝，∴q＝＝，a1＝12，a5＝a4•q＝＜1．故{a n}是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是4，故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．11．（5分）若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（）A．4﹣2B．2﹣C．﹣1D．【分析】由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1：2，可推出圆心到直线的距离为1，即，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab的最小值，再求出+的最大值．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0化成标准形式为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，其中圆心为（1，1），半径为2．设直线与圆交于A、B两点，圆心为C，因为直线把圆的周长分为1：2，所以∠ACB＝×360°＝120°，所以圆心C（1，1）到直线ax+by﹣2＝0的距离为1，即，因为a，b＞1，所以ab﹣2（a+b）+2＝0，由基本不等式的性质可知，ab+2＝2（a+b）≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，此时有ab≥，所以+＝＝＝+≤+＝2﹣．所以+的最大值为2﹣．故选：B．【点评】本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2，则tan A的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．[2，+∞）【分析】由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式、同角的商数关系，化简可得tan A＝3tan B，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan A＞0，tan C ＞0，解不等式可得所求范围．【解答】解：由a2＝b2+c2，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，则b2+c2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得c＝4b cos A，由正弦定理可得：sin C＝4sin B cos A，可得sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＝4sin B cos A，化为3sin B cos A＝sin A cos B，在锐角△ABC中，cos A≠0，cos B≠0，则tan A＝3tan B，又tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣，由tan A＞0，tan C＞0，可得1﹣tan2A＜0，解得tan A＞，故选：B．【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线l：x﹣y sin+1＝0的斜率为．【分析】求出sin，把直线方程变形，再由直线的一般方程求斜率公式得答案．【解答】解：由直线l：x﹣y sin+1＝0，得x﹣，即2x﹣．则该直线的斜率k＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查由直线方程求直线的斜率，是基础题．14．（5分）已知向量＝（﹣1+2t，2），＝（2，﹣4+4t），＝（1，λ）（其中t，λ∈R）．若⊥（2+），则λ＝﹣1．【分析】根据条件求出，然后由，得到，再求出λ的值．【解答】解：，，且，∴，∴λ＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）设等差数列{a n}满足：a4+a6＝4，a82﹣a22＝48．数列{na n}的前n项和记为S n，则S6的值为14．【分析】等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，可得a n，na n，计算可得所求和．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，由a4+a6＝4，a82﹣a22＝48，可得2a1+8d＝4，6d•（2a1+8d）＝48，解得a1＝﹣6，d＝2，可得a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8，na n＝2（n2﹣4n），则S6＝2[（12+22+32+42+52+62）﹣4（1+2+3+4+5+6）]＝2×（1+4+9+16+25+36﹣4×21）＝14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos＝b sin A，则B＝，若a≥c＝2，则a的取值范围是（1，4）．【分析】①由正弦定理＝，可推出sin A cos＝sin B sin A，再结合二倍角公式和B的取值范围即可得解；②由正弦定理＝，知a＝，再根据三角形的内角和与正弦的两角和公式可将其化简为；然后由A、C∈（0，），可求得C∈（，），即tan C ＞，将其代入化简后的式子即可得解．【解答】解：①由正弦定理知，＝，∵a cos＝b sin A，∴sin A cos＝sin B sin A，∵sin A≠0，∴cos＝sin B＝2sin cos，∵锐角△ABC，∴B∈（0，），∈（0，），∴cos≠0，sin＝，∴B＝．②由正弦定理知，＝，∴a＝＝＝＝，∵锐角△ABC，∴A、C∈（0，），∵A+C＝π﹣B＝，∴A＝﹣C∈（0，），即C∈（，），∴C∈（，），tan C＞，∴a＝∈（1，4）．故答案为：；（1，4）．【点评】本题考查解三角形和三角函数的综合运用，涉及正弦定理、二倍角公式、正弦的两角和公式以及正切函数的图象与性质，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率k＞0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值．【分析】（1）由题意利用点斜式设出直线的方程，求出斜率k的值，可得结论．（2）先求出直线在坐标轴上的截距，再由题意利用基本不等式求得△AOB面积最小值．【解答】解：（1）直线l过点P（﹣1，2），若直线l在两坐标轴上截距和为零，设直线l的方程为y﹣2＝k（x+1），即kx﹣y+2+k＝0．则它在两坐标轴上截距分别为﹣1﹣和k+2，由题意，﹣1﹣+k+2＝0，∴k＝﹣2 或k＝1，直线l的方程为2x+y＝0 或x﹣y+3＝0．（2）设直线l的斜率k＞0，则直线l：kx﹣y+2﹣k＝0与两坐标轴交点分别为A（﹣1，0）、B（0，k+2），求△AOB面积为S＝|﹣1|•|k+2|＝＝+2+≥2+2＝4，当且仅当k＝2时，等号成立，故△AOB面积最小值为4．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线在坐标轴上的截距，基本不等式的应用，属于中档题．18．（10分）如图，在正△ABC中，AB＝2，P，E分别是BC、CA边上一点，并且＝3，设＝t，AP与BE相交于F．（1）试用，表示；（2）求•的取值范围．【分析】（1）由＝t，可推出＝+t，而＝﹣，代入化简整理即可得解；（2）由＝3，知＝﹣，再结合平面向量的数量积可推出•＝[（1﹣t）+t]•（﹣）＝（4t﹣5），而t∈[0，1]，从而求得•的取值范围．【解答】解：（1）∵＝t，∴＝+＝+t＝+t（﹣）＝（1﹣t）+t．（2）∵＝3，∴＝＝﹣，∴•＝[（1﹣t）+t]•（﹣）＝（t﹣1）+（）•+t＝4（t﹣1）+（）×2×2cos60°+t×4＝（4t﹣5）．∵P是BC边上一点，∴t∈[0，1]，∴•＝（4t﹣5）∈[，]．【点评】本题考查平面向量的线性和数量积运算，熟练掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．（12分）设等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n（a n﹣n）}的前n项和S n．【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得a n；（2）求得n（a n﹣n）＝n（3n﹣1﹣1），分别运用数列的分组求和、错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（1）由等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1，可得a n+b n＝（a1+b1）•3n﹣1＝2•3n﹣1，a n﹣b n＝（a1﹣b1）+2（n﹣1）＝2n﹣2，则a n＝n﹣1+3n﹣1，n∈N*；（2）n（a n﹣n）＝n（3n﹣1﹣1），S n＝（1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1）﹣（1+2+…+n），设T n＝1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1，3T n＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，上面两式相减可得﹣2T n＝1+31+3•32+…+3n﹣1﹣n•3n＝﹣n•3n，化为T n＝+•3n，则S n＝+•3n﹣n（n+1）．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和、错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．20．（12分）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣4＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．（1）若点P的坐标为（6，﹣2），求直线P A、PB的方程；（2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．【分析】（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为y+2＝k（x﹣6），由圆心到直线的距离等于半径列式求得k，则切线方程可求；（2）根据题意，设P（4﹣m，m），可得AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦，求出以PO为直径的圆的方程，与圆O的方程联立，消去二次项可得直线AB的方程，再由直线系方程可得定点Q的坐标．【解答】解：（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为y+2＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k﹣2＝0．由，解得k＝﹣或k＝0．∴所求切线方程分别为y＝﹣2和3x+4y﹣10＝0；证明：（2）根据题意，点P为直线x+y﹣4＝0上一动点，设P（4﹣m，m），∵P A，PB是圆O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦，可得以PO为直径的圆的方程为[x﹣（2﹣）]2+（y﹣）2＝（2﹣）2+（）2，即x2﹣（4﹣m）x+y2﹣my＝0，①又圆O的方程为：x2+y2＝4，②，①﹣②，得（4﹣m）x+my﹣4＝0，即m（y﹣x）+4x﹣4＝0，则该直线必过点Q（1，1）．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，考查运算求解能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）＝ax2+4x+b．（1）当a＞0且a+b＝4时，解关于x的不等式f（x）≥0；（2）已知a＞b，若f（x）的值域为[0，+∞），求的最小值．【分析】（1）把a＞0且a+b＝4，代入不等式，利用配方法可求得不等式的解；（2）化简变形，再利用基本不等式，即可求得最小值．【解答】解：（1）由a＞0且a+b＝4，代入不等式f（x）≥0，得ax2+4x+4﹣a≥0，化简，得（x+1）（ax﹣a+4）≥0，∴x≤﹣1或x≥1﹣，当a＞2时，1﹣＞﹣1；∴不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1﹣}；当0＜a＜2时，1﹣＜﹣1，∴不等式的解集为{x|x≤1﹣或x≥﹣1}；当a＝2时，1﹣＝﹣1，∴不等式的解集为R．（2）由f（x）的值域为[0，+∞），可得a＞0，△＝0，∴16﹣4ab＝0，可得ab＝4．＝＝（a﹣b）+≥2＝4．当且仅当a﹣b＝时，的最小值为4．【点评】本题考查二次函数不等式的解法，利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．22．（12分）如图，有一矩形空地ABCD，AB＝2BC＝40米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是∠EOF＝60°，其中E、F分别在边BC，CD上．（1）若∠BOE＝30°，求四边形OECF的面积；（2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．【分析】（1）四边形OECF的面积S＝S OBCF﹣S△BOE；（2）设∠BOE＝α∈[0°，45°]，过点F作FM⊥AB于点M，利用三角函数的知识可推出种植甲、乙两种蔬菜的面积S甲和S乙；设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m，该空地产生的经济价值为y，可用含α的式子表示出y；令f（α）＝tanα﹣，结合正切的两角差公式和基本不等式的性质可求出f（α）取得最小值时，tanα的值，再将其代入S甲的表达式中即可得解．【解答】解：（1）由∠EOF＝60°，∠BOE＝30°，可知OF⊥OB，O为AB中点，∵AB＝2BC，∴OB＝BC，∴四边形FOBC为正方形．在Rt△BOE中，∠BOE＝30°，OB＝20米，∴BE＝，∴四边形OECF的面积为S OBCF﹣S△BOE＝平方米．（2）设∠BOE＝α∈[0°，45°]，则∠AOF＝120°﹣α，过点F作FM⊥AB于点M，在Rt△OBE中，BE＝OB•tanα＝20tanα；在Rt△OMF中，OM＝＝，∴DF＝OA﹣OM＝20﹣．∴种植乙种蔬菜的面积S乙＝S△BOE+S ADFO＝OB•BE+（OA+DF）•AD＝×20×20tanα+×[20+20﹣]×20＝200[tanα+2﹣]，种植甲种蔬菜的面积S甲＝S矩形ABCD﹣S乙＝800﹣200[tanα+2﹣]＝200[2﹣tanα+]，设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m，该空地产生的经济价值为y，则y＝3m•S甲+m•S乙＝3m×200×[2﹣tanα+]+m×200×[tanα+2﹣]，＝400m×[4﹣（tanα﹣）]．令f（α）＝tanα﹣＝tanα﹣＝，＝＝（tanα+）+﹣≥2﹣＝4﹣，当且仅当tanα+＝2，即tanα＝2﹣时，等号成立．若该空地产生的经济价值y最大，则f（α）应取得最小值，为4﹣，此时tanα＝2﹣，∴S甲＝200[2﹣tanα+]＝200×[2﹣（2﹣）﹣]＝400（﹣1）平方米．故该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积为400（﹣1）平方米．【点评】本题考查函数的实际应用，还涉及三角恒等变换与基本不等式的性质，选择适当的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
湖北省部分重点中学2014届高三二月联考数学(理)试卷及答案
湖北省部分重点中学2014届高三二月联考高三数学试卷（理科）命题学校：江夏一中考试时间：2014年2月6日下午15:00—17:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为 ( ）A ．4B ．4+4iC ．4-D ．2i2．设集合A =｛4，5，7，9｝，B =｛3，4，7，8，9｝，全集U = A ⋃B ，则集合)(B A C U ⋂ 的真子集共有 A ．3个 B ．6个 C ．7个 D ．8个3．要得到函数)42sin(π+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向左平移4π单位 B ．向右平移4π单位 C ．向右平移8π单位 D ．向左平移8π单位4．半径为R 的球的内接正三棱柱的三个侧面积之和的最大值为（ ）A 、233RB 、23RC 、222RD 、22R5．已知数据123 n x x x x ，，，，是武汉市n *(3 )n n N ≥∈，个普通职工的2013年的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上比尔.盖茨的2013年的年收入1n x +（约900亿元），则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ） A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。
