2020-2021学年数学人教A版必修4学案：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

[目标] 1.会推导并记住二倍角公式． 2.能够运用二倍角公式及其变形解决有关化简、求值和证明问题．

[重点] 二倍角公式的推导． [难点] 二倍角公式的变形应用．

知识点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导

[填一填]

在公式sin(α＋β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)中，令α＝β，就可得到相应的二倍角的三角函数公式：

sin2α＝2sin αcos α.

cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan2α＝2tan α1－tan 2α

.

上面三组公式，称为倍角公式．

[答一答]

1．倍角公式中的“倍角”是什么意思？

提示：倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为α2的二倍，3α作为3α

2的二倍，α＋β作为α＋β2的二倍等情况．

2．正确的打“√”，错误的打“×”． (1)对于任意角α，总有sin2α＝2sin α.( × ) (2)对于任意角α，总有cos2α＝1－2cos 2α.( × ) (3)对于任意角α，总有tan2α＝

2tan α

1－tan 2α

.( √ )

知识点二 倍角公式的变形

[填一填]

1．1±sin2α＝(sin α±cos α)2；1＋cos2α＝2cos 2α；1－cos2α＝2sin 2α. 2．sin 2

α2＝1－cos α2；cos 2

α2＝1＋cos α2；

tan 2

α2＝1－cos α1＋cos α

.

[答一答]

3．二倍角公式及变形公式的作用是什么？

提示：利用上述公式不仅可以促成二倍角与单角的互化，同时还可以实现式子次数的转化．

4．请把正确的★答案★写在横线上． (1)sin22°30′cos22°30′＝2

4. (2)2cos 2

75°－1＝－32.

(3)sin 215°－cos 215°＝－32.

类型一 化简求值

[例1] 求下列各式的值： (1)cos π12cos 5π

12＝________； (2)1

2－cos 215°＝________； (3)1－tan 215°

tan15°＝________.

[解析] (1)原式＝cos π12sin π12＝12×2cos π12sin π

12 ＝12sin π6＝14.

(2)原式＝12(1－2cos 2

15°)＝－12cos30°＝－34. (3)原式＝2tan30°＝2 3.

[★答案★] (1)14 (2)－3

4 (3)2 3

(1)记住公式的推导过程及公式特征才便于应用.

(2)与公式不符，但是适当变形后就可套用公式的，要先变形化简再求值.

[变式训练1] (1)(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°) ＝－32.

(2)8sin π48cos π48cos π24cos π12＝1

2.

解析：(1)(cos75°－sin75°)(cos75°＋sin75°) ＝cos 275°－sin 275°

＝cos150°＝－sin60°＝－32.

(2)原式＝4sin π24cos π24cos π12＝2sin π12cos π12＝sin π6＝12. 类型二 条件求值

[例2] 若cos(π4－x )＝－45，5π4

1＋tan x 的值．

[分析] 化简所求式，使其出现角(π

4－x )，整体代入求解．

[解] sin2x －2sin 2x 1＋tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x cos x ＋sin x

＝sin2x (cos x －sin x )

cos x ＋sin x

＝sin2x 1－tan x 1＋tan x ＝sin2x tan(π

4－x )

＝cos(π2－2x )tan(π

4－x ) ＝[2cos 2

(π4－x )－1]tan(π

4－x )，

∵5π4

4－x <－π. 又∵cos(π4－x )＝－4

5，

∴sin(π4－x )＝35，tan(π4－x )＝－34. ∴原式＝(2×1625－1)×(－34)＝－21

100.

先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系.尽量出现条件中的角， 以便能整体代入，减少运算量.

[变式训练2] 已知sin(π4－x )＝513，0

cos (π

4＋x )的值． 解：原式＝sin (π2＋2x )cos (π4＋x )＝2sin (π4＋x )cos (π4＋x )

cos (π

4＋x ) ＝2sin(π

4＋x )．

∵sin(π4－x )＝cos(π4＋x )＝513，且0

∴π4＋x ∈(π4，π2)， ∴sin(π

4＋x )＝

1－cos 2(π4＋x )＝12

13，

∴原式＝2×1213＝24

13.

类型三 倍角公式与三角函数性质的综合应用

[例3] 已知函数f (x )＝sin 2

ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π

2)(ω>0)的最小正周期

为π.

(1)求ω的值；

(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤0，2π3上的取值范围．

[分析] (1)已知函数解析式是含有二次的三角函数式，可利用二倍角公式降幂，化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式．由给出的函数的最小正周期为π，可利用T ＝2π

ω确定出ω的值．

(2)由区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3求f (x )的取值范围，一定要先确定ωx ＋φ的范围，再求f (x )的取值范围．

[解] (1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋3

2sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 所以2π

2ω＝π.解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋1

2.

因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π

6，

所以－12≤sin(2x －π6)≤1.所以0≤sin(2x －π6)＋12≤32，