一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法

【知识归纳】

1．一元二次不等式的解法

(1)将不等式的右边化为零，

左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．

(2)求出相应的一元二次方程的根.

(3)利用二次函数的图像与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：

判别式

Δ＝b 2－4ac

Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c

(a >0)的图像

一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1

＝－b 2a

没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)

的解集

{x |x x 2} {x |x ≠x 1} {x |x ∈R } ax 2＋bx ＋c <0(a >0)

的解集

{x |x 1< x

【难点提升】

1．一元二次不等式的解集及解集的确定 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)的解集的确定受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，

且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a

≠0)的图像，数形结合求得不等式的解集．

若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(其中a >0)的形

式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2(x 10)，

则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．

2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．

【学前强化】

1．不等式x 2<1的解集为________．

2．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是____________．

3．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为_____________．

4．不等式x －12x ＋1

≤0的解集为 ( ) A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝

⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)

5．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为{x |－2

}，则ab 等于( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26

6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0， 则不等式f (x )>f (1)的解集是________．

7．已知f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－3,2)，则a ＝________，c ＝________.

8．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为________________．

题型一 一元二次不等式的解法

【例1】解下列不等式：

思维启迪： 解一元二次不等式的一般步骤：

(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋

c <0(a >0)；

(2)计算相应的判别式；

(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；

(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．

(1)－x 2＋2x －23

>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0. （3）x 2＋2x －3≤0；

（4）x －x 2＋6＜0； （5）4x 2＋4x ＋1<0； （6）x 2－6x ＋9≤0；

【变式】 解下列不等式：

(1)2x 2＋4x ＋3<0； (2)－3x 2－2x ＋8≤0； (3)8x －1≥16x 2.

题型二 含参数的一元二次不等式的解法

【例2】已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，求a ，b 的值；

思维启迪：先化简不等式为标准形式，再依据解集确定a 的符号，然后利用根与系数的

关系列出a ，b 的方程组，求a ，b 的值．

【变式】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.

题型三一元二次不等式恒成立问题

【例3】已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．

思维启迪注意等价转化思想运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．

【变式1】已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．

思维启迪：化为标准形式ax 2＋bx ＋c >0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧

a >0，Δ＝

b 2－4a

c <0.

【变式2】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围。

【强化练习】

1．解下列不等式：

（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0；

（4）16－8x ＋x 2≤0．

2.解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．

3.若0

a 1)<0的解是 ( ) A.a a 1或x

1或x >a