6．在各项均为正数的等比数列}{n a 中，2475314))((a a a a a =++，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列}{n a 是递增数列；B ．数列}{n a 是递减数列；C ．数列}{n a 既不是递增数列也不是递减数列；D ．数列}{n a 有可能是递增数列也有可能是递减数列．7．已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题： ①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④8．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝xBA →，CE →＝yCA →，x >0，y >0，且x ＋y ＝1， 则CD →·BE →的最大值为( )A ．－58B ．－34C ．－32D ．－389．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的渐近线方程为（ ）A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 22±=D．y = 10．已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++=（ ） A. 2 B. 4 C.8 D. 随a 值变化二.填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的．．．．．对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．执行如图所示的程序框图，输出的S = ．12．若不等式组02(1)1y y x y a x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤-+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .13．已知椭圆12222=+by a x 的面积计算公式是ab S π=，则2-=⎰________； 14. 设数列.,1,,12,1,,13,22,31,12,21,11 kk k -这个数列第2010项的值是________； 这个数列中，第2010个值为1的项的序号是 .（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答?10<nnn S S 2⋅+=结果计分.）15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 为半径为2的圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦， 垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ．则2AC ＋BF·BM ＝16.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知锐角ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,。
数学理卷·2016届湖北省武汉市部分重点中学高一上学期期末联考(2014.01)
小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为q ，大正方形的面积是1 ，小正
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方形的面积是
1 25
,则sin 2
q
-
cos 2
q
的值等于
A．1
B．
-
7 25
C． 7 25
D． -高考 24 25
8.函数
f
(x)
=
Asin(wx + f)( A >
0,w
>
0,| f
|<
p 2
)
的部分图象如图示，则将
∴ f (x) 在 (-¥, a] 上单调递减，又 a > 1，∴ f (x) 在[1, a] 上单调递减，
∴
ì í î
f f
(1) = a (a) = 1
，
∴
ì1 íîa2
- 2a + - 2a2
5 +
= 5
a =1
，
∴a = 2
4分
（Ⅱ）∵ f (x) 在区间 (-¥, 2] 上是减函数， ∴ (-¥, 2] Í (-¥, a] ∴ a ³ 2
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湖北省武汉市 2013-2014 学年度上学期高一期末考试
数 学 试 卷 （理）
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
A
C
A
A
B
D
D
D
二.填空题
11、 -
3 2
12、 -2 2
三、解答题
、13、
1 2
14、
y
=
sin(-
湖北省部分重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案
湖北省部分重点中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学（理）试卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 3a =2b =4B π=,则A =（ ）A ．6πB ．3π C ． 3π或23π D ．6π或56π2.若不等式28210++<ax ax 的解集是{71}-<<-x x ，那么a 的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.已知等差数列{a n }满足a 3=3，且a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 5=（ ） A ．5B ．3C ．5或3D ．4或34.设x ，y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则z=x+4y 的最大值为（ ）A ．5B ．3C ．6D ．45.若数列{a n }的前n 项和Sn 满足S n =2a n ﹣n ，则（ ） A ．S n =2n+1﹣1 B ．a n =2n﹣1 C ．S n =2n+1﹣2 D ．a n =2n+1﹣36.设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △的形状为（ ）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7.在等差数列}{n a 中，48)(2)(31310753=++++a a a a a ，则等差数列}{n a 的前13项的和为（ ） A 、24 B 、39 C 、52 D 、1048.设a ＞0，b ＞02是4a与2b的等比中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．8C ．9D ．109.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且n n A B =7453n n ++，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510.下列函数中，最小值为4的函数是（ ）A ．y=x+B ．y=sinx+（0＜x ＜π）C ．y=ex+4e ﹣xD ．y=log 3x+4log x 311.已知ABC ∆3AC 3，3ABC π∠=，则ABC V 的周长等于（ ） A ．33+ B ．33．23+3312.已知定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=3f （x+2），当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣x 2+2x ．设f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n （n ∈N *），且{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的取值范围是（ ） A ．[1，32） B ．[1，32] C ．[32，2） D ．[32，2] 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.25，211，… …，则25是该数列的第 项． 14.函数y=2﹣x ﹣4x的值域为 ． 15.设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{1na }的前10项的和为 ． 16.在△ABC 中，2sin22A =3sinA ，sin （B ﹣C ）=2cosBsinC ，则ABAC = ．三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18~22题每题12分,共70分,解答题必须有解题过程）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设a=4，c=3，cosB=18． （1）求b 的值； （2）求△ABC 的面积．18. 已知不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}． （1）计算a 、b 的值；（2）求解不等式x2﹣ax+b＞0的解集．19.已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求数列{2n a}的前n项和S n．20. 某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．21.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．22.已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1，其中n≥2，n∈N*．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等差数列，并求其通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•2﹣n，T n为数列{b n}的前n项和．①求T n的表达式；②求使T n＞2的n的取值范围．湖北省部分重点中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学（理）试卷参考答案1.C2.C3.C4.A5.B6.B7.C8.C9.D 10.C 11.A 12.A13.7 14.（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞） 15. 201116.113210.解：A．x＜0时，y＜0，不成立；B．令sinx=t∈（0，1），则y=t+，y′=1﹣＜0，因此函数单调递减，∴y＞5，不成立． C．y=4，当且仅当x=0时取等号，成立．D．x∈（0，1）时，log3x，logx3＜0，不成立．故选：C．12.解：：∵函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），∴f（x+2）=f（x），即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，又∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，∴a1=f（1）=1，∴数列{an}是首项为1、公比为的等比数列，∴Sn=∈．故选：A．15. 解：∵数列{an }满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an =（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．16.解：∵2sin2=sinA，∴1﹣cosA=sinA，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，所以A=．由余弦定理，得a2=b2+c2+bc ①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，得b•=3••c，即2b2﹣2c2=a2②，将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得﹣﹣3=0，③解③得=，所以=．故答案为：．17. 解：（1）∵a=4，c=3，cosB=18．∴由余弦定理可得：b===．………5分（2）∵a=4，c=3，cosB=．∴sinB===，∴S△ABC=acsinB==．…………10分18. 解：（1）∵不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，∴方程ax2+bx﹣1=0的两个根为﹣1和2，将两个根代入方程中得，解得：a=，b=﹣；………………6分（2）由（1）得不等式为x2﹣x﹣＞0，即2x2﹣x﹣1＞0，∵△=（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）=9＞0，∴方程2x2﹣x﹣1=0的两个实数根为：x1=﹣，x2=1；因而不等式x2﹣x﹣＞0的解集是{x|x＜﹣或x＞1}．…………12分19.解：（Ⅰ）由题设知公差d，d≠0，由a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，则=，解得：d=1或d=0（舍去），an =a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，故{an }的通项an=n；……………………6分（Ⅱ）由题意知2n a=2n，由等比数列前n项和公式得Sn=2+22+23+…+2n==2n+1﹣2，数列{2n a}的前n项和S n=2n+1﹣2．…………12分20. 解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，…………………2分整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．…………………4分∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．…………………5分（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，…………………7分等价于x＞25时，有解，…………………9分∵（当且仅当x=30时，等号成立），∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元…………………11分∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．…………………12分21.解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．…………6分（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．…………12分22.解：（1）∵数列{an }中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1，其中n≥2，n∈N*，∴（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）=1（n≥2，n∈N*，），∴a2﹣a1=1，∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，∴an=n+1；…………4分（2）∵an=n+1；∴bn =an•2﹣n=（n+1）2﹣n，∴Tn=2×+3×+...+n+（n+1） (1)=2×+3×+...+n+（n+1） (2)（1）﹣（2）得： Tn=1++…+﹣（n+1），∴Tn=3﹣，……………………8分代入不等式得：3﹣＞2，即，设f（n）=﹣1，f（n+1）﹣f（n）=﹣＜0，∴f（n）在N+上单调递减，∵f（1）=1＞0，f（2）=＞0，f（3）=﹣＜0，∴当n=1，n=2时，f（n）＞0；当n≥3，f（n）＜0，所以n的取值范围为n≥3，且n∈N*．……………………12分。
湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一上学期期中联考数学试题Word版含答案
武汉市部分重点中学2014—2015学年度上学期期中联考高一数学试卷命题学校：武汉市第三中学 命题教师：曾 勇 审题教师：刘小兵考试时间：2014年11月13日上午9：50—12：20一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 设{}21,A x x n n Z ==+∈，则下列正确的是（ ）（A ）A ∅∈ （B ）2∈∅ （C ）3A ∈ （D ）{}2A ∈2、 已知函数221,1(x),1x x f x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若[]2(0)4f f a =+，则实数a =（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）2- （D ）0或2 3、设函数y ={}()A x y f x ==， {}()B y y f x ==，图中阴影部分表示的集合是（ ）（A ）[0,3] （B ）(0,3) （C ）(5,0][3,4)-U （D ）[5,0)(3,4]-U4、 已知集合42{1,2,3,},{4,7,,3}M m N n n n ==+，*,m n N ∈，映射:31f x y x →=+是从M 到N 的一个函数，则,m n 的值分别为（ ）（A ）2，5 （B ）5，2 （C ）3，6 （D ）6，3 5、 设函数111y x=+的定义域为M ，值域为N ，那么（ ）（A ）{}{}0,0M x x N y y =≠=≠（B ）{}{}01,01M x x x N y y y =≠≠-=≠≠且且 （C ）{}{}0,M x x N y y R =≠=∈ （D ）{}{}10,0M x x x N y y =≠-≠=≠且6、 给出两个函数，分别满足①()()()h xy h x h y =+②()()()g x y g x g y +=⋅。
又给出四个函数的图像，那么可能的匹配方案是（ ）（A ） ①甲，②乙 （B ） ①乙，②甲 （C ） ①丙，②甲（D ） ①丁，②丙7、 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ） （A ）12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （C ）12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 8、 函数()10,1xy a a a a=->≠的图像可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）9、 右图中的曲线是幂函数ny x =在y 轴左边的图像，已知n 取值12,1,3±-，则相应于曲线1234C C C C 、、、的n 依次取值为（ ）（A ）12,2,1,3-- （B ）11,,2,23-- （C ）11,2,,23-- （D ）12,1,,23-- 10、已知奇函数()f x 在()0,+∞上单调递增，且()20f =，则不等式()()110x f x -->的解集是（ ）（A ）(1,3)- （B ）(,1)-∞- （C ）(,1)(3,)-∞-+∞U （D ）(1,1)(1,3)-U二、填空题：本大题共5小题，共25分。
湖北省部分重点中学2014届高三10月联考数学理试题 Word版含答案
秘密★启用前2013～2014年度湖北省部分重点中学高三十月联考数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上的方框涂黑。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3.用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知全集=N ，集合P ={}，6，4，3，2，1Q={}1,2,3,5,9则()P C Q =( )A ．{}3,2,1B ．{}6,4C ．{}9,5D {}6,4,3,2,12．已知集合A ={}5,4,3,2,1，(){},/,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为 A ．6 B ．12C ．16D ．203．下列命题中错误的是A ．命题“若2560x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2560x x -+≠” B ．若x 、y ∈R ，则“x y =”是2()2x y xy +≥成立的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．对命题p ：x R ∃∈，使220x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则220x x ++≥4．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ） A.4 B.6C.8D.125．已知函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位后关于1x a =+对称，当211x x >>时，[]2121()()()f x f x x x --＜0恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为 A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c6．已知函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，k R ∈，则()()f k f k +-的值一定A ．等于0B ．不小于0C ．小于0D ．不大于07．若),0(π∈α，且)4sin(2cos 3α-π=α，则α2sinA ．1或1817-B ．1C ．1817 D ．1817-8．已经函数21()()sin ,23x f x x a R a a =-∈++，则()f x 在[0，2π]上的零点个数为 A ．1B ．2C ．3D ．49．已知()||x f x x e =⋅，方程()2()()10f x tf x t R ++=∈有四个实数根，则t 的取值范围为A ．21(,)e e++∞B ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭D ．212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()f x =又()cos2xg x π=，则集合{}|()()x f x g x =等于A ．1|4,2x x k k z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．1|2,2x x k k z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．1|4,2x x k k z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭D ．{}|21,x x k k z =+∈二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设有两个命题：p ：不等式1()42x +＞m ＞22x x -对一切实数x 恒成立；q :()(92)x f x m =--是R 上的减函数，如果p 且q 为假命题，则实数m 的取值范围是;12. 在△ABC 中，060,C AB AB ∠==边上的高为83，则AC BC += ; 13. 已知函数()()()222,log ,log 2x f x x g x x x h x x =+=+=-的零点依次为a , b , c ，则a ,b ,c 的大小关系是 。
湖北省部分重点中学2013-2014学年高一下学期期中考试理科数学试卷(解析版)
湖北省部分重点中学2013-2014学年高一下学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．在△ABC）A【答案】A【解析】试题分析：由题意△ABC中，，，，根据正弦定理考点：正弦定理，同角三角函数基本关系式2．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（）A【答案】C【解析】试题分析：A B立；D CC正确考点：不等式的简单性质3（）A【答案】B【解析】试题分析：由题意，又数列为等差数列，考点：等差中项，特殊角的正切函数4R ，则m 的范围是（ ） AC 【答案】C 【解析】R ，所以（1，对任意恒成立；（2）当时，（．考点：一元二次不等式的解法 5．） A【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，则11111，故a考点：数列的通项公式，周期性6．设a ＞0，b ＞0）A ．6 B．8 D ．9 【答案】A 【解析】试题分析： 由题意a ＞0，b ＞0，且是和的等比中项，即，则4+bbb ⎫+⎪⎭考点：重要不等式，等比中项7．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元 【答案】D 【解析】试题分析：设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，且考点：简单线性规划的应用8）A【答案】C 【解析】试题分析：在△ABD-=10545∴点A、B、C、D四点共园，圆心是BC的中点在同园或等圆中，同弧所对的圆周角相等) ，同理Rt△ABC在Rt△BCD中考点：解三角形9n）A．2014 B．4028 C．0 D【答案】A【解析】两式相加得解即数列考点：等差数列的通项二、填空题10）A【答案】B【解析】试题分析：由已知考点：同角三角函数基本关系式11．11的最大值为。
湖北省部分重点中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学理试题 Word版含答案
湖北省部分重点中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学理试题 Word 版含答案 本试卷满分150分 答题时间 120分钟★祝考试顺利★ 注意事项:1.答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．选择题作答：每小题选出答案后，将答案填在答题卡上的对应题号后，答在其他位置无效。
3．填空题和解答题作答：直接答在答题卡上对应的区域内，答在其他位置一律无效，答在对应区域外、填错答题区域均无效。
一.选择题：共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线y x 42=的焦点坐标是( )A. )1,0(-B. )1,0(C. )0,1(D. )0,1(- 2．下面几种推理中是演绎推理的序号为（ ）A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ．3.把复数z 的共轭复数记为z ,已知i z i 34)21(+=+,则z 等于( ) A. i 21+ B. i 21- C.i -2 D.i +24．用数学归纳法证明)12(312)()2)(1-⋅⋅=+++n n n n n n（（*N n ∈）时，从“kn =到1+=k n ”左边需增乘的代数式为（ ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k kD ．132++k k5．若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则=⎰30)(dx x f ( )A.16B.18-C.24-D.546．设a R ∈，若函数x y e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（ ） A 、1a e <-B 、1a >-C 、1a <-D 、1a e >-7. 已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为( )A ．225B ．1225+C ．2225-D ．1225-8．下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（）A ．sin 1x x >-+B ．20x x ->C ．ln(1)x x >+D ．x e ex >9．椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的一个焦点为1F ，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1PF 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )B.23C.5910．定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足x x f x f >')()(，则下列不等式成立的是（ ）A.3(2)2(3)f f <B.3(4)4(3)f f <C.2(3)3(4)f f <D.(2)2(1)f f < 二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分11．双曲线24x +k y 2=1的离心率3e =，则k 的值为12．观察下列等式 =11++=2349++++=3456725++++++=4567891049……照此规律，第n 个等式为 13．由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是____________;14．过抛物线218x y=的焦点作直线交抛物线于A B 、两点，线段AB 的中点M 的纵坐标为2，则线段AB 长为 ．15．已知函数3211()22132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是三．解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖北省部分重点中学(省实验、武汉三中、武汉一中---)2019-2020学年高三上学期第一次联考考数学(理)试题
湖北省部分重点中学2020届高三第一次联考高三数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则A B = （）A.()2,3-B.(),3-∞C.()2,2-D.()0,22.已知a 是实数，1a ii +-是纯虚数，则a 等于（） A.2- B.1- C.2 D.13.若2sin cos 12x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos 2x =（）A.89- B.79- C.79 D.-14.已知{}n a 为等比数列，若3528a a ==，，则78a a +=（）A.-32B.96C.-32或96D.-96或325.点P 是ABC △所在平面上一点，若2355AP AB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（）A.35 B.52 C.32 D.236.下列说法正确的个数是（）①命题“若4a b + ，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题②命题“设a b R ∈，，若5a b +≠，则3a ≠或2b ≠”是一个真命题③“20000x R x x ∃∈-<，的否定是“20x R x x ∀∈->，”④已知x ，y 都是实数，“||||1x y + ”是“221x y + ”的充分不必要条件A.1B.2C.3D.47.下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的为（）A .2||y x x =- B.||2x y = C.22x x y -=- D.212log ||y x x =-8.已知定义在R 上的奇函数21()2x x f x a-=+，则不等式()2(2)40f x f x -+-<的解集为（）A.（-1，6） B.（-6，1） C.（-2，3） D.（-3，2）9.AOB 中，OA a OB b == ，，满足||2a b a b ⋅=-= ，则AOB ∆的面积的最大值为（） A.3 B.2 C.23 D.2210.已知函数log (1),(11)()(2)1,(13)a x x f x f x a x +-<<⎧=⎨-+-<<⎩（0a >且1a ≠），若12x x ≠，且()()12f x f x =，则12x x +的值（）A .恒小于2 B.恒大于2 C.恒等于2 D.以上都不对11.已知函数22()2sin cos sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅--> ⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0]π，上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（）A.30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.15,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是（）A.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C.253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4个小题，共20分）13.已知实数x ，y 满足约束条件30,20,2,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为___________.14.非零向量a 和b 满足2a b = ，()a ab ⊥+ ，则a 与b 的夹角为___________.15.已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间173a π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是单调函数，则实数a 的最大值为__________.16.已知函数21()ln()22x x f x g x e -=+=，，若(0)m R n ∀∈∃∈+∞，，使得()()g m f n =成立则n m -的最小值是__________.三、解答题（本大题共6小题共70分解答应写出证明过程或算步）17.已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，1,2,3n =（1）证明：113n n a a +--=，2,3n = ；（2）求和：12233445212122n n n n a a a a a a a a a a a a +--+-+-+ 18.如图，在ABC △中，M 是边BC 的中点，57cos 14BAM ∠=，27cos 7AMC ∠=-.（1）求B Ð的大小；（2）若7AM =，求ABC △的面积.19.已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点（1）求证：PA 平面MDB ；（2）求二面角A PB C --的余弦值.20.已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为22其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()02C ，，ABC △的面积为322过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P Q ，两点，直线BP BQ ，分别与X 轴交于M N ，两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究M N ，的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.21.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。
数学-高一湖北省部分重点中学2010至2011学年度高一下学期期中联考(数学)
2011年春季湖北省部分重点中学期中联考高一数学试卷考试时间：2011年4月18日上午8:00-10:00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ba 11< B ．a 2＞b 2 C ．22+1+1a bc c > D ．a |c |＞b |c |2．{}n a 是等差数列，且a 1+a 4+a 7=-12，a 2+a 5+a 8=-6，如果前n 项和n s 取最小值，则n 为（ ）A 、5或6B 、6或7C 、7D 、5 3. 若等比数列{}n a 前n 项和n s =3n a + , 则=a （ ） A 、-3B 、 -1C 、3D 、14．已知等比数列{}n a 满足13a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则345a a a ++等于（ ） A ．33 B ．84 C ．72 D ．1895．不等式组221030x x x ⎧-<⎨-≥⎩的解集是（ ）A ．{}11x x -<< B. {}13x x <≤ C. {}10x x -<≤ D.{}31x x x ≥<或6．如图:B C D ,,三点在地面同一直线上，a DC =，从D C ,两点测得A 点仰角分别是βααβ<，（），则A 点离地面的高度AB 等于A.()αββα-⋅sin sin sin a B. ()βαβα-⋅cos sin sin aC ()αββα-⋅sin cos sin aD .()βαβα-⋅cos sin cos a7. 在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ． 等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形8. 已知数列{}n a 为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q >1，若11a b =，20112011a b =，则1006a 与1006b 的大小关系是（ ）A ．10061006a b = B ．10061006a b < C ．10061006a b > D ． 10061006a b ≥9．某人从2011年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率为r 保持不变，每年到期存款(本息和)自动转为新的一年定期，到2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)( ) A.a(1+r)5 B.r a［(1+r)5-(1+r)］ C.a(1+r)6 D.ra ［(1+r)6-(1+r)］ 10．在△ABC 中，2,2,3π=∠==A BC AB ，如果不等式AC BC t BA ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 ( )A ．[)∞+，1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡121， C ．(][)∞+⋃∞-，，10 D ． [)∞+⋃⎥⎦⎤⎝⎛∞-，，121二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上. 11．在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,030A = , 则B 等于 12. 设f (x )=142x+,利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法, 可求得f (－3)+f (－2)+…+f (0)+…+f (3)+f (4)的值为___________________. 13. 已知数列{}n a 满足123231111212222n n a a a a n ++++=+则{}n a 的通项公式 14. 有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮20000千克，乙每次购粮10000元，在两次统计中，购粮方式比较经济的是15．如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆一共有 8层花盆，则最底层的花盆的总个数是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤16. （本小题满分12分）若不等式2+0ax bx c ->的解集{}|23x x -<<，求不等式2++0cx bx a >的解集17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 b cos C +c cosB=2a cos A3AB AC ⋅=，且5b c +=，求a 的值.18. (本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为n S ，且,,1n n S a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若22nb n a -=，设nn nb C a =求数列{}n C 的前项和n T .19、（本小题满分12分）学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密，在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案一是每年年末加一千元；二是每半年结束时加300元请选择一种一般不擅长数学的人很容易选择前者，因为一年加一千元总比两个半年共加600元要多其实，由于工资累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利例如在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000元，而第二种方案在第一年加得300+600=900元，第二年加得900+1200=2100元，总数也是900+2100=3000元但到了第三年，第一种方案可以得到1000+2000+3000=6000元，第二种方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元第四年，第五年会更多因此，你若会在公司干三年以上，则应选择第二种方案 根据以上材料，解答以下问题：（1）如果在该公司干10年，问选择第二方案比选择第一方案多加薪多少元？（2）如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加 a 元，问 a 取何值时，选 择第二方案总是比选择第一方案多加薪？20. （本小题满分13分）数列}{n a 的前n 项和为n S ，2()n n S a n n N =-∈（1）求证：数列{1}n a +成等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）数列}{n a 中是否存在连续三项可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的三项；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分14分） 已知α为锐角且tan ,12-=α 函数f （x ）=2tan 2sin 24x x παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭,数列{n a }的首项 ()111,2n n a a f a +== (1)求f （x ）函数表达式 (2)求证:n n a a >+1 (3求证：1<++++211111a a …+()*∈≥<+N n n a n,2211湖北省部分重点中学2011年春期中联考高一数学参考答案二．填空题答案：（每小题5分，共25分）11. 60或 120； 12. 2 ； 13 .161)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩（； 14. 乙； 15. 169.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16. （本小题满分12分）若不等式2+0ax bx c ->的解集{}|23x x -<<，求不等式2++0cx bx a >的解集 解:∵不等式2+0ax bx c ->的解集{}|23x x -<< ∴-2、3是2+0ax bx c -=的两根,且0a < ∴-231b a =+=，236ca=-⨯=-………………………6分 ∴b a =，6c a =-∴不等式2-6++0ax ax a >， 0a <又 26--10x x >化得即()()2-13+10x x > ， 解集为：11-23x x x ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或.………………………12分 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 b cos C +c cosB=2a cos A3AB AC ⋅=，且5b c +=，求a 的值.解：sin cos sin cos 2sin cos ,B C C B A A +=由正弦定理可得：sin()2sin cos ,sin 2sin cos .sin 0,B C A A A A A A +==≠即可得又故1cos ,0,23A A A ππ=<<∴=………………………6分 由3,cos 3,AB ACc A ⋅==可得b3A π=又2226,5,2,33,22cos ,bc b c b c b c a b c bc A =+=∴=====+-即又或由余弦定理可得b =……………………………………………… 12分18、（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为n S ，且,,1n n S a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若22nb n a -=，设nn nb C a =求数列{}n C 的前项和n T . 解：（1）由题意知21,0n n n a S a =+> 当n=1时，111211a a a =+∴= 当11221,21n n n n n S a S a --≥=-=-时， 两式相减得122--=n n n a a a （2n ≥） 整理得：21=-n na a （2n ≥） ………………………………………………4分 ∴数列{a n }是1为首项，2为公比的等比数列.11112122n n n n a a ---=⋅=⨯= ……………………………………5分（2）22222nb n n a --==22n b n ∴=- …………………………………………………………6分1224422n n n nn b n n C a ---=== 2310-488444...22222n n nn nT ----=+++++① 23110-48444 (22222)n n n n nT +--=++++ ② ①－②得2311111444(...)22222n n n nT +-=-+++- ………………9分21111-111(1)4422412121442(1)22122n n n n n n nn -+-+--=-⋅---=---+=- …………………………11分-2+1-42n n n T ∴= ……………………………………………………12分19. (本小题满分12分)学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密，在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案一是每年年末加一千元；二是每半年结束时加300元请选择一种一般不擅长数学的人很容易选择前者，因为一年加一千元总比两个半年共加600元要多其实，由于工资累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利例如在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000元，而第二种方案在第一年加得300+600=900元，第二年加得900+1200=2100元，总数也是900+2100=3000元但到了第三年，第一种方案可以得到1000+2000+3000=6000元，第二种方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元第四年，第五年会更多 因此，你若会在公司干三年以上，则应选择第二种方案根据以上材料，解答以下问题：（1）如果在该公司干10年，问选择第二方案比选择第一方案多加薪多少元？（2）如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加a 元，问 a 取何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？解：（1）由题意：第一方案每年的加薪额，第二方案每半年的加薪额都构成等差数列 第10年末，第一方案加薪总额为：1000+2000+3000+…+10000=55000元………………2分 第二方案加薪总额为：300+300×2+300×3+…+300×20=63000元……………5分 所以在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪：63000-55000=8000元…………6分 （2）由题意：第n 年（n ∈N *）选择第二方案总比选择第一方案加薪多， 则由等差数列前n 项和公式:2(21)(1)21000100022n n n n na a n --+>⨯+⨯……………9分 化简得：500(1)1250(1)2121n a n N n n *+>=+∈++对于恒成立又当11110001250(1)213213n n n =+++时取最大值，此时取最大值……11分 答：当10003a >时总是选择第二方案比选择第一方案多加薪……………12分20. （本小题满分13分）数列}{n a 的前n 项和为n S ，2()n n S a n n N =-∈ （1）求证：数列{1}n a +成等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）数列}{n a 中是否存在连续三项可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的三项；若不存在，请说明理由． 20、解：（1）由2nn S a n =-及112(1)n n S a n ++=-+111111112121,1,102n n n n a a a a a a a a ++++⇒=+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-=+≠∴=3分又，∴{1}n a +成等比数列．…………………………5分（2）由（1）知，111(1)2n na a -+=+⋅，故1,2nn n N a *=-∈．…………………………8分（3）假设存在k N *∈，使得12,,kkka a a 成等差数列，则212+++=k k k a a a ，…………………………10分即12(21)(21)k k +-=-2(21)20k k ++-⇒=因k N *∈，所以02≠k ，∴不存在}{n a 中的连续三项使得它们可以构成等差数列……………………13分21、（本小题满分14分） 已知α为锐角且tan ,12-=α 函数f （x ）=2tan 2sin 24x x παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭,数列｛a n ｝的首项 ()111,2n n a a f a +== ①求f （x ）函数表达式 ②求证:n n a a >+1 ③求证：1<++++211111a a …+()*∈≥<+N n n a n,2211解：①由tan 12-=α得12tan =α,又α为锐角42πα=∴f(x)=x x +2 ……………………3分②()n n a f a =+1=nn a a +2021≥=-+n n n a a a ,又110,2n a a =≠∴不恒等于0，故n n a a >+1 ……………………7分 ③设()=n g ++++211111a a …+()*∈≥+N n n a n,211g （n ）-g （n-1）=na +11>0()*∈≥N n n ,2故g （n ）的最小值为g （2）=211111a a +++=2126所以g （n ）()12>≥g ……………………10分()()1111111,,11112,1n n n n n n n n n a a a a a a n n N a a a +++=+∴=-+∴=-≥∈+12111+111n a a a +++++1233411111111=+1n n a a a a a a a ++-+-+-+ 1211111121n n a a a a ++=+-=-+，显然，011>+n a 故 ++++211111a a …+211<+na 成立……………………14分。
湖北省部分重点中学2012-2013学年度下学期高一期末考试 数学理试题 Word版含答案
湖北省部分重点中学2012—2013学年度下学期高一期末考试理科数学试卷命题人：四十九中 徐方 审题人：武汉中学 方玉林考试时间:本卷考试时间14:00—16:00 本卷满分150分一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若,,,a b c R a b ∈>且，则下列不等式成立的是( )A.ba 11< B.22b a > C.2211a b c c >-- D.22(1)(1)a c b c +>+2. 若m 、n 是两条不同的直线， α、β是两个不同的平面，则下列命题中不正确．．．的是（ ） A.若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β B.若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥nC.若m ∥α，n =βα ，则m ∥nD.若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥．3.已知{}n a 是等差数列，4915,55a a ==，则过点()383,,(13,)P a Q a 的直线的斜率为（ ）A ．4B ．14C ．－4D ．14- 4.若直线l 的倾斜角α满足0150α︒︒≤<，且90α︒≠，则它的斜率k 满足( )A ．0k <≤B ．k >C ．0k k ≥<或．0k k ≥<或 5.过点（5，2），且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -= C ．210x y --=D ．210x y --=或250x y -=6.已知点),(y x P 的坐标满足条件1,,230,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩则点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为（ ） A ．145 B ．125C ．2D ．17.右图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积等于（ ）正视图侧视图A．6 B．3 C．3D ．2π8.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( )A.3C.239.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若12,na S =是数列{}n a 前n 项的和，则*16()132n n S n N a +∈+的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．9210.下列四个命题中正确的个数为 （ ） ①若11,13x y x y -≤+≤≤-≤，则y x -3的取值范围是[]7,1；②若不等式221(1)x m x --＞对满足2≤m 的所有实数m 都成立，则实数x 的取值范围是）（213,217+-； ③若正数b a ,满足3aba b =++，则ab 的取值范围是[)9,+∞；④若实数,,,a b c a b a c >>满足，且ab ac bc a ++=+42，则c b a --2的最小值是4. A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在答题卡的相应位置.11.已知圆柱M 的底面半径与球O 的半径相同，且圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比=V V 圆柱球： .12.两平行直线0643:1=++y x l ，012)1(:2=+++ay x a l 间的距离为 . 13.若0<a ，则关于x 的不等式04)1(22>++-x a ax 的解集是 .14.设四面体的六条棱的长分别为a ,且长为a的棱与长为的棱异面,则a 的取值范围是 .15.把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{n a }，若n a ＝2013，则n ＝ . 1 1 2 3 4 2 4 5 6 7 8 9 5 7 9 10 11 12 13 14 15 1610 12 14 16甲 乙三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知2()3(6)6f x x a a x =-+-+ （Ⅰ）解关于a 的不等式(1)0f >（Ⅱ）若关于x 的不等式()f x b >的解集为()1,3,-求实数,a b 的值.17.（本小题满分12分）求分别满足下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过直线220x y ++=和310x y ++=的交点且与直线0532=++y x 平行； （Ⅱ）与直线l ：01243=-+y x 垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6．18.（本小题满分12分）武汉市开展两型社会建设，青山区招商引资共30亿元建设滨江生态工业园区若干项目。
湖北省部分重点中学08-09学年度高二上学期期中联考(数学理)
某某省部分重点中学2008—2009学年高二期中联考数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
试卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共5 0分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若0ac >且0bc <，直线0ax by c ++=不通过A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限， 2．若11,P lg lg ,(lg lg ),lg ,22a b a b a b Q a b R +⎛⎫>>=⋅=+= ⎪⎝⎭则 A ．R<P<Q B ．P<Q<R C ．Q<P<R D ．P<R<Q3．直线l 的方向向量为（1-，2），直线l 的倾斜角为α，则tan 2α=A ．43B ．43-C ．34D ．34- 4．“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．下列大小关系正确的是A ．30.440.43log 0.3<<B ． 30.440.4log 0.33<< C ．30.44log 0.30.43<<D ．0.434log 0.330.4<<6．如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点（a ，b ）在aob 平面上的区域（不包括边界及坐标轴）为7．已知椭圆22110036x y +=上一点P 到左焦点的距离为8，则它到右准线的距离为 A ．6 B ．8 C ．10 D ．158．关于x 的不等式|3||2|x x a -+-<无实数解，则a 的取值X 围是A ．1a ≥B ．1a >C ．1a ≤D ．1a <9．给定点00(,)A x y ，圆222C x y r =+=及直线200:l x x y y r +=，给出以下三个命题：①当点A 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切； ②当点A 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离； ③当点A 在圆C 外时，直线l 与圆C 相交． 其中正确的命题个数是 A ．0B ．1 C ．2 D ．310．发射的“神舟七号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为A．BCD．第Ⅱ卷（非选择题，共1 00分）二、填空题（本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上） 11．不等式(1)|2|0x x -+≥的解集为．12．点(,)P a b 是单位圆上的动点，则点(,)Q ab a b +的轨迹方程是．13．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P ，直线1PF （1F 为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为．14．己知动点A ，B 分别在x 轴和直y x =上，C 为定点（2，1），则ABC 周长的最小值 为．15．已知点(,)P x y 满足43035y 2510x y x x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，设A(2,0)，则||sin OP AOP ∠（O 为坐标原点）的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式|1|1x -≤的解集为Q ． （1）若3a =，求P ；（2）若Q P ⊆，某某数a 的取值X 围．17．（本小题满分12分） 已知0,0a b >>且121a b+=，求： （1）a b +的最小值；（2）若直线l 与x 轴、y 轴分别交于(,0)A a 、(0,)B b ，求ABO （O 为坐标原点）面积的最小值．18．（本小题满分12分）如图所示，ABC 中，已知顶点(3,1),A B -∠的内角平分线方程是4100x y -+=过点C 的中线方程为610590x y +-=．求顶点B 的坐标和直线BC 的方程．19．（本小题满分12分）在单位正方形ABCD （边长为1个单位长度的正方形，如图所示）所在的平面上有点P 满足条件222||||||PA PB PC +=，试求点P 到点D 的距离的最大值与最小值．20．（本小题满分13分）已知一个圆截y 轴所得的弦长为2，被x 轴分成的两段弧长的比为3：1．（1）设圆心(,)a b ，某某数a 、b 满足的关系式；（2）当圆心到直线:20l x y -=的距离最小时，求圆的方程．21．（本小题满分14分）定义：离心率e =的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为(,0)(0),F c c P >为椭圆E 上的任意一点．（1）试证：若,,a b c 不是等比数列，则E 一定不是“黄金椭圆”；（2）没E 为黄金椭圆，问：是否存在过点F 、P 的直线l ，使l 与y 轴的交点R 满足2RP PF =-?若存在，求直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由；（3）已知椭圆E 的短轴长是2，点S （0，2），求使2SP 取最大值时点P 的坐标．参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共25分）11．}21|{-=≥x x x 或12．122+=x y 13．13-14．1015．522 三、解答题（共75分） 16．（1）若3=a ，则0)1)(3(013<+-⇔<+-x x x x }.31|{<<-=∴x x P ………………………………………………（5分）（2）由201|1|≤≤⇒≤-x x即}20|{≤≤=x x Q ………………………………………………（7分） 对0)1)((:<+-x a x PⅠ.1->a 时，}1|{a x x P <<-= Ⅱ.1-=a 时，0)1(2<+x ，Φ=PⅢ.1-<a 时，}1|{-<<=x a x P ………………………………（10分） 又P Q ⊆ ，而}20|{≤≤=x x Q.2>∴a ……………………………………………………………（12分）17．（1）121=+ba22323)21)((+≥++=++=+∴baa b b a b a b a ……………………（5分）当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1212ba ba ab 时取“=”号即当⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2212b a 时 223)(min +=+b a ………………………………（6分）（2）由.822211:121≥⇒≥+==+ab abb a b a 可得………………………（10分） 当⎩⎨⎧==42b a 取“=”，又ab S ABO 21=∆，故当⎩⎨⎧==42b a 时ABO S ∆有最小值4.…………………………………………（12分）18．设),(b a B ，由过点B 的角平分线方程0104=+-y x 得0104=+-b a ，①…………………………………………………………（2分）又AB 中点⎪⎭⎫⎝⎛-+21,23b a 在过点C 的中线上， 592110236=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅∴b a ，②由①②可得5,10==b a ，B ∴点坐标为（10，5）………………………（5分）则直线AB 的斜率.76310)1(5=---=AB k又B ∠的内角平分线的斜率.41=k ………………………………………（6分）所以得.41141764117641,11BCBC BC BC AB AB k k kk k k k k k k ⋅+-=⋅+-⋅+-=⋅+-即 解得.92-=BC k ……………………………………………………………（10分）∴直线BC 的方程为.06592),10(925=-+--=-y x x y 即综上，所求点B 的坐标为（10，5），直线BC 的方程为.06592=-+y x ……………………………………（12分） 19．以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则有：)0,0(A ，)0,1(B ，)1,1(C ，)1,0(D ………………………………（3分） 设),(y x P ，由条件可得：222222)1()1()1(-+-=+-++y x y x y x.2)1(22=++∴y x …………………………………………………………（7分）这是一个以（0，1-）为圆心，以2为半径的圆.……………………（8分） 由平面几何知识可知22||max +=PD ，.22||min -=PD …………（12分） （其它解法参照给分）20．（1）设圆心),(b a P ，半径为r ，则.2,2||22r b rb ==………………（3分） 又221||r a =+，所以221r a =+，所以.1222+=a b ………… （6分）（2）点P 到直线02=-y x 的距离,5|2|b a d -=.12)(24445222222222=-=+-+≥+-=a b b a b a b ab a d ………（9分）所以⎩⎨⎧+==,12,22a b b a 所以⎩⎨⎧==,1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a …………………………（11分）所以.2)1()1(2)1()1(2222=+++=-+-y x y x 或………………（13分）21．（1）假设E 为黄金椭圆，则.215,215a c a c e -=-==即…………（1分） .215215222222ac a a a c a b =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=∴………………（3分）即c b a ,,成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E 一定不是“黄金椭圆”.…………………………………………………………………………（4分）（2）依题假设直线l 的方程为).(c x k y -= 令kc y x -==有0，即点R 的坐标为).,0(kc -PF RP 2-= ，点)0,(c F ，∴点P 的坐标为).,2(kc c …………（6分）点P 在椭圆上，∴.1422222=+bc k a c.14,222=+∴=e k e ac b 故04122<-=ee k ，与02≥k 矛盾.所以，满足题意的直线不存在.……………………………………（9分）（3）依题有12=b ，由点),(11y x P 在E 上知)1(21221y a x -=，)4(4)1()2(||21212212122++--=-+==∴a y y a y x SP SP.14)4(12)1(222212a a a y a --++⎪⎭⎫ ⎝⎛---= 1>a ，.012<-∴a 又111≤≤-y ，…………………………（11分）①当112312-≤-≤<aa 时，]1,1[12-∈∴y SP 是的减函数， 故211SP y 时-=取得最大值，此时点P 的坐标是).1,0(-②当112132<-<->a a 时，22112SP a y 时-=∴取得最大值，此时点P 的坐标是.12,3212242⎪⎭⎫ ⎝⎛----±a a a a a ……………（14分）。
湖北省部分重点中学1314学年上学期高一期中考试数学试卷(附答案)
湖北省部分重点中学2013—2014学年度上学期高一期中考试数学试卷命题人：武汉中学 潘良铭 审题人:洪山高中 胡仲武__一．选择题:本大题共10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知{10},{2,1,0,1}A x x B =+<=--，则()R C A B ⋂=（ ）（A ）{}2,1--（B ）{}2-（C ）{}1,0,1-（D ）{}0,12..函数21log (1)y x =-的定义域为（ ）（A ）(,1)-∞ （B ）(1,)+∞ （C ）(1,3)(3,)+∞ （D ）(1,2)(2,)+∞3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 （ ）（A ） (0)ay a x=> (B) xy e -=(C) y=lg ∣x ∣ （D ）21(0)y ax a =-+>4.若幂函数222)33(--+-=m mxm m y 的图象不过原点，则 （ ）A.12m -≤≤B. 2m =C.12m m ==或 D. 1m =5.已知函数())()ln31,.()f x x f x f x =--+-=则 （ ）（A ） 2- （B ） 0 （C ）1 （D ） 26.已知函数,)0(12)0(21)(⎩⎨⎧<-≥-=-x x x f x x则（ ） A ．是奇函数，且单调递减； B.是偶函数，且单调递减； C ．是奇函数，且单调递增； D.是偶函数，且单调递增；7.设集合1[0,)2A =,1[,1]2B =,函数1,,()22(1),.x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩若0x A ∈,且0[()]f f x A ∈, 则0x 的取值范围是 （ ）A ．]41,0(B ．]83,0[C ．]83,41(D ．)21,41(8.偶函数)12(log )(2+-=x bx x f a 在),0(+∞上单减。
2016届湖北省武汉中学等部分重点中学高一下学期期中联考数学试题(含答案解析)扫描版
湖北省部分重点中学2013—2014学年度下学期高一期中考试数学试卷参考答案二．填空题11．615a =；12．等边三角形； 13．18； 14．1； 15．①③⑤三．解答题16．（1）2320ax x -+>Q 的解集为}{1x x x b<>或∴2320a x x -+= 的两根为1,b ，1,0b a>> …………………3分∴3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪∙=⎪⎩，…………………………………………………………………………4分 1,2a b ∴==……………………………………………………………………………6分 （2）1,2a b ==Q 2(2)20x c x c ∴-++<不等式为即()(2)0x c x --<2c >Q ,∴不等式的解集为}{2x x c<<…………………………………12分17． 解 （1）因为cos25A=，角A 是三角形内角234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，…………………………………………2分 又由3AB AC ⋅=uu u r uu u r得cos 3,bc A =5bc ∴=，…………………………………………4分1sin 22ABC S bc A ∆∴==………………………………………………………………6分（2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=12分18．解：（1）由161718936a a a a ++==-，得91736,12a a =-=-，所以1793179a a d -==-．首项19860,363.n a a d a n =-=-=-…………………………………………2分22(1)341341603(),22222n n n S n n n N *-=-+⨯=--⨯∈，………………………4分所以当20n =或21n =时，n S 最小，最小值为2021630S S ==-…………………6分 （其他解法相应给分） （2）1311111,.6611212n n n n b b b a n n n n n +====-++++++………………………10分 设12231n n n T bb b b b b +=+++K ．n T ∴111111()233412n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭K 1122n =-+24n n =+…………………12分19．解(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，再由C (0)＝8得k ＝40，……………………………………………………………2分 因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用C 1(x )＝6x .故f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．…………………6分(2)由f (x )＝2)55353400(-+++x x ≥2(2400－5)＝70，…………………………10分 当且仅当4003x ＋5＝3x ＋5即x=5或253x =-（舍去）……………………………11分即x ＝5时等号成立，得f (x )min ＝70.当隔热层修建为5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．………………………12分 20． (1)由题设得1111,321321n n n n S n S n ++=∴++=++++，122n n S n +=--2n ≥时，121n n n n a S S -=-=-，当1n =时也满足，21n n a ∴=-…………………6分（2）（文）2n n b n =⋅，设{}n b 的前n 项和为n T ，12n n T b b b =+++K231122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯K （1） 23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯K （2）（1）-（2），23112(12)122222212nnn n n T n n ++--=⨯++++-⨯=-⨯-K 整理得1(1)22n n T n +=-+…………………………………………13分（理）1222n n n nn nb +==-，1231231123122222n n n n n n nT b b b b b ---=+++++=+++++L L （1） 234111*********n n n n nT +-=+++++L （2） （1）-（2），整理得112222222n n n nn nT -+=--=-<……………………………………………13分 21．解：（1）因为21()()()0,()4(1),()(1).n n n n n n n n a a g a f a g a a f a a +-+==-=-所以1(1)(341)0n n n a a a +--+=，又12a =，所以13144n n a a +=+．…………………3分 （2）由（1）13144n n a a +=+．∴131311(1)444n n n a a a +-=+-=-，因为1131(1),114n n a a a +-=--=，所以数列{}1n a -是以1为首项，公比为34的等比数列．………………………………………………………………………………………7分（3）（文）由（2）可知1314n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以1314n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3134413414nnn S n n ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，……………………………………………9分31344nn S n ⎛⎫>+∴< ⎪⎝⎭Q ………………………………………………………………11分1,2,3,4n =Q 时3144n⎛⎫> ⎪⎝⎭，当5n =时3144n⎛⎫< ⎪⎝⎭，34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 单调递减，5n ∴=为满足条件的最小值. ……………………………………………………………………14分（理）由（2）可知1314n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以1314n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭从而11211223343331444n n n n n n n b -----⎡⎤-⋅⎛⎫⎛⎫==-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以n b 的最大项为10b =．…………………………………………………………………………………9分又21313334244n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，而此时n 不为整数才能有13142n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，…………11分所以只需考虑134n -⎛⎫⎪⎝⎭接近于12，34xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 单调递减当3n =时 ，139416n -⎛⎫= ⎪⎝⎭与12相差116；当4n =时，1327464n -⎛⎫=⎪⎝⎭与12相差564所以n b 的最小项为3189256b =-．故n b 的最大项为10b =，最小项为3189256b =-．…14分。
湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学(理)试题 含解析
湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学理科试题(含答案)一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑.1.已知两个集合{})2ln(|2++-==x x y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=012|x e x x B ，则=B A （ ）. A. )2,21[-B. ]21,1(-- C. ),1(e - D. ),2(e2.若i z ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=54cos 53sin θθ是纯虚数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ=（ ）A. 71-B. 7-C. 37- D. 1-3.已知命题p :所有素数都是偶数，则p ⌝是（ ）A.所有的素数都不是偶数B.有些素数是偶数C.存在一个素数不是偶数D. 存在一个素数是偶数4.设R a ∈，函数xx ae e x f --=)(的导函数为)(x f '，且)(x f '是奇函数，则=a （ ）A. 0B. 1C. 2D. 1-5.三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{}n a ，则3a 的所有取值中的最小值是（ ）A. 1B. 4C. 36D. 496.已知函数)(x f y =的定义域为{}5,83|≠≤≤-x x x 且，值域为{}0,21|≠≤≤-y y y 且.下列关于函数)(x f y =的说法：①当3-=x 时，1-=y ；②将)(x f y =的图像补上点()0,5，得到的图像必定是一条连续的曲线；③ )(x f y =是[)5,3-上的单调函数；④)(x f y =的图象与坐标轴只有一个交点.其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则其公比q 为 （ ） A. 2-=q B. 1=q C. 12=-=q q 或 D.12-=-=q q 或8. 已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的偶函数，当0>x 时，()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2,22120,12)(|1|x x f x x f x ，则函数1)(4)(-=x f x g 的零点个数为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 109.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若三边的长为连续的三个正整数，且C B A >>，C A 2=，则C B A sin :sin :sin 为（ ）A ．4:3:2B ．5:4:3C ．6:5:4D ．7:6:5 【答案】C 【解析】试题分析： C B A >>，∴c b a >>，又a 、b 、c 为连续的三个正整数，设1+=n a ，n b =，1-=n c ，（*∈≥N ,2n n ),由于C A 2=，则C A 2sin sin =，即C c a cos 2=，∴)1(2)1()1()1(21222+--++⋅-=+n n n n n n n ，解得5=n ，∴61=+n ，41=-n ，∴4:5:6::=c b a ，由正弦定理得4:5:6sin :sin :sin =C B A ，选C.考点：正弦定理、余弦定理、二倍角的正弦公式.10.在ABC △所在的平面内，点P P 、0满足P 410=，λ=，且对于任意实数λ，恒有≥∙P P 00∙， 则 （ ）A.︒=∠90ABCB. ︒=∠90A C BC.BC AC =D. AC AB =∴|||||)|||(0000B P DP x B P DP x ⋅-≥⋅++， ∴0|||||)||(|00002≥⋅+⋅++B P DP x B P DP x ，故需要0|)||(|||||4|)||(|20000200≤-=⋅-+=∆B P DP B P DP B P DP ，∴4||||||00AB B P DP ==，即||||AB DB =， ∴D 为AB 的中点，又是AB 边上的高， ∴ABC ∆是等腰三角形，故有BC AC =,选C.考点：共线向量，向量的数量积.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.11.设球的半径为时间t 的函数)(t r ，若球的体积以均匀速度21增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 .12. 在△ABC 中，边，，2AB 1AC == 角32A π=，过A 作P BC AP 于⊥，且AC AB AP μλ+=，则=λμ .【答案】4910 【解析】试题分析：依题意1=AC ，2=AB ，由余弦定理得，7)21(2122122=-⨯⨯⨯-+=BC ，由三角形的面积公式得13.已知两个实数b a ,满足033=+-a a 且()033=+-b b ，则1,,b a 三个数从小到大的关系是（用“<”表示）.考点：函数x y -=3、与、3x y =及3x y =的图象性质.14.已知xx f +=11)(，各项均为正数的数列{}n a 满足)(,121n n a f a a ==+，若1412a a =，则=+201413a a .15.已知函数)0,()(23≠∈-+=a R a ax x ax x f 且.如果存在实数(]1--，∞∈a ，使函数)()()(x f x f x g '+=，[]b x ,1-∈()1->b 在1-=x 处取得最小值，则实数b 的最大值为 . 【答案】21-17 【解析】试题分析：依题意，a x ax x f -+='23)(2，令a x a x a ax x f x f x h --+++='+=)2()13()()()(23， )1()(h x h ≥在区间],1[b -上恒成立，即0)]31()12()[1(2≥-++++a x a ax x ①三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数)4(2cos )12(212sin 3)(ππf x f x x f '+'+=. （1）求)(x f 的最小正周期和最小值； （2）若不等式3|)(|<-m x f 对任意⎥⎦⎤⎝⎛∈3,12ππx 恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点.（1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ； （2）点M 在线段PC 上，PC 31PM =，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2P A P D A D ===，求二面角M BQ C --的大小.⎪⎩⎪⎨⎧===103z y x ，18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．且12,4224+==n n a a S S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12-=n a n ，数列{}nb 满足：,31=b 11+-=-n n n a b b )2(≥n ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧nb 1的前n项和n T ．19.（本小题满分12分）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D 左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如图所示，能听到声音，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.（1）求能听到立体声效果的概率；（2）求听不到声音的概率.（结果精确到0.01）20.（本小题满分13分）已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点F ，右顶点A ,右准线4=x 且1||=AF ．(1)求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l ：m kx y +=与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与右准线相交于点Q ，试探究在平面直角坐标系内是否存在点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由．21.（本小题满分14分）设x x f ln )(=． （1）若)1,0(∈α，求)1ln()1(ln )(x x x g --+=αα最大值；（2）已知正数α，β满足1=+βα.求证：)()()(2121x x f x f x f βαβα+≤+；（3）已知>i x ，正数iα满足11=∑=ni iα.证明:∑∑==≤ni iiini ixx 11ln ln αα),2,1(n i =其中．（2）构造函数)()()(11x x f x f x f x F βαβα+-+=）（，利用导数法证明)(x F 在在),0(1x 上递增，在),(1+∞x 上递减.由于函数)(x F 的极大值为0)(1=x F ，1x x =当时，（3）利用数学归纳法证明如下： ① 当2,1=n 时，命题显然成立；② 假设当),2(N k k k n ∈≥=时，命题成立，即当1121=++++-k k αααα 时，)ln(ln ln ln ln 112211112211k k k k k k k k x x x x x x x x αααααααα++++≤++++---- .则当1+=k n ，即当时，111111111211=-+-++-+-++-++k k k k k k αααααααα 11121=++++++-k k k ααααα ，又假设≤-+-++-+-+-+-++k k k k k k k k x x x x ln 1ln 1ln 1ln 11111212111αααααααα。
湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题【含答案】
武汉市部分重点中学2023—2024学年度下学期期末联考高二数学试卷本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从含有3件正品，2件次品的产品中随机抽取2件产品，则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为（）A ．35B ．310C ．15D ．1102．已知随机变量X 服从正态分布()()20,,30.1N P X σ= ，则()33P X -= （）A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.83．若函数()()32132f x x a x ax =+++在=1x -处取得极值，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．(),3-∞C ．()(),33,-∞+∞ D ．[]0,34．函数()1ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像大致为（）A ．B ．C．D．5．若函数()1,01ln 2,0x x xf x x x x⎧--<⎪⎪=⎨+⎪+>⎪⎩的图象与y a =的图象恰好有四个交点，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．(){}0,22- C ．()2,3D ．[)2,36．某人在n 次射击中击中目标的次数为X ，且(),0.7X B n ~，记()k P P X k ==，0,1,2,,k n =L ，若7P 是唯一的最大值，则()E X 的值为（）A ．7B ．7.7C ．8.4D ．9.17．已知32e e ,ln2,217ln72a b c ===-，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a>>D ．c a b>>8．设函数()()()()e 1,1ln xf x xg x x x =+=+，若存在实数12,x x ，使得()()12f x g x =，则12x x -的最小值为（）A ．eB ．2C ．1D ．1e二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．下列说法中，正确的命题是（）A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1B ．()()()()2323,232E X E X D X D X +=++=C ．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好D ．随机变量X 服从两点分布，且()10.3P X ==，设21Y X =-，则()10.7P Y =-=10．甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙贏的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用M 表示事件“甲最终获胜”，N 表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，Q 表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是（）A ．()913P MN =∣B ．()1P NQ =∣C ．N 与Q 互斥D ．N 与Q 独立11．若直线y ax =与曲线()e x f x =，相交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，曲线()e xf x =在A ，B 点处切线交于点()00,M x y ，则（）A ．ea >B ．1201x x x +-=C ．2AM BM ABk k k +<D ．不存在a ，使得135AMB ∠=三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ0123Pm 4929n若()1E ξ=，则()D ξ=.13．已知函数()ln f x ax b x =+-，若()0f x 恒成立，则22a b +的最小值为.14．从1,2,3,,10 这10个数中随机抽一个数记为X ，再从1,2,,X 中随机抽一个数记为Y ，则()E Y =.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15．已知命题:p x ∀∈R ，不等式22470x x m ++->恒成立；命题:q x ∃∈R ，使2220x mx m -++<成立.(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.16．随着社会经济的发展，越来越多的人在抵达目的地后选择租车游玩，拉动了许多租车公司的业务，某租车公司为继续开拓市场，提升服务质量，迎接暑假旅游旺季的到来，对近5年的暑假的租车业务量y （单位：十万元）进行了汇总研究，情况如下：年份2019年2020年2021年2022年2023年业务量2024364352经过数据分析，已知年份与业务量具有线性相关关系.(1)假设2019年为第1年，求第x 年的业务量y 关于x 的经验回归方程，并预测2024年暑假的业务量；(2)该公司从2023年暑假租车的客户中随机抽取了100名客户进行调研，现将100名客户的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将22⨯列联表补充完整并根据小概率值0.01α=的独立性检验，分析青年群体和中老年群体对租车服务的评价是否有差异.好评差评合计青年20中老年15合计45100附：经验回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nni ii i x x y y x y nxyb ay bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑独立性检验中的()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：()20P x χ 0.0500.0100.0010x 3.8416.63510.82817．在数列{}n a 中，15a =，且()*121n n a a n +=-∈N .(1)求{}n a 的通项公式；(2)令(1)nn n b a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．已知函数()e e sin x xf x x =-.(1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；(2)若不等式()a f x b 对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a b -的最大值；(3)证明：()214e sin (e)2x f x x x >---.（参考数据：0.7e 2.014,e 2.718≈≈）19．Catalan 数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（Catalan ，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第n 个Catalan 数，其通项公式为()()22!11C 1!2!1n n n n C n n n n n =⋅=+-+.在组合数学中，有如下结论：由n 个+1和n 个-1构成的所有数列12,a a ，32,,n a a 中，满“对任意1,2,,2k n = ，都有120k a a a +++ ”的数列的个数等于n C .已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为12.(1)设粒子第3秒末所处的位置为随机变量X （若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为-1；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），求X 的分布列和数学期望()E X ；(2)记第n 秒末粒子回到原点的概率为n p .（i ）求4p 及2n p ；（ii ）设粒子在第n 秒末第一次回到原点的概率为n Q ，求2n Q .1．A 【解析】略2．D 【解析】略3．C 【解析】略4．C【分析】通过分析()f x 的奇偶性，在()1,+∞上的单调性，结合()0,1上函数值的正负性可排除不符合题意的选项，即可得答案.【详解】当()1,x ∈+∞时，()2211110ln f x x x x ⎛⎫'=++-> ⎪⎝⎭，即()f x 在()1,+∞上单调递增，故排除A ；注意到()()11ln ln f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 为奇函数，故可排除B ；又注意到()0,1x ∈时，()211ln ln 0x f x x x x x x -⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，故可排除D.故选：C 5．C 【解析】略6．A【分析】根据二项分布的概率公式()()C 1n kk kn k P P X k p p -===-，0,1,2,,k n =L ，利用k P 是唯一最大值可得11k k kk P P P P +->⎧⎨>⎩，代入0.7,7p k ==可求出10n =，再利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】因为()()C 1n kk kn k P P X k p p -===-，0,1,2,,k n =L ，若k P 是唯一最大值，则11k k k k P P P P +->⎧⎨>⎩，所以()()()()111111C 1C 1C 1C 1n kn k k k k k n n n k n k k k k k n n p p p p p p p p ---++--+--⎧->-⎪⎨->-⎪⎩，由111C (1)C (1)k k n k k k n k n n p p p p -++--->-，得11p pn k k ->-+，解得1k p n p -+<，由111C (1)C (1)k k n k k k n k n np p p p ----+->-，得11p p k n k ->-+，解得k p n p ->，所以1k p k p n p p--+<<，因为0.7,7p k ==，所以6.37.30.70.7n <<，得7397n <<，因为n 为正整数，所以10n =，所以()100.77E X =⨯=，故选：A 7．A 【解析】略8．C【解析】略9．ACD 【解析】略10．ABC 【解析】略11．ABD 【解析】略12．23【解析】略13．-1【解析】略14．134【解析】略15．(1)(),5m ∈-∞(2)][)1,25,m ∞⎡∈-⋃+⎣.【详解】（1）若命题p 为真命题，则()1Δ16878400m m =--=-<，(),5m ∞∴∈-.（2）当q 为真命题时：()222Δ4424480m m m m =-+=-->，()(),12,m ∞∞∴∈--⋃+.当命题,p q 中恰有一个为真命题时，1P 为真命题，q 为假命题，即512m m <⎧⎨-⎩ []1,2m ∴∈-.2p为假命题，q 为真命题，即521m m m ⎧⎨><-⎩或 [)5,m ∞∴∈+.综上：][)1,25,m ∞⎡∈-⋃+⎣.16．(1)8.31.1ˆ0=+yx ，59.9十万元.(2)表格见解析，青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异.【详解】（1）3,35x y ==，5152215608525ˆ8.3, 55455iii ii x yx yyxx ==-⋅-∴===--∑∑，ˆ358.3310.1, a=-⨯=.8.310.1ˆyx ∴=+.6x ∴=时，ˆ59.9y=，∴预测2024年暑假的业务量约为59.9十万元.（2）列联表如下：好评差评合计青年203050中老年351550合计554510022100(20153035)1009.091 6.6355545505011χ⨯⨯-⨯∴==≈>⨯⨯⨯，∴根据小概率值0.01α=的独立性检验，青年群体和中老年群体对租车服务的评价有差异.17．(1)1*21,n n a n +=+∈N(2)11*1121(2)(1),632n n n S n ++=--⋅--⋅-∈N 【详解】（1）()112221n n n a a a +-=-=-，{}1n a ∴-是公比为2的等比数列.15a = ，114a ∴-=，111422n n n a -+∴-=⋅=，1*21,n n a n +∴=+∈N .（2）()11*(1)21(1)2(1),n n n n n n b n ++=-⋅+=-⋅+-∈N ，法1：奇偶讨论1n 为偶数()()()12341n n n S b b b b b b -∴=++++++ 24222n=+++ 241414n⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=-44233n =⋅-.2n 为奇数1n n nS S b -∴=+114422133n n -+=⋅---47233n =-⋅-综上：442,33472,33n n n n S n ⎧⋅-⎪⎪=⎨⎪-⋅-⎪⎩为偶数为奇数.法2：等比数列*2(2)(1),n n n b n =⋅-+-∈N ()()()()21(2)11(1)21211n n n S ⎡⎤⎡⎤-⋅---⋅--⎣⎦⎣⎦∴=⋅+----114211(2)(1)3322n n ++=--⋅---⋅-111121(2)(1)632n n ++=--⋅--⋅-11*1121(2)(1),632n n n S n ++∴=--⋅--⋅-∈N 18．(1)1y =(2)-1(3)证明见解析【详解】（1）()e e sin e cos x x xf x x x =-⋅-⋅'，()()01,00f f ='∴=，()y f x ∴=在0x =处的切线为1y =.（2）()πe 14x f x x ⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()0,f x f x ∴' 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，π0,2x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦时()[]0,1f x ∈，a b ∴-的最大值为-1.（3）设()()214e sin (e)2x g x f x x x =-++-，()e ex g x x ='∴+-()e e x g x x ='+- 在R 上单调递增，()()0.70.7e 0.7e 2.0140.7e 0,110g g ''=+-≈+-<=>，()00.7,1x ∴∃∈，使()000e e 0x g x x =+-='，()g x ∴在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()()0g x g x ∴ ()0201e e 42x x =+--()021e e 42x x =+-00.7e e 2x >> ，()()20122402g x g x ∴>⋅+-= ，()214e sin (e)2x f x x x ∴>---.19．(1)分布列见解析，0(2)（i ）438p =，222C 2n n n n p =；（ii ）2n Q 12221C 2n n n n ---=⋅【详解】（1）()311328P X ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，()313131C 28P X ⎛⎫=-=⋅= ⎪⎝⎭，()313131C 28P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，X ∴的分布列如下：X-3-113P 18383818()()()1331311308888E X ∴=-⨯+-⨯+⨯+⨯=.（2）（i ）2444C 328p ==，222C 2n n n np =（ii ）设事件A ：粒子在第2n 秒末第一次回到原点，事件B ：粒子第1秒末向右移动一个单位.2()()()2()n Q P A P AB P AB P AB ∴==+=，记粒子往左移动一个单位为-1，粒子往右移动一个单位为+1，以下仅考虑事件AB .设第n 秒末粒子的运动方式为n a ，其中1n a =±；沿用（1）中对粒子位置的假设X ，则粒子运动方式可用数列{}n a 表示，如：1,1,1,1--表示粒子在前4秒按照右､右､左､左的方式运动.由粒子在第2n 秒末第一次回到原点，可知数列{}n a 的前2n 项中有n 个1和n 个-1.11a = ，21n a ∴=-，∴粒子在余下22n -秒中运动的位置满足1X ，即()230,2,3,,22k a a a k n +++=- ，∴粒子在余下22n -秒中运动方式的总数为1n C -，()122n nC P AB -∴=，()22n Q P AB ∴=12222C 2n n nn --=⋅12221C 2n n n n ---=⋅。
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湖北省部分重点中学2013-2014学年高一下学期期中考试 数学理试题 考试时间：2014年4月14日上午8:00—10:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．已知55sin =α，则αα44cos sin -的值为 （ ）A ．51-B. 53-C. 51D. 532. 在△ABC 中，30a =，20b =，︒=60A ，则=B cos （ ）A. 36B. 322C.36- D. 322- 3．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题一定成立的是（ ）A ．22a b < B.11a b < C. 3223a b a b < D. 22ac bc < 4.已知数列{}n a 为等差数列，且1713212,tan()a a a a a π++=+则的值为 （ ）B.C.D.5．若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，则m 的范围是（ ） A ．(1,9) B ．(,1](9,)-∞⋃+∞ C ． [1,9) D ．(,1)(9,)-∞⋃+∞6．已知数列1111{},,1(2)4n n n a a a n a -==-≥，则2014a =（ ） A ．45 B ．14 C ．3- D ．157．设a ＞0，b ＞03a 和3b的等比中项，则14a b +的最小值为（ ）A ．6B. C. 8 D. 98．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元 9．,A B 两地相距200m ，且A 地在B 地的正东方。
一人在A 地测得CD建筑C 在正北方，建筑D 在北偏西60；在B 地测得建筑C 在北偏东45，建筑D 在北偏西15，则两建筑C 和D 之间的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．1)m -10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3222011(1)2014(1)sin3a a π-+-=，3201320132011(1)2014(1)cos6a a π-+-=，则2014S =（ ）A. 2014B. 4028C. 0D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.若0x <，则4x x +的最大值为 。
12.若关于x 的不等式2122x x mx-+>-的解集为 {|02}x x <<，则m= 。
13．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3963,12S S S =-=，则6S = 。
14．已知sin()sin 032ππααα++=-<<，则cos α= 。
15．把数列{}12+n 中各项划分为：（3），（5，7），(9，11，13)，(15，17，19，21)，(23)，(25，27)，(29，31，33)， (35，37，39，41)。
照此下去，第100个括号里各数的和为 。
三．解答题（共6题，总计75分）。
16．（本题满分12分）已知2π<α<β<0，54=β-αcos 53=αcos ）（，。
（1）求α2tan ； （2）求βcos 。
17．（本题满分12分）已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量(cos ,cos )m B C =(2,)n a c b =+，且m n ⊥。
（1）求角B 的大小；（2）若b =，求a c +的范围。
18．（本题满分12分）已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列。
（1）若sin 2sin C A =，求cos B 的值；（2）求角B 的最大值，并判断此时ABC ∆的形状。
19．（本题满分12分） （1）阅读理解：①对于任意正实数,a b，2(0,0,a b a b a b-≥∴-≥∴+≥a b =时，等号成立．②结论：在a b +≥（,a b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a b +≥，只有当a b =时，a b +有最小值．（2）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答） ①若0m >，只有当m =__________时，1m m +有最小值__________． ②若1m >，只有当m =__________时，821mm +-有最小值__________．（3）探索应用：学校要建一个面积为3922m 的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4 m 的小路（如图所示）。
问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值。
20．（本题满分13分）已知等差数列{}n a 满足4285,14a a a =+=,数列{}n b 满足3111,2na n nb b b ++==⋅。
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列211{}log n b +的前n 项和； （3）若1n a n n c a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S 。
21．（本题满分14分）已知数列{}n a 的首项1133,,1,2,521n n n a a a n a +===+。
（1）求证：1{1}n a -是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意的21120,(),1,2,1(1)3nn x a x n x x >≥--=++；（3）证明：212251n a a n a n n ++>-≥++。
2014年春季湖北省部分重点中学期中联考 高一理科数学答案1-10 BACBC BDDCA11． -4 12. -1 13. 9 14.10433- 15. 1992 16. 解：（1）24tan 27α=-。
6分（2）24cos 25β=。
12分17.解：（1）∵ m ＝(cosB ，cosC)，n ＝(2a+c ，b)，且m ⊥n.∴cosB(2a+c)+ b cosC=0。
2分 ∴cosB(2sinA+sinC)+ sinB cosC=0 ∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0 即2cosBsinA=－sin （B+C ）=－sinA 。
4分 ∴cosB=－1／2 ∵0≤B ≤180 ∴B=120.。
6分 （2）由余弦定理，得acc a ac c a ac c a b -+=++=-+=222222)(32cos 2π222)(43)2()(c a c a c a +=+-+≥ 当且仅当c a =时，取等号.。
10分4)2≤+∴c a （ 2≤+c a 。
11分又3=>+b c a ]2,3(∈+∴c a 。
12分18．解：（1）sinC=2sinA 利用正弦定理化简得：c=2a ，。
2分 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b2=ac=2a2，即b=a ，。
4分∴cosB===；。
6分（2）∵b2=ac ，∴cosB==≥=，。
8分∵函数y=cosx 在区间[0，π]上为减函数， ∴B ∈（0，]，即角B 的最大值为，。
。
10分此时有a=c ，且b2=ac ，可得a=b=c ， 则△ABC 为等边三角形．。
12分 19.解：(2) ① 1 ，2 。
2分 ② 3，10 。
4分(3) 设游泳池的长为x m ，则游泳池的宽为392xm,又设占地面积为y 2m ，依题意，得392(8)(4)y x x =++。
6分整理y=424＋4(x ＋784x )≥424＋224=648 。
8分当且仅当x=784x 即 x=28时取“=”.此时392x=14。
10分所以游泳池的长为28m ，宽14m 时，占地面积最小，占地面积的最小值是6482m 。
12分20.解：（1）23n a n =-；14nn nb b +=，23123412314,4,4,,4n n n b b bbb b b b --====，以上各式相乘，得(1)(1)2142n n n n n b b --==，11b =，(1)2n n n b -=；。
4分（2）211111log (1)1n b n n n n +==-++， 22232111111log log log 11n nb b b n n ++++=-=++ 。
8分（3）221(23)(23)2n n n c n n --=-⋅=-⋅，22111232(25)2(23)2(1)n n n S n n --=-+⋅+⋅++-⋅+-⋅ 2121212(25)2(23)2(2)n nn S n n -=-⋅+⋅++-⋅+-⋅211(1)(2),12(222)(23)22(12)12(23)212(52)25n nn n nn S n n n ----=-+++--⋅-=-+⋅--⋅-=-⋅-得(25)25n n S n =-⋅+.。
13分11111312121.(1)a ,,21331111(1),3121,3121{1}.3312121,33343632n n n n nn n n n n n n nn a a a a a a a a a a +++-=∴=++∴-=--=∴-∴-----=-----+-==∴又是以为首项，为公比的等比数列分分()222222223(2)10,32112112111()=(11)[(1)]1(1)31(1)31(1)11=-2[][]---()a 11123112()()1(1)3321(1)334----130nn n n n n n n n n n n n n nn n a x x x x x x x x x a a a xa x x x x x x x a >+---+--=--+++++++-≤+-=+-=⋅⋅----+++++-⋅=解解法：1分()法知：由()()()()2224(30323132)231n nnnnx x x x ⋅-⋅+=≥+⋅++⋅+⋅12122221211(3)=-2(511(3212=1-)3232325n 1-------120,1222()1(1)33322221(1)1133333(1)13(1)32)n n n n n n n nn n na a a n n x n a a a a a nx x x x n n n a ++≤-+++=>+≥-+++-=++++++++++++-===--++左边不等式由 右边不等式由知，对于任意，知当时等号成立.分有取 则221411111(1)133n n nn n n a n n n ≥=>-----++-+-分。